Démonstration d'une propriété de l'injection

[invitec89110c4]

Bonjour,
Je suis en préparatoire scientifique 1ere année et je n'arrive pas à faire ce petit exercice:

soit f : E → F application
Montrer que: une fonction f : E → F est injective si et seulement si il existe une fonction g : F → E telle que g∘f soit égale à l'application identité sur E ???
que faire ??

Merci pour votre aide.
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[Seirios]

Bonjour,

La même question a été posée ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...urjective.html.

[invitec89110c4]

dsl ,mais je n’ai pas compris votre réponse
est ce que tu peux m'explique plus mieux
merci de votre aide .

[PlaneteF]

Bonjour,

Regarde ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...-identite.html

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Sinon tu peux exposer ici ce que tu arrives à faire, pour que l'on puisse t'aider à partir de là.

Cdt

[invitec89110c4]

merci de votre aide ,
mais j'ai pas compris cette démonstration:
- si y est dans l'image de f(X), alors ... ... g(y) = machin???
- si y n'est pas dans l'image de f(X), alors ... g(y) = ...???
Tout ca pour qu'au final g(f(x)) = x
dsl pour la dérangement
mais est ce que tu peux m'expliquer plus simple

[PlaneteF]

Bonsoir,

Si l'on prend l'énoncé tel qu'il est écrit dans ce fil, on peut considérer la restriction de à l'ensemble d'arrivée , restriction que l'on peut noter . Cette fonction "hérite" de l'injectivité de de manière triviale et elle est surjective par définition même. Ainsi cette fonction est donc bijective et admet une bijection réciproque dont on prend un prolongement à comme définition d'une fonction possible.

Cordialement

[PlaneteF]

Si l'on prend l'énoncé tel qu'il est écrit dans ce fil, on peut considérer la restriction de à l'ensemble d'arrivée , restriction que l'on peut noter .

Remarque : Ne pas confondre avec la restriction d'une fonction à un sous-ensemble de son ensemble de départ, ici c'est l'ensemble d'arrivée que l'on restreint.

Ainsi


Cdt

[PlaneteF]

Remarque de terminologie : Dans ce cas on parle aussi de la corestriction de à

Cdt