Etudier la monotonie d'une suite

[gg0]

Désolé si je te parais agressif,

mais tes réponses dilatoires quand je te fais remarquer que ta preuve s'appuie sur une propriété fausse sont un peu décevantes.
Pour ma part, j'ai proposé à Fsxskillz une méthode, pas géniale, mais qui aboutit.

Cordialement.

NB : Je n'ai pas compris ton message #29
-----

[ansset]

ps : tu as oublié dans ta démo qu'il y a un terme de plus pour n+1 !
quand à ma démo, je la garde pour moi.
pour faire propre, si l'équivalence ne te semble pas suffisante , il suffit de majorer la diff entre 1/rac(1+a) et 1-a/2
par ailleurs la somme des (1/n^(3/2))sigma(1-k/2*n^3) est immédiate à calculer.
( mon mess 29 est une simplification erronée )

[Médiat]

quand à ma démo, je la garde pour moi.

Pas vraiment dans l'esprit d'un forum d'entraide : c'est fsxskillz que vous pénalisez !

[ansset]

oui, j'en convient, mais si c'est pour me faire jeter de manière autoritaire de la sorte, je préfère éviter une querelle stérile.
je precise, même si c'est HS, que sur une autre démo, j'avais proposé une solution beaucoup plus simple qui avait été "écarté" par le même intervenant, qui insistait sur SA méthode avec les accroissements finis !
( tout en reconnaissant à la fin du bout des lèvres qu'il était mieux de revenir à la mienne ).
j'ai passé l'age de jouer à "qui p...e le plus loin" )

[ansset]

bon, pour ne pas donner l'impression de bouder je précise deux choses.
dans la demo de ggo, il convient de la finir en faisant la somme et en tenant compte du terme manquant. ! ( important )

pour la mienne :
l'idée est de simplifier l'écriture en mettant A(n)=/n^(3/2) en facteur soit
A(n)*sigma(f(k)) avec f(k)=1/rac(1+k/n^3)
on peut
soit encadrer f(k)
soit montrer que A(n)sigma( f(k)) n'oscille pas.( idée étrange que semble-t il convient d'éliminer )

si on choisi l'encadrement.
en posant a =k/n^3
1-a/2<f(a)<1-a/2+(3/8)a²

la première somme ( sigma (1-a/2) )vaut
S1(n) =n-1/4n-1/4n^3
la seconde est inferieure à
S2(n)=S1(n)+(3/8)pi²/(6*n^6)
Il est aisé de montrer que
A(n+1)*S2(n+1)<A(n)*S1(n)

[ansset]

en écriture plus simple
S1(n)=n-(n+1)/4n²
S2(n)=S1(n)+(3/8)pi²/(6*n^6)
donc S(n+1)<A(n+1)S2(n+1)<A(n)S1(n) <S(n)

[gg0]

Ansset,

je vois que tu n'as jamais compris ce que je proposais, ni lu le message où je la détaille complétement (message #24). le terme supplémentaire existe bien et il est négatif dans la forme que j'ai proposé. Quant à faire la somme, j'en ai parlé depuis longtemps (dans la première proposition, je ne parlais que du traitement d'une des différences dans le terme à terme.

Quant à l'équivalence, que tu en conviennes ou pas, c'est une erreur de méthode, et il est malsain de la proposer à des questionneurs. Le "théorème" :
"Si u_n et v_n sont des suites équivalentes et si v_n décroît, alors u_n décroît"
es faux tout simplement.
Si tu n'es pas d'accord, rédiges-en une preuve.

Je regarderai ta nouvelle preuve tout à l'heure (là, je suis un peu pressé par le temps).

Cordialement.

NB : " me faire jeter de manière autoritaire " C'est normal quand on insiste sur un argument faux. Si on n'est pas d'accord que c'est faux, on le prouve. Tu t'es contenté de refuser mes arguments sans prouver le théorème implicite que tu utilisais (et qui est faux, en tout cas pour moi). De la rigueur, d'abord de la rigueur.

[ansset]

c'est effectivement faux théoriquement, et je suis désolé de l'avoir présenté comme argument initial.
car pour moi la suite ne peut peut pas osciller, mais je peux le prouver.
reste que dans l'idée, c'est le rapprochement entre les deux suites qui permet de mieux cerner la suite proposée.

quand à ton terme supplémentaire, je ne comprend pas comment il pourrait être négatif. même à la relecture.

ps: c'est peut être une diff entre une approche ingé et une approche professorale.

[ansset]

precision : pris par le temps de réaction.
"quand à ton terme supplémentaire, je ne comprend pas comment il pourrait être négatif "( quand k=n+1).
il y a bien un 1/rac((n+1)^3+n+1) qui s'ajoute à la diff des termes.

[ansset]

j'ai bien tout relu ton idée
tu propose une approche mais sans faire vraiment le calcul de la somme !
simplement en "espérant" que la somme des diff sera inférieure au dernier terme.
et en laissant l'interlocuteur se debrouiller avec ça.
le reste de tes mess est pour "démonter" mon approche.
moi, j'ai fait un calcul,
j'attend le tien sincèrement ! et sans fuir
je suis désolé, pas convaincu du tout.

[topmath]

Bonsoir à tous je rejoint aussi ansset , je suis pas aussi convaincu !! si on suppose que

Ansset,

la suite est équivalente à la suite croissante mais n'est pas croissante.

Cordialement.

ça nous donne géométriquement ce graphe figure.
Or notre suite la est si on considère k=10 ça nous donne géométriquement figure bien entendue pour avoir une idée sur le plans géométrique donc je ne vois aucun rapport entre les deux graphes on attend de plus amples démonstrations encore elle est bien décroissante merci .

Cordialement

[ansset]

j'ai une erreur dans mon écriture.
je reviens tàl et corrige.

[ansset]

c'est le S2 qui est faux.
la somme des k² vaut (n)(n+1)(2n+1)/6 ( maximiser par pi²/6*... était une bétise )
mais la démonstration par l'encadrement de 1/rac(..) reste bonne, et verifiée sur exel , on a bien
S(n+1)<A(n+1)S2(n+1)<A(n)S1(n) <S(n) .

[topmath]

Bonsoir à tous je crois qu'il y' a effectivement un malentendu entre monotonie et convergence d'une suite , car en lisant les message précédent je trouve le terme équivalent car celui ci en l'utilise dans le cas des suites très compliquer a étudier , par contre on est devant un cas élémentaire pourquoi faire compliquer lorsqu’on peut faire facile (suite élémentaire).

Cordialement

[gg0]

j'ai bien tout relu ton idée
tu propose une approche mais sans faire vraiment le calcul de la somme !
simplement en "espérant" que la somme des diff sera inférieure au dernier terme.
et en laissant l'interlocuteur se debrouiller avec ça.
le reste de tes mess est pour "démonter" mon approche.
moi, j'ai fait un calcul,
j'attend le tien sincèrement ! et sans fuir
je suis désolé, pas convaincu du tout.

XXX zen, ou sinon par MP XXX

On dirait que tu es resté sur le premier message (#10) car dans l'exposé complet de la méthode (message #24) il n'y a pas de "en espérant". Tu n'as donc pas "tout relu mon idée" On voit aussi tout de suite que tu n'es pas capable de faire la différence entre une proposition heuristique (# 10, qui reste donc à vérifier) et une démonstration (qu'on peut rédiger avec #24). Dommage !
XXX zen, ou sinon par MP XXX
je vais en écrire les grandes lignes, mais du coup, je ne regarderai pas ta "preuve", je ne vais pas perdre mon temps.
Comme tu ne l'as pas vu, je ne calcule pas pour montrer que c'est négatif, mais dont je vais montrer que c'est positif.

...

Qui donne en majorant les dénominateurs (on remplace chaque terme sous une racine carrée par (n+1)³+n+1) :

tous les termes de la somme sont égaux :



Pour n>4, cette fraction est positive, donc la suite est décroissante à partir de n=5. Un calcul précis des valeurs approchées des 5 premiers termes (de u₁ à u₅) donne dans l'ordre :
0.5000000000, 0.2111111111, 0.1035303777, 0.06016738602, 0.03906726936

Donc la suite est décroissante.

Voilà. J'espérais que Fsxskillz serait capable de suivre ce processus sans qu'on lui écrive le calcul, mais puisque tu y tenais ...

[gg0]

A noter, Ansset,

je n'ai pas "démonté ta méthode", j'ai mis en doute sa justesse, puisqu'elle n'appliquait aucune règle sur les variations. Ce n'est que parce que tu insistais sur sa validité que j'ai dû insister.
Et j'ai développé (message #24) la proposition que je faisais, une fois que je suis passé d'une idée heuristique à la rédaction (pour moi)

Cordialement.

[gg0]

Topmath,

tes "figures" n'ont rien à voir avec les suites !! ce n'est pas parce qu'on tape quelque chose sur wolframAlpha qu'on a un résultat qui a un sens !!!.
Sinon, comme souvent, tu te contentes de dire qu'il faut attendre une démonstration, autrement dit tu n'avais rien à dire.
Je ne suis même pas sûr que tu ais compris pourquoi j'avais évoqué ces deux suites sans rapport avec l'énoncé. Que tu ne sembles pas non plus avoir compris :
"Or notre suite la est " !!!
est bien une suite décroissante, mais ce n'est pas elle qui est en cause !!!

Cordialement.

[ansset]

une traduction mathématique claire du mess 24 serait bienvenue.
rien n'indique que la methode prouve que le delta obtenu compenserait le terme k+1 !
c'est juste une affirmation ou plutôt présenté comme une ...."intuition".
ou ce que tu appelles une démarche heuristique.
mais si celle ci convient au posteur, je ne dis plus rien !

[gg0]

Tu as dû rater la fin de la page 3, Ansset,

j'y ai fait (message 45) ce que tu demandes ... et la compensation est validée pour n au moins égal à 5 (pour celui qui veut voir).
Le message 24 n'était pas une intuition !

Je trouve que tu refuses trop souvent de faire confiance. ça devient pénible !

[ansset]

effectivement, je ne l'ai pas lu en détail XXX zen, ou sinon par MP XXX
désolé mais je préfère encadrer f(k;n)= 1/rac(1+k/n^3)) par un petit DL ou on montre facilement que
f1(k)<f(k)<f2(k)
et ou la somme des f1 et f2(k) est très facile à calculer, et on en deduit rapidement que si on ecrit
S(n)=A(n)sigma(f(k;n))
A(n+1)*sigma(f2(n+1))( maximum de S(n+1))<A(n)*sigma(f1(n)) ( minimum de S(n))et donc que
S(n+1)<S(n) sans un milliard de calculs bourrins
et ça marche dès n=3 / n=2

[ansset]

si tu veux, je te réecris la démo en moins de 5 ou 8 lignes sans formules compliquées prises de tête. ( anti mess 45 )

[gg0]

XXX zen, ou sinon par MP XXX
Ce n'est pas parce que c'est fait sans tes vénérés DL que c'est mauvais. C'est même accessible à un débutant qui veut essayer de faire les calculs.

Je n'avais pas mis en doute tes nouveaux calculs par encadrement, moi, vu que je ne les avais pas regardés. Je ne critique que ce qui est manifestement faux.

Par contre, je viens de regarder (un peu rapidement peut-être), je n'ai pas trouvé que ta preuve soit moins calculatoire que la mienne (sauf à utiliser des propriétés élaborées comme les sommes dont tu donnes la valeur sans expliquer le calcul). Je serais curieux de voir ce qu'elle donne, une fois rédigée pour un étudiant de L1 (allez, je t'accorde qu'il connaît les DL, mais à priori, passer d'un DL à un encadrement nécessite quelques précautions).

Sinon, si tes calculs sont justes (*), tu as proposé une autre preuve.

(*) simple précaution oratoire, puisque je ne les refais pas pour vérifier.

[ansset]

Je n'avais pas mis en doute tes nouveaux calculs par encadrement, moi, vu que je ne les avais pas regardés. Je ne critique que ce qui est manifestement faux.

.

je n'ai pas dit que ton calcul était faux, effectivement j'avais zappé le mess 45, car il y avait beaucoup plus court pour moi.
en revanche c'est toi qui le fait me concernant.
XXX zen, ou sinon par MP XXX

[ansset]

je viens de voir que je peux encore simplifier mon approche ! hihihi !

[invite1f03900d]

Hello world .
Des méthodes beaucoup plus simples qui m'ont été proposé :
1ére :


En simplifiant:




De même au rang suivant:





Or si n > 1

D'où:



Ce qui permet de conclure que dès que n > 1.

Deuxième :
On a :


On fait rentrer la sigma ce qui nous fait



Et à travers la théorie des "gendarmes" on a la limite de Un = 0 et on sait que Un > 0
Donc Un ne peut être que décroissante .

Qu'en pensez vous ?

[ansset]

bonsoir,
je vois mal comment tu passe directement à une conclusion sur la somme !

@ggo:
franchement est ce que écrire:
"si on choisi l'encadrement.
en posant a =k/n^3 et f(a)=1/rac(1+a)
1-a/2<f(a)<1-a/2+(3/8)a² "

est FAUX pour n>1 ?

[ansset]

ce qui permet ensuite de demontrer aisément que
sigma(n)/sigma(n+1) evolue comme rac((n+1)/n)
le reste étant un o(1/n²), voir o(1/n^3)

[ansset]

pour n=5 la diff entre le rapport des sigma et le rapport rac(n+1/n) est de 0,006
pour n=10 la diff est de 0,0006

[topmath]

Bonjour je ne comprend pas pourquoi faire un telle gymnastique pour un simple calcule de monotonie pour une suite élémentaire , ou directement appliquer bêtement la méthode cité dans ce lien puits entamer le calcul Monotonie d'une Suite (1 ier Méthode celle utiliser par gg0 est plus simple ).

Cordialement

[gg0]

XXX zen, ou sinon par MP XXX

En plus de deux interventions récentes où tu ne comprenais pas la question (dont tes premières réponses dans ce fil, ce passage :

@ggo:
franchement est ce que écrire:
"si on choisi l'encadrement.
en posant a =k/n^3 et f(a)=1/rac(1+a)
1-a/2<f(a)<1-a/2+(3/8)a² "

est FAUX pour n>1 ?

montre que tu n'as pas compris de quoi je parlais. Je n'ai contesté qu'une seule chose : ton affirmation qu'un équivalent permettait de conclure immédiatement :

j'arrive à un équivalent de la suite de l'ordre de n^(-1/2)*(1-1/4n²) ( sauf erreur de calcul )
qui est donc décroissante au moins à partir d'un certain rang.
( en pratique, elle l'est depuis le début )

C'est ce donc (que je souligne) que j'ai contesté. Et tu n'es jamais venu dire ensuite qu'il était malvenu. Je n'ai parlé que de ça, et tu sembles ensuite avoir cru que je refusais la preuve que tu as bâtie par encadrement à partir de développements limités.

XXX zen, ou sinon par MP XXX

Si je comprends bien la preuve que propose Fsxskillz, il y a un mélange entre ce que je fais (minoration/majoration directes) et ton procédé (intercaler un terme entre deux de la suite). En utilisant les mêmes propriétés de lycée que ce que je faisais, mais de façon bien plus directe, il arrive rapidement au résultat. On peut même encore simplifier en se contentant de minorer u_n et de majorer uⁿ⁺¹.

XXX zen, ou sinon par MP XXX