Transformation continue d'une courbe

[ansset]

Si vous trouvez une expression pour la longueur de l'arc, vous prouvez que Pi n'est pas transcendant. Est-ce que je me trompe en disant cela? (puisque la longueur vaut Pi en q=1)

oui, vous vous trompez, car l'intégrale ramène à de la trigo justement.
dois je la faire moi même ?
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[geometrodynamics_of_QFT]

oui, vous vous trompez, car l'intégrale ramène à de la trigo justement.
dois je la faire moi même ?

Pourrions-nous nous fixer l'objectif d'obtenir une expression de la longueur de l'arc en fonction de q?

Avec comme conditions limites donc :
L(q=0) = 2 et L(q=1)=pi.

Ce serait extrêmement gentil de votre part de me rafraîchir la mémoire sur le calcul de longueur de courbes paramétrées, je vous en serai bien gré!

[CM63]

Bonjour,

Si vous trouvez une expression pour la longueur de l'arc en fonction de q, vous prouvez que Pi n'est pas transcendant. Est-ce que je me trompe en disant cela?

Oui.

Je ne comprends pas pourquoi vous vous posez des questions sur le caractère transcendant ou non de vos paramètres.

[CM63]

Pourrions-nous nous fixer l'objectif d'obtenir une expression de la longueur de l'arc en fonction de q?

Avec comme conditions limites donc :
L(q=0) = 2 et L(q=1)=pi.

Ok, mais pour cela il n'est nul besoin de savoir si cette longueur est transcendante ou pas.

[ansset]

edit : inutile.

[CM63]

Je refais les calculs car je ne comprends pas le rôle du paramètre h dans l'expression de Ansset.

[geometrodynamics_of_QFT]

Je ne comprends pas pourquoi vous vous posez des questions sur le caractère transcendant ou non de vos paramètres.

Cela remonte je crois déjà au-delà du message #41:

Est-on certain que dans ce cas-ci, pour n'importe quel epsilon>0, il existe un delta>0 tel que pour tout q, 0<q<delta implique | f(q) - L | < epsilon?
A première vue, ce n'est pas le cas? sin x/x a une limite finie en 0, ce n'est pas le cas ici...?

La vérification de l'hypothèse de continuité (l'angle des tangeantes faisant un quart de tour au cours de la tranformation par exemple) autour du point q=0 n'implique-t-elle pas que, d'une manière ou d'une autre, q ne puisse et doive prendre que des valeurs rationnelles?
De manière à ce que la longueur de l'arc de cercle soit "rationellement" proportionnelle à pi (son centre dépendant de q), de manière à ce que cette longueur de noit pas "doublement transcendentale" (si cette notion puisse avoir un sens)
Je ne suis pas du tout spécialiste, je ne sais pas si ce type de raisonnement est "mainstream" ou trop "borderline"...

J'essaie juste de comprendre les différentes conséquences de la singularité en q=0...

[CM63]

La vérification de l'hypothèse de continuité (l'angle des tangeantes faisant un quart de tour au cours de la tranformation par exemple) autour du point q=0 n'implique-t-elle pas que, d'une manière ou d'une autre, q ne puisse et doive prendre que des valeurs rationnelles?

Pas du tout.

De manière à ce que la longueur de l'arc de cercle soit "rationellement" proportionnelle à pi (son centre dépendant de q), de manière à ce que cette longueur de noit pas "doublement transcendentale" (si cette notion puisse avoir un sens)

Ben non, elle n'en a pas. Encore une fois cette question ne présente aucun intérêt. Le fait que l'on passe de valeurs d'un type à l'autre (parmi algébriques, rationnelles ou transcendantes) au cours de la variation résulte d'une propriété de R et de Q (Q est dense dans R) et n'a aucune conséquence sur les propriétés des fonctions, que ce soit la continuité ou autre chose.

Je pense qu'il faut trouver une expression de l'arc de cercle en fonction de x variant de 0 (segment vertical) à 1 (demi-arc de cercle), c'est en fait votre paramètre q. C'est en fait la distance entre l'axe des y et la partie la plus à droite de l'arc de cercle. De cette façon, on aura au moins supprimé la valeur infinie pour x. Je regarde.

[geometrodynamics_of_QFT]

Si je pose que le centre du cercle est en y=R(q)<0,
pourrais-je arriver à l'expression en partant de

x² + ( y-R(q) )² = |R(q)| + q ?

(|R(q)| + q) étant le rayon

[invite57a1e779]

Je redonne l'équation du cercle (segment initial vertical) :

[CM63]

Vous avez remis la figure à l'horizontale? Dans ce cas, je suppose que ce serait :


Car R(q) est le rayon du cercle non?

[geometrodynamics_of_QFT]

Je redonne l'équation du cercle (segment initial vertical) :

La longueur de cette courbe tend-elle vers 2 lorsque q tend vers 0?
De plus, quand q tend vers 0, le centre du cercle devrait être à -l'infini non? où cela se reflète-t-il dans l'expression?

[invite57a1e779]

On n'utilise pas toute la courbe, seulement ce qui est compris entre les points (0,-1) et (0,1).

[CM63]

Non, je me suis trompé, R(q) est l'abscisse du rayon, donc ce serait :

ce qui fait bien , vous aviez raison, mais laissons l'expression sans la valeur absolue. On sait que q est positif et que R est négatif.

[geometrodynamics_of_QFT]

Vous avez remis la figure à l'horizontale? Dans ce cas, je suppose que ce serait :


Car R(q) est le rayon du cercle non?

Oui, je l'ai remise à l'horizontale comme vous, c'est plus simple en effet!
Non, j'ai défini R(q) comme la position du centre du cercle. dans ce cas, le rayon est -R(q)+q non?
Mais l'inverse est faisable,mais si R(q) est le rayon, alors ce sera (y - [R(q)-q] )² dans le membre de gauche non?

[ansset]

Je refais les calculs car je ne comprends pas le rôle du paramètre h dans l'expression de Ansset.

j'ai appelé h la hauteur de la courbe ( en la plaçant à l'horizontale ) donc variant de 0 à 1
0 pour la droite, et 1 pour le demi-cercle.
chaque fonction étant un morceau d'arc de cercle passant par les points (-1,0), (0,h ) et (1,0)

[CM63]

Zut comment on fait les fractions n,e tex???

[geometrodynamics_of_QFT]

On n'utilise pas toute la courbe, seulement ce qui est compris entre les points (0,-1) et (0,1).

tout à fait, mais qu'il faut sous-tendre depuis le centre du cercle, dont il faut donc l'expression pour calculer la longueur de l'arc!

[ansset]

Non, je me suis trompé, R(q) est l'abscisse du rayon, donc ce serait :

ce qui fait bien , vous aviez raison, mais laissons l'expression sans la valeur absolue. On sait que q est positif et que R est négatif.

non c'est faux
c'est ( avec le bon vieux Pythagore )
x²+(y-(R-q))²=R²
si ton q correspond à mon h .

[geometrodynamics_of_QFT]

Zut comment on fait les fractions n,e tex???

mais voilà, on en revient au problème du message #8 : quelque chose doit certainement empêcher l'arbitraire dans ce choix de R(q)?
pourquoi R=1/q et pas R=1/q² ou R=1/q³?

[geometrodynamics_of_QFT]

non c'est faux
c'est ( avec le bon vieux Pythagore )
x²+(y-(R-q))²=R²
si ton q correspond à mon h .

message #75:

Non, j'ai défini R(q) comme la position du centre du cercle. dans ce cas, le rayon est -R(q)+q non?
Mais l'inverse est faisable,mais si R(q) est le rayon, alors ce sera (y - [R(q)-q] )² dans le membre de gauche non?

[CM63]

On doit pouvoir trouver une relation entre q et R(q): dans le triangle (0,R(q)) (-1,0) (0,q) on peut écrire :

, non?, c'est-à-dire : , ok?

[geometrodynamics_of_QFT]

-Si on pose que le centre du cercle est en y=R(q)<0 :
x² + ( y-R(q) )² = ( |R(q)| + q )²

-Si en revanche on pose que R(q) est le rayon du cercle >0 :
x² + ( y-[R(q)-q] )² = R(q)²

Tout le monde est d'accord là?

[CM63]

En fait c'est plutôt :

, (rappel : R(q) n'est pas le rayon (mauvais choix de symbole) mais l'ordonnée du centre et est négatif).

Oui c'est ça ^^ mais je prends plutôt la première convention, R(q) est l'ordonnée du centre. Donc je vais remplacer R(q) par sa valeur dans l'équation.

[ansset]

je ne vous comprend plus , que veut dire q ?
oubliez mon mess 79, je n'ai pas eu le temps de le corriger

[CM63]

Je remplace R(q) par sa valeur:

ok? (j'avais oublié le carré du second membre, et il vaut mieux ne pas mettre de valeur absolue).

[geometrodynamics_of_QFT]

On doit pouvoir trouver une relation entre q et R(q): dans le triangle (0,R(q)) (-1,0) (0,q) on peut écrire :

, non?, c'est-à-dire : , ok?

attendez attendez pas si vite lol...

Appelons C le centre de coordonnées (0, R(q)) (selon la première convention pour R(q))
A, le point d'attache en (-1, 0) (et B l'autre en (1,0) si besoin)
Q, le sommet en (0, q)
et O l'origine (0,0)

Donc c'est bien un triangle isocèle de base AQ dont vous parlez? et de longueur de côté |R(q)|+q.
Je vois le triangle rectangle AOQ, mais d'où tirez-vous q/1 = 1/R(q)?

[CM63]

attendez attendez pas si vite lol...

Appelons C le centre de coordonnées (0, R(q)) (selon la première convention pour R(q))
A, le point d'attache en (-1, 0) (et B l'autre en (1,0) si besoin)
Q, le sommet en (0, q)
et O le centre (0,0)

Donc c'est bien un triangle isocèle de base AQ dont vous parlez? et de longueur de côté |R(q)|+q.
Je vois le triangle rectangle AOQ, mais d'où tirez-vous q/1 = 1/R(q)?

En fait c'est R(q)=-1/q j'avais oublié le signe. Je tire cela du fait que les triangles AOQ et AO(0,R(q)) sont semblables. Et ces triangles sont rectangles, et j'écris des relations de proportionnalité entre leurs cotés de l'angle droit.

[geometrodynamics_of_QFT]

je ne vous comprend plus , que veut dire q ?
oubliez mon mess 79, je n'ai pas eu le temps de le corriger

le q est analogue à votre h, c'est juste un autre symbole.
Dans le dessin du tout début, c'est le paramètre variant de 0 à 1 et qui caractérise l'état d'avancement de la transformation...

[ansset]

mais c'est faux, enfin...
d'où sort cela ?
si q est la hauteur que j'ai appelé h
alors la distance ( vers le bas ) du centre vaut (1-q²)/2q
et le rayon total vaut q+(1-q²)/2q soit (1+q²)/2q !!!