Matrices

[invite4c80defd]

Bonjour à tous,

En faisant mes exos , j'ai rencontré un petit probleme

On a les matrices A et B

A:
-3 1 1
1 -3 1
1 1 -3

B:
1 1 1
1 1 1
1 1 1

on sait que B=A+4I (I étant la matrice identité) et B^2=3B
Il faut trouver une relation entre A, A^2 et I
Voila ce que j'ai trouvé: A^2+5A+4I=0 et donc A(A+5)=-4I, (soit C=A+5: AC=-4I)
Cela prouve que A est inversible: A *une matrice = matrice Identité je crois bien
Et donc, C serait la matrice inverse de A, mais comment calculer C ?



Merci pour votre aide.
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[invite4c80defd]

J'ai aussi un deuxieme exo:

C'est une résolution de systeme:

x³-x+y=0
y³+x-y=0

J'ai additionné les deux lignes, et j'en ai déduis que x=-y
J'ai remplacé dans une de deux équations de départ et j'ai trouvé finalement trois couples de solutions:

x=0 et y=0
x=sqrt(2) et y=-sqrt(2)
x=-sqrt(2) et y =sqrt(2)

Cela est-il possible ? un sytee n'admet -il pas que 0, 1 ou infinité de solutions ?

Deuxieme systeme:
2x₁-3x₂+6x₃+2x₄-6x₅=3
x₂-2x₃+x₄=1
x₄-3x₅=2

Pour ce systme, j'ai dit que x3 et x5 était quelconques, et j'ai ensuite résolu le systeme de trois équations avec les trois inconnues restantes. On a bien le droit de prendre deux variables pour des quelconques ?

Merci pour votre confirmation

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je vous donne mon avis pour les équations.
Le premier système est un système du troisième degré. On note que x=-y c'est à dire qu'ils sont interchangeable.
On a donc, en réalité une seule équation de troisième degré qui admet 1 ou 3 solutions, dont éventuellement une solution double.

Le système de 3 équation à 5 inconnues :
Si vous pouvez effectivement montrer que x3 et x5 sont quelconques c'est à dire que quelle que soit leur valeur, le système ne change pas, alors ce système admet effectivement une solution, sinon, dans mon langage, il est indéterminé, c'est à dire qu'on peut trouver une infinité de solutions.
L'expression "le droit" est amusant sans une phrase en mathématique, je la verrais plutôt dans le domaine juridique.
Dans le système concerné, vous transformez une inconnue(x3 et x5) en paramètre. Cela signifie que pour chaque valeur choisie pour le(s) paramètre(s) vous aurez une solution différente.

[invite4c80defd]

Bonjour,
Excusez-moi mais je n'ai pas compris vos deux dernieres lignes, que vouliez-vous dire ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Voila ce que j'ai trouvé: A^2+5A+4I=0

Oui

et donc A(A+5)=-4I

Presque... A(A+5I)= -4I

Cela prouve que A est inversible

Oui, et cela donne directement l'inverse de A, non?

[Seirios]

Bonjour,

on sait que B=A+4I (I étant la matrice identité) et B^2=3B
Il faut trouver une relation entre A, A^2 et I
Voila ce que j'ai trouvé: A^2+5A+4I=0 et donc A(A+5)=-4I, (soit C=A+5: AC=-4I)
Cela prouve que A est inversible: A *une matrice = matrice Identité je crois bien
Et donc, C serait la matrice inverse de A, mais comment calculer C ?

Tu as (attention à ne pas oublier la matrice identité) et tu connais , donc l'expression de est immédiate, non ? Sinon, l'inverse de n'est pas tout à fait , relis bien la définition de l'inverse.

EDIT : Croisement, j'ai été un peu long à répondre...

[invite4c80defd]

bonjour,
merci , je avais pas pensé au 5I
Cela donne l'inverse de A : ce serait donc (5I+A)/-4 ? qu'il me reste à calculer
merci beaucoup à tous

[Dlzlogic]

Je suppose que c'est ça :

Dans le système concerné, vous transformez une inconnue(x3 et x5) en paramètre. Cela signifie que pour chaque valeur choisie pour le(s) paramètre(s) vous aurez une solution différente.

Je vais considérer 5 inconnues nommées x, y, z, t, u.
Les paramètres sont a, b, c etc.
Voilà un système
ax + by + cz + dt + eu = f
gx + hy + iz + jt + ku = l
nx + oy + pz + qt + ru = s
(ouf, juste assez)
Ce système a 5 inconnues et 3 équations.
Si on peut montrer que le système est toujours vrai quelles que soient 2 des inconnues, alors ces 2 inconnues ne servent à rien, on peut donc dire qu'elle sont égales à zéro, et il ne reste plus que 3 inconnues à ce système et il y aura en général une solution.

Dans le cas contraire, où on ne peut pas trouver d'inconnues n'influent pas sur le système, alors on peut toujours les considérer comme paramètre, alors les solutions s'écriront
x=f(t,u)
y=g(t,u)
z=h(t,u)
Pour chaque valeur de t et u on aura un triplet (x,y,z) solution du système.
Dans mon langage, c'est ce que j'appelle "système indéterminé".

[invite4c80defd]

Merci Dlzlogic , c'est beaucoup plus clair à présent.

[invite4c80defd]

Pour la matrice, l'erreur faite était bien ce -4 qu'il fallait déplacer ?
Merci d'avance

[leon1789]

J'ai aussi un deuxieme exo:

C'est une résolution de systeme:

x³-x+y=0
y³+x-y=0

J'ai additionné les deux lignes, et j'en ai déduis que x=-y

Il faut toujours commencer par dire dans quel ensemble on cherche les inconnues x et y : est-ce dans les nombres réels ou dans les nombres complexes ?

Si c'est dans les nombres réels, alors oui x=-y, ce qui amène une équation de degré 3 et trois couples solutions.
Mais si c'est dans les nombres complexes, alors non, x et y ne sont pas forcément opposés et il existe d'autres couples solutions.

[invite4c80defd]

C'est dans R. merci pour le conseil , je n'avais pas pensé du tout.

[leon1789]

Je suppose que c'est ça :

Je vais considérer 5 inconnues nommées x, y, z, t, u.
Les paramètres sont a, b, c etc.
Voilà un système
ax + by + cz + dt + eu = f
gx + hy + iz + jt + ku = l
nx + oy + pz + qt + ru = s
(ouf, juste assez)
Ce système a 5 inconnues et 3 équations.
Si on peut montrer que le système est toujours vrai quelles que soient 2 des inconnues, alors ces 2 inconnues ne servent à rien, on peut donc dire qu'elle sont égales à zéro, et il ne reste plus que 3 inconnues à ce système et il y aura en général une solution.

Dans le cas contraire, où on ne peut pas trouver d'inconnues n'influent pas sur le système, alors on peut toujours les considérer comme paramètre, alors les solutions s'écriront
x=f(t,u)
y=g(t,u)
z=h(t,u)
Pour chaque valeur de t et u on aura un triplet (x,y,z) solution du système.
Dans mon langage, c'est ce que j'appelle "système indéterminé".

J'avoue que je n'y comprends pas grand chose...
Pour commencer, un système vrai, cela n'a pas de définition en mathématiques me semble-t-il : un système (linéaire) est compatible ou inconsistant, de Cramer ou dégénéré. Mais le mot "vrai", je ne l'ai jamais vu pour qualifier un système.
Ensuite, je ne vois pas ce que sont "2 inconnues qui ne servent à rien" : des inconnues peuvent être primaires ou secondaires, mais je n'ai jamais vu qu'une inconnue "ne servant à rien".
Et pourquoi peut on dire qu'elle sont égales à zéro ? Quand on résout un système, on n'impose pas arbitrairement des valeurs pour les inconnues.

[Dlzlogic]

J'avoue que le terme "vrai" n'est pas bien choisi. J'aurais pu dire "identique au système proposé" ou "invariant", si quelqu'un a un autre terme à me suggérer, je suis preneur.
Que le système soit linéaire ou pas ne semble rien changer à la question posée.
On a un système à résoudre. Il y a 3 possibilités
1- le système admet une solution (ensemble de valeurs numériques pour les inconnues)
2- le système est sous dimensionné, il y a plus d'inconnues que d'équations, on peut dire qu'il admet une infinité de solutions (dans mon langage on dit "système indéterminé") et on peut écrire (si c'est possible) des fonctions pour certaines inconnues en fonctions d'autres inconnues.
3- le système est surdimensionné, il y a plus d'équations que d'inconnues, sauf méthodes hors sujet, dans mon langage, on dit que le système est impossible.

Dans le cas présent, Isis voulait considérer que certaines inconnues pouvaient être considérées comme "quelconques". Cela est possible, si et seulement si une quelconque valeur attribuée à ces inconnues ne changent rien au système, la valeur 0 étant l'une de ces valeurs quelconques.

Ceci étant dit, il me semble que Isis a compris mes explications.

[leon1789]

J'avoue que le terme "vrai" n'est pas bien choisi. J'aurais pu dire "identique au système proposé" ou "invariant", si quelqu'un a un autre terme à me suggérer, je suis preneur.
Que le système soit linéaire ou pas ne semble rien changer à la question posée.
On a un système à résoudre. Il y a 3 possibilités
1- le système admet une solution (ensemble de valeurs numériques pour les inconnues)

2- le système est sous dimensionné, il y a plus d'inconnues que d'équations, on peut dire qu'il admet une infinité de solutions (dans mon langage on dit "système indéterminé") et on peut écrire (si c'est possible) des fonctions pour certaines inconnues en fonctions d'autres inconnues.

Quand il a plus d'inconnues que d'équations, il se peut que le système n'ait pas de solutions. Exemple : 2 équations pour 3 inconnues
x+y+z = 0
x+y+z = 1

3- le système est surdimensionné, il y a plus d'équations que d'inconnues, sauf méthodes hors sujet, dans mon langage, on dit que le système est impossible.

Alors ton langage est assez étrange car il se peut qu'un système impossible ait des solutions ! Exemple : 3 équations pour 2 inconnues.
x + y = 0
x + 2y = 0
2x + y = 0

Dans le cas présent, Isis voulait considérer que certaines inconnues pouvaient être considérées comme "quelconques". Cela est possible, si et seulement si une quelconque valeur attribuée à ces inconnues ne changent rien au système, la valeur 0 étant l'une de ces valeurs quelconques.

Je veux bien croire que 0 est une valeur comme une autre (pourquoi pas 1 , ou -12 ?) , mais encore une fois, quand on résout un système, on ne donne pas de valeur arbitraire aux inconnues secondaires (celles qui permettent d'exprimer les inconnues primaires)

Ceci étant dit, il me semble que Isis a compris mes explications.

Effectivement, ce serait très bien pour cette personne qu'elle comprenne...

[Dlzlogic]

Il y a une notion que je ne connais pas "inconnue primaire".
Peux-tu me l'expliquer ? Et aussi les inconnues secondaires.

[leon1789]

Imaginons un système linéaire en les inconnues a,b,c,d,e dont l'ensemble des solutions soit donné par , où b,e sont quelconques.
Alors les inconnues a,c,d sont appelées inconnues primaires (ou principales) et
les inconnues b,e sont inconnues secondaires (ou non principales) : ce sont ces inconnues qui "paramètrent" l'ensemble des solutions.
Il y a des inconnues secondaires uniquement quand il y a plusieurs solutions au système linéaire.

Avant de résoudre un système linéaire, on ne peut pas savoir quelles seront les inconnues primaires/secondaires : en effet, l'attribution primaire/secondaire dépend de la manière de résoudre le système (sauf s'il n'y a 0 ou 1 solution). En reprenant mon exemple ci-dessus, on a aussi , où c,d sont quelconques, et dans ce cas, on dira que a,b,e sont primaires et c,d sont secondaires.
Autrement dit, il y a plusieurs manières de présenter l'ensemble des solutions (sauf quand il n'y a que 0 ou 1 solution), et cela va dépendre de la manière dont on résout le système linéaire. C'est un peu ennuyeux...

En revanche, quelle que soit la méthode de résolution, les nombres d'inconnues primaires/secondaires seront toujours les mêmes : le nombre d'inconnues principales est appelé le RANG du système linéaire.

voir par exemple http://www.univ-orleans.fr/mapmo/mem...e/systemes.pdf

[Dlzlogic]

Oui, merci je crois avoir compris le principe.
Mais tu sais que je suis très terre à terre, alors pour moi, un système est est un ensemble d'équations, quel que soit le degré, soit il admet une solution, une valeur pour chaque inconnue, soit il est indéterminé, il admet une infinité de solution, soit il est impossible, il n'admet aucune solution exacte.
Pour moi, très ignorant, il n'existe pas d'autre possibilité pour un système d'équation.
Par contre si "système d'équation" a maintenant une autre signification, alors je me déclare totalement incompétent.
Pour moi, un système d'équations est un intermédiaire mathématique pour résoudre un problème, en simplifiant : trouver les valeurs qui satisfont uns certain nombre de relations. Si on donne à "système d'équations" un sens théorique, je ne peux plus suivre.

[Dlzlogic]

J'ai regardé ton lien, à part la description de différentes méthodes de résolution d'équations linéaires, j'ai pas très bien compris le rapport avec notre discussion.
Si ce problème de résolution d'équation t'intéresse, j'ai un module qui résout un système linéaire de n équations à n inconnues, quelque soit n, à concurrence de la capacité de la machine.
J'ai aussi un module qui résout des équations qui ne sont pas forcément linéaire (dans certaines limites, de mémoire, c'est peut-être limité à la puissance 2)).

[leon1789]

Ce que j'ai répondu est très terre à terre : tout étudiant doit savoir cela car c'est l'outil "numérique" de base pour pratiquer l'algèbre linéaire.

Evidemment qu'un système d'équations est un ensemble d'équations (*) : d'ailleurs, je ne parlais que d'un ensemble fini d'équations.
Bien sûr qu'un système à soit 0 solution, soit 1, soit plusieurs (une infinité si le corps sur lequel on travaille est infini, mais attention, il existe des corps finis).

Désolé, mais je ne vois pas de rapport entre ma réponse et ton commentaire : où as-tu pu imaginer, dans ma réponse, une autre signification "théorique" d'un système d'équations ?!




(*) bien que dans un ensemble, on ne répète pas les éléments, alors qu'on peut éventuellement répéter une équation dans un système (ce qui est naturellement sans intérêt a priori, mais possible).

[leon1789]

J'ai regardé ton lien, à part la description de différentes méthodes de résolution d'équations linéaires, j'ai pas très bien compris le rapport avec notre discussion.

page 3 du document que j'ai pointé :
<< Les inconnues qui correspondent aux coefficients en gras sont appelées les inconnues principales du système et les autres (s’il y en a) sont les inconnues secondaires . >>
Tu ne vois pas le rapport avec ma réponse à ta question ?
<< Il y a une notion que je ne connais pas "inconnue primaire". Peux-tu me l'expliquer ? Et aussi les inconnues secondaires. >>


Vas-tu refaire le coup de http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4433831 ?

[leon1789]

Si ce problème de résolution d'équation t'intéresse, j'ai un module qui résout un système linéaire de n équations à n inconnues, quelque soit n, à concurrence de la capacité de la machine.
J'ai aussi un module qui résout des équations qui ne sont pas forcément linéaire (dans certaines limites, de mémoire, c'est peut-être limité à la puissance 2)).

Merci, mais je pense savoir écrire un programme (élémentaire) pour résoudre les systèmes linéaires des quelques dizaines d'équations et d'inconnues. Par ailleurs, beaucoup de logiciels de maths le font (de manière formelle pour des "petits" systèmes, ou numériques avec des milliers d'équations), car c'est un outil de base utile, voire indispensable, pour faire plein plein de choses.

[Dlzlogic]

Alors là je ne sais plus vraiment quoi dire.
J'avoue mon incapacité en matière d'argumentation.
Vu le message suivant : tu sais écrire un programme ?

[leon1789]

Vu le message suivant : tu sais écrire un programme ?

un programme ? en voici un : http://forums.futura-sciences.com/pr...ml#post4444175
A condition de savoir lire un algorithme et ne pas faire perdre du temps aux autres.