Transformation continue d'une courbe

[Médiat]

J'ai bien l'impression que si, qu'est-ce qui vous fait croire le contraire ?
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[ansset]

J'ai bien l'impression que si, qu'est-ce qui vous fait croire le contraire ?

ben , c'est un arc de cercle anamorphosé en hauteur , non.
en 0 et pi pour tout r non nul, dY/dX =+/- l'inf

[ansset]

dX/dY pardon puisque vous l'avez pris verticalement.

[Médiat]

Pour r=0 la courbe est un segment de droite vertical égal à sa tangente en tous points

[invite57a1e779]

Bonjour

La tangente est initiale est sur le segment de droite puis les tangente aux extrémités de la demi-ellipse sont "brutalement" orthogonales au segment initial, alors que l'énoncé demande que ces tangentes pivotent continûment.

[ansset]

oui, c'est le sens de ma remarque.
ceci dit une formule paramétrée utilisant la trigo peut aboutir à un truc bien moins bourrin que mon truc parti d'un arc de cercle.
mais on va dire : c'est déjà ça , pour le moment.

[geometrodynamics_of_QFT]

La tangente est initiale est sur le segment de droite puis les tangente aux extrémités de la demi-ellipse sont "brutalement" orthogonales au segment initial, alors que l'énoncé demande que ces tangentes pivotent continûment.

Merci oui, c'est exactement cela. Enfin, j'aurais plutôt dit le centre du cercle "brutalement" à une distance finie, alors que les tangentes sont encore infinitésimales (par rapport à l'axe vertical..ou bien q est toujours infinitésimal). C'est précisément cela qui me turlupine, sans faire aucun rapprochement à une réalité physique, même s'il est vrai que la tendance à conceptualiser matériellement la situation est facile. Mais je parle ici purement d'un problème mathématique.

Reprenant l'analogie du mur, s'agit-il ici d'une sorte de projection stéréographique? N'y a-t-il aucun lien avec une géométrie hyperbolique, en lien avec l'image de Escher dans l'exemple que j'avais pris?

ansset, Mediat : merci pour vos contributions, cela m'éclaire également. Vous n'avez pas une idée de la singularité en 0? Dans quels autres domaines s'y retrouve-t-on confronté? que trahit-elle?

Je suis agréablement rassuré en voyant que la solution n'est pas si triviale que ça et qu'elle engrange cette chouette discussion.

[ansset]

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ansset, Mediat : merci pour vos contributions, cela m'éclaire également. Vous n'avez pas une idée de la singularité en 0? Dans quels autres domaines s'y retrouve-t-on confronté? que trahit-elle?
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ma fonction n'est juste pas à priori définie en 0, mais se prolonge naturellement par continuité.
tu peux la tester .
et oui il a plein d'exemple, comme simplement sin(x)/x.
cela ne trahi rien ! que veut dire ce terme. ?
enfin , je pense qu'on peut trouver une solution paramétrée qui ne présente pas pb .

[geometrodynamics_of_QFT]

Pour la projection stéreographique par le pôle nord (par exemple si l'abscisse du centre du cercle correspond au point projeté par une séries de changements de variables),
ce qui changerait est que le "pôle nord" n'est pas un point mais un segment de longueur finie...et redevient un point dès que q>0...

La longueur finie du segment joue-t-elle un rôle dans la singularité en 0?

Par exemple, si on exprime par une expression algébrique la longueur de la courbe, et qu'on essaie de trouver sa valeur à un point donné : La même expression fournira la longueur en q=0 qu'en q>0 ou 0.5. Or, pour q>0 la longueur est proportionelle à Pi, et on sait que celui-ci ne peut être solution d'aucune équation algébrique....
Est-ce que je dévie du problème en introduisant cette réflexion? Est-ce un cul-de-sac d'aller dans cette direction?

Je vous remercie grandement.

[ansset]

je n'ai rien compris.
"Pour la projection stéreographique " , que vient elle faire ici et de quoi s'agit il ?
et son rapport avec le pôle nord, là je suis perdu.

[geometrodynamics_of_QFT]

ma fonction n'est juste pas à priori définie en 0, mais se prolonge naturellement par continuité.
tu peux la tester .
et oui il a plein d'exemple, comme simplement sin(x)/x.
cela ne trahi rien ! que veut dire ce terme. ?

Je voulais dire que cela trahit le passage d'un segment unidimensionnel de longueur rationnelle non-nulle finie, à une courbe (décrivant une surface bidimensionnelle) de longueur transcendante, si je voulais résumer l'évolution de ma pensée jusqu'ici en une phrase.

Il y a justement pour moi un problème de continuité :
serait-il possible de vérifier, au sens de la définition de limite avec les epsilon et les delta infinitésimaux, qu'une fonction f(q) prénant comme paramètre le réel 0<=q<=1, à valeurs dans l'intervalle ]-l'infini, 0] (donc par exemple la position du centre du cercle en fonction de q), est continue en 0?
Est-on certain que dans ce cas-ci, pour n'importe quel epsilon>0, il existe un delta>0 tel que pour tout q, 0<q<delta implique | f(q) - L | < epsilon?
A première vue, ce n'est pas le cas? sin x/x a une limite finie en 0, ce n'est pas le cas ici...?

[geometrodynamics_of_QFT]

je n'ai rien compris.
"Pour la projection stéreographique " , que vient elle faire ici et de quoi s'agit il ?
et son rapport avec le pôle nord, là je suis perdu.

https://www.google.be/search?q=stere...FSjjrAUix4M%3A

[geometrodynamics_of_QFT]

Si en partant d'un point de la sphère et remontant, on arrivait au pôle nord avant que la tangeante ne soit complètement verticale, la surface englobant la projection de tous les points serait une grand cercle de longueur finie, un peu comme le dessin de herschel à l'envers : les distances grandissent quand on s'écarte du centre...

Dans ce cas-ci c'est comme si le "pôle nord" était segment de longueur finie, et que la taille de la sphère variait à mesure de la transformation...(donc la projection du point q sur la position du centre du cercle dont je parlais dans #39, donc un truc lié par exemple au point d'intersection des tangentes au point d'attache avec un axe vertical passant par x=1)

Voyez-vous le lien?

[geometrodynamics_of_QFT]

edit message #43:

(...) avant que la tangeante n'y soit (complètement) horizontale (parallèle au sol sur le dessin du message #42)

[ansset]

ce n'est pas le cas ici...?

si , c'est le cas pour ma fonction, et ce même de manière uniforme sur l'intervalle [-1;+1]
j'en fini pas me demander si vous ne vous posez pas des questions un peu métaphsico_mathématiques plutôt qu'un simple exercice de math.
de fait, le ou les résultats ne semblent guère vous intéresser.
d'en faire un débat général mériterait une question plus précise.

[azizovsky]

physiquement, ce n'est que la projection orthogonale du demi cercle en rotation (0,pi/2) sur z sur le plan (yz).

[geometrodynamics_of_QFT]

Ansett:
J'étais justement entrain de relire vos contributions et de vérifier votre fonction

Je suis occupé à retrouver votre équation en imposant un arc de cercle passant par les 3 points (-1,0), (0, q) et (1, 0) (car j'imagine que vous avez pivoté la situation de 90°)

Sinon, en effet comme vous dites, c'est plutôt creuser et creuser autour de ce problème afin de trouver des liens entre différents domaines, plutôt que d'obtenir une expression analytique d'une courbe...l'exercice n'a aucune application directe, ni de réponse absolue...et je vous remercie pour vos contributions qui permettent d'avancer dans la discussion, et j'espère qu'elles seront encore nombreuses

voyez-vous des liens avec la projection stereographique par le pôle nord, le passage d'une longueur transcendante à une longueur rationnelle, la géométrie hyperbolique, les fractales?
Voyez cette animation d'ensembles de Julia : https://www.youtube.com/watch?v=AzhtlyCc3PA
Tout ceci me semble lié de manière très floue, et je compte et vous remercie d'avance pour vos nombreuses contributions qui ôtent la buée!

[invite57a1e779]

Le cercle passant par les 3 points (-1,0), (0, q) et (1, 0) a pour équation cartésienne :

[Tryss2]

Petite remarque : si la longueur d'une courbe change continument, alors elle passe nécessairement par une infinité de valeurs rationnelles et par une infinité de valeurs transcendantes.

voyez-vous des liens avec la projection stereographique par le pôle nord, le passage d'une longueur transcendante à une longueur rationnelles, la géométrie hyperbolique, les fractales?

Non, non, non et non...

[ansset]

Ansett:
J'étais justement entrain de relire vos contributions et de vérifier votre fonction

suffit de la visualiser avec geoébra ou un autre truc de même genre
@Tryss:
vois pas non plus, en plus on parle de fractales maintenant.......
c'est pour faire des nœuds dans les neurones ?

[Tryss2]

c'est pour faire des nœuds dans les neurones ?

Non, ça ça serrai si il y avait des liens avec la théorie des noeuds

[ansset]

je pensais au départ à un exercice mathématique en s'amusant un peu.
mais si on part dans une discussion brownienne , j'ai perdu d'avance.

[geometrodynamics_of_QFT]

Le cercle passant par les 3 points (-1,0), (0, q) et (1, 0) a pour équation cartésienne :

ansset avait obtenu (q=h)


Comment factorisez-vous y dans l'équation cartésienne pour obtenir une expression pour ?


Moi je bloque dès le début :
En partant de Q(x,y) = Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0, en en imposant les 3 points de passages, comment obtient-on les 3 autres conditions pour déterminer la quadrique?
De là j'aimerais obtenir une expression pour la position du centre de l'arc de cercle en fonction de q...
Je calcule, je calcule...

[geometrodynamics_of_QFT]

je pensais au départ à un exercice mathématique en s'amusant un peu.
mais si on part dans une discussion brownienne , j'ai perdu d'avance.

c'est exactement le but de ce fil.

Tryss2:

Petite remarque : si la longueur d'une courbe change continument, alors elle passe nécessairement par une infinité de valeurs rationnelles et par une infinité de valeurs transcendantes.

En effet, cela est évident. Donc on ne peut pas trouver d'équation dont l'inconnue est la longueur de la courbe...
Donc pas d'équation non plus pour la longueur du segment initial SI l'expression est la même pour toutes les valeurs de q (donc s'il n'y a pas de prolongement analytique si je suis bien...), q=0 y compris donc.
Pas de lien avec la position du centre du cercle passant de -l'infini en q=0 à une valeur finie en q>0? càd le passage entre un segment rectiligne indépendant de pi, à un arc de cercle dont la longueur est une fraction rationelle de pi...

[geometrodynamics_of_QFT]

Si la position du centre du cercle dépend de q (ou h), elle est solution d'une équation, nous sommes d'accord?
Donc par changement de variable, q ne peut pas être transcendant, est-ce correct?

[ansset]

Comment factorisez-vous y dans l'équation cartésienne pour obtenir une expression pour ?
...

je n'ai pas factorisé l'équation, je suis parti de la simple équation de l'arc de cercle en fonction de la position du centre.
la longueur de l'arc doit être facilement calculable par ailleurs.

[geometrodynamics_of_QFT]

c'est exactement le but de ce fil.

(Je voulais dire s'amuser un peu, pas partir dans une discusison brownienne )

[CM63]

Bonjour,

Donc on ne peut pas trouver d'équation dont l'inconnue est la longueur de la courbe...

Si, calculer la longueur des arcs de cercle est faisable.

[geometrodynamics_of_QFT]

je n'ai pas factorisé l'équation, je suis parti de la simple équation de l'arc de cercle en fonction de la position du centre.
la longueur de l'arc doit être facilement calculable par ailleurs.

Si vous trouvez une expression pour la longueur de l'arc en fonction de q, vous prouvez que Pi n'est pas transcendant. Est-ce que je me trompe en disant cela? (puisque la longueur vaut Pi en q=1)

CM63 : où se situe mon erreur de raisonnement svp?

[ansset]

c'est exactement le but de ce fil.
...

dans ce cas, il serait utile de savoir dans quelle direction !
je ne vois pas, pas exemple, ce que viennent faire les fractales la dedans !