Je m'excuse que mon message vous ait occasionné une perte de temps. Le message ne vous était pas adressé. Il était totalement et absolument inutile d'y répondre.Envoyé par bschaeffer
Je ne le prendrais pas mal si vous vous abstenez dans le futur de répondre à mes messages quand ils ne vous citent pas explicitement. Cela vous évitera de perdre du temps pour rien.
Cordialement,
PS: Par contre des réponses d'autres personnes m'intéressent.
Que h tende vers 0 j'en conviens tout à fait, mais pour quelle raisonAprès simplification, on a bien 1=1 lorsquetendrait vers 0 ? (question innocente)
On peut calculer la dérivée partielle avant d'imposer la contrainte. Cette condition est d'ailleurs une intégrale première qui remplace une équation de Lagrange. On peut s'en passer, mais cela oblige à intégrer une équation supplémentaire du second ordre.Pour
Feynman présente la condition L=1 comme une solution de facilité, sans donner d'explication supplémentaire. Alors je ne sais pas quoi vous dire de plus, étant que je ne suis pas Feynman. Les autres auteurs que j'ai trouvé n'en disent pas plus non plus. Si vous en connaissez un qui donne une explication détaillée, je serais heureux de l'étudier.
A vraidire je ne l'ai mis que parce que ceQue h tende vers 0 j'en conviens tout à fait, mais pour quelle raison
En gros vous donnez des démonstrations sans en comprendre les subtilités (je ne vais pas dire les subtilités mathématiques, visiblement ce sont les moindres de vos soucis).A vraidire je ne l'ai mis que parce que ce
Quand on ne comprend pas, on ne prend pas un bouquin en disant "le bouquin a raison, vous avez tort" alors que vous ne voyez même pas en quoi...
Il est facile de critiquer, mais faites donc la démonstration
je suppose que leA vraidire je ne l'ai mis que parce que ce
Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!
C'est fort probable mais je ne suis pas assez compétent pour en décider.je suppose que le
Demonstration de votre erreur (le niveau mathématique requit n'est pas élevé, vous en conviendrez donc vous pourriez vous donner la peine de vérifier mes dires).
Soit
On utilise votre dévellopement :
On remplace,
=>
=>
Vous admettrez que j'eusse aimé savoir quelle sorte de fonction vous avez utilisé pour dire que
Si j'ai bien compris, on choisitDemonstration de votre erreur (le niveau mathématique requit n'est pas élevé, vous en conviendrez donc vous pourriez vous donner la peine de vérifier mes dires).
Soit
On utilise votre dévellopement :
On remplace,
=>
=>
Vous admettrez que j'eusse aimé savoir quelle sorte de fonction vous avez utilisé pour dire que
Cela se trouve sans doute quelque part, mais je ne l'ai pas trouvé. Je me souviens vaguement de l'avoir fait il y a près d'un demi-siècle.
En fait je n'avais pas compris l'utilité de
Il sert à avoir une égalité stricte en opposition d'une égalité approchée par l'inexistence d'un terme de 2° ordre.
C'est bien mais
Je ne sais pas si vous savez comment on est arrivé à celle question. A l'origine c'était celle du lagrangien égal à un qui permet d'avoir une intégrale première, ce qui évite d'avoir à intégrer une équation de Lagrange supplémentaire.Il sert à avoir une égalité stricte en opposition d'une égalité approchée par l'inexistence d'un terme de 2° ordre.
C'est bien mais
Pour moi cela paraissait évident que L=ds/ds=1, mais cela ne semble pas l'être (cf messages 58 et suivants). Peut-être avez-vous une idée là-dessus?
Ce n'est pas mon domaine, je laisse le loisir aux personnes plus compétentes que moi en la matière (et ce n'est pas dur) de démontrer ce qu'ils disent.
J'interviens juste dans votre démonstration devant montrer l'erreur de PopolauQuebec, car vous fîtes une erreur grossière due à la mauvaise interprétation de la démonstration que vous avez lue.
Je confirme, PopolauQuebec a raison, si f est constant, ses dérivées partielles sont nulles.
Si je dis de bêtises, alors que dire de Feynman, qui ne se justifie même pas, comme tous les autres d'ailleurs. Comme preuve voici ce qu'il dit, en PJ
Reprenons.
Ce que tout le monde dit, c'est que le lagrangien est une certaine fonction des variables de position et de vitesse. On peut calculer à partir d'Euler-Lagrange et du calcul des dérivées partielles la trajectoire physiquement suivie. Il se trouve que sur cette trajectoire le lagrangien vaut 1.
Ce que vous avez l'air de dire, c'est que le lagrangien vaut partout 1, et qu'on applique Euler-Lagrange ensuite. Le problème est que si vous faîtes ça, les dérivées partielles sont toutes nulles (car L=1, donc dL/dx=d(1)/dx=0) et qu'alors toutes les trajectoires devraient être permises, ce qui n'a pas de sens. En effet, mettre un lagrangien constant ne privilégie aucun chemin par rapport à un autre.
C'est ce que je devrais préciser, puisque c'est une intégrale des équations de Lagrange qui, justement, donnent l'équation de la trajectoire.
Il sert à avoir une égalité stricte en opposition d'une égalité approchée par l'inexistence d'un terme de 2° ordre.
C'est bien mais
bon, ce n'est pas le sujet...mais bon...juste pour que ce soit correcte:
pour n'importe qu'elle application f qui est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ alors:
il n'y a pas d'histoire de fonction affine.
Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!
Ha d'accord, je vois mieux maintenant. Si la fonction est affine,
Bon quoiqu'il en soit, dire que
Ca ne nous dit toujours pas quelle est son hypothèse pour étailler son raisonnement...
Bonjour,
Bien, je peux me proposer en tout cas de donner une explication "de physicien"... La condition L=1 s'effectue en deux temps.
- Il faut tout d'abord exprimer l'équation de Lagrange non pas avec le temps propre, mais avec une variable d'évolution temporelle
- On résout Lagrange pour le Lagrangien
On se retrouve alors avec l'équation (I)
Reste donc, pour la matière, à fixer le dernier terme parasite (par rapport à la plupart des formules rencontrées dans ce post)...
Pour une particule massive, le
En chaque point de la trajectoire, on peut calculer l'invariant [TEX]ds^2(\lambda)[/TEX
Remarque fatale : En chaque point de la trajectoire, on peut toujours diagonaliser
ainsi que
d'où l'équation (II) :
Changeant alors de paramétrage pour la géodésique, en posant
Et voilààà, le tour est joué ! Il faut faire gaffe, je pense, dans les raisonnements employés au fait que le). Mais : le changement
Pour conclure : et pour la lumière ??? Ben,
Cordialement à tous
C'est un peu compliqué, mais, pour éviter le passage parBonjour,
Bien, je peux me proposer en tout cas de donner une explication "de physicien"... La condition L=1 s'effectue en deux temps.
- Il faut tout d'abord exprimer l'équation de Lagrange non pas avec le temps propre, mais avec une variable d'évolution temporelle
- On résout Lagrange pour le Lagrangien
On se retrouve alors avec l'équation (I)
Reste donc, pour la matière, à fixer le dernier terme parasite (par rapport à la plupart des formules rencontrées dans ce post)...
Pour une particule massive, le
En chaque point de la trajectoire, on peut calculer l'invariant [TEX]ds^2(\lambda)[/TEX
Remarque fatale : En chaque point de la trajectoire, on peut toujours diagonaliser
ainsi que
d'où l'équation (II) :
Changeant alors de paramétrage pour la géodésique, en posant
Et voilààà, le tour est joué ! Il faut faire gaffe, je pense, dans les raisonnements employés au fait que le
Pour conclure : et pour la lumière ??? Ben,
Cordialement à tous
Je ne pense pas que ça soit compliqué. En fait, j'ai sous-entendu un raisonnement en termes de tétrades (== base localement plate autour d'un événement de la trajectoire).C'est un peu compliqué, mais, pour éviter le passage par
Je pense que la grande confusion existentielle qui existe en RG vient du fait que les gens n'ont plus conscience que les équations peuvent se réécrire dans cette fameuse tétrade que l'on peut toujours choisir orthonormée (c'est à la base du principe d'équivalence). En ce cas, l'espace est (dans ce référentiel) localement plat, et donc plus de soucis, il suffit de faire appel aux connaissances de la relativité restreinte... N'oublions pas de plus que si dans un système de coordonnées particulier, on a une équation ecrite sous forme tensorielle (je rappelle à juste titre que quaque terme doit être évidemment un tenseur, sinon ce que je raconte n'a pas de sens), alors l'équation est valide dans tout référentiel...
Mon raisonnement (particule massive,
Voilà, pour une meilleure compréhension, je vous suggère les lectures suivantes :
http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...CC.grav.02.pdf
http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...CC.grav.03.pdf
http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...CC.grav.04.pdf
Cordialement
Je croyais que les symboles de Christoffel n'étaient pas des tenseurs?
En tous cas je ne les utilise pas. Il me semble plus simple d'exprimer les tenseurs de Riemann et de Ricci directement en fonction des coefficients de la métrique, en particuler pour calculer la métrique de Schwarzschild.
J'ignore ce qu'est la fameuse tétrade. Seraient les coordonnées en 4D?
Vous avez raison en disant que les symboles de Chrisfoffel ne sont pas des tenseurs. Mais leur emploi est bien pratique. De plus, ces derniers ont une interprétation physique directe : leurs composantes sont les "forces" gravitationnelles.
Par ailleurs, bien qu'ils ne sont pas des tenseurs (ils ne co-contravarient pas par changement de coordonnées queconques), il suffit de s'en rappeler. N'oubliez pas que, pour "faire" un tenseur avec les symboles de Christoffel, il suffit qu'ils "s'accoquinent" avec une dérivée partielle :
Dans les calculs, en coordonnée localement plate, on n'a que des dérivées partielles car les symboles de Christoffel s'annulent (observateur inertiel ie en chute libre : tout dans sa proximité suit le principe de relativité, ie les objets vont en ligne droite, mais uniquement localement). On raisonne alors dans le référentiel concommitant, on trouve une formule avec des dérivées partielles... À la fin du calcul, si l'expression est covariante "restreinte" (par le groupe de Lorentz), alors elle sera encore covariante "générale" à condition de remettre les connexions, ie les symboles de Christoffel qui étaient nuls (dont inapparent). Cela ne pose aucun pb, ce ne sont pas des tenseurs, ça n'est pas parce qu'ils s'annulent dans au moins un référentiel qu'ils seront identiquement nuls... On les remets, ce qui équivaut à transformer les dérivées partielles en dérivée covariante: la RG, c'est une théorie de jauge !!!
Pour les tétrades... Prenons un exemple très simple. En géométrie euclidienne 2D (habituelle, celle du collège), on apprend que les points peuvent se repérer par leurs coordonnées :
Dans le jargon des physiciens, ces deux nombres forment un doublet : kézako ??? Eh bien, dans une rotation du système de coordonnées par exemple, ces deux nombres changent. Plus précisément, dans un repère un on a les coordonnées d'un vecteur :
Et après ? Eh bien, la donnée physique, donc intrinsèque est : le vecteur (donnons-lui un nom :
Truc magique :
Reste à voir ce que sont ces fichues tétrades... Y'a un produit scalaire défini dans notre pb : si on pose (dans une base orthonormée donnée)
où les
Je vais m'en arrêter là - faut pas non plus que je rédige un cours complet ici sur les tenseurs...) l'utilité, c'est que quand on passe dans une base non cartésienne, par exemple la base polaire, des choses apparaîssent : les "dyades" sont différentes quand on change de point du plan, y'a un pb qui apparaît dès qu'on faire des dérivées spatiales... Pour maintenir une correspondance entre la base euclidienne et "les bases" polaires (une attachée pour chaque point du plan), ben faut se donner une connexion. Ca revient à définir les symboles de Christoffel, qui permettent alors de "rétablir" une certaine cohérence pour les formules. C'est une théorie de jauge globale, pas locale puisqu'on peut toujours revenir au système euclidien par transformation inverse (danger, tout de même pour le centre du repère euclidien initiale, qui est un point singulier pour la métrique associée aux coordonnées polaires, mais on s'en fiche, il ne s'agit que d'un seul point, des théorèmes mathématiques permettent de "vivre" avec cette pseudo-singularité, dont l'existence repose sur la définition des coordonnées polaires).
En RG, on jauge locale, i.e. ben, les symboles de Christoffel (qui ne sont non plus des tenseurs dans le cas du plan euclidien, on peut les annuler à volonté pour une base bien choisie, alors qu'ils sont non nuls dans le cas de coordonnées polaires...) ne peuvent plus s'annuler globalement. Et les tétrades sont des bases locales sur lesquelles on peut décomposer les tenseurs.
Pour conclure, il est fâcheux qu'on ne parle jamais de ces tétrades, on écrit le tout directement en composantes... C'est très embêtant, car on n'écrit plus les choses de façon intrinsèque. Les tétrades offrent de plus la possibilité de donner un sens physique aux coordonnées manipulées, donc c'est très important pour pouvoir faire des prédictions de mesures en RG !!! Dixit tout les pbs rencontrées dans ce très long poste !!! Enfin, un observateur donné peut choisir ces tétrades... Donc à partir d'une métrique quelconque il peut définir un changement de coordonnées vers ses propres tétrades sur lesquelles il peut écrire les composantes de ses tenseurs, qu'il peut mesurer (normer la tétrade correctement revient à faire un choix d'unité de mesure). Sans cela, on peut raconter n'importe quoi uniquement en termes de coordonnées. Le bon exemple à retenir au final :
désigne bien l'intervalle de longueur (au carré) en coordonnées
Voilà, ce sera tout, j'espère que mon post n'est pas trop "aride", évidemment, j'ai passé de très longues heures avant d'avoir une vision globale de tout cela, mais alors que ça commence seulement à être un peu plus clair pour moi, j'ai encore peine à l'expliquer succintement, aussi je vous prie de bien vouloir m'excuser si ça n'est pas expliqué de façon limpide.
Cordialement
Bravo, tout cela est fort intéressant; mais désolé d'être un peu provocateur, sans avoir le bagage qui est le tien, il me semble que le propre du physicien c'est de savoir appliquer ce qu'il sait à un problème particulier, en étant concis et pas forcément tout de suite rigoureux. Ici j'ai le sentiment d'avoir reçu une pelletée de formules sans mise en contexte préalable (hypothèses de bases, cadre théorique sous-jacent...) mais que j'ai du mal à relier au sujet du présent fil... Ton intervention précédente concernant le 1 du lagrangien était plus dans le sujet mais déjà assez lourde ... je pense que si des lecteurs éventuels veulent une précision sur les tenseurs ils ne manqueront pas de la demander mais là j'ai l'impression qu'on est plus dans la récitation que dans la contribution au développement du sujet
(je te dis ça mais je suis en attente de tes points de vue car tu sembles bien affuté et tu n'hésites pas à manier le Latex au contraire de ceux qui le devraient ici ce que je regrette mais là je reste un peu sur ma faim)
Salut WeinbergJr,
Merci pour ce brillant exercice
Je ne suis pas très familier avec les techniques utilisées en géométrie différentielle et j'apprécie vraiment que quelqu'un pour une fois ne se contente pas d'une "explication" utilisant de jolis mots exotiques sans montrer comment on les utilise opérationnellement parlant.
Si tu as envie de donner d'autres explications ainsi formulées, ne te gênes surtout pas, lâche-toé lousse !
Cela va plus loin que le "bien pratique". Les symboles de Christoffel sont un cas particulier de connexion. On peut approcher toute la théorie via la notion de connexion, et on découvre alors quelque chose de plus riche et peut-être plus fondamental que l'approche par la métrique, parce qu'on peut parler de connexions autres que celle de Levy-Civita (celle correspondant aux symboles de Christoffel).
L'équation discutée dans ce fil a une forme plus générale que la minimisation d'un Lagrangien (1), c'est l'équation des géodésiques dans une classe de géométries plus grande que celle des espaces de Riemann. Cette équation s'exprime alors à partir de la connexion, et non plus d'une minimisation. Dans le cas Riemann, les géodésiques et les plus courts chemins au sens de la métrique coïncident, mais la notion de géodésique n'est pas équivalente à celle de plus court chemin dans des cas plus généraux.
La notion de tétrade est liée plus directement à la connexion qu'à la métrique, il me semble.
@WeinbergJr: vu ce que tu écris, soit tu connais bien la notion de connexion et la géodiff qui va avec, soit tu profiteras énormément de lectures sur le sujet!
Cordialement,
(1) D'ailleurs d'un point de vue physique, la notion de Lagrangien et de géodésiques sont distinctes. Ce sont des grandeurs différentes; le Lagrangien est une grandeur d'énergie, alors que le ds discuté dans ce fil est une grandeur géométrique (le Lagrangien n'est pas 1 mais mc² pour les particules de masse non nulle). C'est la même confusion qu'on trouve en méca classique entre le pfd sous forme F = ma, et l'équation de chute libre sous forme
tout à fait, par dela le formalisme mathématique, le probleme vient de ce qu'il y a deux choses distinctes physiquement : la façon dont se déplacent les points matériels (caractérisée par la metrique) et la façon dont se transportent les quantités vectorielles (et plus généralement tensorielles) (caractérisée par la connexion). Le principe d'équivalence spécifie qu'il existe des référentiels (en chute libre) dans lequel les effets de la gravitation sont physiquement inobservables, ce qui implique à la fois (si j'ai bien compris !) que les points se déplacent en ligne droite et que les quantités vectorielles se transportent parallèlement à elles-mêmes, et cela implique l'absence de torsion et le fait que la connexion soit celle de Levi-Civita. Mais ce n'est pas une nécessité mathématique, et il existe des exemples concrets ou l'un peut etre réalisé sans l'autre : par exemple le pouvoir rotatoire des milieux optiquement actifs fait que la lumière se déplace en ligne droite alors que le plan de polarisation tourne. De façon générale, la tétrade rend compte du fait qu'on n'est pas obligé de développer les composantes tensorielles sur la base de vecteurs associés aux coordonnées, ce qui peut etre justement intéressant en cas de decouplage "physique" entre les deux. Bon tout ça c'est l'image physique que je m'en suis fait, j'espere ne pas avoir dit de betises !
Quelle est la différence entre la tétrade et les coordonnées de Riemann?Vous avez raison en disant que les symboles de Chrisfoffel ne sont pas des tenseurs. Mais leur emploi est bien pratique. De plus, ces derniers ont une interprétation physique directe : leurs composantes sont les "forces" gravitationnelles.
Par ailleurs, bien qu'ils ne sont pas des tenseurs (ils ne co-contravarient pas par changement de coordonnées queconques), il suffit de s'en rappeler. N'oubliez pas que, pour "faire" un tenseur avec les symboles de Christoffel, il suffit qu'ils "s'accoquinent" avec une dérivée partielle :
Dans les calculs, en coordonnée localement plate, on n'a que des dérivées partielles car les symboles de Christoffel s'annulent (observateur inertiel ie en chute libre : tout dans sa proximité suit le principe de relativité, ie les objets vont en ligne droite, mais uniquement localement). On raisonne alors dans le référentiel concommitant, on trouve une formule avec des dérivées partielles... À la fin du calcul, si l'expression est covariante "restreinte" (par le groupe de Lorentz), alors elle sera encore covariante "générale" à condition de remettre les connexions, ie les symboles de Christoffel qui étaient nuls (dont inapparent). Cela ne pose aucun pb, ce ne sont pas des tenseurs, ça n'est pas parce qu'ils s'annulent dans au moins un référentiel qu'ils seront identiquement nuls... On les remets, ce qui équivaut à transformer les dérivées partielles en dérivée covariante
Pour les tétrades... Prenons un exemple très simple. En géométrie euclidienne 2D (habituelle, celle du collège), on apprend que les points peuvent se repérer par leurs coordonnées :
Dans le jargon des physiciens, ces deux nombres forment un doublet : kézako ??? Eh bien, dans une rotation du système de coordonnées par exemple, ces deux nombres changent. Plus précisément, dans un repère un on a les coordonnées d'un vecteur :
Et après ? Eh bien, la donnée physique, donc intrinsèque est : le vecteur (donnons-lui un nom :
Truc magique :
Reste à voir ce que sont ces fichues tétrades... Y'a un produit scalaire défini dans notre pb : si on pose (dans une base orthonormée donnée)
où les
Je vais m'en arrêter là - faut pas non plus que je rédige un cours complet ici sur les tenseurs...) l'utilité, c'est que quand on passe dans une base non cartésienne, par exemple la base polaire, des choses apparaîssent : les "dyades" sont différentes quand on change de point du plan, y'a un pb qui apparaît dès qu'on faire des dérivées spatiales... Pour maintenir une correspondance entre la base euclidienne et "les bases" polaires (une attachée pour chaque point du plan), ben faut se donner une connexion. Ca revient à définir les symboles de Christoffel, qui permettent alors de "rétablir" une certaine cohérence pour les formules. C'est une théorie de jauge globale, pas locale puisqu'on peut toujours revenir au système euclidien par transformation inverse (danger, tout de même pour le centre du repère euclidien initiale, qui est un point singulier pour la métrique associée aux coordonnées polaires, mais on s'en fiche, il ne s'agit que d'un seul point, des théorèmes mathématiques permettent de "vivre" avec cette pseudo-singularité, dont l'existence repose sur la définition des coordonnées polaires).
En RG, on jauge locale, i.e. ben, les symboles de Christoffel (qui ne sont non plus des tenseurs dans le cas du plan euclidien, on peut les annuler à volonté pour une base bien choisie, alors qu'ils sont non nuls dans le cas de coordonnées polaires...) ne peuvent plus s'annuler globalement. Et les tétrades sont des bases locales sur lesquelles on peut décomposer les tenseurs.
Pour conclure, il est fâcheux qu'on ne parle jamais de ces tétrades, on écrit le tout directement en composantes... C'est très embêtant, car on n'écrit plus les choses de façon intrinsèque. Les tétrades offrent de plus la possibilité de donner un sens physique aux coordonnées manipulées, donc c'est très important pour pouvoir faire des prédictions de mesures en RG !!! Dixit tout les pbs rencontrées dans ce très long poste !!! Enfin, un observateur donné peut choisir ces tétrades... Donc à partir d'une métrique quelconque il peut définir un changement de coordonnées vers ses propres tétrades sur lesquelles il peut écrire les composantes de ses tenseurs, qu'il peut mesurer (normer la tétrade correctement revient à faire un choix d'unité de mesure). Sans cela, on peut raconter n'importe quoi uniquement en termes de coordonnées. Le bon exemple à retenir au final :
désigne bien l'intervalle de longueur (au carré) en coordonnées
Voilà, ce sera tout, j'espère que mon post n'est pas trop "aride", évidemment, j'ai passé de très longues heures avant d'avoir une vision globale de tout cela, mais alors que ça commence seulement à être un peu plus clair pour moi, j'ai encore peine à l'expliquer succintement, aussi je vous prie de bien vouloir m'excuser si ça n'est pas expliqué de façon limpide.
Cordialement
Salut,
Je ne suis pas bien sûr de comprendre le "implique". J'ai cru comprendre que la nullité de la torsion est une hypothèse du modèle, pas une conséquence du principe. J'ai regardé (ça ne dépasse pas cela) le Wiki sur le modèle Einstein-Cartan, et j'ai l'impression que cela montre que la torsion nulle est une simplification.
J'ai l'impression que la métrique remplit un rôle différent que la description des lignes droites et de transport des quantités vectorielles, deux notions qui sont entièrement couvertes par la connexion. Si on part de la connexion comme fondamentale, on peut voir comme "principe" que la métrique est contrainte d'être compatible avec la connexion (i.e., qu'il existe des tétrades orthonormées), plutôt que le contraire. (Et dans un texte que j'ai lu, il est dit explicitement que la connexion de Levi-Civita n'est pas la seule compatible avec une métrique. Et il me semble que dans le modèle Einstein-Cartan la métrique est compatible avec la connexion, alors que la torsion n'est pas nulle.)
Cordialement,
