Le merveilleux nombre 26 [théorie des nombres]

[invitec314d025]

On dit aussi "factorial ring" (merci Bourbaki):
http://eom.springer.de/F/f038090.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Unique_...ization_domain
-----

[invite4793db90]

A ce propos, est-ce possible que la modération supprime le fichier que j'ai déjà posté, afin de le remplacer par le fichier corrigé ?

Euh, je crois que c'est au-delà de mes pouvoirs. Faudrait voir avec Coincoin ou deep_turtle qui, eux, ont des super-pouvoirs...

Cordialement.

[invite4793db90]

On dit aussi "factorial ring" (merci Bourbaki):
http://eom.springer.de/F/f038090.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Unique_...ization_domain

Oki merci.

N'empêche que je n'ai jamais rencontré cette expression dans un ouvrage ou sur un site anglophone.

Cordialement.

[invite9c9b9968]

Coucou, le bon est dans ce message

[invited927d23c]

Je viens de lire le PDF en entier pour essayer de comprendre la démonstration. Et j'ai deux questions (surement bêtes) :

- Que représente ^
- Je connais un peu la théorie de groupes (anneau,...), mais j'ai du mal à comprendre comment on fait pour ce placer dans tel ou tel anneau pour résoudre une équation. On considère l'équation dans des anneaux aux propriétés intéressant à sa résolution je suppose. Mais comment l'équation se comporte-t-elle lorsqu'on passe de N² dans Z[...] (par exemple)?

[invite4793db90]

Salut,

l'idée générale est de résoudre l'équation dans un ensemble plus grand que , à savoir , qui possède des propriétés de factorisation intéressantes pour le problème (ramification de nombres premiers) et facilite ainsi la résolution. Une fois qu'on a les solutions dans cet ensemble plus gros, on revient à .

En espérant t'avoir éclairé un peu.

[invite9c9b9968]

Hep, plutôt

Sinon, le symbole ^ représente le pgcd :

[invited927d23c]

Merci pour l'explication, je vois un peu mieux. Je crois avoir assez bien compris le principe, et jusqu'à la fin de la page 2 je comprend bien la démonstration. Mais à partir de la page 3 je comprend plus ( "Let's take ...") ce qu'on fait.

Et puis je suis encore intriguer de la manière dont on considère y³-x²=2 dans Z/3Z ou Z/2Z. Surtout cette réduction du degré .

EDIT : A ok les choses deviennent plus clair pour x^y=1 (car je voyais pas du tout).

[invite9c9b9968]

En fait, j'ai eu la flemme (et souvent dans pas mal de publi j'ai l'impression que l'on fait pareil ) d'écrire proprement les classes avec des barres. Quand je dis que dans par exemple que cela signifie que en terme de classe de x dans l'anneau , c'est-à-dire est divisible par 2.

[invite9c9b9968]

Bon là c'est la dernière fois, il y avait encore des erreurs (et grossières en plus !) dans le dernier pdf. Celui dans ce post est le dernier, juré craché

[invited927d23c]

Merci Julien pour tes explications. Ca devient de plus en plus clair. J'ai eu pas mal de temps à l'école aujourd'hui pour réfléchir (je m'ennuye tellement à l'école ), et j'ai essayer de comprendre comment on réduisait cette équation dans ces anneaux. Et je m'étais dit que ça devait être le reste de la division.
Je me demande vraiment pourquoi on fait pas ce genre de chose à l'école. Quand on a abordé les groupes / anneaux / corps / espaces vectoriel en classes (maths approfondies) la prof a été incapable de me donner une application pratique. Alors qu'il y en a tellement (il a fallu que je cherche moi même).

PS : Grâce à toi j'ai accroché au problème du voyageur de commerce. Mon programme Java est très rapide, mais j'en suis qu'à 12.78 .

[invite9c9b9968]

Merci

Bah c'est cool, si mon site peut servir à quelque chose, ça me fait plaisir

[invited927d23c]

Bah c'est cool, si mon site peut servir à quelque chose, ça me fait plaisir

Tes pdf sont même très bien . Ce qui me plaît surtout c'est d'avoir le rédacteur à porté de main , comme ça si j'ai des questions la personne ne doit pas commencer par lire le pdf.

[invite986312212]

Aujourd'hui, un ami et moi nous sommes posés la question suivante : comment démontrer que 26 est l'unique entier à une distance de 1 (distance entière) d'un carré (25) et d'un cube (27) ?

allez je vais faire le pénible: posé comme ça c'est faux: 65 est à distance 1 d'un carré (64) et d'un cube (64).

autrement tout ça est bien passionnant. Est-ce qu'on définit des groupes sur d'autres courbes algébriques que les courbes elliptiques?

[invite6b1e2c2e]

Voilà une question hautement intéressante. J'aimerais moi aussi avoir une réponse, du moins si elle existe.

Si mes souvenirs sont bons, la loi de groupe sur une courbe elliptique est en fait le transport de la loi additive de C quotienté par un réseau. Après, on a besoin de montrer quelques propriétés sympathiques sur la fonction de Weierstrass pour expliciter l'isomorphisme de groupe entre une maille et la courbe elliptique.

A priori, je dirai qu'on peut faire la même chose dans R^n. Dans R^3, ça donnerait :
1/ Je quotiente par un réseau, et j'obtiens une structure de groupe sur une maille (ici cubique)
2/ Je définis une fonction type weierstras, comme la somme des 1/(z-w_{i,j,k}) avec une bonne puissance pour assurer la convergence à l'infini.
3/ J'essaye d'obtenir une relation de type edp sur ladite fonction. Et à partir de là, c'est le désert. En fait, ce qui est pratique dans R^2, c'est que c'est muni d'une structure de corps, et donc on peut définir des dérivées holomorphes, et finalement la relation sur la fonction de weierstrass est juste donnée par la courbe elliptique. Dans R^3, on ne peut espérer qu'une edp ce qui semble déjà bien plus délicat... Evidemment, dans R^4 aussi, il y a une structure de corps (hamiltonien), mais ce n'est pas commutatif, donc ce n'est certainement pas trop utilisable... Et de toute façon, on sait que les surcorps de R sont uniquement les complexes et les hamiltoniens.
En gros, si quelqu'un a une idée pour passer ce problème, ça pourrait peut-être amener une généralisation des courbes elliptiques, même s'il n'est pas du tout sûr que la loi de groupe ainsi obtenue soit sympathique géométriquement.

En plus, il n'est certainement pas évident que toute courbe algébrique munie d'une loi de groupe est de cette forme.

__
rvz, qui va bientôt tomber dans des abimes de perplexité

[invite986312212]

je connaissais une définition plus élémentaire de la loi de groupe sur une courbe elliptique: elle découle du fait que si une droite coupe la courbe en deux points, alors elle la coupe aussi en un troisième point (ce n'est pas ce point qui est pris comme la somme des deux autres, c'est un peu plus compliqué). C'est une propriété bien particulière, mais j'imagine que d'autres courbes la possèdent (?) pas sûr au fond... équation de degré 3, 3 intersections avec une droite, ça va bien ensemble...

[invite9c9b9968]

allez je vais faire le pénible: posé comme ça c'est faux: 65 est à distance 1 d'un carré (64) et d'un cube (64).

Oui bon, chipotage quand tu nous tiens

[invite8f53295a]

Bonjour,

autrement tout ça est bien passionnant. Est-ce qu'on définit des groupes sur d'autres courbes algébriques que les courbes elliptiques?

Non on ne peut pas, enfin tout dépend de ce que tu appelles courbe algébrique. Je vais supposer que tu parles de courbes propres et lisses (en gros propre signifie que tu as une courbe fermée et lisse, qu'elle a une tangente partout définie). Alors si une telle courbe est munie d'une loi de groupe, la loi de groupe est commutative et la courbe est de genre 1 (ce qui signifie que ses points sur C forment un tore).

La bonne généralisation est la notion de variété abélienne, en gros il faut juste autoriser des dimensions plus grandes. En réalité sur une courbe propre et lisse, on ne peut pas mettre de loi de groupe qui en fait un groupe algébrique, mais on peut lui associer une variété abélienne : sa jacobienne, dont la dimension est le genre de la courbe. Il se trouve que pour une courbe elliptique le genre est 1, et elle est isomorphe à sa jacobienne.

Pour répondre à rvz, quotienter C^n par un réseau est en effet une bonne méthode pour obtenir des variétés abéliennes, en revanche il faut faire plus attention que dans le cas où n=1 : tous les réseaux ne conviennent pas. Tu as expliqué comment on pouvait construire des fonctions méromorphes sur le quotient : ce n'est pas toujours possible. Tu remarqueras que dans le cas des courbes elliptiques, les fonctions de Weierstrass vérifient des équations algébriques, c'est le cas car le quotient de C par un réseau peut être défini par des équations algébriques (c'est une courbe algébrique). Un théorème de Serre, le fameux théorème GAGA (pour Géométrie Algébrique Géométrie Analytique) nous assure que si le quotient de C^n par un réseau est une variété algébrique, alors il existe des fonctions méromorphes sur ce quotient.
Il y a alors un critère (de je ne sais plus qui, Poincaré peut-être...) pour que le quotient de C^n par le réseau R soit une variété algébrique. Il me semble que ce critère est l'existence d'un produit hermitien sur C^n prenant des valeurs entières aux points du réseau R. Cette condition est toujours vérifiée pour n=1.

Pour une démonstration de ceci, je vous conseille le très bon livre de Mumford "Abelian Varieties", mais il vaut mieux connaître un peu de géométrie algébrique.

J'espère que ça répond à vos questions.

[invite6b1e2c2e]

Salut BS,

Ca faisait longtemps qu'on ne t'avait plus vu, n'est ce pas ?
Une dernière question : C'est quoi une variété abélienne ? Peut-on toutes les réaliser comme quotients de C^n par un réseau ?
Bon, d'accord, c'est certainement très naïf, mais, après tout, pourquoi pas ?

__
rvz

PS : Tu pourrais changer ta localisation, m'enfin !

[invite8f53295a]

Salut BS,

Ca faisait longtemps qu'on ne t'avait plus vu, n'est ce pas ?

Oui, surtout toi

Une dernière question : C'est quoi une variété abélienne ? Peut-on toutes les réaliser comme quotients de C^n par un réseau ?
Bon, d'accord, c'est certainement très naïf, mais, après tout, pourquoi pas ?

Non c'est pas du tout naïf, c'est vrai. En fait une variété abélienne c'est un groupe algébrique propre, ce qui implique commutatif (propre est toujours l'analogue de compact en géométrie algébrique). Si on regarde une variété abélienne sur C, le principe GAGA de Serre nous dit qu'elle correspond à un groupe de Lie complexe, compact, commutatif G. Si tu regardes l'application exponentielle de ce groupe de Lie, c'est un morphisme de groupes (par commutativité) qui va de son algèbre de Lie dans le groupe (son algèbre de Lie est isomorphà C^n). Comme l'image de l'exponentielle contient un voisinage de l'identité, elle est surjective (un groupe de Lie complexe connexe est engendré par tout voisinage de l'identité). Comme c'est un difféomorphisme local, son noyau est un sous-groupe discret de C^n, et comme le quotient est compact, c'est un réseau. G est donc le quotient de C^n par un réseau ! Donc isomorphe à un tore ! (de dimension n) On voit par exemple qu'il est trè facile de trouver la structure du sous-groupe des points de torsion, etc.

PS : Tu pourrais changer ta localisation, m'enfin !

Ah oui, j'avais oublié, c'est fait mais ça a pas changé beaucoup...

[invite6b1e2c2e]

Merci pour cette réponse détaillée. J'en profite tant que je t'ai sous la main : Au début du thread, je m'étais demandé si on pouvait calculer le nombre de points à coefficients entiers sur une courbe elliptique ? Tu en sais peut-être quelque chose ? Il me semble qu'il y a des résultats sur le nombre de points à coefficients rationnels sur une courbe elliptique, mais entier, je ne sais pas...

__
rvz, que ça t'apprendra à m'envoyer des exos d'analyse...

[invite8f53295a]

Non je sais pas trop. Tout ce que je sais, c'est qu'un théorème de Siegle assure que le nombre de points entiers d'une courbe elliptique définie sur un corps de nombres est fini.

Peut-être que l'on peut en trouver un peu plus dans le livre de Silvermann "The arithmetic of elliptic curves" (une référence pour ce qui concerne les courbes elliptiques).

[invite8f53295a]

En fait on connaît des méthodes effectives pour résoudre ce genre d'équations. L'idée est que l'on peut borner de façon explicite la norme des solutions entières, et il n'y a plus qu'un nombre fini de vérifications à faire. Pour exemple, voici un joli théorème de Stark sur la fameuse équation
avec .

Pour tout , il existe une consante effectivement calculable (je sais pas comment) telle que pour tout D entier, toute solution (x,y) entière à l'équation vérifie


Moralité : on peut résoudre sans problème ce genre d'équation avec un bon ordinateur. Les méthodes qui mènent à ce genre de résultat sont assez différentes de celles dont on a parlé plus haut (factorisation dans un anneau d'entiers algébriques).

[invitec053041c]

Joli petit théorème, la démonstration m'a l'air sympathique, bravo à vous (à la bourre ).