Polynomes

[annamillie]

Combien existe-t-il de nombres k∈Z tels qu'il existe un polynôme P∈Z[x] avec
P(0)=2,*P(10)=22**et**P(k)=12* ?
Il faut que j'utilise :
Si P∈Z[x], on peut facilement montrer que P(a)−P(b) est divisible par a−b pour tous a,b∈Z avec a≠b. (Cela vient du fait que a−b divise toujours an−bn.)

J'ai écrit:

1) k-10 | P(k)-P(10) dc k-10 | -10
2) 10 | P(10)-P(0) dc 10 | 20 ( inutile )
3) k | P(k)-P(0) dc k | 10
4) 10-k | P(10)-P(k) dc 10-k | 10
5) -10 | P(0)-P(10) dc -10 | -20 (inutile)
6) -k| P(0)-P(k) dc -k | -10

Est ce que qqn pourrait m'aider pour la suite svp ?

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

Seuls les trois premiers cas servent, les trois suivants sont des répétitions. Et un des trois n'apporte rien. Tu as donc :

k| 10 ce qui donne un nombre très limité de valeurs possibles de k
(k-10) | 10 (ou -10, mais le signe n'a pas d'importance) ce qui élimine certaines des valeurs précédentes.

En fait, deux des valeurs éliminées sont dues à des imprécisions du texte de cet énoncé : Si k=0 ou k=10, on a seulement comme condition P(0)=2 et P(10)=22, et on connaît un polynôme simple qui convient. Donc il faudra garder ces deux cas.

Et il reste à regarder si on peut trouver (au moins) un polynôme de Z[X] qui convient, en étudiant les polynômes qui respectent les trois conditions. Dans un des cas, c'est quasiment déjà fait !

A toi ...

[gg0]

Question : Pourquoi reposes-tu un sujet déjà traité par toi avec des réponses sérieuses ?

[annamillie]

Parce que j'ai revu la méthode.... Désolée...
Si je reprends ce que vous avez dit :
On a les deux cas suivants :
1) k | 10
2) k-10 | 10
La premier cas implique qu'il existe q appartenant à Z tq 10=q*k
les valeurs de k possibles sont alors:
k=1
k=2
k=5
k=10
D'après la deuxieme condition: il existe q1 appartenant à Z tq
10=q1(k-10)
k=1 10=-9q1 (impossible )
k=2 10=-8q1 (impossible )
k=5 10=-5q1 Une valeur de k trouvée
k=10 10=0q1 Une autre valeur de k trouvée

Il y a donc 2 valeurs de k possibles ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

1) Tu as oublié -1, -2, -5 et -10.
2) tu crois vraiment qu'il existe un entier q1 tel que "10=0q1" ?

[annamillie]

Mince pardon, merci de me corriger

Pour les valeurs précédentes ( k=1, k=2, k=5, k=10 ) on a donc une valeur de k possible cad. k=5
k=-1 : 10=-11q1
k=-2 : 10=-12q1
k=-5 :10=-15q1
k=-10 : 10=-20q1

Il y a donc k=5 ?

[gg0]

Ou rien. k=5 répond-il au problème posé ?

[annamillie]

oui c'est ça, merci beaucoup pour votre aide

[gg0]

Je reviens sur les deux cas particuliers k=0 et k=10, j'ai écrit trop vite, l'hypothèse devient P(0)=2, P(0)=12, P(10)=22 ou P(0)=2, P(10)=12, P(10)=22 ce qui n'est manifestement pas possible. donc on peut oublier.

[gg0]

"c'est ça" ne veut rien dire. Pourquoi k=5 répond-il au problème posé et quelle est la réponse à la question de l'énoncé ?

[annamillie]

Lorsque P∈Z[x], on a toujours P(a)−P(b) qui est divisible par a−b pour tout a≠b. En effet, si
P(x)=cnxn+cn−1xn−1+…+c1x+c0,
alors
P(a)−P(b)=cn(an−bn)+cn−1(an−1− bn−1)+…+c1(a−b),
et am−bm=(a−b)(am−1+am−2b+…+abm−2 +bm−1) pour tout m∈N0.

On en déduit dans notre cas que
10=12−2=P(k)−P(0)*doit être divisible par*k−0=k
et que
10=22−12=P(10)−P(k)*doit être divisible par*10−k.
Le seul k pouvant éventuellement convenir est donc k=5. De plus, pour cette valeur de k, il existe bel et bien un polynôme P vérifiant les conditions : c'est par exemple le cas de
P(x)=2x+2.

[gg0]

OK, à condition de traduire !!
Il n'est pas sérieux d'écrire cnxn pour c_nxⁿ. Surtout qu'en utilisant "Répondre" ou "aller en mode avancé", on a des boutons pour les indices et les exposants.
Quelle paresse !!!

[annamillie]

ah oui pardon je ne savais pas
merci pour votre aide