Dérivation d'une distribution

[lesurveilleur]

Dernière essai ( je suis sur téléphone)

(2+4*delta(x-1) )-(2+delta(x))+(2+delta(x+1)*4)
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[stefjm]

Pourquoi un delta en 0?
Pourquoi continuer à additionner les valeurs sur les différents intervalles? 4 fois que je vous dis que c'est faux!
2-2+2 = 2 et ce n'est pas le créneau (2 puis -2 puis 2)!

[lesurveilleur]

Quelle est l'expression de la partie régulière alors ?

Est-ce : {2} entre crochet en x-1 ? Par exemple...

J'ai repris la formule du 55 ème message !

[stefjm]

La partie régulière est
Pour -00<x<-1 f(x)=2
Pour -1<x<1 f(x)=-2
Pour +1<x<+00 f(x)=2

On peut aussi l'écrire avec l'échelon de Heaviside h :

{f''}=(h(x-1)-h(x+1)+1/2)*4

A laquelle il faut ajouter les deux saut de +4 en x=-1 et 1.

[lesurveilleur]

En discutant avec un camarade voilà se que j'ai trouvé :




Au vu de cette image :

f=-2delta(1)+4 pour -00<x<-1
f=-2 pour -1<x<1
f=2delta(1)+4 pour 1<x<+00
Je ne comprends pas pour il n'y a pas de delta dans le créneau d'en bas. Et pourquoi c'est delta(x+1) et pas delta(x-1) tout à droite.

[gg0]

Bon, reprenons tout sérieusement.
Posons f(x) = |g(x)| avec g(x)=x²-1
g est indéfiniment dérivable. Dans la suite, j'écris f pour T_f, f' pour T_f', etc. Pour une partie I de , on notera 1_I la fonction caractéristique de I, la fonction 1_I(x) qui vaut 1 si x est dans I, 0 sinon.
On voit facilement que f(x) = g(x) I_[-oo,-1[ - g(x) I_[-1,1[+g(x) I_[1,+oo[. Le - du milieu est simplement la conséquence du changement de signe pour la valeur absolue d'un nombre négatif. Les fonctions caractéristiques font un saut de 1 en 1 ou en -1.

Maintenant on peut dériver, la dérivée de I_[-oo,-1[ est à cause du saut en -1, saut de -1. On l'écrit aussi parfois puisque décaler la fonction u de a revient à remplacer f(x) par f(x-a) (f(x+1) pour a=-1). Celle de I_[-1,1[ est puisqu'il y a un saut de 1 au début, de -1 à la fin.


Les g(x) qui multiplient les sont tous nuls en -1 ou 1, donc les produits avec font tous 0. Il reste :

Dérivons encore une fois, ce qui reprend le même calcul :

Cette fois, g'(-1)=-2 et g'(1)=2 puisque g'(x)=2x. On obtient, en notant que g"(x) = 2


Je ne continue pas, car il faut dériver .