Nombres complexes : pourquoi peut on les utiliser?

[yoyox]

Bonjour,

En physique les nombres complexes sont utilisés constamment mais pourtant ils partent du principe qu'un nombre peut être de carré négatif. Comment/Pourquoi en les utilisant arrivons nous sur des équations réelles et justes?

Merci.
-----

[GrisBleu]

Salut

Il y a plusieurs types d'equations
- celles qui utilisent les complexes pour simplifier comme en electricite)
- celles ou les complexes sont au coeur de l equation qui ne se ramene alors pas a une equation. par exemple, celle de Schrodinger
Cdlt

[Amanuensis]

Par exemple, dès qu'on utilise la fonction sinus ou cosinus, il y a une fonction complexe qui se cache derrière, et souvent alors passer en complexe simplifie les calculs.

Cela couvre du coup tous les phénomènes cycliques.

[verdifre]

bonjour,
pouquoi penser que l'ensemble des reels est un ensemble satisfaisant pour representer des phénomenes physiques ?
On utilise même des choses plus complexes que les complexes, des quaternions par exemple
tu sembles penser que la nature devrait repondre necessairement aux concepts mathematiques que nous connaissons
la geometrie utilisée en physique n'est pas toujours euclidienne non plus ....
de plus les complexes peuvent avoir une interpretation geometrique qui rend souvent leur utilisation pratique
fred

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

bonjour

en physique on utilise les objets mathematiques pour representer les phenomènes ou objets physique

les nombres complexes peuvent par exemple servir à representer un vecteur de composantes a,b. il s'ecriera V = a + jb.

evidemment on utilise les proprietes de cette representation. Si tu as un autre vecteur W = de composantes (c,d ) le vecteur W = c+Jd

le vecteur somme V + W = S = (a + jb) + (c+jd) = (a+b) = j ( c+d)

aprés on peut faire tous les calculs sur les angles un utilisant les regles des nombre complexes et cela donne des presentations plus simples.

Il peut y avoir d'autres representations des grandeurs, le but etant souvant de simplifier les calculs.

[yoyox]

Tout d'abord merci mais vous n'avez pas vraiment répondu à ma question sauf peut être verdfire mais j'aimerai qu'il développe plus si c'est possible. J'utilise constamment les nombres complexes dans mon cursus (physique fondamentale L3), je sais donc les utiliser et où on les utilise mais je ne sais pas pourquoi les équations ou solutions qu'on trouve au bout sont valables, je veux dire par là qu'on dit quand même qu'un carré peut être négatif...

[yoyox]

Salut

Il y a plusieurs types d'equations
- celles qui utilisent les complexes pour simplifier comme en electricite)
- celles ou les complexes sont au coeur de l equation qui ne se ramene alors pas a une equation. par exemple, celle de Schrodinger
Cdlt

Dans le premier cas on utilise quelque chose de faux pour arriver à quelque chose de juste en éliminant les termes faux pendant les calculs?

Dans le deuxième, ça n'a pas de sens physique?

Je sais que les réponses à mes questions sont NON mais je veux vous montrer ce que je ne comprends pas ^^

edit : verdifre désolé pour la faute sur ton pseudo dans les précédent message!

[LPFR]

Bonjour.
On utilise les nombres complexes pour transformer des équations avec des cosinus en équations avec des exponentielles qui sont beaucoup plus simple à traiter.
Si on a des équations avec des cosinus, on leur ajoute une équation similaire mais avec des sinus, multiplié par 'j'. En utilisant les formules d'Euler, on retrouve les exponentielles. Puis, une fois la solution trouvée, pour revernir à la réalité on ne prend que la partie réelle de la solution.
La plupart des fois, comme en électricité, on n'a même pas besoin de faire le dernier calcul, car les deux seules inconnues se retrouvent dans la solution complexe: l'amplitude est le module de la solution et le déphasage, l'argument de la solution.
Vous avec un exemple développé ici.

En physique toutes les grandeurs son réelles. L'introduction des nombres imaginaires n'est qu'une astuce de calcul extrêmement utile et bienvenue.

Les masochistes en phase terminale peuvent faire toute la physique en n'utilisant que des nombres réels.

Au revoir.

[verdifre]

bonjour,
ce que tu sembles oublier c'est que les nombres complexes sont finalement des nombres de dimension 2 alors que les nombre réels sont de dimension 1 . Tout ce qui est fait avec des complexes peut être fait avec des vecteurs et des matrices, c'est juste moins simple
fred

[LPFR]

ce que tu sembles oublier ...

Re.
Pourquoi je semble l'oublier? Il semble que vous arrivez aux mêmes conclusions que moi.
A+

[invite39876]

ce que tu sembles oublier c'est que les nombres complexes sont finalement des nombres de dimension 2 alors que les nombre réels sont de dimension 1 .

Bonjour,
Qu'est ce que vous entendez par la exactement?
Julia.

[verdifre]

bonjour LFR
ce ne t'étais absolument pas adressé, je répondais à yoyox
le seul point sur le quel je n'adhère pas completement à ta vision c'est sur l'affirmation qu'en physique toutes les grandeurs sont "réelles". Je crois qu'a ce niveau il y a un problème sémantique entre le réel de la physique et celui des maths
Pour moi les concepts mathématiques sont une construction de l'esprit et qu'une phase soit représentée par un imaginaire ou un réel ne change rien à sa réalité. C'est juste une représentation
cordialement
fred

[verdifre]

bonjour,

Bonjour,
Qu'est ce que vous entendez par la exactement?
Julia.

si tu veux representer un nombre réel, ou placer un nombre reel sur une echelle, une droite est suffisante
alors que pour un nombre complexe il te faut deux droites (ou un plan)
bref ces nombres ne sont pas de même nature bien que les reels soient inclus dans les complexes
fred

[invite39876]

bonjour,

si tu veux representer un nombre réel, ou placer un nombre reel sur une echelle, une droite est suffisante
alors que pour un nombre complexe il te faut deux droites (ou un plan)
bref ces nombres ne sont pas de même nature bien que les reels soient inclus dans les complexes
fred

OUi, mais la est ce qu'imlicitement tu ne te places pas avec R comme ensemble de reference?
Si tu vois les complexes en eux meme, tu peux aussi les placer sur une "droite complexe".
Du meme si ton ensemble de reference c'est Q, alors les reels sont de dimension infinie.
Non?
(Dsl je ne suis pas tres au point sur les maths)

[Tiluc40]

je sais donc les utiliser et où on les utilise mais je ne sais pas pourquoi les équations ou solutions qu'on trouve au bout sont valables, je veux dire par là qu'on dit quand même qu'un carré peut être négatif...

Bonjour,

Pour aller dans le me sens que les explications de Verdiffre sur la dimension des nombres complexes, j'ajouterais que sans doute tu ne prends pas le bon angle pour voir les choses. On ne dit pas qu'un carré peut être négatif, on dit qu'un carré peut valoir -1, en sous-entendant, (-1,0) puisqu'on travaille maintenant dans un espace à 2 dimensions. Ce qui est différent. Dans l'ensemble des nombres complexes, tu ne peux plus dire qu'un nombre est positif ou négatif. Par contre, tu peux faire beaucoup d'autres choses.

[coussin]

OUi, mais la est ce qu'imlicitement tu ne te places pas avec R comme ensemble de reference?
Si tu vois les complexes en eux meme, tu peux aussi les placer sur une "droite complexe".
Du meme si ton ensemble de reference c'est Q, alors les reels sont de dimension infinie.
Non?
(Dsl je ne suis pas tres au point sur les maths)

Non parce qu'il n'y a pas de relation d'ordre dans le corps des complexes. Ça n'a pas de sens de dire qu'un complexe est plus grand ou plus petit qu'un autre. Et c'est ce qu'on fait implicitement si on veut mettre des nombres sur une échelle ou une droite…

[invite39876]

Non parce qu'il n'y a pas de relation d'ordre dans le corps des complexes. Ça n'a pas de sens de dire qu'un complexe est plus grand ou plus petit qu'un autre. Et c'est ce qu'on fait implicitement si on veut mettre des nombres sur une échelle ou une droite…

Ben, il ne me semble pas que ce soit une explication tres satisfaisante.
Pour plusieurs raisons.
1) On peut mettre une relation d'ordre sur C, on peut en mettre plein en fait. Donc si ca peut avoir du sens de dire qu'un nombre complexe est plus grand qu'un autre.
2) Pourquoi une droite aurait necessairement une relation d'ordre? En fait, c'est quoi une droite?
3) Sur Q, on a une relation d'ordre et R est de dimension inifie par rapport a Q!

Bref, j'ai l'impression qu'il y a quand meme l'idée la dedans que l'ensemble de reference par rapport auquel on plarle c'est R. Et la, ok, C est de dimension 2, mais on a deja fait ce choix de R.

Tout ca pour dire que R n'a pas un statut plus legitime que C en physique il me semble. ON est juste "englué" dedans.
Julia.

[LPFR]

bonjour LFR
ce ne t'étais absolument pas adressé, je répondais à yoyox
le seul point sur le quel je n'adhère pas completement à ta vision c'est sur l'affirmation qu'en physique toutes les grandeurs sont "réelles". Je crois qu'a ce niveau il y a un problème sémantique entre le réel de la physique et celui des maths
Pour moi les concepts mathématiques sont une construction de l'esprit et qu'une phase soit représentée par un imaginaire ou un réel ne change rien à sa réalité. C'est juste une représentation
cordialement
fred

Re-bonjour Fred.
Pas étonnant que je n'aie pas compris.

Je vois que nous avons des conceptions du réel et de l'imaginaire très proches.
Mais j'y tiens à ce que toutes les grandeurs physiques, celles qui nous entourent, sont réelles.
A la rigueur, je veux bien laisser les quarks dans les limbes, entre réel et imaginaire.
Ce qui s passe dans la tête des mathématiciens c'est tout un autre monde (intéressant, génial, amusant), mais un autre monde quand-même.
Cordialement,

[invite6754323456711]

Pour moi les concepts mathématiques sont une construction de l'esprit et qu'une phase soit représentée par un imaginaire ou un réel ne change rien à sa réalité.

sur FS ce point de vue, que je partage entièrement, est très mal perçu. Mal nommer les choses (réels / imaginaires ) c'est ajouter au malheur des hommes

Je n'ai jamais observé dans la nature ni réels, ni imaginaires.

Je pense que ce fil sera très instructif.

Patrick

[vaincent]

Dans le premier cas on utilise quelque chose de faux pour arriver à quelque chose de juste en éliminant les termes faux pendant les calculs?

Dans le deuxième, ça n'a pas de sens physique?

Je sais que les réponses à mes questions sont NON mais je veux vous montrer ce que je ne comprends pas ^^

edit : verdifre désolé pour la faute sur ton pseudo dans les précédent message!

Bonjour,

je pense que le paragraphe "historique" de ce pdf pourra t'aider à comprendre la nécessité de l'introduction des nombres imaginaires (ou "impossibles") pour résoudre des équations à solutions réelles(qui aurait un sens physique donc ?). La justification d'une telle nécessité, n'a, à ma connaissance, pas de réponse actuellement. L'existence d'un isomorphisme entre C et R² ne suffit pas à justifier la nécessité de l'introduction d'un nombre i, dont le carré vaut -1, lors de la résolution de telles équations. C'est plus profond que ça, puisque cet isomorphisme sert "simplement" à interpréter géométriquement un nombre complexe.
Après, libre à chacun de se faire une représentation de ce qui est réel et de ce qui ne l'est pas.

[invite21348749873]

Bonjour,

je pense que le paragraphe "historique" de ce pdf pourra t'aider à comprendre la nécessité de l'introduction des nombres imaginaires (ou "impossibles") pour résoudre des équations à solutions réelles(qui aurait un sens physique donc ?). La justification d'une telle nécessité, n'a, à ma connaissance, pas de réponse actuellement. L'existence d'un isomorphisme entre C et R² ne suffit pas à justifier la nécessité de l'introduction d'un nombre i, dont le carré vaut -1, lors de la résolution de telles équations. C'est plus profond que ça, puisque cet isomorphisme sert "simplement" à interpréter géométriquement un nombre complexe.
Après, libre à chacun de se faire une représentation de ce qui est réel et de ce qui ne l'est pas.

Bonjour
Je pense que c'est la réponse la meilleure de toute cette discussion.
Introduire le concept d'un carré négatif permet de calculer des quantités "réelles" (quelle est la définition exacte de "réel"?), c'est comme ça ; et comme disait Heavyside, à propos d'une question similaire qui lui était posée sur le calcul opérationnel, "il n'est pas nécessaire de connaitre le mécanisme de la digestion pour faire un excellent repas".

[invite6754323456711]

L'existence d'un isomorphisme entre C et R².

Un isomorphisme traduit le "transport" d'une structure d'un ensemble vers un autre, mais ne change pas, me semble t'il, la nature de ces ensembles.

D'après R. Penrose le processus qui consiste à scinder un nombre complexe z en sa partie réelle et imaginaire (x,y) n'appartient pas au royaume des opérations holomorphes. Une fonction de C dans C n'est pas la même chose qu'une fonction de R^2 dans R^2. Toute application holomorphe est différentiable mais l'inverse est faux. Par exemple est différentiable en tout point (c'est une application R-linéaire) mais n'est holomorphe en aucun.

Patrick

[b@z66]

Tout d'abord merci mais vous n'avez pas vraiment répondu à ma question sauf peut être verdfire mais j'aimerai qu'il développe plus si c'est possible. J'utilise constamment les nombres complexes dans mon cursus (physique fondamentale L3), je sais donc les utiliser et où on les utilise mais je ne sais pas pourquoi les équations ou solutions qu'on trouve au bout sont valables, je veux dire par là qu'on dit quand même qu'un carré peut être négatif...

On dit bien aussi que lorsque l'on enlève 4 carottes à un stock de 3 carottes, il ne reste que -1 carotte et pourtant j'ai jamais vu en face de moi -1 carotte. Il n'empêche que les nombres négatifs semblent naturels à tout le monde alors que dans le monde physique qui nous entoure les nombres négatifs n'existe pas plus que les nombres imaginaires. Ce qui est à retenir de cela, c'est surtout la logique des ces nombres, les règles auxquelles ils obéissent: les nombres négatifs et complexes sont nés d'une volonté d'extension du corps des nombres de façon à pouvoir faire des opérations qui semblait "limitées" avant(addition, soustraction, racine carrée,...). Après, on peut toujours discourir sur la réalité physique des nombres et cela quels qu'ils soient(réels, rationnel, positif, négatif,...)mais la conclusion reste simple: les nombres en eux-mêmes n'existent pas, ce sont une abstraction et seule la logique qui les lient entre-eux à vraiment un rapport avec la réalité.

[stefjm]

Bonsoir,

Malheureux que vous êtes, vous ignorez où vous mettez les pieds!
Faites demi-tour tant qu'il est encore temps...

Un point d'entrée si vous avez un peu de temps à perdre sur le sujet.

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2748191

Cordialement.

[Amanuensis]

Faites demi-tour tant qu'il est encore temps...

Vu le sujet, je proposerais de faire un quart de tour puis un quart de tour, c'est à dire le carré d'un quart de tour. (Notons que je n'impose pas de convention sur lequel des quarts de tour possibles, pour le carré cela revient au même.)

[stefjm]

Vu le sujet, je proposerais de faire un quart de tour puis un quart de tour, c'est à dire le carré d'un quart de tour. (Notons que je n'impose pas de convention sur lequel des quarts de tour possibles, pour le carré cela revient au même.)

Le quart de tour permet effectivement d'obtenir des signaux en quadrature. (avant ou arrière)

La quadrature du cercle est-elle obtenue?

[invite4ff2f180]

Bonjour,
j'arrive en retard dans la discussion mais je voudrais faire remarquer quelque chose. Tu sembles surpris que les nombres imaginaires puissent représenter le monde physique, mais en revanche il te semble normale que les nombre réels le permettent. Or longtemps ces nombres ne paraissaient pas naturels du tout (passer de N à Z fut déjà une grande étape ! (sans parler du "0") ). En fait, les mathématiques et la physique sont beaucoup plus liés qu'on ne le croit, un exemple :

la géométrie euclidienne a été créé pour être en accord avec nos intuitions. Il semble "évident" à tout le monde que si deux droites sont parallèles et qu'une troisième est parallèle à la première, alors elles sont toutes parallèles, ... En fait, tous les postulats de géométrie euclidienne sont finalement "issu" du "bons sens" que pourrait avoir un physicien. Ils permettent juste de créer une géométrie cohérente mathématiquement et proche de notre intuition : on peux facilement faire des dessins sur un papier ... Ensuite les mathématiciens ont trouvé ça amusant de changer les postulats pour voir si on pouvait créer d'autre géométries cohérentes, et ils ont réussi. Et ces nouvelles géométries sembles à première vu très bizarre, contre-intuitive, pas "naturel" (même dans la communauté mathématicienne quand ces théories ont émergés, il y a des réticences). Puis un jour, voila qu'un physicien débarque et nous explique que finalement non, il serait préférable de décrire l'espace temps physique par un espace courbe, que des droites parallèles peuvent se croiser etc.

En fait tout est une question d'habitude. Aucun concept mathématique c'est "vrai en soi", c'est juste qu'ils sont plus ou moins intuitifs. Au lycée quand on apprend les nombres complexes, ils semblent un peu sortit de nul part, mais au final on les apprivoises rapidement à force de les utiliser.

[yoyox]

Bonjour, moi qui m'attendait à une réponse simple et évidente je m'appercoit que je ne suis pas sorti de l'auberge. Avec tout ce que j'ai lu j'arrive à comprendre en gros ce que vous m'expliquez car tout ça me semble très abstrait. J'aurais surtout retenu : "les nombres en eux-mêmes n'existent pas, ce sont une abstraction et seule la logique qui les lient entre-eux à vraiment un rapport avec la réalité. "(b@z66) qui je trouve résume bien le tout.

Merci de me faire réaliser que même les nombres négatifs n'existent pas dans la nature. En fait j'arrive ici avec une question, je repars avec 10000 ^^

Merci à tous!

[verdifre]

bonsoir,
le concept même de 0 est un concept historiquement assez recent
fred

[stefjm]

En fait j'arrive ici avec une question, je repars avec 10000 ^^

Désolé!