primitive fct composées

[invite51d17075]

mais ça va encore plus vite en remarquant u'*u²
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[invite57a1e779]

j'essaye avec un exemple

Avec la méthode classique, je pose : et j'obtiens :



d'où le changement de variable dans l'intégrale:



On obtient facilement la décomposition en éléments simples:



ce qui conduit au calcul de primitive:



et d'autre part :



donc : et finalement:



expression qui a l'avantage de fournir une valeur réelle non ambiguë.

[acx01b]

N'a-t-on aucun problème de détermination du terme ?

oui effectivement dans , est une composée d'un logarithme et il faut choisir une branche.



donc
ou plus explicitement il faut donc choisir un .

si on s'attend à une primitive de d'une fraction rationnelle de sinus/cosinus on choisira le qu'il faut pour qu'elle soit réelle. Dans le cas général la décomposition en éléments simples peut aussi ramener des où le même problème se pose.

Dans mon exemple je ne sais pas je ne vois pas comment la primitive peut-être réelle.

Et a priori avec la méthode de Bioche on a le même genre de soucis ?

Merci au fait pour le message précédent où tu détailles le degré des fonctions rationnelles à intégrer suivant chaque méthode.

[invite51d17075]

il fallait lire bien sur

[invite57a1e779]

Je ne sais pas à qui s’adresse cette remarque

La remarque s'adresse à milcamaths... parce que je ne comprends vraiment pas pourquoi ne pas faire un changement de variable proprement (qui est fourni par les règles de Bioche) en manipulant correctement les éléments différentiels : la méthode par fonction composée est artificielle, sert principalement à faire reconnaître des dérivées usuelles aux débutants en calcul de primitive, débutants qui ne connaissent généralement pas de primitive pour .

[invite51d17075]

Compris, merci.
Il y avait deux discussion en //
Cordialement.

[invite51d17075]

D’ailleurs, tout le monde ne connait pas les astuces « biochiènnes » ( forts utiles )

[acx01b]

D’ailleurs, tout le monde ne connait pas les astuces « biochiènnes » ( forts utiles )

oui je n'avais jamais entendu parler, d'ailleurs à part en licence math ou en prépa ens plus personne ne fait de cours aussi pointus d'intégration je pense (il y a les logiciels d'intégration maintenant !)

[invite57a1e779]

Ce qui est bien dommage, car c'est l'un des premiers exemples de l'utilisation d'invariants pour simplifier un problème en l'attaquant «du bon côté».

[invite51d17075]

oui je n'avais jamais entendu parler, d'ailleurs à part en licence math ou en prépa ens plus personne ne fait de cours aussi pointus d'intégration je pense (il y a les logiciels d'intégration maintenant !)

oullala. tout se perd!

[invite76a6e7f8]

salut God's Breath
je suis en L1 de maths et je n ai jamais vu les règles de biche ...

[invite57a1e779]

Je le sais bien, mais tu as bien dû apprendre à pratiquer un changement de variable dans une intégrale.

[invite76a6e7f8]

Bioche pardon (satané corec automatique)

[invite76a6e7f8]

et ci par exemple j'avais 2t^2/(t^4+1) comment faudrait-il faire ?
je vous remercie

[invite76a6e7f8]

non je vais l'apprendre au prochain cours et sinon au lycée je n ai jamais fait ça.

[invite57a1e779]

Je pense que la fraction rationnelle 2t^2/(t^4+1) conduit à une intégrale elliptique et que ses primitives ne s'expriment pas à l'aide des fonctions usuelles.

[invite76a6e7f8]

je pense qu'il faut faire une décomposition en fraction seulement je ne sais pas comment il faut faire vu que le discriminant du denominateur est négatif, je ne sais donc pas comment faire la factorisation

[invite51d17075]

Si, on retrouve des fct usuelles, à condition de connaitre un peu la solution.
L’idée est d’écrire
et


les termes du haut sont des dérivées de ceux du bas.
mais les calculs ne sont pas finis

[invite57a1e779]

Exact, le dénominateur se factorise :



et, comme par magie : , donc :



et la primivation des fractions subsistantes est immédiates, par exemple :



et un primitive est .

De même, une primitive de est .

En conclusion, une primitive de est .

[invite76a6e7f8]

je ne vois pas en quoi les termes du haut sont des derivés de ceux du bas....car les dervés donnent 2x+1 et 2x-1 non ?
et aussi une autre question :je suis a 100 d ac avec vous pour les égalités seulement comment avez vous fait pour les trouver ?

[invite51d17075]

ben la dérivée de

est


mais je n'ai pas poursuivi!
GB a été au bout astucieusment

[invite57a1e779]

La dérivé de est : .

Ces techniques de calcul sont, ou plutôt étaient, de grands classiques et leur utilisation est un réflexe de même ordre que les identités remarquables ou les formules de trigonométrie.

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous suite à cette réponse :

Je pense que la fraction rationnelle 2t^2/(t^4+1) conduit à une intégrale elliptique et que ses primitives ne s'expriment pas à l'aide des fonctions usuelles.

message 46;

Salut God's Breath , à mon avis cette intégrale s’exprime par des fonctions usuelles (Encore tres juste le calcule que vous avez faite ): voir intégrale de cette fonction .

Amicalement