Transformation continue d'une courbe

[ansset]

JOLI pour L,
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[geometrodynamics_of_QFT]

Oui joli! et asset aussi
Mais donc tout est résolu alors? pas de singularité? Lim (q-->0) [(2/q).atan q ] = 2 et c'est réglé?

[ansset]

c'est dans tous les cas , pour la fonction ou la longueur un prolongement par continuité en q=0
car atan(q)/q revient à un 0/0 tout comme le serait un sin(x)/x , mais ce prolongement vaut 1 dans les deux cas.

heuu et le résulat est bien 2 , pas 1 , quand même !
tu as réedité en cours

[invite57a1e779]

Une représentation paramétrique serait certainement bienvenue.

Voici une représentation paramétrique rationnelle de l'arc de cercle :


Cette représentation est de classe en tant que fonction des deux variables dans , donc la déformation est on ne peut plus régulière, sans singularité.

[ansset]

ben voilà,
toi tu ne lâches pas l'affaire ....
super.

[geometrodynamics_of_QFT]

Voilà qui est intéressant!

Pensez-vous qu'il serait possible de modifier légèrement cette visualisation:
http://www.openprocessing.org/sketch/312201

de manière à ajouter la position verticale du curseur qui parcours l'espace du paramètre t...
ça pourrait être intéressant non?

[geometrodynamics_of_QFT]

c'est dans tous les cas , pour la fonction ou la longueur un prolongement par continuité en q=0
car atan(q)/q revient à un 0/0 tout comme le serait un sin(x)/x , mais ce prolongement vaut 1 dans les deux cas.

heuu et le résulat est bien 2 , pas 1 , quand même !
tu as réedité en cours

ok je vous suis...donc tout est en ordre de ce point de vue-là.

Ok

[geometrodynamics_of_QFT]

Le gars qui a fait le code (quelqu'un qui m'a répondu sur Reddit) a aussi envoyé ces 2 photos :
http://imgur.com/a/fVoVK

Pour ceux qui seraient intéressés :
https://www.reddit.com/r/askmath/com...urve_analytic/

[ansset]

il semble que c'est surtout toi que cela amuse beaucoup.
si c'est le cas, tu peux faire un autre programme avec les dernières équations de God Breath si l'envie te prend.

[geometrodynamics_of_QFT]

Voilà voilà!
Je viens d'encoder la paramétrisation de God's breath en modifiant le code de départ, ça donne ça :
http://www.openprocessing.org/sketch/312949/create#

(il y avait 2 lignes à modifier)

reste à faire la même chose pour la longueur de l'arc en fonction de q...je m'y attèle

[geometrodynamics_of_QFT]

edit : le lien qui fonctionne pour la visualitation : http://www.openprocessing.org/sketch/312950

[CM63]

Ah c'est bizarre, tout-à-l'heure j'ai pu voir la courbe sans me connecter (la demi-ellipse) alors que maintenant ça me demande de me connecter

[geometrodynamics_of_QFT]

Ah c'est bizarre, tout-à-l'heure j'ai pu voir la courbe sans me connecter (la demi-ellipse) alors que maintenant ça me demande de me connecter

http://www.openprocessing.org/sketch/312951

ça devrait être bon là non?

[azizovsky]

la représentation paramétrique m'a rappelé ceci : https://www.youtube.com/watch?v=iDyU9Y4zJzY

[geometrodynamics_of_QFT]

Il reste quelque chose que je ne comprends pas au niveau de la continuité :

Par quel raisonnement peut-on se rapprocher arbitrairement près de l'axe vertical (donc q arbitrairement petit) et toujours obtenir un arc de cercle, alors que 2 points de celui-ci sont fixés à une distance de 2?
(Je veux dire...c'est différent que si on arrivait à un segment de longueur nulle ici)

On imagine bien que si on zoome très près, à un moment donné la courbe devra se déformer d'un arc de cercle..car les 2 points d'attache doivent bien aussi se rapprocher à un moment donné si on veut continuer à zoomer sur la tangente du cercle au point (q,0)...Or les points d'attache sont fixes et à 2 unités l'un de l'autre!

Cela ne brise-t-il pas l'invariance d'échelle?

[geometrodynamics_of_QFT]

En bref :
Dans ce cas-là il n'y aurait pas de problème de continuité selon moi : http://www.openprocessing.org/sketch/312955
mais là il me semble que oui : http://www.openprocessing.org/sketch/312951

Et en effet comme dit plus haut, cela me fait penser à une projection stéréographique par le pôle nord, sauf que le pôle nord (ici en 2D avec un point du cercle) est un segment de longeur 2...
Car au cours de la transformation, chacun des points d'attache simule un déplacement sur le cercle en se rapprochant du "sommet" en (q=0,0)

Et ce "sommet" n'est pas un point! (comme dans 312955) mais un segment! (312951), ce qui est contraire au propriété d'un cercle...
problème toujours ouvert donc?

[geometrodynamics_of_QFT]

Re-bonsoir,

j'ai recalculé l'équation du cercle à ma façon de cette manière :

a) équation générale d'un cercle décentré avec 3 inconnues : A, B, et R :


b) 3 points de passage donc 3 contraintes pour déterminer A, B et R :




c) ce qui donne





donc



Et, spéciale pour ansset :



J'ai fait une faute?

[CM63]

Oui et après simplification tu dois trouver ce que j'avais trouvé:

avec une inversion entre x et y peut-être : , non je me suis trompé , tu as raison j'avais oublié un teme

[CM63]

Je reprends ta formule :



Cela donne :

[geometrodynamics_of_QFT]

Cela donne :

THAT'S WHAT I'M TALKING ABOUT!


quelle belle équation...ça ne peut être que ça ^^
Y'a du nouveau non?

[CM63]

Non ça a l'air bon, et pour la longueur de l'arc?

[geometrodynamics_of_QFT]

Non ça a l'air bon, et pour la longueur de l'arc?

C'est maintenant qu'on va rire :-p

[geometrodynamics_of_QFT]

Ok donc deux formulations utiles :

a) en terme de q :

b) en terme de k :

où

Cette seconde formulation aide à visualiser clairement où se déplace le centre du cercle et comment varie son rayon, connaissant le comportement asymptotique de la quantité K(q).

[CM63]

Ça doit être assez simple avec un arccos, bon je vais mettre mes neurones en batch processing bonne nuit.

[geometrodynamics_of_QFT]

Voilà à quoi ressemble la fonction K(q)=0.5(q-1/q) si jamais :
http://www.openprocessing.org/sketch/312965

Bonne nuit!

[ansset]

Et, spéciale pour ansset :



J'ai fait une faute?

je n'ai pas regardé en détail mais
pour tout q tu as
fq(0)=1, ce qui pose un problème.

[ansset]

désolé,
on a pas les mêmes x et f(x)
j'ai écrit avec les x en horizontal ds [-1;1] et f(x) la hauteur de la courbe.
ton ecriture et calcul semble être suivant le graphique initial.
avec un x variant entre 0 et q.
dans ce cas tu dois avoir deux valeurs pour y (par symétrie ), et donc écrire.
fq(x)=+/- ta racine
et en prenant au carré et en inversant, je suis sur qu'on retrouve une formulation équivalente.

ps : j'ai procédé exactement comme toi , mais avec des axes différents.

[ansset]

verification faite:
c'est la même formule en changeant les coords x et y
mais tu dois mettre un +/- dans la tienne, sinon tu n'as que la moitié de ton arc de cercle.

[ansset]

j'ajoute qu'elle pose un réel pb en x=0 ( avec tes coords )
car on obtient simplement f(x)=1
et même en ajoutant un +/- on aurait que les deux extrémités du segment de droite attendu.
elle ne fonctionne que si q>0.
c'est pour éviter ce "piège" que je l'ai prise horizontalement.

[ansset]

a God Breath :
comment as tu trouvé cette forme paramétrée.?
( je ne l'ai pas vérifié, mais je te fais évidemment confiance )
Cdt