Si M est un point du cercle, la droite (BM) coupe la droite (FF') au point M' de coordonnées (0,t).
La droite (BM'), a pour équation : q'y+tx=q't, c'est-à-dire : y-qtx=t.
On détermine M comme intersection de cette droite et du cercle : on obtient une équation du second degré qui fournit les deux points d'intersection, mais comme on connaît une des solutions, le point B, l'autre, le point M, est facile à obtenir.
je comprend en gros l'idée, mais tu mentionnes des B,F,F', ..etc
sans les définir, donc cela reste flou.
ps : ne t'embête pas pour moi.
Cdt.
@ansset : merci pour les vérifications et confirmation!
@souffle divin : merci pour la paramétrisation, j'avais un peu du mal aussi!
J'aimerais discuter d'un dernier point relatif à ce problème...
concernant le lien éventuel avec une projection stéréographique.
J'ai réfléchi tout à l'heure, et il existe tout de même un certain nombre de poitns communs:
j'ai rprésenté les deux transformations sur le schéma ci-dessous:
J'ai aussi calculé que la distantceà laquelle se trouve:
-l'abscisse du point P' pour la projection stéréographique (T1)
-l'ordonnée du centre du cercle pour la projection particulière dont on parle (T2)
est, à un facteur 2 près :
Jusque là, tout est bon?
Une chose diffère cependant :
lorsque
à quoi correspond le point P dans la transformtion T2???
Pour moi, le point P est à la lattitute f(theta), et les points F et F' représentent 2 points à la lattitude theta aussi, mais sur un cercle de plus en plus grand!
Il y a donc un problème pour la comportement asymptotique pour T2...non?
Je vous remercie!
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 14h06.
cfr son dessin page 8.Envoyé par ansset
Plus précisément, la figure est dans ce message.
c'est normal qu'il y' un lien avec la projection stéréographique quelque part d'après
il a dit bcp, involution, application homographique, faisceau elliptique ..., j'ai tapé la moitié d'un livre....et aussi dans [-1,1]
L'équation du cercle est de la forme :
Je ne comprends pas du tout ce que vous voulez dire????c'est normal qu'il y' un lien avec la projection stéréographique quelque part d'après
il a dit bcp, involution, application homographique, faisceau elliptique ..., j'ai tapé la moitié d'un livre....et aussi dans [-1,1]
God's Breath please help me!
Quid de mes questions du commentaire #163? Suis-je sur une bonne voie? (Je pars dans l'inconnu)
surtout : à quoi correspond le point P de la transformation T1, dans la transformation T2, si on fait correspondre P' et C?
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 16h01.
Le point P (dans T1) décrit un arc de cercle avec le point D dont la longueur varie de Pi à 0, tandis que le point A (dans T2) varie entre (0,1) et (0,0), mais que les points F et F' décrivent un arc de cercle dont la longueur varie de Pi à 2! Pourquoi un arc de cercle infinitésimal aurait une longueur de 2?? Un ajustement fin d'infinis qu'on soustrait? (rayon-centre)
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 16h09.
J'ai repris la figure en mettant les deux situations en parallèle.
L'analogue du point P est immédiat.
Le facteur 2 vient de ce que les projections stéréographiques sont faites en utilisant des cercles de rayons 1 et 2...
nJ'ai refait un petit dessin concernant la projection stéréographique :
là on voit mieux l'analogie avec la transformation T2 dont il est principalement question dans ce fil..enfin l'émergence de ce
DP'' a une longueur de 2 partout, tandis que l'arc DP passe de Pi à 0....
Au fait, il y a un nom pour la projection P --> P'' ???
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 16h47.
@God Breath : nous nous sommes croisés..je n'ai toujours pas pu voir votre dessin.
Merci pour vos réponses!
Hormis les quelques points encore en suspend, j'ai l'impression qu'on pourrait resserer la discusion autour de ceci :
quel est le lieu des centres des arcs de cercles passant par D et P'', au fil de l'évolution de
Et s'agit-il vraiment de cercles? (ce ne sont pas des splines en tout cas lol, j'en ai fait l'expérience)
Si oui, on se retrouve à devoir refaire le même problème! fractal? lol
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 17h32.
le lieu des points est
Mais le problème, est que
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 17h45.
God's Breath, votre pièce jointe est non-valide, pourriez-vous la ré-uploader svp?
Voyez-vous les miennes?
Merci!
En gros, il faudrait une fonction L (qui représente la longueur des arcs (-en-ciel)) qui prend continûment des valeurs allant de pi à 2, pendant que sa variable theta (ou x) évolue de 0 à pi/2...
L(x=0)=pi
L(x=pi/2)=2
Est-ce envisageable?
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 18h53.
J'ai l'impression de tourner en cercle
Je viens de voir votre image God's Breath.
On est bien d'accord que le jour où le segment F'C tend vers 0 comme dans la projection stéréographique, ce jour-là, F'C est parallèle à OC!
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 19h00.
Puisque la tangente en ce point est horizontale...On est bien d'accord que le jour où le segment F'C tend vers 0 comme dans la projection stéréographique, ce jour-là, F'C est parallèle à OC!
God's breath :
Dans votre dessin, l'arc F'P a une longueur au départ de pi/2, alors que dans la projection stéréographique, l'arc F'P a une longueur de pi (cercle unité). Ceci vient de la contrainte que les deux points F et F' sont séparés d'une distance 2.
Comment concilier cela avec une projection stéréographique "canonique", càd depuis un pôle nord de cercle unité?
C'est très intéressant de superposer nos deux dessins, car les cercles (arc-en-ciels) ne correspondent pas avec les arcs de cercles entre F et F'...et j'entrevois déjà des points d'attraction dans l'itération du processus :-p
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 19h26.
Utiliser une homothétie de rapport 2, ou encore décider que les deux situations n'utilisent pas le même étalon de longueur.
De rapport 2? Si on choisit que F et F' sont séparés de 2, la projection stéréographique est issue d'un cercle de rayon 1/2.
Tandis que si on impose un cercle de rayon 1 pour la projection stéréographique, les points F et F' sont séparésde 4.
Je veux bien tout dillater par un rapport de 2, mais on ne sera pas avancé...Voyez-vous ce que je veux dire?
Non, parce que je n'ai rien compris à cette histoire de projection stéréographique.
un petit dessin est toujours plus explicite:
Quelle est l'expression du lieu formé par les centres des petits arcs de cercles de droite?
On voit qu'au point P, ce cercle n'a pas d'autre commune mesure sur le schéma...
Si on prend votre axe OC comme axe des abscisses avec O comme origine:
On voit bien que ce lieu part du point (0,1/2), et fuit vers -l'infini avec comme asymptote l'axe x=1 (puisque le segment F'P'' tend vers 2)
Or, ce lieu est donc décrit par une tangente. Toujours dans le même repère:
L(x,y) :
Mais alors, l'asymptote est en pi/2 et non plus en 1!
Comment faire?????
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 20h33.
Est-ce que le lieu du milieu du segment F'P'' décrit un arc de cercle?
Oui puisque c'est l'image de P'' par l'homothétie de centre F' et de rapport 1/2.
Mais il est clair que
– les cercles qui interviennent dans la projection stéréographique sont ceux que j'ai tracé en plein sur ma dernière figure ;
– les cercles qui interviennent dans le problème d'origine de ce fil sont ceux que j'ai tracé en tireté sur ma dernière figure ;
– il n'y a aucun rapport entre les deux catégories de cercles.
Ok, c'est évident merci.Oui puisque c'est l'image de P'' par l'homothétie de centre F' et de rapport 1/2.
Mais s'il vous plait, voyez-vous le lieu des centres de cercles (ceux coloriés à droite, les petits)? il commence au milieu de OF', parcourt un toboggan tangentiel pendant que l'axe jumeau du problème (le petit) remonte avec theta pour terminer à l'horizontale. Le voyez-vous?
Comment exprimer ce lieu? afin qu'il possède l'asymptote en x=1?
Please!
Les seuls cercles en couleurs sont :
– l'arc FF' en rouge, à gauche du segment [FF'], de centre O ;
– l'arc FAF' en orange, toujours à gauche de [FF'], de centre C qui décrit une demi-droite ;
– l'arc FPO en rouge, à droite de [FF'], de centre le milieu de [FO] ;
– l'arc FP'' en orange, à droite de [FF'], dont je ne connais pas la définition, ce qui m'empêche d'en déterminer le centre.
Merci!!
Et quel plaisir de lire la dernière ligne :-p
l'arc F'P'' (et non FP''?) en orange à droite, est le petit frère jumeau de l'arc FAF'!
Ils sont liés par une réflexion p/r x, une "homotéthie" qui réduit sa taille d'un facteur 2, ET le fait que son segment de "corde de soutien" F'P'' (l'analogue du segment FF') pivote de 90° durant la transformation (FF' reste quant à lui fixe)
Le lieu, c'est donc
Et il faut déterminer cette fonction
