Racines carrées et nombres premiers - Page 2
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Racines carrées et nombres premiers



  1. #31
    GBZM

    Re : Racines carrées et nombres premiers


    ------

    Ce n'est pas un scoop, Biname msg #9
    Décidément, tu as de sérieux problèmes de logique. Ce n'est pas parce que les premiers se terminant par 1 ou 9 vérifient les conditions que tous les entiers vérifiant les conditions sont des premiers se terminant par 1 ou 9.
    Réfléchis un peu avant d'écrire.

    -----

  2. #32
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Bon, on progresse, tu as compris que tu n'avais pas montré ce qu'il fallait.
    Après, ça part plutôt mal. Si avec et premiers distincts, alors .
    Non sigma²(a.b) = a² + b² + 1²
    Je te retourne le compliment du msg #31
    Dernière modification par Biname ; 05/08/2024 à 18h28.

  3. #33
    GBZM

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Je répète mon conseil : réfléchis un peu avant d'écrire (des bêtises) !

  4. #34
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Je répète mon conseil : réfléchis un peu avant d'écrire (des bêtises) !
    Juste n² = (a.b)² est un diviseur, je retire mon compliment.

  5. #35
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Dernier chiffre possible d'un carre 1, 4, 9, 5, 6 a² + b² + (a.b)² + 1 obtenir un 2 terminal serait impossible.
    Petit code python : ce n'est possible que si a et b se terminent par 1
     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par Biname ; 05/08/2024 à 18h45.

  6. #36
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Le dernier chiffre de a² + b² + (a.b)² + 1² vaut toujours 0 sauf pour a et b se terminant par 1 ou il vaut 2
     Cliquez pour afficher


    C'est trop beau
    Dernière modification par Biname ; 05/08/2024 à 18h57.

  7. #37
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Ooops + 1, modulo écrit à l'envers msg #35 et #36
    Correction :
     Cliquez pour afficher

    Ca nous avance moins, voire pas du tout.
    Dernière modification par Biname ; 05/08/2024 à 19h14.

  8. #38
    Malefix

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Bonjour à tous,

    Je n'ai pas tout suivi, ma question est : finalement est-ce difficilement démontrable ? Intéressant ?

  9. #39
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Décidément, tu as de sérieux problèmes de logique. Ce n'est pas parce que les premiers se terminant par 1 ou 9 vérifient les conditions que tous les entiers vérifiant les conditions sont des premiers se terminant par 1 ou 9.
    Réfléchis un peu avant d'écrire.
    On a démontré que tous les nombres premiers se terminant par 1 ou 9 vérifient la conjecture A = sigma²(n) et ses conditions.

    Avec A = sigma²(n), si un nombre n vérifiant les conditions n'est pas un nombre premier se terminant par 1 ou 9, alors ce nombre est plus grand que 2000000, ce code le montre en 52 secondes. Oui, ça ne prouve rien.

     Cliquez pour afficher


    On peut réécrire la conjecture de manière plus 'lisible' :

    -------------
    Conjecture réécrite :
    sigma²(n) est la somme des carres des diviseurs de n (1 et n inclus)
    A = sigma²(n)
    A doit se terminer par 2
    A - 1 doit être le carré d'un nombre entier pour appartenir à la conjecture
    Si A - 1 est le carré d'un entier non premier, la conjecture est fausse
    -------------

    Si la conjecture est vraie pour A = sigma²(n) avec 1 <= n <=infini,
    elle est vraie pour A = sigma²( n'importe quelle f(n) ) et donc
    pour la fonction A initiale.

  10. #40
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par Malefix Voir le message
    Bonjour à tous,
    Je n'ai pas tout suivi, ma question est : finalement est-ce difficilement démontrable ? Intéressant ?
    Démontrable ? A mon avis , oui, mais c'est en cours.
    Intéressant ? Aucune idée ? La forme générale pourrait permettre au prof de maths de créer des exercices

    Exemple : démontrez cette conjecture
    Les conditions habituelles et
    Voire dans la parenthèse une somme , un produit ou tout ce qui retourne un entier.

  11. #41
    MissJenny

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par Biname Voir le message
    n non premier ==> n = a * b * 1 avec a = b possible, on s'occupera de a^n plus loin
    A = sigma²(n) = a² + b² + 1
    tu as oublié n, qui est un diviseur de lui-même. De plus tu as supposé a et b premiers ce qui n'est pas assuré.

  12. #42
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Salut,
    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    tu as oublié n, qui est un diviseur de lui-même. De plus tu as supposé a et b premiers ce qui n'est pas assuré.
    Oui pour a² + b² + (a.b)² + 1 , GBZM l'a fait remarqué plus haut. On est toujours calé à ce niveau.
    Le principe de la factorisation est de décomposer en nombre premier, l'idée sous-jacente est que si c'est vrai pour deux facteurs, c'est vrai pour plusieurs ?

    En résumé, on est bloqué au résumé du msg #39, je pourrais dire 'je', car 'on' n'a pas fait grand-chose , oui corriger mes erreurs est aussi important, merci GBZM.

    (La réflexion sur les personnalités est plus intéressante que la conjecture.)
    Dernière modification par Biname ; 06/08/2024 à 09h59.

  13. #43
    GBZM

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Avec A = sigma²(n), si un nombre n vérifiant les conditions n'est pas un nombre premier se terminant par 1 ou 9, alors ce nombre est plus grand que 2000000, ce code le montre en 52 secondes. Oui, ça ne prouve rien.
    Je l'avais vérifié jusqu'à 10000000, comme je l'ai écrit hier à 19h10

  14. #44
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Salut,
    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Je l'avais vérifié jusqu'à 10000000, comme je l'ai écrit hier à 19h10
    Pas plus que mon premier code au msg #4, ton code ne vérifie explicitement qu'un n non premier, ou ne se terminant pas par 1 ou 9, ne s'est glissé dans la 'longue' liste, ce que font ces 4 lignes ajoutées au code du msg #4 au msg #39.
     Cliquez pour afficher

    Notre problème maintenant est de démontrer qu'un n non premier ne s'est pas glissé dans la liste
    donc un n dont les facteurs sont, au minimum, [a, b, a.b=n, 1]
    En appliquant les conditions, cela signifie qu'il n'y a pas de solutions entières pour

    a² + b² + a².b² = q² avec a, b, q entiers

    ou a² + b² = q² - a²b² = (q - ab)(q + ab)

    Feu !
    Dernière modification par Biname ; 06/08/2024 à 15h25.

  15. #45
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    corrections
    n "nom premier est impossible" et "on "glissé dans la liste"
    "facteurs" devient "diviseurs"
    a différent de b
    Est-ce que je lis ce que j'écris.
    Dernière modification par Biname ; 06/08/2024 à 15h40.

  16. #46
    MissJenny

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par Biname Voir le message
    En appliquant les conditions, cela signifie qu'il n'y a pas de solutions entières pour

    a² + b² + a².b² = q² avec a, b, q entiers
    2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2

  17. #47
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2
    Il faut ajouter (a² + b² + a²b² + 1) mod 10 = 2 ou sigma(a.b) mod 10 = 2

    Hier gpt 4o m'a fait une démo à partir de ce système. Il ne m'a pas convaincu.

  18. #48
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2
    J'oubliais : ab doit être plus grand que 2 millions, courage !

  19. #49
    GBZM

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Je confirme que j'avais bien vérifié jusqu'à 10 000 000 que les premiers terminant par 1 ou 9 sont les seuls entiers n qui vérifient vérifient les conditions et carré parfait. En effet mon code compte 332 316 tels entiers, et il y a 332 316 premiers plus petits que 10 000 000 terminant par 1 ou 9.
    Biname pourra demander à ChatGPT de vérifier cette dernière affirmation.

  20. #50
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Je confirme que j'avais bien vérifié jusqu'à 10 000 000 que les premiers terminant par 1 ou 9 sont les seuls entiers n qui vérifient vérifient les conditions et carré parfait. En effet mon code compte 332 316 tels entiers, et il y a 332 316 premiers plus petits que 10 000 000 terminant par 1 ou 9.
    Biname pourra demander à ChatGPT de vérifier cette dernière affirmation.
    Tu as raison, pour 1 et 9, c'est implicite avec A mod 10 = 2, la racine carrée entière d'un nombre entier se terminant par 1 ne peut se terminer que par 1 ou 9.
    Par contre pour n premier, rien ne le prouve, si tu as une preuve, tu as prouvé la conjecture. Non ?

    Feu

  21. #51
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par Biname Voir le message
    Par contre pour n premier, rien ne le prouve, si tu as une preuve, tu as prouvé la conjecture. Non ?
    Correction :
    Par contre pour n premier, tu ne le vérifies pas. Non ?

  22. #52
    GBZM

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Par contre pour n premier, tu ne le vérifies pas. Non ?
    Vérifier quoi ?

    Tu peux lire le code, je l'ai posté.
    Tu verras que je compte les entiers plus petits que qui vérifient les conditions et carré parfait. Pour N=10 000 000, il y en a 332 136, j'ai aussi donné cette sortie (j'avais fait une coquille précédemment en intervertissant 1 et 3). Les premiers se terminant par 1 et 9 vérifent les conditions, et il y en a 332 136 plus petits que 10 000 000. Conclusion ?
    Dernière modification par GBZM ; 06/08/2024 à 17h40.

  23. #53
    GBZM

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Par contre pour n premier, tu ne le vérifies pas. Non ?
    Vérifier quoi ?

    Tu peux lire le code, je l'ai posté.
    Tu verras que je compte les entiers plus petits que qui vérifient les conditions et carré parfait. Pour N=10 000 000, il y en a 332 136, j'ai aussi donné cette sortie (j'avais fait une coquille précédemment en intervertissant 1 et 3). Les premiers se terminant par 1 et 9 vérifent les conditions, et il y en a 332 136 plus petits que 10 000 000. Conclusion ?

  24. #54
    GBZM

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    J'ai légèrement modifé mon code :

    Code:
    def test(N,f) :
        s=0 ; t=0 ; L=[]
        for n in range(2,N) :
            A=sigma(n,2)
            if (A%10==f and is_square(A-1)) :
                s+=1
                e=sqrt(A-1)
                if not(is_prime(e)) :
                       t=n
                       break
                if not(is_prime(n)) :
                    L.append(n)
        if t>0 :
                       print("échec pour n = {}, sqrt(A-1) = {}".format(n,e)) 
        else :
                       print("Testé jusqu'à {} :\n\
    OK pour {} entiers vérifiant les conditions\n\
    Liste des entiers non premiers : {}".format(N,s,L))
    et testé jusqu'à cent millions :

    Code:
    %time test(100000000,2)
    Testé jusqu'à 100000000 :
    OK pour 2880484 entiers vérifiant les conditions
    Liste des entiers non premiers : []
    CPU times: user 24min 45s, sys: 316 ms, total: 24min 45s
    Wall time: 24min 47s

  25. #55
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Salut,

    On relance !

    Avec A = sigma²(n)

    sqrt(A - 1), si A se termine par 2, sqrt(A - 1) ne peut que se terminé par 1 ou 9

    Mais aussi

    sqrt(A - 1), si A se termine par 0, sqrt(A - 1) ne peut que se terminé par 3 ou 7

    Et la conjecture peut encore se simplifier

    Si sqrt(A - 1) est entière alors sqrt(A - 1) est un nombre premier

    Et se vérifie pour tout les n premiers

    Il y a un petit hic, la partie 3, 9 présente des cas où la conjecture est fausse,

    Liste des cas où la conjecture est fausse et le code qui le montre
     Cliquez pour afficher


    Pour tout ces cas n est pair, donc (A - 1) est pair, il suffira donc d'imposer A pair pour les rejeter

    Nouvelle conjecture :
    A = sigma²(n)
    Si A est pair et sqrt(A - 1) est entière, alors sqrt(A - 1) est un nombre premier

    Qui inclut toutes les autres et semble plus facile à démonter ?

    Sauf erreurs

    On a au moins répondu à une question, celle du msg #3
    Comment en êtes-vous arrivé à cette expression ?

    Maintenant on peut faire plus impressionnant :


    Oui, avec cet exemple, les A risquent d'être très grands.

    Feu
    Dernière modification par Biname ; 06/08/2024 à 22h48.

  26. #56
    Malefix

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Pour revenir sur le dernier message de Biname, qui dit que par exemple pour n=2696 la conjecture est fausse, eh bien ce n'est pas le cas.
    En effet pour n=2696 on a

    C'est-à-dire que le nombre obtenu ne finit pas par 2 donc la conjecture reste vraie pour l'instant.

  27. #57
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    re msg #54
    Maintenant on sait que pour trouver un contre exemple, il faudra chercher avec n>100e6
    Plus n est grand, plus on risque des erreurs sur A, sqrt et sur isprime ? Tu connais tout ça beaucoup mieux que moi.

  28. #58
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Citation Envoyé par Malefix Voir le message
    Pour revenir sur le dernier message de Biname, qui dit que par exemple pour n=2696 la conjecture est fausse, eh bien ce n'est pas le cas.
    En effet pour n=2696 on a

    C'est-à-dire que le nombre obtenu ne finit pas par 2 donc la conjecture reste vraie pour l'instant.
    Avec la nouvelle écriture de cette conjecture, on ne vérifie plus que A se termine par 2 ou par quoi que ce soit.
    Ce code montre juste les erreurs qu'il faut corriger avec la version -1 de la nouvelle conjecture, il montre qu'il faut y ajouter "A doit être pair", pour obtenir :

    Nouvelle conjecture :
    A = sigma²(n)
    Si A est pair et sqrt(A - 1) est entière, alors sqrt(A - 1) est un nombre premier

    Qui inclut toutes les autres et semble plus facile à démonter ? Dont la tienne.
    Dernière modification par Biname ; 06/08/2024 à 23h21.

  29. #59
    Malefix

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    En effet, je viens de tester avec la nouvelle conjecture et avec n=2696 j'obtiens 3107 qui n'est pas premier.
    Alors qu'avec ma conjecture ce n'était pas le cas.

    Que doit-on en conclure ? L'ancienne conjecture est meilleure ?

  30. #60
    Biname

    Re : Racines carrées et nombres premiers

    Une fois de plus, ce qui me paraissait une évidence n'en est pas une "ajouter A pair" n'élimine pas les n pairs
    Pour A se terminant par 0, A - 1 se termine par 9 qui donne de racines se terminant par 3 ou 7,
    dans ces cas, certains n pairs donne un A qui donne sqrt(A-1) entier et premier pour des valeurs de n "accessibles".
    cjct : sqrt(A-1) et FAUSSE sqrt(A-1) pas premier
     Cliquez pour afficher


    La nouvelle conjecture est incorrecte ... dommage !
    Dernière modification par Biname ; 07/08/2024 à 00h14.

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