Intégrale de Wallis

[chloe4559]

Salut !

je viens vers vous aujourd'hui car j'ai un DM de maths sur l'intégrale de Wallis.

J'ai un tas de questions mais je bloque dès les deux premières....
On me dit que I_n= intégrale de 0 à π/2 de (sin(x))ⁿ avec n appartenant aux entiers naturels.

1) Montrer que I_n est positive est décroissante.

J'ai dit que la fonction sinus est croissante sur l'intervalle [0;π/2] et que comme n est un entier positif alors (sin(x))^n aussi
Donc Iⁿ est positive.

près pour la décroissance je bloque ! Je sais que la fonction sinus est croissante sur [0;π/2] mais après....

2) La question 2 nous dit montrer que I_n+2=n+1/(n+1)*I_n à l'aide d'une intégration par partie.

J'ai pensé décomposer (sin(x))ⁿ⁺² comme sin(x)²*(sin(x))ⁿ et donc je retrouve intégrale de 0 à π/2 de sin(x)²*I_n.
Mais du coup après pour sin(x)² je ne sais pas quoi faire. En plus on me dit qu'il faut que je fasse une intégration par partie et quand je fais ça avec sin(x) au carré je tombe dans une boucle interminable....

est ce que je suis sur la bonne piste ?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

1) décroissance : comparaison d'intégrales, très classiques; comment est sinⁿ⁺¹ par rapport à sinⁿ.
2) erreur dans ce que tu as écrit. En écrivant sinⁿ⁺²(x)= sin(x)sinⁿ⁺¹(x), et en intégrant par parties, on trouve un cos²(x)=1-sin²(x) qui fait apparaître une relation entre I_n et I_n+2 qui s'écrit I_n+2 = (n+1)/(n+2) I_n :


Rappel : I_n+2=n+1/(n+1)*I_n signifie (règles d'écritures des opérations)


Cordialement.

[chloe4559]

Super merci beaucoup ! En effet j'ai cherché compliqué alors que c'était beaucoup plus simple...

Je vous dérange une dernière fois.... J'ai réussi à faire tout l'exercice donc je suis assez contente mais je bloque sur la dernière question. Il faut trouver la constante de Sterling en fonction de ce qu'on a vu dans l'exercice et donc des questions précédentes. Je vais essayer de vous mettre le sujet en pièce-jointe DM2_2020.pdf.

Du coup je sais qu'il faut que je parte de la question 6 avec 1*3*...*(2n-1)/(2*4*...*2n) et que je transforme cette expression avec des factoriels afin de pouvoir utiliser l'équivalence de n! équivalent à C√n(n/e)ⁿ.
En effet, quand j'aurais réussi à transformer cette expression 1*3*...*(2n-1)/(2*4*...*2n) avec des factoriels, j'aurais plus qu'a remplacer chaque factoriel en utilisant l'équivalence que je viens de citer.
Le problème c'est de passer avec les factoriels.
J'ai trouvé sur internet que 1*3*...*(2n-1)=(2n!)/(n!*2ⁿ). Ensuite je pense que je me trompe pour le dénominateur car le prof nous a donné une indication en nous disant que C valait √2π et je ne trouve pas ça au bout....

est ce que vous pouvez m'aider à trouver l'expression de (2*4*...*2n) sous forme factorielle. Je pensais que c'était (2n)!

merci d'avance

[gg0]

Bonjour.

Chaque terme du produit est pair (et il y en a ?), donc tu peux rassembler tous ces deux pour faire 2^? * 1*2*...*n.

(2n)! =2*3*4*5*...*(2n-1)*2n

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chloe4559]

donc si je résume j'ai au dénominateur j'ai 2*4*...*2n=2ⁿ*(1*2*3*...*n)=2ⁿ*n!

et donc le numérateur c'est 1*3*5*...*(2n-1)=(2n)!/2ⁿ*n!

Finalement on a que 1*3*...*(2n-1)/(2*4*...*2n)=(2n)!/2²ⁿ*(n!)² ?

[gg0]

Et ça marche ?