bonsoir,
S = 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 .... jusqu'à l'infini
je présume que la réponse est connue des mathématiciens, alors ma question est: est-ce que S converge (intuitivement je dirais que oui), et si oui S tend vers quel nombre ?
merci d'avance !
Salut,
Ca diverge, mais très très lentement (en log(log(n)). C'est Euler qui l'a montré le 1er.
µµtt tu es sur que ça diverge? Peut-être que je comprend mal le terme de converger/diverger. Car moi j'aurais dit que ça converge.Ca diverge, mais très très lentement (en log(log(n)). C'est Euler qui l'a montré le 1er.
Oui ça diverge bien (la suite des sommes partielles tend vers + l'infini).
Salut µµtt !!Envoyé par µµtt
Démontrer est un grand mot, il a quand même fait quelque chose d'illicite en intervertissant des limites, mais on lui doit quand même 99% de la démo, et on ne peut pas lui enlever son génie ...
Sinon ca permet de prouver justement l'infinitude des nombres premiers, ce qui est une belle preuve ...
Salut,
Si ce n'était qu'un problème d'interversion de limites...
Les critères de rigueur n'étaient évidemment pas les mêmes au XVIIIème.
Cordialement.
Salut,
Les gars je vous trouve vraiment dur avec Euler ....
Il avait une intuition géniale et inextinguible des mathématiques qu'une rigueur excessive aurait sans aucun doute contrarié. Ca démo sur la somme des inverses des nombres premiers est un vrai petit bijou, et peu importe, pour moi, les raccourcis qu'il a employés.
La rigueur c'est bien, indispensable, mais pas comme fin en soi.
Cette somme est un peu bizzare, car pour moi (sans moyen mathématique de calculer la divergence/convergence) il y a 2 façon de voir la chose :
1) On ajoute une infinité de terme non nul, positif, donc elle diverge vers + l'inifini.
2) Les termes deviennent de plus en plus petit, quasiment nulle pour p très grand, et donc la somme converge vers une valeur finie.
Je suppose que c'est la première interprétation qui est correcte, et que je suis tombé dans le panneau.
On peut avoir une infinité de termes et convergence. Par exemple la somme des inverses des carrés converge :1) On ajoute une infinité de terme non nul, positif, donc elle diverge vers + l'inifini.
Et on peut avoir des termes qui tendent vers 0 et divergence.2) Les termes deviennent de plus en plus petit, quasiment nulle pour p très grand, et donc la somme converge vers une valeur finie.
PS mes sommes sont très moches !!!
Dernière modification par erik ; 19/02/2006 à 12h44.
Salut,
Les deux cas peuvent se présenter :
La somme des 1/n diverge, alors que la somme des 1/n² converge.
Pour qu'une somme de termes positifs converge, il faut qu'ils tendent vers 0 suffisamment vite.
c'est bien pour cela qu'il y a une infinité de nombre premier , donc la valeur ne peut être finie et donc diverge.
Non non non, on est d'accord, comme je l'ai dit ca n'enlève rien à son génieSalut,
Les gars je vous trouve vraiment dur avec Euler ....
Il avait une intuition géniale et inextinguible des mathématiques qu'une rigueur excessive aurait sans aucun doute contrarié. Ca démo sur la somme des inverses des nombres premiers est un vrai petit bijou
Mais cette démo était un peu .... fausse, mais l'idée était géniale, il transformait une somme en un produit etc.
Pour ce qui est du fait qu'une somme infinie diverge ou converge:
Si la suite ne converge pas vers 0, la somme (série) ne converge pas (on dit qu'elle diverge grossièrement)
Si la suite converge vers 0, on ne peut rien dire, comme on vient de le voir.
Je ne vois pas bien comment le formaliser, mais en gros, il faut utiliser Cauchy, qui dit que la suite 1/n^alpha converge pour alpha>1 (si mes souvenirs sont bons !)...
Ici, au mieux, je pense que alpha vaut 1, donc, elle diverge...
Mais ce n'est pas démontré
ne pas confondre suite et série
Mais ici on a justement pas une forme en 1/n^alpha, donc c'est un peu plus compliqué que cela.
On peut trouver une démonstration notamment ici, mais je la trouve moins intéressante que la transformation somme-produit.
Bonjour
il faut d'abord remarquer que la suite des 1/p est équivalente a celle des ln(1+1/(1-1/p)), et que la somme des ln est le ln du produit.
Or 1/(1-1/p) est le terme d'une suite geometrique, la somme des (1/p)^n.
Si Pn est le nième nombre premier alors tout entier v de {2, ..., Pn} admet une decomposition en facteurs premiers P1^r1...Pn^rn.
Pn>v>2^rn => rn<ln(Pn)/ln(r2)
Ainsi on peut minorer le produit (jusqu'a n) des 1/(1-1/Pn) par la somme de v=0 a la partie entiere de ln(Pn)/ln(r2) des 1/v qui diverge.
D'ou la conclusion
Cauchy est un homme, et c'est de Riemann dont tu veux probablement parler.
Ouh là là, pardon messieurs !!
Oui, évidement, c'est Riemann.
Merci pour la démo matthias
Salut,
Attention: il y a une infinité de carrés parfaits pourtant la séries de leurs inverses converge... Le raisonnement ne peut se faire que dans un sens: si il y avait une infinité de nombres premiers, alors la somme de leurs inverses serait finie.
Cordialement.
Je pense qu'il faut lire : si il y avait un nombre fini de nombres premiers, alors la somme de leurs inverses serait finie.si il y avait une infinité de nombres premiers, alors la somme de leurs inverses serait finie.
Oui bien sûr, merci pour la correction.
On peut avoir une infinité de termes et convergence. Par exemple la somme des inverses des carrés converge :
Et on peut avoir des termes qui tendent vers 0 et divergence.
PS mes sommes sont très moches !!!
Bonjour,
Je suis un élève de Terminale S, et je suis plutôt surpris du résultat. Que la somme des 1/k tende vers l'infini ne me pose pas de problème, en revanche que la somme des 1/k² tende vers un nombre fini, ça j'ai plus de mal à l'imaginer...
Est-ce que quelqu'un peut expliquer rapidement pourquoi? Une démonstration peut être ?
Merci.
Pourtant tu n'es pas surpris que la somme des termes d'une suite géométrique de raison strictement inférieure à 1 tende vers une limite finie, non ? (Visualisation facile en prenant une ficelle de longueur 1, en la découpant en 2, puis un des morceaux qui restent en 2, etc).Je suis un élève de Terminale S, et je suis plutôt surpris du résultat. Que la somme des 1/k tende vers l'infini ne me pose pas de problème, en revanche que la somme des 1/k² tende vers un nombre fini, ça j'ai plus de mal à l'imaginer...
C'est l'exemple le plus simple pour montrer qu'une somme infinie de termes strictement positifs peut être finie.
Mais il y en a beaucoup d'autres, comme la somme des 1/k² qui tend vers Pi²/6.
Salut,
je te propose de voir le phénomène sur un exemple plus simple: soit la suite
Tu connais certainement le résultat suivant sur les sommes partielles des suites géométriques:
et donc
Comme tu le vois maintenant cette suite converge vers 2 et on peut donc écrire
La somme comprend une infinité de termes, mais ces termes convergent suffisamment vite vers 0 pour que la somme soit finie, ce qui n'est bien sûr pas toujours le cas.
Cordialement.
PS: exercice: que vaut
Voici une démo assez simple pour montrer que la somme des inverses des carrés converge (pour avoir la valeur de la limite c'est un peu plus compliqué, la démonstration la plus classique utilise les séries de Fourier):
Pour
Or
donc :
d'où:
Donc la somme converge vers une valeur inférieure ou égale à 2.
Merci Matthias et Martini_bird de m'avoir éclairé.
"Pourtant tu n'es pas surpris que la somme des termes d'une suite géométrique de raison strictement inférieure à 1 tende vers une limite finie, non ?"
Effectivement, mais je n'y avais jamais pensé à vrai dire.
Je comprends mieux maintenant ! Même si dans mon esprit j'ai du mal à réaliser qu'en ajoutant des termes à l'infini, même s'ils sont de plus en plus petits, on arrive à quelque chose de fini, mais la preuve mathématique est là!
Pour la ficelle, si on ajoute des bouts, même tout petit, la ficelle elle finit toujours par être plus longue, non ? Bon, il arrive un moment où l'on va ajouter des bouts si petits qu'on aura besoin d'un microscope ... ah ça y est, je commence à comprendre ... mais alors maintenant c'est l'inverse que je ne comprends plus, comment on ajoutant des bouts de plus en plus petit, on peut tendre vers l'infini ?
Réponse au petit exercice :
J'espère que j'ai juste.
Le but de l'exemple avec la ficelle, c'est que les bouts ne proviennent que du découpage de la ficelle initiale, donc la longueur totale est toujours la même. Mais effectivement le découpage devient vite difficile, vive les ficelles mathématiques.
Je n'avais pas réalisé que la somme des termes d'une suite de raison lql<1 pouvait se faire avec une seule ficelle, effectivement là c'est tout de suite plus clair !
Imagine la suite suivante:mais alors maintenant c'est l'inverse que je ne comprends plus, comment on ajoutant des bouts de plus en plus petit, on peut tendre vers l'infini ?
1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 1/3, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, ...
où on fait apparaître successivement n fois le terme 1/n.
La suite tend bien vers 0, mais tu peux voir que la somme de chaque groupe de n termes en 1/n est égale à 1, donc la somme totale va bien tendre vers l'infini.
On peut faire une démonstration rigoureuse du fait que la somme des inverses des entiers naturels tend vers l'infini à peu près de la même manière.
Attention quand-même, l'exemple de la ficelle marche bien pour une raison 1/2, ça marche aussi pour une raison inférieure à 1/2 si tu jettes des petits bouts de ficelle au fur et à mesure, mais pour une raison supérieure à 1/2 ça ne marche plus du tout.
That's ok.Réponse au petit exercice :
J'espère que j'ai juste.
