Demontrer la limite d'une suite

invite031f20aa · 12/02/2018, 19h31

Bonsoir,
J'ai un peu de mal avec la méthode qu'on m'a enseigné. Je souhaite démontrer que la limite de la suite a^n est 0 pour : 0 < a < 1

Je suppose que la limite est 0. Donc avec la définition de la limite, je cherche un n>N tel que |Un - l | < ε

Donc | a^n - 0 | < ε
= ln(a^n) < ln(ε)
= n*ln(a) < ln(ε)
= n < ln(ε) / ln(a)

et je n'arrive pas à inverser le signe pour obtenir quelque chose de la forme n > N au final en manipulant avec la partie entière

invite23cdddab · 12/02/2018, 19h40

Tu as simplement ignoré le fait que ln(a) est négatif

**Médiat** · 12/02/2018, 19h40

Bonsoir

si 0<a<1 quel est le signe de ln(a) ?

invite031f20aa · 12/02/2018, 20h35

Vous voulez dire que je dois changer le sens de l'inégalité car ln(a) est négatif ? J'ai peut être un peu de retard, mais pouvez vous m'expliquer pourquoi ? (on m'a toujours dit qu'on changeait le sens que lorsqu'on multipliait par -1 ou divisait).

Je pose la question car si je fais ça : soit a = 0.3 et soit ε>0, par exemple ε = 0.5
0.3 < 0.5
ln(0.3) < ln(0.5) (malgré le fait que ln(a) soit négative, elle reste inférieure...)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 12/02/2018, 20h39

0.3 < 0.5 entraine ln(0.3) < ln(0.5) (car la onction ln est croissante).

C'est au moment de la division par ln(a) que le changement de sens intervient

**gg0** · 12/02/2018, 20h40

Ta ligne
n*ln(a) < ln(ε)
est correcte. pas de problème avec ln, fonction croissante.
Par contre, ensuite, tu multiplie les deux membres par un nombre négatif(1/ln(a)), donc en application d'une règle qu'on voit en troisième, l'inégalité change de sens.
Exactement comme
5*(-3)<7
donne
5 > 7/(-3)
et non pas l'absurdité 5<-7/3

Cordialement.

invite031f20aa · 12/02/2018, 21h01

Ah j'avais complètement laissé de côté la dernière ligne... Je comprends d'où vient l'erreur merci beaucoup !

**Anonyme007** · 12/02/2018, 21h10

Bonjour à tous,

Ce que tu fais n'est pas claire :

Envoyé par Perxyd

... Donc avec la définition de la limite, je cherche un n>N tel que |Un - l | < ε

Donc | a^n - 0 | < ε
= ln(a^n) < ln(ε)
= n*ln(a) < ln(ε)
= n < ln(ε) / ln(a)

Voici comment il faut rédiger ( A partir d'aujourd'hui, tu raisonnes de la meme sorte dans tous les exercices )

Montrer que : $\text{[math]}$ signifie qu'on fixe $\text{[math]}$ et on va à la recherche de $\text{[math]}$ de sorte : $\text{[math]}$ .
Suis bien ce que je vais dire à partir de maintenant ( car c'est important, et tu appliqueras la meme et unique méthode dans tous les autres prochains exercices ).

Tu fixes $\text{[math]}$ ( Tu écris : Soit $\text{[math]}$ ) :
Ensuite, tu prends ce morceau $\text{[math]}$ qui figure dans le morceau de définition : $\text{[math]}$ , et tu fais un retour en arrière : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ à déterminer, jusqu'à arriver au morceau de définition : $\text{[math]}$ dans la définition $\text{[math]}$ .

J'insiste sur un point très très très important est que le retour en arrière : $\text{[math]}$ se fait par implication $\text{[math]}$ et non par équivalence : $\text{[math]}$ ... C'est l'erreur grave que tu fais dans ton exo.

Pour ton exo, voici comment on procède :

Soit $\text{[math]}$ :

Étape $\text{[math]}$
On a : si : $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ ( Voici la première étape de retour en arrière par implication $\text{[math]}$ , en réalité, c'est l'implication triviale, c'est à dire une équivalence $\text{[math]}$ , mais dans les prochaines étapes, on n'utilisera que des implications stricte : $\text{[math]}$ )

Maintenant, l'étape suivante numéro $\text{[math]}$ , le deuxième retour en arrière par implication stricte $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$

Étape $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Étape $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Étape $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Étape $\text{[math]}$
A cet étape, tu remarques que : $\text{[math]}$ , parce que : $\text{[math]}$ qui est une hypothèse, implique : $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ ( car : $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Étape $\text{[math]}$
Si : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ ( car : $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$
Étape $\text{[math]}$
Si : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

On prend, alors pour $\text{[math]}$ , le $\text{[math]}$ .

Par conséquent, pour : $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$

On a ainsi : $\text{[math]}$ .

Voici comment donc il faut présenter la solution à l'examen :

Soit $\text{[math]}$ :
On a :

Si : $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ ( car : $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Si : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ ( car : $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$

Si : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

On prend, alors pour $\text{[math]}$ , tel que $\text{[math]}$ .

Par conséquent, pour : $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$

On a ainsi : $\text{[math]}$ .

**Médiat** · 12/02/2018, 21h14

Bonsoir,

Envoyé par Anonyme007

Montrer que : $\text{[math]}$ signifie qu'on fixe $\text{[math]}$ et on va à la recherche de $\text{[math]}$ de sorte : $\text{[math]}$ 0.

Cela commence mal, 2 erreurs dans la première phrase.

**Anonyme007** · 12/02/2018, 21h27

Tu es si dur et radical Médiat.

C'est vrai, il y'a des erreurs dans ce que j'ai écrit. Le clavier me fatigue, c'est pourquoi je suis mal concentré. ( Il y'a des touches qui sont enlevé dans mon clavier, je remplaces ça en faisant un copier coller, c'est fatiguant ).

**Anonyme007** · 12/02/2018, 21h37

J'ai fait aussi une erreur dans le passage : si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ . Ici, il faut laisser la formule $\text{[math]}$ intact, et ne pas la remplacer par $\text{[math]}$ , c'est, car elle fait parties des hypothèses de l'exercice qu'il ne faut pas toucher. Moi, j'ai modifié cette hypothèse hélas.

invite031f20aa · 12/02/2018, 21h42

C'est génial ! Ca va énormément m'aider merci beaucoup c'est très gentil de ta part d'avoir expliqué pas à pas comment bien démontrer. Je suis en train de travailler ça, je reviendrai sur le sujet si j'ai des questions, sinon c'est que j'ai tout bien assimilé. Merci encore !

Merlin95 · 12/02/2018, 22h16

Envoyé par Anonyme007

Voici comment donc il faut présenter la solution à l'examen :

Soit $\text{[math]}$ :
On a :

Si : $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$

Heuu pourquoi (tu as supposé que $\text{[math]}$ ou tu cherches à le démontrer) ?

La définition de u_n c'est bien u_n = a^n ?

invite51d17075 · 12/02/2018, 22h22

ben , rien ne lui interdit de prendre une conjecture et de la démontrer ensuite.

Merlin95 · 12/02/2018, 22h32

Envoyé par Anonyme007

Si : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

En gros pour 0 < a < 1
Tu arrives à :

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

Si j'ai bien compris dans la méthode, il faut que l'étape i implique l'étape i-1, avec étape 0 ce qui est à démontrer. C'est bien cela ?

Merlin95 · 12/02/2018, 22h36

Envoyé par ansset

ben , rien ne lui interdit de prendre une conjecture et de la démontrer ensuite.

Dans ce qui est écrit il semble qu'il y ait une implication "si ... alors". Or il manque le $\text{[math]}$

invite51d17075 · 12/02/2018, 22h41

Il me semble par que la "démo" proposée est bien lourde (voire indigeste : 7 étapes!!! ) alors qu'il est aisé ( si on ne fait l'erreur de signe )
pour un eps donné ; de trouver un N tel que pour tout n>N a^n< eps

**Anonyme007** · 12/02/2018, 22h46

@ansset :

L'objet de ma réponse que j'ai écrit n'est pas de résoudre l'exercice, mais d'expliquer à Perxyd la démarche à suivre pour qu'il ne bute sur aucun exercice sur les limites la prochaine fois. Lui donner juste le corrigé ne m’intéresse pas.

**Anonyme007** · 12/02/2018, 22h52

Envoyé par Merlin95

En gros pour 0 < a < 1
Tu arrives à :

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

Si j'ai bien compris dans la méthode, il faut que l'étape i implique l'étape i-1, avec étape 0 ce qui est à démontrer. C'est bien cela ?

On cherche $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , c'est pourquoi on est obligé de passer par l'étape :
$\text{[math]}$
... On fait ça toujours à la fin.

invite51d17075 · 12/02/2018, 22h54

Envoyé par Merlin95

Dans ce qui est écrit il semble qu'il y ait une implication "si ... alors". Or il manque le $\text{[math]}$

possible, je n'ai pas du bien voir où, si c'est le cas.
mais cela a peu d'importance ,il faut voir comment la rédaction sera formulée à la fin.
cordialement.
@Anonymous: je n'ai pas l'impression que tu lui donnes vraiment des indications générales , mais que tu décortiques à n'en plus finir cet exercice en particulier. ( mais si il(elle) y retrouve ses petits, alors que la simple correction de signe signalé très tôt suffisait largement )
mais considère cela comme un avis personnel.

Merlin95 · 12/02/2018, 22h56

Cette méthode a le mérite de bien montrer dans quel le "sens" se fait le raisonnement, mais effectivement, pourquoi ne pas se servir de
$\text{[math]}$
alors
$\text{[math]}$
alors comme la fonction exponentielle est croissante :
$\text{[math]}$
d'où

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**Médiat** · 12/02/2018, 23h00

Envoyé par Anonyme007

On cherche $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , c'est pourquoi on est obligé de passer par l'étape :
$\text{[math]}$
... On fait ça toujours à la fin.

Non, c'est totalement inutile, $\text{[math]}$ est largement suffisant.

**Anonyme007** · 12/02/2018, 23h02

Envoyé par Médiat

Non, c'est totalement inutile, $\text{[math]}$ est largement suffisant.

Non, c'est ce qu'on m'a appris à l'école depuis que j'étais petit.

Merlin95 · 12/02/2018, 23h04

Avec la méthode d'Anonyme007 qui déroule les étapes car donne

Etape 0 : $\text{[math]}$
Etape 1 : $\text{[math]}$
Etape 2 : $\text{[math]}$ (car la fonction exponentielle est croissante)
Etape 3 : $\text{[math]}$
Etape 4 : $\text{[math]}$
Etape 5 : $\text{[math]}$

(et donc entre parenthèse, pas besoin de $\text{[math]}$

Edit : Croisement avec Médiat

**Médiat** · 12/02/2018, 23h04

@Anonyme007 : Dommage !

**Anonyme007** · 12/02/2018, 23h06

Envoyé par Merlin95

Avec la méthode d'Anonyme007 qui déroule les étapes car donne

Etape 0 : $\text{[math]}$
Etape 1 : $\text{[math]}$
Etape 2 : $\text{[math]}$ (car la fonction exponentielle est croissante)
Etape 3 : $\text{[math]}$
Etape 4 : $\text{[math]}$
Etape 5 : $\text{[math]}$

(et donc entre parenthèse, pas besoin de $\text{[math]}$ )

Edit : Croisement avec Médiat

Non, parce que : $\text{[math]}$

Merlin95 · 12/02/2018, 23h15

Envoyé par Merlin95

Avec la méthode d'Anonyme007 qui déroule les étapes car donne...

Correction :

Etape 0 : $\text{[math]}$
Etape 1 : $\text{[math]}$
Etape 2 : $\text{[math]}$
Etape 3 : $\text{[math]}$ ca la fonction exponentielle est croissante
Etape 4 : $\text{[math]}$
Etape 5 : $\text{[math]}$

Merlin95 · 12/02/2018, 23h18

Envoyé par Anonyme007

Non, parce que : $\text{[math]}$

Pourquoi prendre +1 alors que E(..) suffit. Ca laisse croire inutilement que vous êtes passé à coté de ce fait.

**Médiat** · 12/02/2018, 23h19

Il n'y a même pas besoin de prendre la partie entière (E(...))

Merlin95 · 12/02/2018, 23h23

Oui ca fait une étape en moins.

Demontrer la limite d'une suite

Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Re : Demontrer la limite d'une suite

Discussions similaires

Comment démontrer qu'une suite démontrer qu'une suite est convergente? (TS)

Demontrer une limite

Démontrer une suite

Comment démontrer qu'une suite est une suite géométrique de raison b?

Démontrer une limite d'une fonction Sin