Réunion de sous-espaces vectoriels

[invite83249db7]

Bonjour,

Je comprends mal les notions d'intersection et de réunion d'espaces vectoriels.

Je devine un peu pour l'intersection mais la réunion de deux espaces est-elle une somme des deux espaces ?

L'énoncé de l'exercice que je suis en train de faire est : "La réunion ensembliste de deux sous-espaces est-elle un sous-espace ?"

Dans mon cours, il est dit que non mais je ne comprends pas pourquoi. Si V et W sont deux sous-espaces de E, on peut former des combinaisons linéaires à partir de tout vecteur de V et W au sein du sous espace VUW, non ? alors pourquoi n'est-ce pas un sous-espace vectoriel de E ?

Merci d'avance pour vos réponses
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[Médiat]

Bonjour,

L'énoncé de l'exercice que je suis en train de faire est : "La réunion ensembliste de deux sous-espaces est-elle un sous-espace ?"

Dans mon cours, il est dit que non

La bonne réponse est : pas toujours !

Pour montrer que parfois ce n'est pas un sev, il suffit de prendre les sev de IR² engendrés respectivement par (1, 0) et (0, 1), il est clair que la somme de ces deux vecteurs n'est pas dans l'union.

Pour montrer que parfois c'est un sev, il suffit de prendre deux fois le même sev, l'union, c'est lui-même, c'est donc bien un sev.

[invite83249db7]

Je comprends mieux, merci ! Et donc la réunion de deux sous-espaces vectoriels peut toujours être représentée par des combinaisons linéaires des deux sous-espaces ? Je veux dire : à quoi correspondrait la réunion de deux s.e.v. formellement ?

[invite83249db7]

Je viens d'écrire cette réponse, vous parait-elle juste ?

"Prenons un premier exemple : soient A = {(a,0)│a∈R} et B = {(0,b)│ b∈R} deux sous-espaces vectoriels de E.
Pour a=b=1 on a a1 = (1,0) et b1 = (0,1)
On suppose que A∪B est un sous-espace vectoriel.
Donc a1 + b1 = (1,1) ∈ A∪B ce qui est absurde car (1,1)⊄A et (1,1)⊄B
Donc A∪B n’est pas un sous-espace vectoriel.
Prenons un deuxième exemple : soient A = {(a,0)│a∈R} et B = {(b,c)│ b,c∈R} deux sous-espaces vectoriels de E.
α(a,0) + β(b,c) = (αa + βb, βc) ∈ B donc (αa + βb, βc) ∈ A∪B
Donc A∪B est un sous-espace vectoriel.
Donc la réunion ensembliste de deux sous-ensembles peut être (ou ne pas être) un sous-espace."

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour okami21​,

Je crois que tu te prends un peu trop le casque là dessus, ... il existe une propriété connue :

Soient et deux ss-ev d'un ev .

( est un ss-ev de ) ( ou )


Je te laisse le soin de démontrer cette propriété.


Cordialement

[gg0]

Pas mal.

Il manque seulement de dire que E=R².

Et si tu veux aller plus loin, tu peux essayer de prouver que si la réunion de deux sev est un sev, c'est qu' l'un (au moins) est inclus dans l'autre.

Cordialement.

[invite83249db7]

J'avais aussi trouvé cette propriété sur internet mais ne l'ayant pas vue en cours, je préférais ne pas l'utiliser ou l'utiliser indirectement.

Mais je vais quand même essayer de la démontrer, merci à vous deux !

Cordialement.

[PlaneteF]

Mais je vais quand même essayer de la démontrer (...)

Le sens est évident.

Pour le sens , rien de bien méchant, il faut juste être précis dans la rédaction (comme partout en maths on pourrait dire ).

Cdt

[invite83249db7]

Je sais qu'une démonstration d'équivalence se fait généralement dans les deux sens mais ce n'est pas suffisant de dire que :
"F, G sev de E
On note fi les vecteurs de F et gi les vecteurs de G
F∁G ou G∁F ↔ f combinaison linéaire de gi ou g combinaison linéaire de fi
↔ F∪G sev de E" ?

[PlaneteF]

"F, G sev de E
On note fi les vecteurs de F et gi les vecteurs de G
F∁G ou G∁F ↔ f combinaison linéaire de gi ou g combinaison linéaire de fi
↔ F∪G sev de E" ?

... Qu'est-ce que c'est que ce charabia ?! ... Et heureusement que je parlais d' "être précis dans la rédaction"

Et quand je disais "rien de bien méchant", ... il y a quand même quelque chose de consistant à rédiger avec un vrai raisonnement qui tient la route (comme toujours en maths).


Cordialement

[gg0]

Okami21,

tu serais bien en peine de justifier tes équivalences qui sont d'ailleurs parfois sans signification. Par exemple le f qui apparaît à un moment n'existe pas, puisqu'il n'a jamais été défini !! ce que tu as écrit est aux mathématiques ce qu'un sandwich est à la gastronomie.

Sérieusement, de , il est facile de déduire quelque chose de .

Puis, réciproquement, pars de est un sev de E pour voir ce que tu peux en déduire.

Mais évite d'imiter les textes mathématiques dans leur allure seulement. Une preuve est une description précise entièrement appuyée sur les règles, définitions et théorèmes.

Cordialement.

[gg0]

PlaneteF,

la propriété connue dont tu parles n'est pas si connue que ça, et jamais des débutants. Okami21 avait fait quelque chose de correct.

Cordialement.

[invite83249db7]

Je vais garder le raisonnement initial alors.

Dans ma première ligne, j'avais juste tenté de retranscrire mathématiquement une règle de mon cours qui me paraissait adéquate mais bon ...

Je vais passer à d'autres exercices. Merci quand même.

Cordialement.

[PlaneteF]

la propriété connue dont tu parles n'est pas si connue que ça, et jamais des débutants.

Cette propriété en tant que résultat de cours, oui tu as tout à fait raison, ... en fait je disais plutôt cela en tant qu'exercice comme étant un classique.

Cordialement

[PlaneteF]

Je vais passer à d'autres exercices.

Je te le déconseille fortement, car comme je le disais dans mon message précédent, la démonstration de cette propriété est un classique en tant qu'exercice et le type de raisonnement employé doit impérativement être maîtrisé.

Comme dit précédemment le sens est évident.

Pour le sens , on peut raisonner par l'absurde en supposons que et

Donc, traduction : ( etc ...) et ( etc ...)


Cordialement

[invite83249db7]

J'abandonnais car j'ai beaucoup de chapitres à revoir et que je sais que mon examen va être un qcm mais si tu dis que c'est vraiment important pour la compréhension du chapitre, je retente. Note : je n'ai pas trouvé le signe d'inclusion, j'ai donc simplement écris "inclus".

(<=) F inclus G => G∪F = G => G∪F = sev E
G inclus F => G∪F = F => G∪F = sev E
Donc F inclus G ou G inclus F => G∪F = sev E

(=>) On suppose que F non inclus G et G non inclus F
Je pensais décomposer en deux cas : si F∩G = 0 et F∩G ≠ 0.
Mais si F∩G = 0 on a F∪G = F+G non ? Mais F+G est un sev par définition, non ?

Cordialement.

[PlaneteF]

J'abandonnais car j'ai beaucoup de chapitres à revoir et que je sais que mon examen va être un qcm mais si tu dis que c'est vraiment important pour la compréhension du chapitre, je retente.

L'importance dont je parlais était générale, ... elle était sur l'aptitude à rédiger une forme de raisonnement effectivement importante. Maintenant attention, je ne peux en aucune manière préjuger de ce sur quoi tu dois te focaliser précisément pour ton examen !

Je pensais décomposer en deux cas : si F∩G = 0 et F∩G ≠ 0.

Attention à bien mettre et non pas .

Mais si F∩G = 0 on a F∪G = F+G non ?

Mais pas du tout. Reprend l'exemple de , et

On a bien . Par contre , alors que bien évidemment ne vaut pas ; par exemple

Quand tu sors une propriété comme ça, soit c'est parce qu'il s'agit d'un résultat connu ou issu de l'énoncé, soit tu es capable de la justifier, ... mais tu ne peux pas en sortir comme ça de ton chapeau au petit bonheur sous prétexte que cela semble avoir une bonne tronche


Cdt

[invite83249db7]

C'était ce que je demandais au début du forum. J'avais du mal à saisir la différence entre F∪G et F+G du point de vue ensembliste mais je n'avais pas compris que l'addition des deux sous-espaces touchaient juste les vecteurs et non les ensembles.

En reprenant la seconde partie de la démo, ça ferait :
(=>) On suppose que F non inclus G et G non inclus F
Soit vi un vecteur de l'espace F∪G
1er cas :
Si F∩G = {0} alors F∪G = {vi∈F ou vi∈G} (le "ou" est strict, ce n'est pas un ou/et, je ne sais pas comment l'écrire)
On note v1 un vecteur appartenant à F et v2 un vecteur appartenant à G.
Si F∪G était un sous-espace vectoriel alors v1 + v2 ∈ F∪G, ce qui est impossible car F∩G = {0}.
Donc F∪G n'est pas un sous-espace vectoriel.
Ce qui nous donne la contraposée : pour F∩G = {0}, si F∪G est un sous-espace vectoriel alors F inclus G ou G inclus F
2ème cas :
Si F∩G ≠ {0} alors F∪G = {vi∈F ou vi∈G} (le "ou" n'est pas strict, c'est un ou/et)
Je ne sais pas comment montrer que ce n'est pas un sev ....

Merci pour tes réponses et joyeux Noël !

Cordialement.

[gg0]

Bonjour

Si F∪G était un sous-espace vectoriel alors v1 + v2 ∈ F∪G, ce qui est impossible car F∩G = {0}.

Qu'est-ce qui interdit à v1+v2 d'être nul ? par exemple v1=v2=0.
Il manque quelque chose ici, tu te contentes d'opinion quand il faut une preuve (incontestable).

Cordialement.

[invite83249db7]

Bonjour,

v1 ne peut pas être égal à -v2 ou sinon v1 serait une combinaison linéaire de v2 et v2 serait alors compris dans le sev de v1, ce qui est absurde comme les deux sous-espaces sont disjoints.
Est-ce que ce serait suffisant de préciser que les v1 et v2 que je prends sont non nuls et donc de postuler que F et G contiennent d'autres vecteurs que le vecteur nul pour que la démonstration soit juste ?

Cordialement.

[PlaneteF]

J'avais du mal à saisir la différence entre F∪G et F+G du point de vue ensembliste mais je n'avais pas compris que l'addition des deux sous-espaces touchaient juste les vecteurs et non les ensembles.

... Cette phrase est pour le moins énigmatique. La différence du point de vue ensembliste elle est la suivante :

Si F∩G = {0} alors F∪G = {vi∈F ou vi∈G} (le "ou" est strict, ce n'est pas un ou/et, je ne sais pas comment l'écrire)

Surtout pas malheureux ! ... Tu confonds et

Si F∪G était un sous-espace vectoriel

Mais EST un sous-ev de , c'est l'hypothèse dans le sens !!!

Je crois que tu n'as pas du tout compris le fonctionnement de cette démonstration.


Cdt

[PlaneteF]

Je crois que tu n'as pas du tout compris le fonctionnement de cette démonstration.

Donc ... pour te mettre sur les bonnes rails :

Supposons que est un ss-ev de

Par l'absurde, supposons la négation de ce que l'on veut démontrer à savoir : et

Ce qui se traduit par : et


A toi de poursuivre en considérant et arriver à une absurdité.


Cdt

[invite83249db7]

J'ai compris le fonctionnement de la démonstration, ce sont plus des erreurs d'inattention et d'imprécision.

J'avais bien compris l'idée de l'hypothèse même si je l'ai mal transcrite.

Je reprends donc avec tes éléments :
Si F∩G ≠ {0} alors F∪G = {vi∈F ou vi∈G}
F ⊄ G et G ⊄ F => ∃x∈F x∉G et ∃y∈G y∉F
x∈F donc x∈F∪G y∈G donc y∈F∪G
Donc comme F∪G est un sev, par la loi de composition interne, x+y∈F∪G
Donc x+y∈F ou x+y∈G
Si x+y∈F alors y∈F comme la loi additive dans un sev est interne, ce qui contredit l'hypothèse ∃y∈G y∉F.
Si x+y∈G alors x∈G comme la loi additive dans un sev est interne, ce qui contredit l'hypothèse ∃x∈F x∉G.
Donc c'est absurde.
Donc on obtient la contraposée : pour F∩G ≠ {0}, si F∪G est un sous-espace vectoriel alors F inclus G ou G inclus F.

Cordialement.

[PlaneteF]

Si F∩G ≠ {0} alors F∪G = {vi∈F ou vi∈G}

Dans cette démonstration il n'y a pas lieu de considérer

Si x+y∈F alors y∈F comme la loi additive dans un sev est interne, ce qui contredit l'hypothèse ∃y∈G y∉F.

Cette justification n'est pas satisfaisante car on a besoin de plus que le fait que cette loi soit interne, car on doit faire aussi intervenir la notion de symétrique.

Personnellement je le présenterais de la façon suivante : est un ev, et donc , ce qui est absurde !


Même chose pour le 2e cas.

Donc on obtient la contraposée :

Il n'est pas question de contraprosée à proprement parlé dans cette démonstration.

Rappel : La contraposée de est

pour F∩G ≠ {0}, (...)

Même chose que la 1ère remarque.


Cdt

[invite83249db7]

Ok, c'est une bonne idée d'utiliser -x, je n'y avais pas pensé (et j'ai bien pris en compte tes autres remarques).

Merci pour toutes tes explications !

Cordialement.

[Abdellah7]

je crois que j'ai une autre démonstration ,

c'est juste ?

[gg0]

Bonjour.

Comment justifies-tu


Rappel : mais [1,3] n'est pas un sous-ensemble de [0,2], ni de [2,4].

Cordialement.

[Abdellah7]

un petit changement

[gg0]

Ça ne suffira pas, tu démontres alors que F et G ont des éléments en commun, pas que l'un est inclus dans l'autre.
Que signifie F inclus dans G ? (C'est ce que tu dois obtenir).

Fais très attention aux quantificateurs ...

[GBZM]

Bonjour,
Moi je supposerais que n'est pas inclus dans et je chercherais à montrer que est inclus dans (à partir de )