Dérivabilité

[mehdi_128]

Bonsoir,

Soit une fonction continue en .

La courbe représentative de admet une tangente en si le taux d'accroissement a une limite en dans .
Si est finie c'est-à-dire si est dérivable en , la tangente en à la courbe représentative de est la droite d'équation : .
Si est infini alors la tangente en à la courbe représentative de est la droite d'équation : .

A quoi sert l'hypothèse continue en ?
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[Tryss2]

Est-ce que la fonction f qui vaut 0 sur les négatifs et 1 sur les nombre positifs a une tangente en 0 ? Est-ce que son taux d'accroissement en 0 admet une limite ?

[gg0]

Encore un manque de réflexion et de construction de l'intuition. Le dessin d'une courbe de fonction discontinue en a montre bien le problème.

[stefjm]

Le problème avec l'intuition, c'est qu'elle dépend beaucoup du contexte!
Ici, sur un point de discontinuité, on peut définir tangente à droite et à gauche (mais pas la tangente évidement).
C'est peut être ce qui a gêné Mehdi?

Ou alors, c'est un problème de logique.
La dérivabilité implique la continuité.
Pas besoin de la continuité pour les cas dérivables, et oubli des cas qui ne le sont pas...?

Mehdi nous dira.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En fait, il peut même ne pas y avoir de tangente à droite et à gauche (x--> sin(1/x) pour x différent de 0 et 0 en 0). Mais si on a une idée de ce qu'est une tangente, elle assure intuitivement que la courbe "passe par le point". Et ce sont des idées qu'on rencontre au lycée.

Cordialement.

[mehdi_128]

Est-ce que la fonction f qui vaut 0 sur les négatifs et 1 sur les nombre positifs a une tangente en 0 ? Est-ce que son taux d'accroissement en 0 admet une limite ?

Posons :




Donc ne taux d'accroissement n'admet pas de limite en car les limites à gauches et à droite diffèrent

[mehdi_128]

@Stefjm

Justement rien n'est précisé sur la dérivabilité. On se sait pas encore si la fonction est dérivable.

D'ailleurs si le taux d'accroissement est infini la fonction n'est pas dérivable.

[Merlin95]

une fonction peut ne pas être derivable en un point mais admettre une tangente en un point.
une fonction non continue en a avec un taux d'accroissement infini en a peut ne pas admettre de tangente à la courbe en a.

Du coup que ne comprends tu pas ?

[Merlin95]

correction :
une fonction non continue en a avec un taux d'accroissement infini en a ne peut pas admettre de tangente à la courbe en a.

une fonction non définie en a ne peut pas bien sûr admettre de tangente en a.

[Merlin95]

et dans ce dernier on parle de droite asymptote.

[ansset]

Posons :

pardon ?
comment calcules tu les taux d'accroissement ?

[Merlin95]

et dans ce dernier on parle de droite asymptote.

et comme noté par gg0 il y a des cas, il n'y a même pas d'asymptote (fonction sin(1/x)).

[mehdi_128]

pardon ?
comment calcules tu les taux d'accroissement ?

[mehdi_128]

Je n'ai pas compris en quoi la continuité est indispensable.

Si la pente de la tangente est la même à gauche et à droite où est le problème ?

[mehdi_128]

une fonction peut ne pas être derivable en un point mais admettre une tangente en un point.
une fonction non continue en a avec un taux d'accroissement infini en a peut ne pas admettre de tangente à la courbe en a.

Du coup que ne comprends tu pas ?

Une fonction non continue en a n'admet pas de tangente en a si les pentes à gauche en s'approchant de a et à droite en s'approchant de a sont différentes ? C'est vrai que cela peut arriver pour une fonction discontinue.

La fonction partie entière admet-elle une tangente en 0 ?

[ansset]

alors tu as inversé les + et les -.

Si la pente de la tangente est la même à gauche et à droite où est le problème ?

on ne parle pas de tangente à une courbe en un point de discontinuité.
evt on parle de demi-tangente du coté ou la fonction est définie et continue.

[mehdi_128]

Ah d'accord merci.

Mais non je ne vois pas d'erreur dans mon calcul

Si alors donc

Si alors donc

[Merlin95]

Une fonction non continue en a n'admet pas de tangente en a si les pentes à gauche en s'approchant de a et à droite en s'approchant de a sont différentes ? C'est vrai que cela peut arriver pour une fonction discontinue.

où as tu vu cette définition totalement saugrenue, encore une fois tu t'attaches au côté formel et aux notations mais tu n'as pas le sens pratique et pragmatique.

Pour définir une tangeante en un point il faut que quand tu viennes par la droite ou par la gauche le point de contact soit réalisé (c'est la définition pratique d'une tangente en un point). Ce qui n'est pas le cas pour les fonctions non continues par exemple en venant de la gauche il n'y aura pas de point de contact et en venant de la droite il y aura un point de contact.

La fonction partie entière admet-elle une tangente en 0 ?

que tu viennes par la gauche ou par la droite tu ne tends pas vers la même valeur.

édit : croisement ansset

[Merlin95]

Ah d'accord merci.

Mais non je ne vois pas d'erreur dans mon calcul

Si alors donc

Si alors donc

A droite il n'y a pas de point de contact donc le taux d'accroissement à droite n'a aucun sens.

Stop aux absurdités.

[stefjm]

En tant que physicien et automaticien, j'arrive à donner un sens à ce taux d'accroissement sans point de contact.
La dérivée de l'échelon correspond d'ailleurs à un dirac en 0, qui correspond au saut de l'échelon.

Que l'écriture de Mehdi ne soit pas très propre, je ne juge pas n'étant pas mathématicien, mais je ne la qualifierais pas d'absurde.

[azizovsky]

Posons :




Donc ne taux d'accroissement n'admet pas de limite en car les limites à gauches et à droite diffèrent

et

Si est infini alors la tangente en à la courbe représentative de est la droite d'équation : .

.......

[ansset]

ce n'est pas ce que tu avais écrit mais

Posons :

donc f(0)=1, et pas f(0)=0 ce qui inverse tes éventuelles limites.
quand au fait l'utiliser la limite du taux d'accroissement en un point de discontinuité, les remarques ont été faites.

[mehdi_128]

Ok Ansset merci. Je retiens qu'il ne faut pas de "trou" pour parler de tangent en un point car il faut pouvoir s'approcher aussi proche que l'on veut à gauche et à droite.

Tryss n'a pas précisé si f(0)=0 ou f(0)=1 c'est pour cela que j'hésitais.

[ansset]

ce n'est pas exactement ce que j'ai dit.
on peut parler de demi-tangente en a sur l'intervalle [a,b]

[ansset]

comme pour la fonction rac(x) sur R+.
la dérivée étant infinie en 0 , la tangente ( ou demi tangente ) en (0;0) est la droite x=0.

[Merlin95]

Ok Ansset merci. Je retiens qu'il ne faut pas de "trou" pour parler de tangent en un point car il faut pouvoir s'approcher aussi proche que l'on veut à gauche et à droite.

Tryss n'a pas précisé si f(0)=0 ou f(0)=1 c'est pour cela que j'hésitais.

cest une condition nécessaire pour pouvoir définir un point de contact de la tangeante mais elle n'est pas suffisante. Il faut aussi que la dérivée soit continue. Imagine une fonction "triangle" avec le sommet en 0 qui vaut 1 par exemple. comment définir la tangeante en 0 ?

[Merlin95]

Ok Ansset merci. Je retiens qu'il ne faut pas de "trou" pour parler de tangent en un point car il faut pouvoir s'approcher aussi proche que l'on veut à gauche et à droite.

Tryss n'a pas précisé si f(0)=0 ou f(0)=1 c'est pour cela que j'hésitais.

cest une condition nécessaire pour pouvoir définir un point de contact de la tangeante mais elle n'est pas suffisante. Il faut aussi que la dérivée soit continue. Imagine une fonction "triangle" avec le sommet en 0 qui vaut 1 par exemple. comment définir la tangeante en 0 ?

[Merlin95]

La dérivée en a bien sur.

[mehdi_128]

cest une condition nécessaire pour pouvoir définir un point de contact de la tangeante mais elle n'est pas suffisante. Il faut aussi que la dérivée soit continue. Imagine une fonction "triangle" avec le sommet en 0 qui vaut 1 par exemple. comment définir la tangeante en 0 ?

Elle n'est pas dérivable en 0 car les pentes des tangentes à gauche et à droite sont différentes

[Merlin95]

Ben oui elle est pas dérivable le but c'était que je te donne un exemple de fonction non dérivable en a. Mais que peut-on donc en dire de la tangeante en ce point ?