Accélération en relativité générale

[invite40507569]

Cela va plus loin que le "bien pratique". Les symboles de Christoffel sont un cas particulier de connexion. On peut approcher toute la théorie via la notion de connexion, et on découvre alors quelque chose de plus riche et peut-être plus fondamental que l'approche par la métrique, parce qu'on peut parler de connexions autres que celle de Levy-Civita (celle correspondant aux symboles de Christoffel).

Quelle est la différence entre la connexion de Levi-Civita et celle de Koszul?
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[invité576543]

Quelle est la différence entre la connexion de Levi-Civita et celle de Koszul?

Milles excuses de répondre à une question par une question, mais la mienne me semble justifiée par la manière dont vous intervenez sur ce forum:

Vous cherchez à me poser une colle ou vous posez une question dont vous ne connaissez pas la réponse?

Cordialement,

[invite40507569]

Milles excuses de répondre à une question par une question, mais la mienne me semble justifiée par la manière dont vous intervenez sur ce forum:

Vous cherchez à me poser une colle ou vous posez une question dont vous ne connaissez pas la réponse?

Cordialement,

Je connais la connexion de LV, ce sont les Christoffel, mais j'ai lu quelque part qu'il existait une connexion de Koszul, du nom d'un de mes professeurs.

[invite93279690]

Salut,

Je ne suis pas bien sûr de comprendre le "implique". J'ai cru comprendre que la nullité de la torsion est une hypothèse du modèle, pas une conséquence du principe. J'ai regardé (ça ne dépasse pas cela) le Wiki sur le modèle Einstein-Cartan, et j'ai l'impression que cela montre que la torsion nulle est une simplification.

Pour justifier la nullité de la torsion j'avais vu par exemple que les equations de Maxwell classiques (au sens de non quantiques) relativistes (au sens de la RG) ne sont pas invariantes de jauge si la torsion n'est pas nulle...c'est assez convainquant je trouve pour justifier cette hypothèse du modèle même si elle n'est pas nécessaire mathématiquement.

[invite93279690]

Cela va plus loin que le "bien pratique". Les symboles de Christoffel sont un cas particulier de connexion. On peut approcher toute la théorie via la notion de connexion, et on découvre alors quelque chose de plus riche et peut-être plus fondamental que l'approche par la métrique, parce qu'on peut parler de connexions autres que celle de Levy-Civita (celle correspondant aux symboles de Christoffel).

Il y a un problème de vocabulaire je pense (en tout cas en ce qui me concerne).
En fait ça dépend de comment on définit une connexion. Personnelement j'ai appris qu'une connexion linéaire sur une variété quelle qu'elle soit était caractérisée par ses symboles de Christoffel. Ensuite lorsqu'on choisit la connexion de Levi-Cevita (dans un espace metrique forcément) alors les symboles de Christoffel s'écrivent explicitement en termes de la métrique comme on les trouve de façon usuel en RG.

[invité576543]

Je connais la connexion de LV, ce sont les Christoffel, mais j'ai lu quelque part qu'il existait une connexion de Koszul, du nom d'un de mes professeurs.

Dans la littérature anglaise on parle de connexion tout court dans ce cas. La connexion de LV en est un cas particulier, c'est parmi toutes les connexions et étant donnée une métrique la (seule) connexion compatible avec la métrique et de connexion nulle.

l y a un problème de vocabulaire je pense (en tout cas en ce qui me concerne).
En fait ça dépend de comment on définit une connexion. Personnelement j'ai appris qu'une connexion linéaire sur une variété quelle qu'elle soit était caractérisée par ses symboles de Christoffel.

J'ai des sources qui distinguent clairement la connexion d'un côté et les symboles de Christoffel. Cette dernière expression est réservé à l'expression déduite de la métrique, et ces symboles correspondent aux coefficients de connexion dans le cas d'un connexion particulière.

Quand on élargit la vision au-delà des espaces de Riemann, cette distinction est nécessaire. Dans des espaces plus généraux la notion de symbole de Christoffel continue à exister (ils sont dérivés de la métrique) mais les coefficients de la connexion ne sont pas nécessairement les symboles de Christoffel.

Cordialement,

[invite93279690]

J'ai des sources qui distinguent clairement la connexion d'un côté et les symboles de Christoffel. Cette dernière expression est réservé à l'expression déduite de la métrique, et ces symboles correspondent aux coefficients de connexion dans le cas d'un connexion particulière.

Ba je veux bien mais j'ai des sources qui disent le contraire (c'est pour ça que je dis qu'il y a un problème de vocabulaire).
ici par exemple.

Quand on élargit la vision au-delà des espaces de Riemann, cette distinction est nécessaire. Dans des espaces plus généraux la notion de symbole de Christoffel continue à exister (ils sont dérivés de la métrique) mais les coefficients de la connexion ne sont pas nécessairement les symboles de Christoffel.

Personnelement je ne vois pas où est le problème d'appeler symboles de Christoffel les coefficients de la connexion indépendament du type de la connexion et d'en donner une forme explicite avec la connexion de Levi-Cevita.

De plus, étant donné que l'on peut munir une variété d'une connexion linéaire sans lui associer de métrique, je serais curieux de savoir comment on fait pour utiliser malgré tout les symboles de Christoffel tels que tu les définis.

[invité576543]

Pour justifier la nullité de la torsion j'avais vu par exemple que les equations de Maxwell classiques (au sens de non quantiques) relativistes (au sens de la RG) ne sont pas invariantes de jauge si la torsion n'est pas nulle...c'est assez convainquant je trouve pour justifier cette hypothèse du modèle même si elle n'est pas nécessaire mathématiquement.

Possible. Difficile pour moi de voir la cohérence d'ensemble. Que penses-tu decela?

Cordialement,

[invité576543]

De plus, étant donné que l'on peut munir une variété d'une connexion linéaire sans lui associer de métrique, je serais curieux de savoir comment on fait pour utiliser malgré tout les symboles de Christoffel tels que tu les définis.

Je ne crois pas avoir parlé des symboles de Christoffel en dehors de toute métrique.

A part cela, regarde l'annexe finale de ce document (c'est Rincevent qui m'a indiqué ce document fort intéressant). L'auteur distingue la connexion des symboles en mettant un tilde au-dessus des symboles de Christoffel (page 48 par exemple).

Cordialement,

[invité576543]

Ba je veux bien mais j'ai des sources qui disent le contraire (c'est pour ça que je dis qu'il y a un problème de vocabulaire).
ici par exemple.

Intéressant. Une phrase comme

Les règles imposées sur la connexion linéaire permettent de montrer que
dans un système de coordonnées locales (...) ∇ est
complétement définie par les symboles de Christoffel

est en contradiction directe avec divers textes que j'ai lus.

Personnelement je ne vois pas où est le problème d'appeler symboles de Christoffel les coefficients de la connexion indépendament du type de la connexion et d'en donner une forme explicite avec la connexion de Levi-Cevita.

Aucune convention de vocabulaire prise isolément ne cause de problème! C'est les usages incohérents de différents auteurs qui créent un problème, pas la convention en soi.

Cordialement,

[invité576543]

Si on prend le Wiki anglais comme juge de paix, http://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbol, la présentation correspond à ce que j'ai écrit, pas à celle du texte que tu as cité. (La restriction à la connexion de LV et aux espaces de Riemann est explicite.)

Cordialement,

[invité576543]

Pour justifier la nullité de la torsion j'avais vu par exemple que les équations de Maxwell classiques (au sens de non quantiques) relativistes (au sens de la RG) ne sont pas invariantes de jauge si la torsion n'est pas nulle...c'est assez convainquant je trouve pour justifier cette hypothèse du modèle même si elle n'est pas nécessaire mathématiquement.

En relisant un des textes cités, je pense que tu soulèves un point en rapport avec:

How to include spacetime translations in fiber bundle gauge theories has been a subject of controversy for 50 years, because spacetime symmetries are not internal symmetries of the bundle structure group. A consistent approach to including translations in spacetime theories is outline in (Petti 2006).

(Les translations en question sont directement liées à une torsion non nulle.)

L'article de Petti est disponible sur le Web, mais dépasse largement mes compétences. Mais ça a l'air intéressant.

Cordialement,

[invite8915d466]

Salut,

Je ne suis pas bien sûr de comprendre le "implique". J'ai cru comprendre que la nullité de la torsion est une hypothèse du modèle, pas une conséquence du principe. J'ai regardé (ça ne dépasse pas cela) le Wiki sur le modèle Einstein-Cartan, et j'ai l'impression que cela montre que la torsion nulle est une simplification.

il me semble qu'une torsion non nulle serait observable par des expériences menées en chute libre non? et ça violerait donc le principe d'équivalence. Mais je n'ai jamais regardé ça de pres et je n'en suis pas sur !

J'ai l'impression que la métrique remplit un rôle différent que la description des lignes droites et de transport des quantités vectorielles, deux notions qui sont entièrement couvertes par la connexion. Si on part de la connexion comme fondamentale, on peut voir comme "principe" que la métrique est contrainte d'être compatible avec la connexion (i.e., qu'il existe des tétrades orthonormées), plutôt que le contraire. (Et dans un texte que j'ai lu, il est dit explicitement que la connexion de Levi-Civita n'est pas la seule compatible avec une métrique. Et il me semble que dans le modèle Einstein-Cartan la métrique est compatible avec la connexion, alors que la torsion n'est pas nulle.)

Cordialement,

c'est plus ou moins ce que j'avais compris, mais je pense que pour se ramener à des experiences physiques, différentes connexions compatibles avec la meme métrique, mais de torsions différentes, donneraient les mêmes trajectoires géodésiques (au sens de minimisation de la distance calculée par la métrique), mais se comporteraient différememment lors du transport de quantités tensorielles en particulier le spin. Par exemple (la encore c'est ce que j'imaginais mais je demande confirmation) un électron en chute libre aurait la meme trajectoire mais son spin précesserait différemment.

cdt

Gilles

[invité576543]

c'est plus ou moins ce que j'avais compris, mais je pense que pour se ramener à des expériences physiques, différentes connexions compatibles avec la même métrique, mais de torsions différentes, donneraient les mêmes trajectoires géodésiques (au sens de minimisation de la distance calculée par la métrique), mais se comporteraient différemment lors du transport de quantités tensorielles en particulier le spin. Par exemple (la encore c'est ce que j'imaginais mais je demande confirmation) un électron en chute libre aurait la même trajectoire mais son spin précesserait différemment.

Je comprend comme ça aussi.

L'article Wiki sur le modèle Einstein-Cartan dit explicitement que les effets sont trop faibles pour être accessibles à l'expérimentation actuelle ("Experimental effects are too small to be observed at the present time.").

D'où ma phrase comme quoi la torsion nulle serait une simplification.

J'ai cherché à comprendre quelque chose là-dedans à cause du modèle dodécaédrique de Luminet, qui est chiral. J'ai l'impression (mais personne n'a confirmé ou infirmé sur le fil que j'ai démarré là-dessus) qu'on ne peut y mettre une tétrade partout continue qu'avec torsion. Je suis incapable de calculer ou de trouver un papier pour déterminer si cette torsion est compatible avec le modèle Einstein-Cartan.

Tout ça éloigne du sujet, mais à mon sens cela donne de l'intérêt aux visions à partir d'une connexion générale et des tétrades. La définition de l'accélération directement à partir du transport parallèle en dérive. Si je comprends bien, avec une tétrade orthonormée, le q-vecteur vitesse est à orientation constante par rapport à la tétrade le long de toute géodésique, et l'accélération est la rotation du q-vecteur vitesse relativement à la tétrade.

Cordialement,

[invité576543]

il me semble qu'une torsion non nulle serait observable par des expériences menées en chute libre non?

Possible. Mais je serais intéressé par un développement.

et ça violerait donc le principe d'équivalence.

Je ne vois pas immédiatement pourquoi?

Cordialement,

[invite8915d466]

Je ne vois pas immédiatement pourquoi?

Cordialement,

tu as raison je pense : ce que je me disais, c'est qu'un espace avec torsion ferait tourner un spin par rapport à un référentiel matérialisé par des géodésiques spatiales (contrairement à la precession genre Lense-Thirring qui fait tourner l'ensemble des moments cinétiques et n'est donc pas mesurable "de l'intérieur" mais seulement par un observateur extérieur). Autrement dit un observateur en chute libre verrait par exemple une non-conservation du spin, ce qui lui indiquerait la présence de "quelque chose". Mais en fait ce "quelque chose" n'est pas associé au champ gravitationnel mais à la structure de l'espace sous-jacent , ce n'est effectivement pas une violation du principe d'équivalence (la torsion etant egalement mesurable dans l'espace plat de Minkowski). Disons que mettre une torsion complique plutot l'espace-temps plat de la RR, et donc de la RG par contrecoup.

Sinon je ne sais pas si une torsion est nécessaire dans les espaces multiconnexes. A priori je ne vois pas immédiatement pourquoi : si il y a torsion on peut toujours l'enlever pour construire des connexions sans torsion non?

cordialement

Gilles

[invité576543]

Sinon je ne sais pas si une torsion est nécessaire dans les espaces multiconnexes. A priori je ne vois pas immédiatement pourquoi : si il y a torsion on peut toujours l'enlever pour construire des connexions sans torsion non?

C'est plus une interrogation de ma part qu'autre chose.

Mais dans le cas de la sphère de Poincaré, je vois bien comment on peut faire localement une connexion sans torsion, mais pas globalement.

En gros quand tu vas du centre d'une face à celui de l'opposée (donc au même point!) tu suis ce qui par symétrie doit être une géodésique fermée, mais il y a une rotation de pi/10 des angles avec les directions particulières. L'anisotropie de l'espace permet de parler de ces directions privilégiée et ça la continuité demande de retomber sur les directions d'origine quand on fait un tour entier de la géodésique fermée.

Cela ne se présente pas pour tous les espaces multiconnexes: S3 est isotrope, T3 n'est pas chiral.

Mais j'avais ouvert un autre fil sur le sujet (http://forums.futura-sciences.com/thread161540.html), si ça intéresse quelqu'un mieux vaut discuter sur cet autre fil.

Cordialement,

[invité576543]

Bonjour,

Pour revenir au sujet principal, l'expression de l'accélération en RG, existe-t-il une formule concise pour l'accélération spatiale relative sans référer aux coordonnées?

Pour la vitesse, si on note u et v les 4-vitesses respectives à l'intersection de deux trajectoires U et V, la vitesse relative spatiale à l'intersection de V vu de U peut s'écrire v-(v.u)u.

Existe-t-il une formule similaire pour l'accélération relative à l'intersection? La simple projection de répond-elle à ce qu'on en attend (en particulier donne-t-elle ce qu'on attend à l'approximation newtonienne)? (Quid de ?)

Cordialement,

[invitea01d101a]

Quelle est la différence entre la tétrade et les coordonnées de Riemann?

Je ne saurais répondre de façon claire et concise...

En gros : un ds^2 (tant pis s'il ne connecte pas toutes les régions de l'espace-temps !) -> quatre coordonnées (x^0,x^1,x^2,x^3) qui n'ont RIEN DE PHYSIQUE a priori (les coordonnées de Riemann sont-elles celles-ci selon vous ?).

Après quoi, il faut se souvenir que les infos physiques mesurables sont (en général) des champs tensoriels (ou parfois, comme c'est le cas de l'énergie les composantes d'un tenseur). ACHTUNG cependant : ces champs s'appuient sur le produit tensoriel de n espaces tangents par p espaces cotangents (pour un tenseur de type (n,p)), ces tangents-cotangents N'AYANT PAS de réalité physique (d'ailleurs si c'était les cas, on s'embêterait pas avec les variétés riemaniennes et on écrirait tout dans un gentil espace-temps affine, ce qui n'est pas le cas). On introduit alors des vecteurs abstraits, quatre en fait suivant chaque point d'espace-temps, sur lesquels on va engendrer des bases pour nos tenseurs. Les tétrades sont simplement de telles bases locales mais "adaptées aux coordonnées de Riemann" (adaptées == des bases construites sur coordonnées elles-mêmes en gros).

Exemple :



pour une métrique de Schwarzshild... En chaque point de l'espace-temps, en associe une base écrites par la suite de manière abstraite sous la forme , et tq l'on pose un produit minkowskien tel que où désigne un point de la variété espace-temps (dans la limite des horizons, s'il y en a ; sinon, faut trouver une connection pas simple !!!) On rend ensuite ces bases orthonormées pour le produit minkowskien (faciiiiiiile, au moins en principe, le ps est connu, donné par une "matrice symétrique" de signature parfaitement connue... ie la matrice ).

L'avantage de manipuler ces bases c'est que ça permet une certaine élégance au formalisme ; ça permet de classifier les "zones" non racordables par une géodésique de type temps. Ca permet aussi de démontrer sans effort ni "trucs" cabalistiques des relations du genre :

"si est le 4-moment d'une particule, et si est la 4-vitesse d'un observateur quelconque (ces deux 4-vecteurs étant normés, leur norme respective valant et dans une convention de signature ; ce sont deux vecteurs de genre temps... ps ça marche aussi pour l'énergie d'un photon, en posant , en ce cas est de genre lumière), alors l'énergie que cet observateur va associer à la particule est "

Ce qui est sympathique :
- ça donne une forme intrinsèque pour le calcul de l'énergie mesuré par un observateur.
- les tétrades permettent de calculer rapidement (soit à la main pour des vecteurs 4-moments et 4-vitesses pas trop complexes, sinon on peut toujours recourir à l'ordinateur si on n'a pas le courage de pousser le calcul jusqu'au bout...) cette énergie, et, évidemment, toute observable de RG !!!

L'utilité des tétrades, c'est que localement, on redresse les bases sur lesquelles s'appuient les grandeurs physiques (i.e. les champs de tenseurs), et comme on peut annuler la gravité localement on arrive à la conclusion que, dans ces référentiels (ça y est j'ai lâché le mot ! Les tétrades SONT des référentiels ) tout se passe comme en relativité restreinte, donc on est content si on connait le moyen de calculer les observables en relativité restreinte...

Conclusion : une question : sans tétrades, pour moi cette phrase n'a AUCUN, mais alors AUCUN sens :
"Soit, pour une métrique quelconque une ligne d'Univers (!!! c'est quoi cet objet ?), pour lequel le vecteur 4-vitesse s'écrit (beuuuuark : irrecevable, le 4-vecteur vitesse en un point ne peut pas être plongé dans la variété espace-temps !!! c'est un objet typique de l'espace tangent associé à un événement, i.e. l'événement : la particule est maintenant ICI sur la ligne d'Univers). Alors l'énergie de la particule (???? L'énergie ? Mais par rapport à quel observateur ??? Si la métrique n'est pas diagonale, dur dur d'y répondre...) vaut : (!!!!!!!! alors, là c'est le comble !!!! A priori, y'aurait aussi la possibilité d'avoir , non ???)."

Moralité de l'histoire : calculer des métriques via les équations d'Einstein c'est bien... Mais c'est complètement sans intérêt si l'on veut par exemple expliquer PROPREMENT ce qui se passe quand une particule tombe sur un trou noir en rotation et chargé par exemple Je suggère à tous ceux (et celles) qui veulent faire de la RG de se mettre au boulot en ce qui concerne le traitement des "differential manifolds", sans ça comment exploiterez-vous des infos physiques sur une métrique ??? Je pense que ça vaut le coup de se casser la tête là-dessus (en particulier en ce qui concerne le calcul de Cartan), ça permet de comprendre bien des choses et d'écrire réellement les choses de manière intrinsèque Enfin, et ce sera mon dernier mot (oui, s'il vous plaît M. Weinberg Jr, z'êtes vraiment long en explication, là hihi), tout ce qui est dit dans ce message semble se raccorder naturellement au sujet initial : sisi, rappelez-vous, la question n°1 qui était de savoir comment atteindre "c" pour une particule uniformément accélérée, observée par un observateur (mais, lequel ??? c'est pas précisé dans l'intitulé du post par M. Bschaeffer...) dans le cadre de la RG (question malheureusement confuse, mais je suis en train de travailler sur

un pdf clair que je posterai pour ceux et celles qui en feront la demande

PS : je ne souhaite en aucun cas, dans ce post, insulter ceux qui maîtrisent la RG. Toujours est-il qu'il ne faut pas perdre un instant de vue chaque ligne de calcul que l'on y mène. La direction s'excuse pour les éventuelles coquilles laissées dans ce message (après tout, je n'ai pas la science infuse non plus, donc les critiques INTELLIGENTES seront bien entendu bienvenues).

Cordialement à tous et toutes

[invitea01d101a]

Bonjour,

Pour revenir au sujet principal, l'expression de l'accélération en RG, existe-t-il une formule concise pour l'accélération spatiale relative sans référer aux coordonnées?

Pour la vitesse, si on note u et v les 4-vitesses respectives à l'intersection de deux trajectoires U et V, la vitesse relative spatiale à l'intersection de V vu de U peut s'écrire v-(v.u)u.

Existe-t-il une formule similaire pour l'accélération relative à l'intersection? La simple projection de répond-elle à ce qu'on en attend (en particulier donne-t-elle ce qu'on attend à l'approximation newtonienne)? (Quid de ?)

Cordialement,

Bonjour (ou bonsoir plutôt )

Voici la formule intrinsèque de la déviation géodésique (attention, ça décoiffe )

"Soient deux géodésiques, telles qu'en un endroit dans la variété espace-temps 2 particules suivant ces géodésiques aient le même 4-vecteur vitesse et soient séparées par un invertalle de type espace infinitésimal . Alors, on a l'équation de la déviation géodésique :

où est le tenseur de Riemann de type (1,3), et est le produit intérieur (i.e. contraction chez les fanas d'écriture en composante)."

cordialement à vous !!!

[invitea01d101a]

Dire que ce n'est pas son domaine d'application c'est renoncer à l'unification des deux relativités. Avant de vouloir tout unifier, il faudrait commencer par unfier la RR et la RG.

A propos d'unification (maintenant que je relis un peu le début du post...) c'est déjà fait : ça s'appelle : la magie des tétrades

Je vous suggère de lire Wheeler, Kip et al. à ce sujet (c'est un gros bouquin, mais tout n'est pas à lire pour comprendre tout ce charabia).

Sinon :

Carroll : http://itp.ucsb.edu/~carroll/notes/ (Lectures Notes on General Relativity)

Et puis aussi : lisez Alain Laverne (je crois me répéter, mais bon) disponible sur son site (faites une recherche Google ), section relativité générale (ça sera très éclaircissant, vous verrez, au moins, pour la prise de conscience de l'utilité des tétrades et du fait qu'elles permettent de réaliser qu'en RG, les calculs sont les mêmes qu'en RR, avec une tite précaution à prendre, celle de disposer d'une tétrade associée à un produit minkowskien invariant sous SO(3,1)...)

Cordialement, je vous souhaite de bonnes lectures

[invité576543]

Voici la formule intrinsèque de la déviation géodésique (attention, ça décoiffe )

"Soient deux géodésiques, telles qu'en un endroit dans la variété espace-temps 2 particules suivant ces géodésiques aient le même 4-vecteur vitesse et soient séparées par un invertalle de type espace infinitésimal . Alors, on a l'équation de la déviation géodésique :

où est le tenseur de Riemann de type (1,3), et est le produit intérieur (i.e. contraction chez les fanas d'écriture en composante)."

Bonjour,

Je n'arrive pas à y voir une réponse à ma question. La réponse parle de dux géodésiques "parallèles" voisines, et de leur déviation. Cela correspond à ce que j'en comprend aux "forces" de marées.

Ma question était différente, elle concernait deux trajectoires quelconques (pas nécessairement des géodésiques) s'intersectant (pas parallèles donc!) et l'expression de l'accélération de l'une vue de l'autre.

Cordialement,

[invitea01d101a]

Bonjour,

Je n'arrive pas à y voir une réponse à ma question. La réponse parle de dux géodésiques "parallèles" voisines, et de leur déviation. Cela correspond à ce que j'en comprend aux "forces" de marées.

Ma question était différente, elle concernait deux trajectoires quelconques (pas nécessairement des géodésiques) s'intersectant (pas parallèles donc!) et l'expression de l'accélération de l'une vue de l'autre.

Cordialement,

bonjour M. mmy autant pour moi !!! Je n'avais pas bien lu, il était sûrement tard hier soir... Je vais réfléchir à la question quand même, je vous tiens au courant.

Cordialement,

[invitea01d101a]

A propos d'unification (maintenant que je relis un peu le début du post...) c'est déjà fait : ça s'appelle : la magie des tétrades

Je vous suggère de lire Wheeler, Kip et al. à ce sujet (c'est un gros bouquin, mais tout n'est pas à lire pour comprendre tout ce charabia).

Sinon :

Carroll : http://itp.ucsb.edu/~carroll/notes/ (Lectures Notes on General Relativity)

Et puis aussi : lisez Alain Laverne (je crois me répéter, mais bon) disponible sur son site (faites une recherche Google ), section relativité générale (ça sera très éclaircissant, vous verrez, au moins, pour la prise de conscience de l'utilité des tétrades et du fait qu'elles permettent de réaliser qu'en RG, les calculs sont les mêmes qu'en RR, avec une tite précaution à prendre, celle de disposer d'une tétrade associée à un produit minkowskien invariant sous SO(3,1)...)

Cordialement, je vous souhaite de bonnes lectures

bonjour à tous !!!

il semblerait que le lien sus-mentionné aît été retiré de la toile

je vous propose de poster le livre de Carroll ici (version pdf libre), si j'en ai l'autorisation (un administrateur pourrait-il me dire si j'en ai le droit ????)

Cordialement,

[invite8915d466]

Bonjour

Ma question était différente, elle concernait deux trajectoires quelconques (pas nécessairement des géodésiques) s'intersectant (pas parallèles donc!) et l'expression de l'accélération de l'une vue de l'autre.

Cordialement,

il ne suffit pas de spécifier le mouvement de l'observateur, il faut aussi lui adjoindre un repère (donc un système de coordonnées global) . Meme en Meca newtonienne un repère en rotation ne donnera pas la même accélération qu'un repère sans rotation, meme avec le meme mouvement de l'origine, a cause de Coriolis. Sinon pour un système de coordonnées quelconque on peut toujours définir le 4-vecteur accélération par la transformation tensorielle habituelle à partir de celle calculée dans un référentiel localement inertiel, enfin je ne sais pas si c'est ça que tu demandais...

Cdt

Gilles

[invitea01d101a]

Bonjour,

Je n'arrive pas à y voir une réponse à ma question. La réponse parle de dux géodésiques "parallèles" voisines, et de leur déviation. Cela correspond à ce que j'en comprend aux "forces" de marées.

Ma question était différente, elle concernait deux trajectoires quelconques (pas nécessairement des géodésiques) s'intersectant (pas parallèles donc!) et l'expression de l'accélération de l'une vue de l'autre.

Cordialement,

Rebonjour ça avance, mais j'aimerais savoir : convenons d'appeler le point de rencontre . Soit un référentiel concommitant pour l'observateur non-inertiel (donc 4-vitesse de genre temps) en . Assumez-vous que les 4-positions des deux observateurs non-inertiels dans ce référentiel soient infiniment dérivables en tant que fonction d'un paramètre commun quelconque ?

Au feeling, je dirais qu'il y aura sûrement un domaine de validité de la "formule" recherchée : si l'"accélération" relative des deux observateurs est trop importante, ils ne pourront expérimenter cela. Explication : non inertiel, attend à sa montre après la rencontre, il envoie deux pulses séparés par vers de lumière et attend le retour des pulses par réflexion. Il devrait en déduire la fameuse 4-accélération relative, sauf si accélère trop, auquel cas à il sera derrière l'horizon (dûe à son accélération propre) de ... Peut-être cet indice "feelinguisé" recèle-t'il des indices sur le résultat ???

Cordialement,

[invitea01d101a]

Bonjour



il ne suffit pas de spécifier le mouvement de l'observateur, il faut aussi lui adjoindre un repère (donc un système de coordonnées global) . Meme en Meca newtonienne un repère en rotation ne donnera pas la même accélération qu'un repère sans rotation, meme avec le meme mouvement de l'origine, a cause de Coriolis. Sinon pour un système de coordonnées quelconque on peut toujours définir le 4-vecteur accélération par la transformation tensorielle habituelle à partir de celle calculée dans un référentiel localement inertiel, enfin je ne sais pas si c'est ça que tu demandais...

Cdt

Gilles

Bonjour,

je pense que M. mmy allait dans ce sens... Quoiqu'il en soit, au cas par ca (mis à part le pb d'horizon soulevé dans mon post précédent pour faire la validation expérimentale), ce que vous dîtes devrait marcher, puisqu'il y a un point de rencontre. Seul hic : on obtient la 4-accélération désirée selon votre raisonnement, mais écrite dans un référentiel trrrrrrèèès particulier (le concommitant par rapport à celui qui désire connaître la 4-accélération par rapport à lui)... C'est un calcul direct, mais cette 4-accélération n'est pas déduite d'une relation tensorielle.

La question proposée (si j'ai bien compris) par mmy : trouver une formule tensorielle "générale" (je préfèrerais dire intrinsèque...) que devrait vérifier la 4-accélération pas simple, d'après les graffitis que je viens de commence à faire sur mon brouillon !!! (en effet : 2 observateurs non inertiels == 2 référentiels concommitants repectifs).

J'ai un début de raisonnement toutefois. Un paramètre commun aux deux observateurs et quelconque, fixé (choix d'origine de l'évolution du Schmilblieck) à 0 au point de rencontre . Soit alors et les points respectifs des trajectoires de et à (ça sent le dl...). On forme alors une 2-surface dans l'espace-temps, contour choisi : suivant , puis suivant une géodésique (pour simplifier le calcul... et on reste dans un cas général. J'appellerai cette géodésique), et on ferme suivant le long de la trajectoire de en la prenant à rebrousse-poil dans le temps. Ca ne pose pas de pb, puisque :

le raisonnement consistera à lie-transporter "quelche chose" (je n'ai pas encore trouvé quoi pour avoir la réponse au pb de mmy) le long de ce triangle d'espace-temps. Deux cas à étudier : celui de mmy où on supposera de genre temps, puis autre cas (cf l'horizon de dans mon post précédent) : celui où est de genre espace.

Cordialement,

[invite8915d466]

La question proposée (si j'ai bien compris) par mmy : trouver une formule tensorielle "générale" (je préfèrerais dire intrinsèque...) que devrait vérifier la 4-accélération

je m'excuse, je n'ai pas tout lu, et je n'ai peut etre pas bien compris la question . Je voulais juste mettre le point que , contrairement à la vitesse, où la vitesse relative de A par rapport à B ne dépend QUE des vitesses de A et de B par rapport à un observateur O si ils coincident spatialement, ce n'est pas la même chose pour l'accélération : la raison est que si A et B coincident, leur vitesse relative ne dépend pas de la rotation du repère associé à A ou B (qui intervient dans la composition des vitesses uniquement par et donc s'annule si A = B), alors que pour l'accélération il reste un terme de Coriolis qui ne s'annule pas. Autrement dit si A et B coincident et ont chacun une accélération par rapport à O, l'accélération relative de A par rapport à B n'existe pas de manière unique et ne peut donc pas etre exprimée juste en fonction de aA et aB.

Cdt

Gilles

[invite88ef51f0]

je vous propose de poster le livre de Carroll ici (version pdf libre), si j'en ai l'autorisation (un administrateur pourrait-il me dire si j'en ai le droit ????)

Il n'y a pas de problème s'il est libre !

[invitea01d101a]

je m'excuse, je n'ai pas tout lu, et je n'ai peut etre pas bien compris la question . Je voulais juste mettre le point que , contrairement à la vitesse, où la vitesse relative de A par rapport à B ne dépend QUE des vitesses de A et de B par rapport à un observateur O si ils coincident spatialement, ce n'est pas la même chose pour l'accélération : la raison est que si A et B coincident, leur vitesse relative ne dépend pas de la rotation du repère associé à A ou B (qui intervient dans la composition des vitesses uniquement par et donc s'annule si A = B), alors que pour l'accélération il reste un terme de Coriolis qui ne s'annule pas. Autrement dit si A et B coincident et ont chacun une accélération par rapport à O, l'accélération relative de A par rapport à B n'existe pas de manière unique et ne peut donc pas etre exprimée juste en fonction de aA et aB.

Cdt

Gilles

bonjour,

j'ai éventuellement une autre piste (cf mon poste précédent) pour répondre à la question de mmy : pourquoi ne pas définir des symboles connexion et associés à chaque observateur ?

Je m'explique. On prend un observateur non inertiel. On définit sa 4-vitesse en tout point de sa ligne d'Univers tq en un point , elle corresponde à la 4-vitesse d'un observateur (pour reference frame) concommitant à en . On créé ensuite une connexion le long de la ligne d'Univers de tq


Si l'observateur voulant déterminer la 4-accélération du mobile (non inertiel) est inertiel, alors on peut imposer la connexion permettant de Lie-transporter la vitesse le long de la géodésique de . On calcule alors la 4-vitesse dans cette configuration, elle dépendra de , dans le sens où (vous en conviendrez)
- la 4-accélération du mobile considéré en dépend des puisqu'il suffit de dériver la 4-vitesse de ce mobile en .

La question que je me pose, c'est : la 4-accélération du mobile peut-elle se dériver du dernier tiret en remplaçant par ? Il faudra à mon humble avis être très prudent si la nouvelle connexion ( peut se voir comme la somme de la connexion de Chrisfoffel + un morceau représentant les termes non-inertiels) n'est pas unique !!!

Si ma procédure est juste (j'en sais rien du tout, je n'ai pas encore fait le calcul !!!), cela signifierait, dans le cas où n'est pas unique que la question soulevée par mmy n'a pas de sens intrinsèque...

Voilàvoilà en ce qui concerne les idées, je suis impatient de savoir ce que vous en penserez...

cordialement,