Transformée laplace-fourier: interpretation

[invite7399a8aa]

Salut

Bonjour,


Toutes les limites possibles et inimaginables ayant été largement dépassées sur ce fil et ce depuis fort longtemps, ma générosité étant en elle-même en quantité limitée, je n'intervient plus sur ce fil. Je rappelle qu 'il y a des étudiants en ligne qui veulent apprendre et comprendre la MQ. Je crains que ce fil soit très contre-productif. On ne m'y reprendra. C'est la première fois que en presque 10 ans je prend une telle décision.


Adieu

Le fait est je crois que tu ne suportes pas la contradiction, tu défends le modèle de la MQ c'est normal, mais admet tout de même que ce n'est pas la vérité universelle que personne ne connait d'ailleurs.

Tu as fait remarquer que c'est l'expérience qui impose le fait du produit Psi x Psi* pour calculer la proba.
Il est donc logique et je crois normal voir pertinent que l'on se pose des questions et que l'on en parle. Simplement dire c'est comme ça et c'est tout ne relève pas d'une attitude de scientifique.
L'attitude scientifique consiste à se poser la question pourquoi c'est comme ça.
Le fait qu'on t'opose la contradiction ne signifie en rien que l'on doute de tes compétences qui je pense sont très larges. Mais admet que toi aussi tu peux te planter.

Cordialement

Ludwig
-----

[0577]

Bonjour,

je reprends en citant un message de stefjm d'il y a 22 pages...

Bonjour,
Où bien encore dit autrement pour la même idée :

On considère habituellement qu'un système physique a une réponse impulsionnelle réelle.
Du coup, que pensez d'un système qui à une réponse impulsionnelle en exponentielle imaginaire?

En gros, cela revient à remplacer l'équation harmonique à pôle +-i
de solution
par l'équation à simple pôle i
de solution

Cordialement.

Edit : En virant un des deux pôles, je ne retrouve plus mes petits avec les asservissements :
Utilisation de nombres réels ou complexes en physique

La fonction d'onde étant une fonction à valeurs complexes, la conclusion est que la fonction d'onde
n'est pas la réponse impulsionnelle d'un système au sens "habituel".

Si on ajoute "le deuxième pôle", de façon à avoir un "oscillateur harmonique", on obtient
pour solution (schématiquement)
(j'imagine que les deux termes sont les deux pulsations complexes dont parle ludwig à un moment)

En MQ, la fonction d'onde décrit une solution d'énergie positive alors que
la fonction d'onde décrit une solution d'énergie négative. Si on ajoute
le "deuxième pôle" à l'équation de Schrödinger, les solutions viennent par paire d'énergies
opposées ce qui est impossible (en général le spectre d'énergie n'est pas borné supérieurement, il
ne le serait donc pas inférieurement et il n'y aurait pas d'état stable). C'est en gros l'argument
que fait Schrödinger dans son article pour "éliminer le deuxième pôle" mais on n'a pas besoin de le
refaire dans les présentations modernes.

Lorsqu'on considère \psi* pour définir une densité de probablité,
ce n'est pas équivalent à réintroduire "le deuxième pôle" : si \psi est solution
de l'équation de Schrödinger, \psi* n'est en général pas solution de l'équation de Schrödinger.

Autre remarque : si l'équation de Schrödinger était un "oscillateur harmonique" : comment ferait-on
pour la résoudre ? En termes de condition initiales, on aurait besoin de connaître \psi
et sa dérivée par rapport au temps à un instant donné alors que par définition de la fonction
d'onde, la connaissance de \psi devrait suffire à décrire l'état à un instant donné.

[invite7399a8aa]

Salut,

Bonjour,

je reprends en citant un message de stefjm d'il y a 22 pages...



La fonction d'onde étant une fonction à valeurs complexes, la conclusion est que la fonction d'onde
n'est pas la réponse impulsionnelle d'un système au sens "habituel".

Si on ajoute "le deuxième pôle", de façon à avoir un "oscillateur harmonique", on obtient
pour solution (schématiquement)
(j'imagine que les deux termes sont les deux pulsations complexes dont parle ludwig à un moment)
.

En fait, ce que j'essaye de dire (probablement très mal exprimé) c'est que la fonction d'onde Psi tel que présentée,
vue au travers de la "lunette systèmes" représente une demi fonction de transfert d'un oscillateur.

En MQ, la fonction d'onde décrit une solution d'énergie positive alors que
la fonction d'onde décrit une solution d'énergie négative. Si on ajoute
le "deuxième pôle" à l'équation de Schrödinger, les solutions viennent par paire d'énergies
opposées ce qui est impossible (en général le spectre d'énergie n'est pas borné supérieurement, il
ne le serait donc pas inférieurement et il n'y aurait pas d'état stable). C'est en gros l'argument
que fait Schrödinger dans son article pour "éliminer le deuxième pôle" mais on n'a pas besoin de le
refaire dans les présentations modernes.
.

Justement, reprenant les publications de Schrödinger il est facile d'obtenir le Hamiltonien de l'énergie par identification des pôles.
Ici il faut dire que la MQ exprime une identification croisée (inversion entre un signe moins et plus) ce qui d'aprés les canons de la dynamique, est fondamentalement faux, car ça fait effectivement apparaitre une énergie négative.
Par contre si on fait l'identification entre les pôles correspondants entre eux, alors l'énergie est toujours positive et le système présente une paire de pôles complexes conjugués.

Juste un petit détail, le Hamiltonien de l'énergie s'écrira alors.



Dés lors la MQ fonctionne selon les principes fondamentaux de la dynamique et le monde est à nouvau en ordre.


Cordialement


Ludwig

[stefjm]

En fait, ce que j'essaye de dire (probablement très mal exprimé) c'est que la fonction d'onde Psi tel que présentée,
vue au travers de la "lunette systèmes" représente une demi fonction de transfert d'un oscillateur.

Cela me parait compris et admis par tout le monde. (De nombreuses références ont été fournies, références mathématiques, tant dans le domaine physique qu'automatique.)

Justement, reprenant les publications de Schrödinger il est facile d'obtenir le Hamiltonien de l'énergie par identification des pôles.
Ici il faut dire que la MQ exprime une identification croisée (inversion entre un signe moins et plus) ce qui d'aprés les canons de la dynamique, est fondamentalement faux, car ça fait effectivement apparaitre une énergie négative.

C'est le formalisme hamiltonien qui veut cela.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_mechanics

Si tu l'écris sous forme matricielle
matrice de trace nulle, de rang 2, de déterminant 1, dont le carré donne -Identité, de polynôme caractéristique X^2+1, de valeur propre i et -i.
(Matrice de similitude)

En utilisant ce formalisme, c'est facile de se faire une représentation d'état en utilisant dH/dp et dH/dq comme état.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C3..._d%27%C3%A9tat
Je sais le faire pour l'équation harmonique classique, je suis en train de regarder pour l'équation de S.

Par contre si on fait l'identification entre les pôles correspondants entre eux, alors l'énergie est toujours positive et le système présente une paire de pôles complexes conjugués.

Je comprend vaguement ce que tu cherches à dire mais tout n'est pas clair.

Oscillateur classique : 1+p^2 , deux pôles imaginaires purs.
Oscillateur quantique : i+p , un pôle imaginaire pur.

Juste un petit détail, le Hamiltonien de l'énergie s'écrira alors.


Dés lors la MQ fonctionne selon les principes fondamentaux de la dynamique et le monde est à nouvau en ordre.

Ce qui traduit donne : La cohérence de la description par le modèle est assuré?

Ce qui rejoint la question de mariposa : Peut-on utiliser une représentation d'état d'automaticien appliquée à l'équation de S.?

Cordialement.

[stefjm]

En MQ, la fonction d'onde décrit une solution d'énergie positive alors que
la fonction d'onde décrit une solution d'énergie négative. Si on ajoute
le "deuxième pôle" à l'équation de Schrödinger, les solutions viennent par paire d'énergies
opposées ce qui est impossible (en général le spectre d'énergie n'est pas borné supérieurement, il
ne le serait donc pas inférieurement et il n'y aurait pas d'état stable). C'est en gros l'argument
que fait Schrödinger dans son article pour "éliminer le deuxième pôle" mais on n'a pas besoin de le
refaire dans les présentations modernes.

Pour être sûr et éviter les quiproquos : Pour un physicien, ce pôle est bien réel?

Je demande, parce que coté stabilité des systèmes, les automaticiens sont coutumiers du truc et ici, je commence à me sentir perdu...

Lorsqu'on considère \psi* pour définir une densité de probablité,
ce n'est pas équivalent à réintroduire "le deuxième pôle" : si \psi est solution
de l'équation de Schrödinger, \psi* n'est en général pas solution de l'équation de Schrödinger.

mais est solution de l'autre moitié?

Autre remarque : si l'équation de Schrödinger était un "oscillateur harmonique" : comment ferait-on
pour la résoudre ? En termes de condition initiales, on aurait besoin de connaître \psi
et sa dérivée par rapport au temps à un instant donné alors que par définition de la fonction
d'onde, la connaissance de \psi devrait suffire à décrire l'état à un instant donné.

C'est le problème que j'ai actuellement pour comprendre le truc.
Cela me donne l'impression d'avoir deux pôles (oscillateur classique) dont l'un est caché par un zéro imaginaire.
Mode Caché : http://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C3...es_cach.C3.A9s

Ecrit en fonction de transfert en p, cela donnerait un truc du genre :
équation dans laquelle on se refuse à faire la simplification du pôle -i par le zéro -i.

Si on fait la simplification, il reste : et c'est l'équation de S.

J'ai l'impression que c'est ce que permet d'écrire le formalisme de Hamilton.

Je ne sais pas bien traduire en physique, ce que je décris ici avec les outils d'automatique.
Vu que c'est de la représentation d'état dans les deux cas, on devrait bien arriver à se mettre d'accord.

Cordialement.

[stefjm]

Si on fait la simplification, il reste : et c'est l'équation de S.

Si tu l'écris sous forme matricielle
matrice de trace nulle, de rang 2, de déterminant 1, dont le carré donne -Identité, de polynôme caractéristique X^2+1, de valeur propre i et -i.

Je note également que l'inverse de M vaut -M.
Du coup, en inversant aussi les fonctions de transfert (on sais le faire en commande de procédé de façon approchée), les pôles deviennent les zéros et vice-versa, on obtient encore :

avec l'apparition d'un pôle i ou du zéro conjugué -i.

Cela me parait assez cohérent avec ce que dit Ludwig : il suffit de rajouter le zéro quantique et d'oublier la solution oscillante de l'oscillateur quantique qui n'oscille pas.
J'ai un peu cherché de biblio sur le sujet : pas trop trouvé.

C'est marrant, ces pôles qui deviennent zéros, zéros qui cachent des pôles, pôles réels, imaginaire, causal, acausal, stable, instable...

Qu'en pense Armen92?

Cordialement.

[invite7399a8aa]

Salut,

Je comprend vaguement ce que tu cherches à dire mais tout n'est pas clair.

.

En fait c'est très simple, je pense que n'importe lequel de tes étudiants saura faire.

Je résume:

Dans la quatrième publication le brave Erwin donne une équation notée (3) elle est évidement du second ordre en temps.
Tu passes en laplace et tu notes s1 s2 les solutions qui anullent les pôles, elles sont complexes conjuguées,
tu places dans le lieu d'Evans.

Tu recomences avec l'équation complète (équation originale du second ordre en temps) qui traite le cas d'une particule de masse m, équation que j'ai donnée dans ce fil,
Tu passes en laplace et tu notes s1 s2 les solutions qui anullent les pôles, elles sont complexes conjuguées,
tu places dans le lieu d'Evans.

Comme ces deux équations sont déclarées indentiques, par simple identification sur les pôles tu obtients ce que j'ai écris
c.a.d.



Ici la sombre histoire d'énergie négative à disparue. Le lapsus vient du fait que la MQ identifie une solution s1 prise positive sur la fonction notée (3), avec une solution notée s2 négative sur l'équation complète de S.

C'est le coup classique du plantage quand tu manipules les pôles complexes conjugués.

partant de là, la MQ pointe classiquement vers la dynamique des systèmes qui est parfaitement connue.

du coup l'oscillateur quantique n'existe plus.

Oscillateur classique : 1+p^2 , deux pôles imaginaires purs.
Oscillateur quantique : i+p , un pôle imaginaire pur.


Ce qui traduit donne : La cohérence de la description par le modèle est assuré?

Ce qui rejoint la question de mariposa : Peut-on utiliser une représentation d'état d'automaticien appliquée à l'équation de S.?

Cordialement.

Oui on peut passer en représentation d'état même avec un seul pôle complexe, mais ça ne voudras strictement rien dire. Avec la paire de pôle complexe conjugée ça devient ultra classique, ça traine dans tous les manuels.

D'ailleurs c'est celle que tu as cité, c'est la forme canonique pour une paire de pôles compexes conjugués normalisés à un. Si tu prends l'équadif du second ordre tu obtient la matrice compagnon du polynôme caratéristique (variables physiques) si tu mets des valeurs numériques, tu te retrouves avec les variables de phase

[invite7399a8aa]

Salut,




du coup l'oscillateur quantique n'existe plus.

Maintenant si tu veux t'empoisoner l'existance tu peux à nouveau enlever un des pôles puis faire tous les calculs selon les méthodes usuelles.


Cordialement


Ludwig

[invite7399a8aa]

Salut tous le monde,

je pensais déclancher une levée de bouclier avec l'expression de l'énergie donnée ci-dessus mais rien. Le monde la physique serait'il d'accord avec ceci??

Car si on reconstruit (sans grand changement d'ailleurs) la MQ à partir d'un modèle d'ordre deux en temps (Voir Klein Gordon) il se pourrait que la compatibilité avec la RG deviennent tout d'un coup un peu hard non????


Cordialement


Ludwig

[coussin]

Bah cette expression ne veut rien dire. Vous avez un scalaire à gauche et des opérateurs (différentiels) à droite.
C'est l'eq. de Schrödinger indépendante du temps et vous avez "simplifié" à droite et à gauche par la fonction d'onde Psi : ça ne veut plus rien dire
C'est votre "déformation professionnelle" de tous voir à travers le prisme de la transformée de Laplace et de faire des simplifications non rigoureuses

[invite7399a8aa]

salut,

Bah cette expression ne veut rien dire. Vous avez un scalaire à gauche et des opérateurs (différentiels) à droite.
C'est l'eq. de Schrödinger indépendante du temps et vous avez "simplifié" à droite et à gauche par la fonction d'onde Psi : ça ne veut plus rien dire
C'est votre "déformation professionnelle" de tous voir à travers le prisme de la transformée de Laplace et de faire des simplifications non rigoureuses

A bon, c'est pourtant l'expression de l'énergie, c'est bien à ceci que l'on ratache l'opérateur Hamiltonien

Trouvé dans la litérature




ça veut dire quelque chose je suppose??



Ce que je met en avant




Pour les simplifications rigoureuses en MQ je te conseillerai simplement de lire Dieudonné (entre autre) pour voir ce qu'il en pense, tu peux aussi voir du côté de Prigogine.

Mais tu sais, Historiquement, la "déformation professionnelle" de tous voir à travers le prisme de la transformée de Laplace et de faire des simplifications très rigoureuses,
a permis de ramener les équations de Maxwell de 22 variables au départ, à la quantité actuelle.

Pour ce qui de l'expression que j'ai mise en avant, elle me satisfait pleinement, car elle démontre de façon évidente que les histoires d'énergies négatives c'est juste bon pour les journaux carnavalesques.


Cette expression me satisfait d'autant plus qu'elle me permet d'aborder les fluctuations avec beaucoup de clarté. Elle me satisfait encore d'avantage quand j'aborde l'étude de la probagation de l'énergie au travers d'un système, parcequ'enfin je suis débarassé de ce Machin, Ceci qui induit en erreur.


Cordialement


Ludwig

[invite7399a8aa]

Bonsoir tous le monde

Toujours personne pour discuter de ce qui est écris ci-dessus??

A moins que par un quelconque miracle on soit tout d'un coup d'acord avec ça, mais j'en doute.

Toujours est t'il que l'expression ci-dessus permet d'aborder la propagation de l'énergie dans un système, mais en même temps la notion de particule dont le rayon tend vers zéro ce qui nécéssite la renormalisation, ce qui pose évidement problème n'est ce pas les gens de la physique.


Cordialement


Ludwig

[azizovsky]

Bonsoir , un grand merci Ludwig , l'équation de Schrodinger était toujours un peu mystérieuse pour moi , mais maintenant je sais que l'équation de S stationnaire équivalente à une 'géodésique' mais avec une 'bicovariance' : le chanagement de repère est replacé par changement de variance , et je tombe sur un truc de la forme :http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node235.html , sans courbure .

[coussin]

Ça, au moins, c'est "homogène". Mais c'est faux, ce n'est pas l'expression de l'Hamiltonien. H=T+V. Vous avez fait une petite erreur de signe

[invite3c30dad8]

arrête de le titiller Coussin, il va rediscuter avec lui même ...

[Nicophil]

mais en même temps la notion de particule dont le rayon tend vers zéro ce qui nécessite la renormalisation

Et pourquoi ?

[invite6754323456711]

car elle démontre de façon évidente que les histoires d'énergies négatives c'est juste bon pour les journaux carnavalesques.

Zéro, nombre négatif, nombre complexe, ... ne sont que des outils que nous nous construisons utile pour représenter des conceptualisations dans différents domaines. Tu sembles vouloir leur attribuer une signification ontologique, qui n'est aussi qu'une construction de notre part.

En tant que néophyte, suivant de loin cette discussion, qu'il y aurait-il de conceptuellement nouveau pour la physique dans l'analyse que vous faites avec stefjm concernant l'équation de Schrödinger ? juste un regard avec le langage d'automaticien ou cela va au-dela ?

Patrick

[stefjm]

arrête de le titiller Coussin, il va rediscuter avec lui même ...

On ne dit pas «il», à propos d'une personne présente, fusse-t-elle sur un forum.
Votre maman ne vous a pas bien éduqué...

Rien à dire commenter sur http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4680051 et deux posts suivants?

[stefjm]

Ça, au moins, c'est "homogène". Mais c'est faux, ce n'est pas l'expression de l'Hamiltonien. H=T+V. Vous avez fait une petite erreur de signe

Est-ce grave?
Quelle est la conséquence?
Cordialement.

[stefjm]

Zéro, nombre négatif, nombre complexe, ... ne sont que des outils que nous nous construisons utile pour représenter des conceptualisations dans différents domaines. Tu sembles vouloir leur attribuer une signification ontologique, qui n'est aussi qu'une construction de notre part.

Pas plus, pas moins que celle qui est attribuée classiquement à une pulsasion et à un temps pour un système physique du second ordre par exemple. L'automaticien travaille avec des pôles et des zéros.

En tant que néophyte, suivant de loin cette discussion, qu'il y aurait-il de conceptuellement nouveau pour la physique dans l'analyse que vous faites avec stefjm concernant l'équation de Schrödinger ? juste un regard avec le langage d'automaticien ou cela va au-dela ?

Difficile pour moi de répondre à cette question. Je n'ai pas assez pratiqué le formalisme habituel de la MQ pour comparer.
Je trouve simplement confortable de retrouver des choses que je connais et maitrise sans avoir à trop me fatiguer.
La mécanique hamiltonienne est nouvelle pour moi et je retrouve des liens avec la représentation d'état habituelle pour moi.
Je bute sur l'ordre 2 de H et l'ordre 1 de S. (Et je me dis que cela doit être normal quand je vois les papiers historiques où les explications modernes à la Feynman du genre l'équation de S. sorti du cerveau de S. !)

Cordialement.

[coussin]

Est-ce grave?
Quelle est la conséquence?
Cordialement.

Un système physique évolue de manière à minimiser son énergie. En changeant le signe de V, la plupart des systèmes deviennent non bornés par le bas (pensez à l'atome d'hydrogène dont vous changez le signe du potentiel) et sont alors non physique puisque des états d'énergie arbitrairement négative sont solutions.
De toute façon, la question ne se pose même pas : pourquoi décider du jour au lendemain de changer la définition du Hamiltonien ?! C'est bizarre...

[azizovsky]

.
Je bute sur l'ordre 2 de H et l'ordre 1 de S. (Et je me dis que cela doit être normal quand je vois les papiers historiques où les explications modernes à la Feynman du genre l'équation de S. sorti du cerveau de S. !)

Cordialement.

Bonjour , moi aussi ,j'ai buté sur ses ordres : du 1èr ordre en temps ,2ème en espace , par ANALOGIE , l'ordre 2 en espace est représenté comme une 'accélération spatialle'd'où sur une seulle dimension par simplification de :dpsy/dt=0 :
.d²psy/dx²+(1/h²)(ip)(ip)=0 ,(1)
si tu remplace ip=mc et dx=cdt
dpsy²/dt²=m²(c²)²/h²
on'a dp/dt=f =>p=ft
d²psy/dx²+(if.t/h)(if.t/h)=0
c'est comme : dpsy/dx=ift/h ou dpsy/dx=-ift/h , psy=intgral[(+-ift/h)dx]
on 'a accélération positive ou accélération négative (le ressort poussse ,ou attire :en action ou en réaction...,l'impulsion est positive ou négative ,absorbe ou ou émit ,.......)
je te laisse terminer l'analogie ,moi ça ma écclairé bcp de chose ....

[azizovsky]

tu peux écrire (1) : dpsy²/dx²+(m²/h²) (iV)(iV)=0 comparer avec l'équation de la géodésique.
ce n'est qu'une analogie ,mais non innocente .
si tu change le complexe i pax d'autre plus générale tu'aura
D+id.id=0
D:laplacien et d: opérateur nabla.

[stefjm]

Un système physique évolue de manière à minimiser son énergie.

C'est le principe de Maupertuis, d'action stationnaire, ou de moindre action.
http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action

De ce que je croyais avoir compris, la dérivée est nulle, ce qui implique un extrémum, qui peut être un maximum ou un minimum.
En physique, on rejette les solutions maximums comme non physique, parce que non stable?
En automatique, on sait très bien qu'un système peut être stable ou pas, et que lorsqu'il n'est pas stable, il part en saturation qui le stabilise "artificiellement".
C'est sans doute pour cela que dans cette discipline, on reste au sans préjugé arbitrairement d'un minimum ou maximum.

Il me semble que c'est ce que cherche à dire Ludwig quand il parle de droite de commutation.

En changeant le signe de V, la plupart des systèmes deviennent non bornés par le bas (pensez à l'atome d'hydrogène dont vous changez le signe du potentiel) et sont alors non physique puisque des états d'énergie arbitrairement négative sont solutions.

Je comprend à peu près. Ce serait des solutions non stables, liée à la partie réelle des pôles.

Traduit au premier ordre en automatique physique classique , cela donne 1/(1+p) (stable) qui devient 1/(p-1), et là je peux comprendre ton argument de minimum.

Traduit naïvement en premier ordre quantique, cela donne 1/(p+i) devient 1/(p-i) et là, vu l'indétermination sur i que tu relevais, je ne comprend plus trop pourquoi accepter l'un et pas l'autre? (séparément ou en même temps, c'est aussi une bonne question?)

Traduit sur le second ordre classique, on passe de 1/(p^2+1) (solution oscillante) à 1/(p^2-1) (solution dont une partie est stable et l'autre instable, donc instable pour un automaticien, mais peut-être stable pour un physicien s'il triche avec les conditions de bord?)

Je suis un peu dans le flou entre les retournements de temps, les notions de stabilité, causalité pas les mêmes pour tout le monde.

De toute façon, la question ne se pose même pas : pourquoi décider du jour au lendemain de changer la définition du Hamiltonien ?! C'est bizarre...

Sûr que si personne ne se pose la question, elle ne va pas se poser toute seule.

Je viens de découvrir le formalisme d'Hamilton, que je ne connaissais pas trop (seulement celui de Lagrange à l'école, pour la modélisation de bras de robot)

C'est ce forçage du premier ordre en temps qui me pose soucis (fonction d'état toute définie à un seul instant).
Je comprend comment Hamilton cache le second ordre avec une matrice de similitude et/ou des complexes, mais je n'arrive pas encore bien à m'y retrouver.

En tout cas, je suis de plus en plus convaincu que des pôles sont cachés par des zéro, ce qui complique l'analyse du truc.
Comme en plus, c'est non linéaire, cela complique encore, mais pour ces aspect de non linéarité, j'ai l'impression qu'on pourrait peut-etre s'en affranchir en se plaçant dans le bon espace.
Un autre truc concernant les non linéarités : Elles sont gommées par les asservissements.

En tout cas, merci Coussin pour tes interventions.

[0577]

Bonjour,

Citation Envoyé par 0577 Voir le message
En MQ, la fonction d'onde décrit une solution d'énergie positive alors que
la fonction d'onde décrit une solution d'énergie négative. Si on ajoute
le "deuxième pôle" à l'équation de Schrödinger, les solutions viennent par paire d'énergies
opposées ce qui est impossible (en général le spectre d'énergie n'est pas borné supérieurement, il
ne le serait donc pas inférieurement et il n'y aurait pas d'état stable). C'est en gros l'argument
que fait Schrödinger dans son article pour "éliminer le deuxième pôle" mais on n'a pas besoin de le
refaire dans les présentations modernes.
Pour être sûr et éviter les quiproquos : Pour un physicien, ce pôle est bien réel?

Je demande, parce que coté stabilité des systèmes, les automaticiens sont coutumiers du truc et ici, je commence à me sentir perdu...

Que signifie "ce pôle est bien réel" ?

@stefjm : dans un précédent message, j'ai écrit " la fonction d'onde n'a pas de propriété de réalité particulière" et tu m'as renvoyé
à ta citation à cause de l'emploi de "réalité" alors que j'employais "réalité" dans le sens mathématique nombre réel versus nombre complexe.

Ici, je ne sais pas de quel sens de "réel" il s'agit...

Citation Envoyé par 0577 Voir le message
Lorsqu'on considère \psi* pour définir une densité de probablité,
ce n'est pas équivalent à réintroduire "le deuxième pôle" : si \psi est solution
de l'équation de Schrödinger, \psi* n'est en général pas solution de l'équation de Schrödinger.
mais est solution de l'autre moitié?

oui, et alors ? \psi est solution d'une équation donc \psi* est solution de l'équation conjuguée.
Ces deux équations ne sont pas indépendantes, on peut n'en garder qu'une seule :
en faisant cela on ne perd aucune information.

Je viens de découvrir le formalisme d'Hamilton, que je ne connaissais pas trop (seulement celui de Lagrange à l'école, pour la modélisation de bras de robot)

C'est ce forçage du premier ordre en temps qui me pose soucis (fonction d'état toute définie à un seul instant).
Je comprend comment Hamilton cache le second ordre avec une matrice de similitude et/ou des complexes, mais je n'arrive pas encore bien à m'y retrouver.

En tout cas, je suis de plus en plus convaincu que des pôles sont cachés par des zéro, ce qui complique l'analyse du truc.
Comme en plus, c'est non linéaire, cela complique encore, mais pour ces aspect de non linéarité, j'ai l'impression qu'on pourrait peut-etre s'en affranchir en se plaçant dans le bon espace.
Un autre truc concernant les non linéarités : Elles sont gommées par les asservissements.

Lorsqu'on écrit l'équation d'un oscillateur harmonique classique
,
la fonction x(t) ne suffit pas à déterminer l'état à tout instant.
L'état du système à un instant t est déterminé par x(t) et :
il faut se donner la position et la vitesse. Si on veut déterminer l'évolution temporelle
à partir de l'équation, il faut bien se donner comme condition initiale la position et la vitesse
puisque l'équation est d'ordre 2.

Dans le point de vue hamiltonien, on introduit un objet "état" qui est le vecteur à deux composantes
formé de la position et de la vitesse. C'est très naturel à faire : on a maintenant un seul objet
pour décrire l'état au lieu de deux. L'équation temporelle vérifiée par l'état est maintenant
une équation d'ordre 1 (équation de Hamilton). Bien sûr, c'est une équation d'ordre 1 pour un vecteur à
deux composantes et donc la même chose que deux équations d'ordre 1 elle-mêmes équivalentes
à une équation d'ordre 2.
En un sens, on a "caché" l'ordre 2 mais on n'a rien fait de miraculeux ou d'interdit, on n'a fait qu'écrire
une équivalence mathématique à peu près évidente du type 2 équations d'ordre 1 = 1 équation d'ordre 2.

En MQ, la fonction d'onde \psi(t) décrit l'état à l'instant t. Ce n'est donc pas un analogue du x(t) de l'oscillateur
harmonique mais un analogue du vecteur (position, vitesse).
L'équation de Schrödinger n'est donc pas l'analogue de l'équation d'ordre 2 vérifiée par x mais
de l'équation d'ordre 1 vérifiée par (position, vitesse) :
l'équation de Schrödinger est l'analogue quantique des équations de Hamilton
(remarque : j'ai écrit çà dans un de mes premiers posts sur ce fil...)

En mécanique classique, on peut retrouver une équation d'ordre 2 en "cassant en deux" l'état en (position, vitesse).
Mais en MQ, il est impossible de casser la fonction d'onde en deux morceaux qui pourraient correspondre à
position et vitesse car en MQ les opérateurs positions et MQ ne commutent pas (relations d'incertitude
de Heisenberg).
Lorsqu'on voit \psi et \psi*, on peut avoir l'impression qu'on a deux morceaux mais on n'en a en fait qu'un car
si on connaît \psi, on connait trivialement \psi*. En un sens, \psi contient deux morceaux Re(\psi) et Im(\psi)
mais ces deux fonctions ne s'interprètent pas comme (position, vitesse) (et n'ont en fait aucun sens
physique prises séparément car ce découpage dépend d'un choix de base de l'espace de Hilbert).



Je ne comprends pas l'histoire de non-linéarité. L'équation de Schrödinger est toujours linéaire, contrairement
aux équations de la mécanique classique. Cela est nécessaire pour l'interprétation probabiliste de la fonction d'onde.

[stefjm]

Que signifie "ce pôle est bien réel" ?
@stefjm : dans un précédent message, j'ai écrit " la fonction d'onde n'a pas de propriété de réalité particulière" et tu m'as renvoyé
à ta citation à cause de l'emploi de "réalité" alors que j'employais "réalité" dans le sens mathématique nombre réel versus nombre complexe.
Ici, je ne sais pas de quel sens de "réel" il s'agit...

Je ne parle que de mathématiques. J'ai toujours besoins de faire préciser aux physiciens de quels pôles, il est question car ils font plutôt du Fourier, là où je fais du Laplace.
Du coup les pôles imaginaires des uns deviennent réels pour les autres et vice versa. (et on ne sait jamais desquels on parle, surtout lorsqu'ils deviennent complexes pour tout le monde mais avec rotation de 90°)

oui, et alors ? \psi est solution d'une équation donc \psi* est solution de l'équation conjuguée.
Ces deux équations ne sont pas indépendantes, on peut n'en garder qu'une seule :
en faisant cela on ne perd aucune information.

Merci de la confirmation.
La curiosité reste donc quand même que l'équation de Schrödinger ne soit que la moitié d'un oscillateur harmonique classique.
J'avoue que j'aime bien cette présentation sous cette forme.

Lorsqu'on écrit l'équation d'un oscillateur harmonique classique
,
la fonction x(t) ne suffit pas à déterminer l'état à tout instant.
L'état du système à un instant t est déterminé par x(t) et :
il faut se donner la position et la vitesse. Si on veut déterminer l'évolution temporelle
à partir de l'équation, il faut bien se donner comme condition initiale la position et la vitesse
puisque l'équation est d'ordre 2.

Dans le point de vue hamiltonien, on introduit un objet "état" qui est le vecteur à deux composantes
formé de la position et de la vitesse. C'est très naturel à faire : on a maintenant un seul objet
pour décrire l'état au lieu de deux. L'équation temporelle vérifiée par l'état est maintenant
une équation d'ordre 1 (équation de Hamilton). Bien sûr, c'est une équation d'ordre 1 pour un vecteur à
deux composantes et donc la même chose que deux équations d'ordre 1 elle-mêmes équivalentes
à une équation d'ordre 2.
En un sens, on a "caché" l'ordre 2 mais on n'a rien fait de miraculeux ou d'interdit, on n'a fait qu'écrire
une équivalence mathématique à peu près évidente du type 2 équations d'ordre 1 = 1 équation d'ordre 2.

Oui, je suis coutumier de cette façon de faire avec la représentation d'état.
Mais je n'avais jamais regardé ce qu'avait fait Hamilton.
En passant en matrice, on a la solution sous la forme d'une exponentielle de matrice.
En passant Laplace, le système d'équations différentielles d'ordre 1 de Hamilton devient un système d'équations algébriques. (et représentation d'état)

En MQ, la fonction d'onde \psi(t) décrit l'état à l'instant t. Ce n'est donc pas un analogue du x(t) de l'oscillateur
harmonique mais un analogue du vecteur (position, vitesse).
L'équation de Schrödinger n'est donc pas l'analogue de l'équation d'ordre 2 vérifiée par x mais
de l'équation d'ordre 1 vérifiée par (position, vitesse) :
l'équation de Schrödinger est l'analogue quantique des équations de Hamilton
(remarque : j'ai écrit çà dans un de mes premiers posts sur ce fil...)

Oui, j'ai confirmé cela en regardant sur tes indications :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4680051

En mécanique classique, on peut retrouver une équation d'ordre 2 en "cassant en deux" l'état en (position, vitesse).
Mais en MQ, il est impossible de casser la fonction d'onde en deux morceaux qui pourraient correspondre à
position et vitesse car en MQ les opérateurs positions et MQ ne commutent pas (relations d'incertitude
de Heisenberg).

Le fameux .
C'est curieux cette double introduction de l'imaginaire i dans le formalisme.
Hamilton l'introduit naturellement dans son équation de réduction d'ordre 2 vers 1 et Heisenberg également pour décrire la non-commutation des opérateurs.
D'un autre coté, c'est assez normal, puisqu'on peut tout faire avec des matrices et que celles-ci ne commutent pas non plus.

Lorsqu'on voit \psi et \psi*, on peut avoir l'impression qu'on a deux morceaux mais on n'en a en fait qu'un car
si on connaît \psi, on connait trivialement \psi*. En un sens, \psi contient deux morceaux Re(\psi) et Im(\psi)
mais ces deux fonctions ne s'interprètent pas comme (position, vitesse) (et n'ont en fait aucun sens
physique prises séparément car ce découpage dépend d'un choix de base de l'espace de Hilbert).

Je comprends à peu près. Ceci dit, si je fais l'analogie avec le choix d'un référentiel en RR, ce n'est pas parce que x,v et t dépendent d'un choix arbitraire qu'il n'ont pas de sens physique.
Comme le module de vaut 1, il reste le sens physique de l'argument?
(Si sens physique a un sens, ce qui n'est pas évident, et surtout, cela risque de ne pas être la même définition pour tout le monde.)

J'ai l'impression que les physiciens considèrent comme accessoire cette normalisation à 1, alors qu'un automaticien va trouver cela très contraignant.
(En gros, ce que dit Ludwig)

Je ne comprends pas l'histoire de non-linéarité. L'équation de Schrödinger est toujours linéaire, contrairement
aux équations de la mécanique classique. Cela est nécessaire pour l'interprétation probabiliste de la fonction d'onde.

Cela m'arrange : Laplace est vite limité par les non linéarité.
L'interprétation probabiliste ne m'intéresse pas.

Il me reste donc à voir comment me dépatouiller de la non commutativité des opérateurs. J'ai une piste facile : Matrice et transformée de Laplace.
Je vais regarder ce que cela donne!

En tout cas, Merci beaucoup 0577, pour l'éclairage apporté.

Bien cordialement.

[Nicophil]

Que reprochez-vous donc à la fin, toi et tous les autres Hérétiques, à l'interprétation orthodoxe ?

[stefjm]

Que reprochez-vous donc à la fin, toi et tous les autres Hérétiques, à l'interprétation orthodoxe ?

Mais rien du tout figure-toi!
Du moins pour mon cas.
Pour Ludwig, je mets son apparente véhémence sur le compte de la langue, qu'il maitrise à merveille d'un point de vu syntaxique, mais dont le ton est parfois un peu rêche. (voir abrupt)

[albanxiii]

Bonjour,

C'est le principe de Maupertuis, d'action stationnaire, ou de moindre action.
http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action

Remarque pédante (la culture, c'est comme la confiture...) : le principe de Maupertuis est un cas particulier du principe de Hamilton, dans le cas où on a un système autonome (conservatif).

@+

[invite6754323456711]

alors que j'employais "réalité" dans le sens mathématique nombre réel versus nombre complexe.

De qu'elle "réalité" parlez vous ? Tout nombre qu'il soient réel ou imaginaire n'est qu'une pure construction de notre part et n'ont aucune ontologie physique. Une contribution de forumeurs FS pour démystifier cette notion mathématique de nombre http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180

Patrick