Dérivation d'une distribution

[lesurveilleur]

Bonjour,

je cherche à calculer cette dérivée :

c.png

Voilà où j'en suis :

b.png

En espérant que vous puissiez m'aider ..
-----

[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas tout, mais déjà, il y a un oubli à la première ligne : C'est
Et l'oubli systématique des x dans les des intégrales.
Ensuite, que se passe-t-il à la troisième ligne ? Tu as une intégrale qui est en fait une intégrale simple, puisque il existe a>0 tel que est nul en dehors de [-a,a]. Tu sembles faire un calcul avec une formule que je ne connais pas.

Cordialement.

[lesurveilleur]

Intégration par partie. Je dérive |x|sinus x

[gg0]

Oui j'ai bien vu. Mais je ne reconnais pas la dérivée. Quelle est la dérivée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[lesurveilleur]

C'est peut être mieux comme ça :

[gg0]

Pourquoi tu ne mets pas de x à Phi. Tu en mets bien un à sin.
Et ta dérivée est fausse. La dérivée de |x| n'est pas 1.
Quand on ne maîtrise pas, le mieux est de calculer dans les 3 cas : x<0, x>0 et x=0.
Conseil : à la fin, utilise la fonction thêta de l'énoncé.

[lesurveilleur]

J'ai refait :

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas. J'ai d'ailleurs du mal à lire ce brouillon mal écrit. Et je ne sais pas d'où sort ce phi(0). On dirait que tu crois qu'il un Dirac dans la dérivée. Or c'est une fonction partout dérivable.
Quand te décideras-tu à calculer cette dérivée ?

[lesurveilleur]

Je me suis appliqué...

[gg0]

Tu t'es appliqué mais c'est encore fouillis. Je n'ai pas compris pourquoi tu as rajouté phi(x). La dérivée dont tu as besoin est celle de |x |sin(x). Du coup ton calcul est faux.
Je ne sais pas ce que tu écris pour x=0. Ça n'a pas de sens.
À refaire...

[jacknicklaus]

SAlut,

tu semble penser que ( f(x).g(x).h(x) )' = f'(x)g'(x).h(x) + f'(x).g(x).h'(x)

c'est ce que tu as écrit dans la 1ère ligne pour x > 0 avec f(x) = x, g(x) = phi(x), h(x) = sin(x)

Or c'est faux. Vois tu l'erreur ?

[GBZM]

Bonjour,
Et toujours pas d'utilisation de la fonction comme suggéré dans l'énoncé. Pourtant, il peut être utile de remarquer que . En effet, se dérive les doigts dans le nez, et on connaît les dérivées de .

[stefjm]

[...] et on connaît les dérivées de .

La dérivée? Non?
On parle de distribution dans ce fil.

[gg0]

Ce sont justement les dérivées au sens des distributions qui vont servir.
T est une distribution régulière, définie par f, qui est une fonction partout dérivable; dont T' est la distribution régulière définie par f'. f' n'est pas partout dérivable, donc on appliquera les règles sur les dérivées au sens des distributions. Pas seulement la définition d'une distribution régulière.
On peut, comme je le conseillais, écrire f' avec puis appliquer les règle de cours sur la dérivation des distributions, ou même, comme proposé par GBZM, commencer directement avec f. En tout cas, il faut que Lesurveilleur s'y mette avec un peu plus de bonne volonté. Mais peut-être l'exercice était-il pour hier et maintenant, il se moque de ce qu'on peut écrire ..

Cordialement.

[stefjm]

Oui, mais pourquoi les dérivées de ?

Je n'en vois qu'une .

[Deedee81]

Salut,

Une fonction/distribution => une dérivée (par rapport à une vairable donnée)
Plusieurs fonctions/distributions => des dérivées.

Je l'ai compris comme ça dans le message de gg0 en tout cas.

[GBZM]

Peut-être pourrait-on se donner la peine de lire l'énoncé : "Déterminer LES DÉRIVÉES d'ordre 1,2,3 et 4 de la distribution ..."

[gg0]

Ah ! Comme l'exercice parle de 4 dérivées successives, je n'avais pas compris la question.

Cordialement.

[Deedee81]

Ah bé oui, et pourtant je suivais la discussion. Merci GBZM

[stefjm]

Peut-être pourrait-on se donner la peine de lire l'énoncé : "Déterminer LES DÉRIVÉES d'ordre 1,2,3 et 4 de la distribution ..."

Ah oui, les dérivées successives.
J'en était resté à la première; pardon pour le bruit.

[Deedee81]

pardon pour le bruit.

Notons que le bruit blanc n'est pas dérivable

[lesurveilleur]

Voilà la correction que je me suis procuré :

Le sin(x) a été transformé en alpha(x) sans que je sache pourquoi :

A.jpg

De plus pour T''(x) je ne vois pas pourquoi il y a un 2*delta0 qui apparait...

Enfin je ne comprends pas cette relation :

b.png

Je m'en remet à vous...

PS : dsl d'avoir tardé

[gg0]

Bonsoir.

Difficile de parler de cette "correction" qui sous-entend un certain nombre de choses. Et a probablement été accompagnée d'un bon nombre d'explications qu'on n'a pas. Et tout ça lié à un cours qu'on ne connaît pas ...

La transformation du sin en alpha est probablement lié au fait qu'on peut faire le même calcul en remplaçant le sinus par n'importe quelle fonction indéfiniment dérivable et nulle en 0.
Le 2 delta est la traduction du fait que le saut de thêta en 0 vaut 2 (de -1 à 1). Voir ton cours.
Pour ton deuxième document, la première ligne est la définition de delta, la distribution de Dirac. Écrite d'une façon malsaine, mais c'est probablement un cours de non mathématicien, fait pour l'utilisateur. les deux ligne suivantes sont assez illisibles, n'est-ce pas une formule de cours ?

Désolé de ne pas pouvoir faire plus ...

[lesurveilleur]

Je viens au nouvel {f} est la partie régulière de f
delta0 dirac
sigma est le saut de la fonction par exemple pour |x|'=1 pour x>0 et -1 pour x<0 donc il y a un saut de 2 (1)-(-1)=2 donc sigma=2

[gg0]

Donc il s'agit bien de propriété de cours, la dérivation d'une fonction dérivable partout sauf en une valeur. Et elle est utilisée pour corriger l'exercice.

[lesurveilleur]

Comment transposer ça à :

[gg0]

Je n'ai pas ton cours, donc je procéderais ainsi :
Soit Y la fonction de Heaviside (elle vaut 0 sur R- et 1 sur R+). |x²-1|= (x²-1)Y(-1-x)-(x²-1)(Y(1+x)-Y(1-x))+(x²-1)Y(1-x)
Ensuite on dérive, en sachant que la dérivée de Y est le Dirac.

Mais étudier ton cours serait peut-être la bonne idée ...

[lesurveilleur]

Je n'ai pas compris cette égalité : | x²-1|= (x²-1)Y(-1-x)-(x²-1)

[gg0]

L'égalité est différente :
|x²-1|= (x²-1)Y(-1-x)-(x²-1)(Y(1+x)-Y(1-x))+(x²-1)Y(x-1) (rectification de la faute de frappe)

Traduction : |x²-1| vaut
* x²-1 si x<-1
* -(x²-1) si x est compris entre -1 et 1
* x²-1 si x>1
Je t'invite à représenter sur un brouillon les fonctions qui à x associent Y(-1-x), (Y(1+x)-Y(1-x)) et Y(x-1), puis (x²-1)Y(-1-x), -(x²-1)(Y(1+x)-Y(1-x)) et (x²-1)Y(x-1) (niveau de difficulté : lycée) et enfin de voir pourquoi la somme des trois dernières donne bien le bon résultat.

[stefjm]

@lesurveilleur
Comme déjà demandé par gg0, pourriez vous nous préciser le contexte de vos questions, en particulier quel cours vous avez regardé ou suivi pour les distributions et/ou la dérivée généralisée de fonction discontinue.
Cela simplifierait le dialogue.