Racines carrées et nombres premiers

[GBZM]

Ce n'est pas un scoop, Biname msg #9

Décidément, tu as de sérieux problèmes de logique. Ce n'est pas parce que les premiers se terminant par 1 ou 9 vérifient les conditions que tous les entiers vérifiant les conditions sont des premiers se terminant par 1 ou 9.
Réfléchis un peu avant d'écrire.
-----

[Biname]

Bon, on progresse, tu as compris que tu n'avais pas montré ce qu'il fallait.
Après, ça part plutôt mal. Si avec et premiers distincts, alors .

Non sigma²(a.b) = a² + b² + 1²
Je te retourne le compliment du msg #31

[GBZM]

Je répète mon conseil : réfléchis un peu avant d'écrire (des bêtises) !

[Biname]

Je répète mon conseil : réfléchis un peu avant d'écrire (des bêtises) !

Juste n² = (a.b)² est un diviseur, je retire mon compliment.

[Biname]

Dernier chiffre possible d'un carre 1, 4, 9, 5, 6 a² + b² + (a.b)² + 1 obtenir un 2 terminal serait impossible.
Petit code python : ce n'est possible que si a et b se terminent par 1

 Cliquez pour afficher

for a in range (0,10):
    for b in range (0,10):
        if 10 % (a**2 + b**2 + (a*b)**2 + 1) == 2:
            print (f"Denier chiffre = 1 pour a = {a} et b = {b}")

print ("finished")

[Biname]

Le dernier chiffre de a² + b² + (a.b)² + 1² vaut toujours 0 sauf pour a et b se terminant par 1 ou il vaut 2

 Cliquez pour afficher

for a in range (0,10):
    for b in range (0,10):
        last = 10 % (a**2 + b**2 + (a*b)**2 + 1)
        print (f"Denier chiffre = {last} pour a = {a} et b = {b}")


print ("finished")

Sortie du code

Denier chiffre = 0 pour a = 0 et b = 0
Denier chiffre = 0 pour a = 0 et b = 1
Denier chiffre = 0 pour a = 0 et b = 2
Denier chiffre = 0 pour a = 0 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 0 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 0 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 0 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 0 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 0 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 0 et b = 9
Denier chiffre = 0 pour a = 1 et b = 0
Denier chiffre = 2 pour a = 1 et b = 1
Denier chiffre = 0 pour a = 1 et b = 2
Denier chiffre = 10 pour a = 1 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 1 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 1 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 1 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 1 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 1 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 1 et b = 9
Denier chiffre = 0 pour a = 2 et b = 0
Denier chiffre = 0 pour a = 2 et b = 1
Denier chiffre = 10 pour a = 2 et b = 2
Denier chiffre = 10 pour a = 2 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 2 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 2 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 2 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 2 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 2 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 2 et b = 9
Denier chiffre = 0 pour a = 3 et b = 0
Denier chiffre = 10 pour a = 3 et b = 1
Denier chiffre = 10 pour a = 3 et b = 2
Denier chiffre = 10 pour a = 3 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 3 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 3 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 3 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 3 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 3 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 3 et b = 9
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 0
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 1
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 2
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 4 et b = 9
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 0
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 1
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 2
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 5 et b = 9
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 0
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 1
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 2
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 6 et b = 9
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 0
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 1
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 2
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 7 et b = 9
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 0
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 1
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 2
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 8 et b = 9
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 0
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 1
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 2
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 3
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 4
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 5
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 6
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 7
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 8
Denier chiffre = 10 pour a = 9 et b = 9
finished

C'est trop beau

[Biname]

Ooops + 1, modulo écrit à l'envers msg #35 et #36
Correction :

 Cliquez pour afficher

for a in range (10,20):
    for b in range (10,20):
        if last == 2:
            print (f"Denier chiffre = {last} pour a = {a} et b = {b}")


print ("finished")

Sortie :

Denier chiffre = 2 pour a = 0 et b = 1
Denier chiffre = 2 pour a = 0 et b = 9
Denier chiffre = 2 pour a = 1 et b = 0
Denier chiffre = 2 pour a = 1 et b = 5
Denier chiffre = 2 pour a = 4 et b = 5
Denier chiffre = 2 pour a = 5 et b = 1
Denier chiffre = 2 pour a = 5 et b = 4
Denier chiffre = 2 pour a = 5 et b = 6
Denier chiffre = 2 pour a = 5 et b = 9
Denier chiffre = 2 pour a = 6 et b = 5
Denier chiffre = 2 pour a = 9 et b = 0
Denier chiffre = 2 pour a = 9 et b = 5
finished

Ca nous avance moins, voire pas du tout.

[Malefix]

Bonjour à tous,

Je n'ai pas tout suivi, ma question est : finalement est-ce difficilement démontrable ? Intéressant ?

[Biname]

Décidément, tu as de sérieux problèmes de logique. Ce n'est pas parce que les premiers se terminant par 1 ou 9 vérifient les conditions que tous les entiers vérifiant les conditions sont des premiers se terminant par 1 ou 9.
Réfléchis un peu avant d'écrire.

On a démontré que tous les nombres premiers se terminant par 1 ou 9 vérifient la conjecture A = sigma²(n) et ses conditions.

Avec A = sigma²(n), si un nombre n vérifiant les conditions n'est pas un nombre premier se terminant par 1 ou 9, alors ce nombre est plus grand que 2000000, ce code le montre en 52 secondes. Oui, ça ne prouve rien.

 Cliquez pour afficher

# verifié OK, jusqu'à 2000000
import sympy
import math
import time

def sigma_2(n):
    """Calcule la somme des carrés des diviseurs de n en utilisant sympy."""
    diviseurs = sympy.divisors(n)
    return sum(d**2 for d in diviseurs)

def verifier_conjecture(n):
    global count_True, n_ok
    A = sigma_2(n)
    if A % 10 == 2:
        A -= 1   # avec A -= 3 retourne une conjecture FAUSSE pour n = 4655, 1 <= n <= 10000
        racine_A = int(math.sqrt(A))
        if racine_A * racine_A == A:
            resultat = sympy.isprime(racine_A)
            if resultat == True:  # conjecture vérifiee
                count_True += 1
                n_ok.append(n)
                mod_10 = n % 10
                if mod_10 != 1 and mod_10 != 9:  # testé sans 1 et sans 9
                    print (f"   n = {n} verifie et chiffre terminal différent de 1 et de 9")
                if not sympy.isprime(n):         # testé avec (n + 1)
                    print (f"   n = {n} verifie et n'est pas premier : diviseur(n) = {sympy.divisors(n)}")
            return resultat
        else:
            return True     # A - 1 n'est pas un carré parfait, on considère que la conjecture ne s'applique pas
    else:
        return True         # Si A ne se termine pas par 2, on considère que la conjecture ne s'applique pas

# Test
n_min = 1
n_max = 2000000
count_True = 0
flag_false = False
n_ok =[]

start_time = time.time()

for n in range(n_min, n_max + 1):
    if not verifier_conjecture(n):
        print(f"La vérification de la conjecture pour n = {n} est FAUSSE")
        flag_false = True
        break
end_time = time.time()



if not flag_false:
    print(f"La vérification de la conjecture pour n >= {n_min} à n <= {n_max} est VRAIE {count_True} fois")

# option 
# print (f"\nValeurs de n verifiant la nouvelle conjecture\n{n_ok}")

elapsed_time = end_time - start_time
print(f"\nTemps de calcul : {elapsed_time:.6f} secondes")

print(f"\nFINISHED")

On peut réécrire la conjecture de manière plus 'lisible' :

-------------
Conjecture réécrite :
sigma²(n) est la somme des carres des diviseurs de n (1 et n inclus)
A = sigma²(n)
A doit se terminer par 2
A - 1 doit être le carré d'un nombre entier pour appartenir à la conjecture
Si A - 1 est le carré d'un entier non premier, la conjecture est fausse
-------------

Si la conjecture est vraie pour A = sigma²(n) avec 1 <= n <=infini,
elle est vraie pour A = sigma²( n'importe quelle f(n) ) et donc
pour la fonction A initiale.

[Biname]

Bonjour à tous,
Je n'ai pas tout suivi, ma question est : finalement est-ce difficilement démontrable ? Intéressant ?

Démontrable ? A mon avis , oui, mais c'est en cours.
Intéressant ? Aucune idée ? La forme générale pourrait permettre au prof de maths de créer des exercices

Exemple : démontrez cette conjecture
Les conditions habituelles et
Voire dans la parenthèse une somme , un produit ou tout ce qui retourne un entier.

[MissJenny]

n non premier ==> n = a * b * 1 avec a = b possible, on s'occupera de a^n plus loin
A = sigma²(n) = a² + b² + 1

tu as oublié n, qui est un diviseur de lui-même. De plus tu as supposé a et b premiers ce qui n'est pas assuré.

[Biname]

Salut,

tu as oublié n, qui est un diviseur de lui-même. De plus tu as supposé a et b premiers ce qui n'est pas assuré.

Oui pour a² + b² + (a.b)² + 1 , GBZM l'a fait remarqué plus haut. On est toujours calé à ce niveau.
Le principe de la factorisation est de décomposer en nombre premier, l'idée sous-jacente est que si c'est vrai pour deux facteurs, c'est vrai pour plusieurs ?

En résumé, on est bloqué au résumé du msg #39, je pourrais dire 'je', car 'on' n'a pas fait grand-chose , oui corriger mes erreurs est aussi important, merci GBZM.

(La réflexion sur les personnalités est plus intéressante que la conjecture.)

[GBZM]

Avec A = sigma²(n), si un nombre n vérifiant les conditions n'est pas un nombre premier se terminant par 1 ou 9, alors ce nombre est plus grand que 2000000, ce code le montre en 52 secondes. Oui, ça ne prouve rien.

Je l'avais vérifié jusqu'à 10000000, comme je l'ai écrit hier à 19h10

[Biname]

Salut,

Je l'avais vérifié jusqu'à 10000000, comme je l'ai écrit hier à 19h10

Pas plus que mon premier code au msg #4, ton code ne vérifie explicitement qu'un n non premier, ou ne se terminant pas par 1 ou 9, ne s'est glissé dans la 'longue' liste, ce que font ces 4 lignes ajoutées au code du msg #4 au msg #39.

 Cliquez pour afficher

                mod_10 = n % 10
                if mod_10 != 1 and mod_10 != 9:  # testé sans 1 et sans 9
                    print (f"   n = {n} verifie et chiffre terminal différent de 1 et de 9")
                if not sympy.isprime(n):        # testé avec (n + 1)
                    print (f"   n = {n} vérifie et n'est pas premier : diviseur(n) = {sympy.divisors(n)}")

Notre problème maintenant est de démontrer qu'un n non premier ne s'est pas glissé dans la liste
donc un n dont les facteurs sont, au minimum, [a, b, a.b=n, 1]
En appliquant les conditions, cela signifie qu'il n'y a pas de solutions entières pour

a² + b² + a².b² = q² avec a, b, q entiers

ou a² + b² = q² - a²b² = (q - ab)(q + ab)

Feu !

[Biname]

corrections
n "nom premier est impossible" et "on "glissé dans la liste"
"facteurs" devient "diviseurs"
a différent de b
Est-ce que je lis ce que j'écris.

[MissJenny]

En appliquant les conditions, cela signifie qu'il n'y a pas de solutions entières pour

a² + b² + a².b² = q² avec a, b, q entiers

2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2

[Biname]

2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2

Il faut ajouter (a² + b² + a²b² + 1) mod 10 = 2 ou sigma(a.b) mod 10 = 2

Hier gpt 4o m'a fait une démo à partir de ce système. Il ne m'a pas convaincu.

[Biname]

2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2

J'oubliais : ab doit être plus grand que 2 millions, courage !

[GBZM]

Je confirme que j'avais bien vérifié jusqu'à 10 000 000 que les premiers terminant par 1 ou 9 sont les seuls entiers n qui vérifient vérifient les conditions et carré parfait. En effet mon code compte 332 316 tels entiers, et il y a 332 316 premiers plus petits que 10 000 000 terminant par 1 ou 9.
Biname pourra demander à ChatGPT de vérifier cette dernière affirmation.

[Biname]

Je confirme que j'avais bien vérifié jusqu'à 10 000 000 que les premiers terminant par 1 ou 9 sont les seuls entiers n qui vérifient vérifient les conditions et carré parfait. En effet mon code compte 332 316 tels entiers, et il y a 332 316 premiers plus petits que 10 000 000 terminant par 1 ou 9.
Biname pourra demander à ChatGPT de vérifier cette dernière affirmation.

Tu as raison, pour 1 et 9, c'est implicite avec A mod 10 = 2, la racine carrée entière d'un nombre entier se terminant par 1 ne peut se terminer que par 1 ou 9.
Par contre pour n premier, rien ne le prouve, si tu as une preuve, tu as prouvé la conjecture. Non ?

Feu

[Biname]

Par contre pour n premier, rien ne le prouve, si tu as une preuve, tu as prouvé la conjecture. Non ?

Correction :
Par contre pour n premier, tu ne le vérifies pas. Non ?

[GBZM]

Par contre pour n premier, tu ne le vérifies pas. Non ?

Vérifier quoi ?

Tu peux lire le code, je l'ai posté.
Tu verras que je compte les entiers plus petits que qui vérifient les conditions et carré parfait. Pour N=10 000 000, il y en a 332 136, j'ai aussi donné cette sortie (j'avais fait une coquille précédemment en intervertissant 1 et 3). Les premiers se terminant par 1 et 9 vérifent les conditions, et il y en a 332 136 plus petits que 10 000 000. Conclusion ?

[GBZM]

Par contre pour n premier, tu ne le vérifies pas. Non ?

Vérifier quoi ?

Tu peux lire le code, je l'ai posté.
Tu verras que je compte les entiers plus petits que qui vérifient les conditions et carré parfait. Pour N=10 000 000, il y en a 332 136, j'ai aussi donné cette sortie (j'avais fait une coquille précédemment en intervertissant 1 et 3). Les premiers se terminant par 1 et 9 vérifent les conditions, et il y en a 332 136 plus petits que 10 000 000. Conclusion ?

[GBZM]

J'ai légèrement modifé mon code :

def test(N,f) :
    s=0 ; t=0 ; L=[]
    for n in range(2,N) :
        A=sigma(n,2)
        if (A%10==f and is_square(A-1)) :
            s+=1
            e=sqrt(A-1)
            if not(is_prime(e)) :
                   t=n
                   break
            if not(is_prime(n)) :
                L.append(n)
    if t>0 :
                   print("échec pour n = {}, sqrt(A-1) = {}".format(n,e)) 
    else :
                   print("Testé jusqu'à {} :\n\
OK pour {} entiers vérifiant les conditions\n\
Liste des entiers non premiers : {}".format(N,s,L))

et testé jusqu'à cent millions :

%time test(100000000,2)

Testé jusqu'à 100000000 :
OK pour 2880484 entiers vérifiant les conditions
Liste des entiers non premiers : []
CPU times: user 24min 45s, sys: 316 ms, total: 24min 45s
Wall time: 24min 47s

[Biname]

Salut,

On relance !

Avec A = sigma²(n)

sqrt(A - 1), si A se termine par 2, sqrt(A - 1) ne peut que se terminé par 1 ou 9

Mais aussi

sqrt(A - 1), si A se termine par 0, sqrt(A - 1) ne peut que se terminé par 3 ou 7

Et la conjecture peut encore se simplifier

Si sqrt(A - 1) est entière alors sqrt(A - 1) est un nombre premier

Et se vérifie pour tout les n premiers

Il y a un petit hic, la partie 3, 9 présente des cas où la conjecture est fausse,

Liste des cas où la conjecture est fausse et le code qui le montre

 Cliquez pour afficher

n_max = 10000000  n_min = 2
========== RESTART: C:/Users/sholl/MesUtils/Python310/Conjecture_ALC_007_sqr_sig_min_1.py ==========
   n = 6               verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 1, 3: 1}
   n = 40              verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 5: 1}
   n = 136             verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 17: 1}
   n = 2696            verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 337: 1}
      n = 2696         FAUSSE cjct = 3107.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {13: 1, 239: 1}
   n = 3352            verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 419: 1}
   n = 46976           verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 7, 367: 1}
      n = 46976        FAUSSE cjct = 54243.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {3: 3, 7: 2, 41: 1}
   n = 223736          verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 27967: 1}
      n = 223736       FAUSSE cjct = 257843.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {401: 1, 643: 1}
   n = 5509736         verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 688717: 1}
      n = 5509736      FAUSSE cjct = 6349657.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {67: 1, 94771: 1}

Temps de calcul pour n_max - n_min(=2) = 9999998 : 388.327062 secondes

import sympy
import math
import time

def sigma_2(n):
    """Calcule la somme des carrés des diviseurs de n en utilisant sympy."""
    diviseurs = sympy.divisors(n)
    return sum(d**2 for d in diviseurs)

def verifier_conjecture(n):
    global count_True, n_ok
    A = sigma_2(n)
    A -= 1   # avec A -= 3 retourne une conjecture FAUSSE pour n = 4655, 1 <= n <= 10000
    racine_A = int(math.sqrt(A))
    if racine_A * racine_A == A:
        resultat = sympy.isprime(racine_A)
        if resultat == True:  # conjecture vérifiee
            count_True += 1
            # n_ok.append(n)
            
        if not sympy.isprime(n):         # testé avec (n + 1)
            print (f"   n = {n:<15} verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {sympy.factorint(n)}")
        return resultat
    else:
        return True     # A - 1 n'est pas un carré parfait, on considère que la conjecture ne s'applique pas

# Test
n_min = 2
n_max = 100000       #   ********************************** param utilisateur
count_True = 0
flag_false = False
n_ok =[]

start_time = time.time()

for n in range(n_min, n_max + 1):
    if not verifier_conjecture(n):
        print(f"      n = {n:<12} FAUSSE cjct = {math.sqrt(sigma_2(n) - 1):.20f}  fact_cjct:exp = {sympy.factorint(int(math.sqrt(sigma_2(n) - 1) ))}")
        flag_false = True
        # break

end_time = time.time()

if not flag_false:
    print(f"La vérification de la conjecture pour n >= {n_min} à n <= {n_max} est VRAIE {count_True} fois")

# option 
# print (f"\nValeurs de n verifiant la nouvelle conjecture\n{n_ok}")

elapsed_time = end_time - start_time
print(f"\nTemps de calcul pour n_max - n_min = {n_max - n_min} : {elapsed_time:.6f} secondes")

print(f"\nFINISHED")

Pour tout ces cas n est pair, donc (A - 1) est pair, il suffira donc d'imposer A pair pour les rejeter

Nouvelle conjecture :
A = sigma²(n)
Si A est pair et sqrt(A - 1) est entière, alors sqrt(A - 1) est un nombre premier

Qui inclut toutes les autres et semble plus facile à démonter ?

Sauf erreurs

On a au moins répondu à une question, celle du msg #3
Comment en êtes-vous arrivé à cette expression ?

Maintenant on peut faire plus impressionnant :


Oui, avec cet exemple, les A risquent d'être très grands.

Feu

[Malefix]

Pour revenir sur le dernier message de Biname, qui dit que par exemple pour n=2696 la conjecture est fausse, eh bien ce n'est pas le cas.
En effet pour n=2696 on a

C'est-à-dire que le nombre obtenu ne finit pas par 2 donc la conjecture reste vraie pour l'instant.

[Biname]

re msg #54
Maintenant on sait que pour trouver un contre exemple, il faudra chercher avec n>100e6
Plus n est grand, plus on risque des erreurs sur A, sqrt et sur isprime ? Tu connais tout ça beaucoup mieux que moi.

[Biname]

Pour revenir sur le dernier message de Biname, qui dit que par exemple pour n=2696 la conjecture est fausse, eh bien ce n'est pas le cas.
En effet pour n=2696 on a

C'est-à-dire que le nombre obtenu ne finit pas par 2 donc la conjecture reste vraie pour l'instant.

Avec la nouvelle écriture de cette conjecture, on ne vérifie plus que A se termine par 2 ou par quoi que ce soit.
Ce code montre juste les erreurs qu'il faut corriger avec la version -1 de la nouvelle conjecture, il montre qu'il faut y ajouter "A doit être pair", pour obtenir :

Nouvelle conjecture :
A = sigma²(n)
Si A est pair et sqrt(A - 1) est entière, alors sqrt(A - 1) est un nombre premier

Qui inclut toutes les autres et semble plus facile à démonter ? Dont la tienne.

[Malefix]

En effet, je viens de tester avec la nouvelle conjecture et avec n=2696 j'obtiens 3107 qui n'est pas premier.
Alors qu'avec ma conjecture ce n'était pas le cas.

Que doit-on en conclure ? L'ancienne conjecture est meilleure ?

[Biname]

Une fois de plus, ce qui me paraissait une évidence n'en est pas une "ajouter A pair" n'élimine pas les n pairs
Pour A se terminant par 0, A - 1 se termine par 9 qui donne de racines se terminant par 3 ou 7,
dans ces cas, certains n pairs donne un A qui donne sqrt(A-1) entier et premier pour des valeurs de n "accessibles".
cjct : sqrt(A-1) et FAUSSE sqrt(A-1) pas premier

 Cliquez pour afficher

   n = 6               verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 1, 3: 1}
      n = 6                   cjct = 7.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {7: 1}
   n = 40              verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 5: 1}
      n = 40                  cjct = 47.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {47: 1}
   n = 136             verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 17: 1}
      n = 136                 cjct = 157.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {157: 1}
   n = 2696            verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 337: 1}
      n = 2696                cjct = 3107.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {13: 1, 239: 1}
      n = 2696         FAUSSE cjct = 3107.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {13: 1, 239: 1}
   n = 3352            verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 3, 419: 1}
      n = 3352                cjct = 3863.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {3863: 1}
   n = 46976           verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {2: 7, 367: 1}
      n = 46976               cjct = 54243.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {3: 3, 7: 2, 41: 1}
      n = 46976        FAUSSE cjct = 54243.00000000000000000000  fact_cjct:exp = {3: 3, 7: 2, 41: 1}
La vérification de la conjecture pour n >= 2 à n <= 100000 est VRAIE 9595 fois

Temps de calcul pour n_max - n_min = 99998 : 1.834546 secondes

import sympy
import math
import time

def sigma_2(n):
    """Calcule la somme des carrés des diviseurs de n en utilisant sympy."""
    diviseurs = sympy.divisors(n)
    return sum(d**2 for d in diviseurs)

def verifier_conjecture(n):
    global count_True, n_ok
    A = sigma_2(n)
    if A % 2 == 0:
    # if 1==1:
        A -= 1   # avec A -= 3 retourne une conjecture FAUSSE pour n = 4655, 1 <= n <= 10000
        racine_A = int(math.sqrt(A))
        if racine_A * racine_A == A:
            resultat = sympy.isprime(racine_A)
            if resultat == True:  # conjecture vérifiee
                count_True += 1
                # n_ok.append(n)
                
            if not sympy.isprime(n):         # testé avec (n + 1)
                print (f"   n = {n:<15} verifie et n n'est pas premier : fact:exp(n) = {sympy.factorint(n)}")
                print (f"      n = {n:<12}        cjct = {math.sqrt(sigma_2(n) - 1):.20f}  fact_cjct:exp = {sympy.factorint(int(math.sqrt(sigma_2(n) - 1) ))}")
            return resultat
        else:
            return True     # A - 1 n'est pas un carré parfait, on considère que la conjecture ne s'applique pas
    else:
        return True
# Test
n_min = 2
n_max = 100000
count_True = 0
flag_false = False
n_ok =[]

start_time = time.time()

for n in range(n_min, n_max + 1):
    if not verifier_conjecture(n):
        print(f"      n = {n:<12} FAUSSE cjct = {math.sqrt(sigma_2(n) - 1):.20f}  fact_cjct:exp = {sympy.factorint(int(math.sqrt(sigma_2(n) - 1) ))}")
        flag_false = True
        # break

end_time = time.time()

#if not flag_false:
print(f"La vérification de la conjecture pour n >= {n_min} à n <= {n_max} est VRAIE {count_True} fois")

# option 
# print (f"\nValeurs de n verifiant la nouvelle conjecture\n{n_ok}")

elapsed_time = end_time - start_time
print(f"\nTemps de calcul pour n_max - n_min = {n_max - n_min} : {elapsed_time:.6f} secondes")

print(f"\nFINISHED")

La nouvelle conjecture est incorrecte ... dommage !