Théorème de Noether et entropie

[Amanuensis]

En particulier, on peut exhiber un produit quantité de mouvement x longueur/h qui rend assez clair ce dont on parle (à savoir des hyper-volumes dans l'espace 6D des phases, mesurés en unité h).

Correctif : mesurés en unité h³.

Pour continuer sur ce point, la formule réécrite ainsi montre bien la relation avec l'indétermination de Heisenberg.

Décompter des "états" dans l'espace des phases est rendu possible explicitement parce qu'il y "quantification" par l'indétermination de Heisenberg.

Pour ceux que ces analogies intéressent, on peut faire un parallèle avec les domaines "fréquence-temps" en théorie du signal. Si on dispose d'un canal de largeur fréquentielle f pendant un temps t, on peut l'utiliser pour transmettre f.t unités d'information (symboles). Autrement dit tous les mélanges entre multiplexage en fréquence et multiplexage dans le temps sont équivalents en terme de capacité à largeur de bande totale donnée. Le symbole est l'unité de décompte naturelle dans l'espace temps x fréquence, comme h³ est l'unité naturelle de décompte dans l'espace des phases position 3D x quantité de mouvement.
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[Amanuensis]

Vous ne voyez pas que cette formule c'est simplement la formule de De Broglie
avec p la quantité de mouvement thermique?

Ben si, on le voit très bien au contraire Et on y voit l'intervention explicite de h...

La longueur de de Broglie est un concept quantique qui fait intervenir h.

[stefjm]

On peut parfaitement prendre le logarithme d'une grandeur dimensionnée, regarde les diagrammes logarithmiques par exemple.
(ça donne une grandeur sans dimension, je te laisse chercher pourquoi )

On peut toujours, mais ce n'est pas propre.

log(a*b)=log(a)+log(b)
Donc regardez seulement log(b) en termes de dimensions, cela n'a pas de sens!

Dans ce cas, quel est l'intérêt de présenter la formule comme cela?

Pourquoi ce qu'à écrit Amanuensis n'est-il pas la norme?

[invitef17c7c8d]

Deede81, je ne t'oublie pas.
Mais tes questions sont d'une telle pertinence, que cela m'oblige à vraiment y réfléchir! Donc je ne pourrais y répondre qu'en plusieurs fois et par bribe.

Peux-tu me garantir qu'un système invariant d'échelle a une entropie constante lorsqu'il change d'état (variation du point dans l'espace des phases sur une ligne ou une surface critique) ? Non, évidemment, puisque c'est faux !

Prenons le cas de la particule de pollen et son fameux mouvement brownien.
Supposons que je prenne une particule ayant un volume de 1mm^3.
Maintenant je mesure sa vitesse et sa position toutes les secondes et je passe toute la journée à faire ça!
Les mesures obtenues en fin de journée, je les place sur un graphique.

Le lendemain je recommence avec une particule de pollen de 0,01 mm^3, puis le surlendemain avec une particule encore plus petite.

Le sur-sur-lendemain, je décide de comparer mes différents graphiques. Alors, je vous l'accorde, ils ne seront pas parfaitement identiques c'est certain. Mais on ne voit pas de changement notable du mouvement des particules suivant leur dimension. Par conséquent l'entropie est constante en changeant d'échelle.

Donc ma réponse à ta question est : Oui, évidemment, puisque c'est juste!

[Amanuensis]

Dans ce cas, quel est l'intérêt de présenter la formule comme cela?

Pourquoi ce qu'à écrit Amanuensis n'est-il pas la norme?

La distinction entre partie variable (le premier log) et les "constantes" (deuxième log), y compris les dimensionnantes ?

L'histoire ? Le respect de l'auteur original ?

La prévalence des présentations en termes d'énergie plutôt qu'en termes de quantité de mouvement ? (Utiliser la quantité de mouvement supprime une variable puisqu'elle remplace E et m dans la formule.)

[Deedee81]

On peut toujours, mais ce n'est pas propre.

La propreté ? Quel drole de critère pour savoir si on doit prendre le logarithme ou pas dans une équation

Prenons le cas de la particule de pollen et son fameux mouvement brownien.
Supposons que je prenne une particule ayant un volume de 1mm^3.
[....]
Le lendemain je recommence avec une particule de pollen de 0,01 mm^3, puis le surlendemain avec une particule encore plus petite.
[...]
Par conséquent l'entropie est constante en changeant d'échelle.

C'est faux. L'entropie varie bel et bien dans ce cas. Elle est proportionnelle au nombres de grains et en passant à une échelle avec des grains plus petits, tu auras plus de grains. Donc une entropie plus grande. Sinon ce n'est pas un changement d'échelle. Juste un changement de la taille d'une partie du système (ce qui doit d'ailleurs faire aussi légèrement varier l'entropie, mais là, bonjour le calcul).

Tu n'auras une invariance que dans le cas d'un système fractal. Or si les trajectoires brownien ont en effet un caractère fractal, le paramètre d'échelle n'est pas la taille des grains mais la taille de tout le système.

Il est donc mieux de dire que tu as pris le deuxième jour, non seulement des grains plus petits, mais aussi en plus grande densité, et enfin un volume total plus petit. Là, tout va reste identique : les trajectoires, les graphiques, l'entropie,....

Là, oui, on retrouve bien une entropie invariante (probablement avec une très bonne approximation).

Mais :
1) Ca reste un cas très particulier
2) Ca ne prouve toujours pas que l'entropie est la grandeur associée au sens de Noether au paramètre d'échelle.

Note que ça reste possible, mais je trouve ça très très douteux.

Et tu ne pourras certainement pas trancher sans mettre ça en équations (bon courrage !) Pire : vu l'erreur ci-dessus des grains qui diminuent mais pas le reste, il est clair qu'un traitement mathématique éviterait ce genre d'accroc.

[invitef17c7c8d]

Salut,



En outre, les systèmes invariant d'échelles sont un cas très très particulier. Ca ne permet pas de déduire que l'entropie est la grandeur associée à l'invariance par changement d'échelle (associée au sens de la question posée dans ce fil).

Non je pense tout à fait l'inverse. Je pense que c'est notre façon d'appréhender le monde (hérité de Newton et Descartes) qui nous fait croire que ce ne sont que des cas particuliers.

Pour illustrer encore une fois, je voudrais prendre l'image du rond dans l'eau.
Que voyons nous "à notre échelle" : un rond qui s'élargie. C'est d'une telle banalité, qu'on ne peut le voir autrement!

Maintenant assayons d'appliquer notre hypothèse d'invariance d'entropie par changement d'échelle.

1. Pourquoi a-t-on un rond (ou des fonctions harmoniques de Bessel)?
On peut se dire, "l'onde" ne sait pas trop où aller, du coup elle choisit toutes les directions.

2. Lorsque le rond s'élargit, mon onde sphérique ressemble de plus en plus à une onde plane (si je ne change pas de d'échelle). Elle choisit une direction privilégiée. Son entropie peut sembler diminuer!

3. Si par contre je change d'echelle, je vois toujours le même rond et la même entropie.

Par conséquent, on peut dire qu'une onde se propage pour que son entropie reste constante par changement d'echelle!

[stefjm]

La propreté ? Quel drole de critère pour savoir si on doit prendre le logarithme ou pas dans une équation

C'est le critère habituel.
Adimensionnement, puis prise du logarithme.
Ce qui évite de faire des différences scabreuses de logarithmes de grandeurs dimensionnées.

[Amanuensis]

La propreté ? Quel drole de critère pour savoir si on doit prendre le logarithme ou pas dans une équation

Je ne vois pas ce qu'il y a drôle ou de matière à se moquer (le ).

Une formule "propre" permet de véhiculer correctement les concepts sous-jacents à la formule.

Le choix est entre une formule "traditionnelle" ou choisie au hasard, et une formule qui informe et éduque non seulement en tant que telle (connaître et appliquer la formule), mais aussi en termes de concepts plus profonds.

PS : Je suis d'accord avec Deedee81 dans la réponse à lionelod ; je laisse Deedee81 faire...

[Deedee81]

Me suis emmelé les pinceaux sur un point. Enfin, ca ne remet pas encause la suite, passons

Non je pense tout à fait l'inverse. Je pense que c'est notre façon d'appréhender le monde (hérité de Newton et Descartes) qui nous fait croire que ce ne sont que des cas particuliers.

Ce genre de remarque n'a strictement aucun intérêt. Au mieux ça peut faire augmenter le Godwin.

1. Pourquoi a-t-on un rond (ou des fonctions harmoniques de Bessel)?

Cette remarque sur Bessel, c'est superfétatoire, c'est de la poudre aux yeux, du noyage de Poisson.

On peut se dire, "l'onde" ne sait pas trop où aller, du coup elle choisit toutes les directions.

M'enfin, où t'a été chercher ça toi, tout le monde sait que l'onde suit la marmotte !!!

2. Lorsque le rond s'élargit, mon onde sphérique ressemble de plus en plus à une onde plane (si je ne change pas de d'échelle). Elle choisit une direction privilégiée. Son entropie peut sembler diminuer!

La partie mise en gras, c'est du grand n'importe quoi, du blabla sans intérêt ni aucun sens. L'entropie d'une onde sphérique ou d'une onde plane. Non, mais on aura tout vu.

[....]

J'arrête là le jeu de massacre et je réitère mes deux demandes :
- Une analyse mathématique
- Une référence

Je sens encore les coups de bâton de la modération arriver

[Deedee81]

Une formule "propre" permet de véhiculer correctement les concepts sous-jacents à la formule.

C'est clair (ou propre ), mais ce n'est pas dans ce sens là que j'en voyais l'usage plus haut. La formule est très propre et on en trouve de ce style par centaines dans les livres ou articles de physique statistique. C'est pour ça que cela m'a fait rire

PS : Je suis d'accord avec Deedee81 dans la réponse à lionelod ; je laisse Deedee81 faire...

Snif

[Amanuensis]

La formule est très propre

Je ne la trouve pas propre du tout, et cela m'a coûté du temps à la ré-écrire d'une façon que j'estime propre.

et on en trouve de ce style par centaines dans les livres ou articles de physique statistique.

Bien d'accord là-dessus, malheureusement.

C'est à déplorer ou en pleurer, plutôt que de trouver à rire du contraire.

[Deedee81]

Je ne la trouve pas propre du tout, et cela m'a coûté du temps à la ré-écrire d'une façon que j'estime propre.
Bien d'accord là-dessus, malheureusement.
C'est à déplorer ou en pleurer, plutôt que de trouver à rire du contraire.

Question de style ? D'habitude ? De goût ? Je ne sais pas trop. Mais je dois dire que moi ça ne me gêne pas. Enfin, bon, si, il m'est déjà arrivé de voir des formules illisibles.

[Amanuensis]

Question de style ? D'habitude ? De goût ?

C'est subjectif, je ne dis pas le contraire. Cela dépend de ce qu'on considère être le but, l'utilité, d'une formule.

C'est comme un logiciel. Écrire de façon illisible un algo qui marche parfaitement remplit parfaitement le but qui est de faire un algo qui marche (belle tautologie). Mais cela ne remplit pas le but qui est d'obtenir du code facilement maintenable ou facilement modifiable par quelqu'un autre que son auteur. Dans le métier on appelle cela "propre" ou "pas propre". Et de nombreuses personnes acceptent par habitude ou par notion de liberté mal placée ("style") ou par faute de moyens de la programmation "pas propre". Cela ne la rend pas "propre" pour autant.

PS : Je propose d'arrêter le HS et de revenir, par souci d'ordre, à l'entropie.

[invite93279690]

Salut,

Juste pour mentionner un travail récent qui est peut être en relation avec le sujet même si il n'est pas complètement focalisé sur l'entropie.
D'après, l'un des auteurs avec qui j'ai pu discuter l'idée de départ de leur travail est bel et bien d'étendre les outils relatifs aux symétries de la TQC à la théorie statistique des champs dépendant du temps, à la notion d'équilibre, d'hors équilibre etc...

[invitef17c7c8d]

M'enfin, où t'a été chercher ça toi, tout le monde sait que l'onde suit la marmotte !!!


La partie mise en gras, c'est du grand n'importe quoi, du blabla sans intérêt ni aucun sens. L'entropie d'une onde sphérique ou d'une onde plane. Non, mais on aura tout vu.


J'arrête là le jeu de massacre et je réitère mes deux demandes :
- Une analyse mathématique
- Une référence

Je sens encore les coups de bâton de la modération arriver

Je suis allé chercher tout ça dans mon cerveau en oubliant tout ce que je savais et tous mes a priori, et en détournant le concept de section efficace de diffusion.

Je vous dis tout net que je n'apprécie pas l'utilisation que vous faites de l'humour à des fins malhonnêtes. Je comprends que vous puissiez
être contrarié mais ne vous défoulez plus sur moi!

[Deedee81]

Je suis allé chercher tout ça dans mon cerveau en oubliant tout ce que je savais et tous mes a priori, et en détournant le concept de section efficace de diffusion.

Tout s'explique.

Je vous dis tout net que je n'apprécie pas l'utilisation que vous faites de l'humour à des fins malhonnêtes. Je comprends que vous puissiez
être contrarié mais ne vous défoulez plus sur moi!

Aucun problème, dès que tu arrêtes de raconter n'importe quoi n'importe comment.

Non, après tout, tu as raison, ce n'est pas à moi à faire ça ! Je signalerai plutôt ça à la modération. C'est plus Futura Complient.

[Deedee81]

Salut Gatsu,

Juste pour mentionner un travail récent qui est peut être en relation avec le sujet même si il n'est pas complètement focalisé sur l'entropie.
D'après, l'un des auteurs avec qui j'ai pu discuter l'idée de départ de leur travail est bel et bien d'étendre les outils relatifs aux symétries de la TQC à la théorie statistique des champs dépendant du temps, à la notion d'équilibre, d'hors équilibre etc...

Merci pour ce document. Il a l'air fort intéressant.

[invite4ff2f180]

Je suis allé chercher tout ça dans mon cerveau en oubliant tout ce que je savais

Sur ce point, je suis tout a fait d'accord avec toi

[stefjm]

Je suis allé chercher tout ça dans mon cerveau en oubliant tout ce que je savais et tous mes a priori, et en détournant le concept de section efficace de diffusion.

Enfin une vraie démarche scientifique.
Faire table rase et reconstruire par soi même.
C'est courageux mais un peu risqué.

[invite4ff2f180]

Bonjour,
Je ne suis pas d'accord, à la limite l'esprit scientifique c'est :

"Je suis allé chercher tout ça dans mon cerveau en oubliant tous mes a priori"

Mais certainement pas en oubliant tout ce que l'on sait !

[stefjm]

Mais certainement pas en oubliant tout ce que l'on sait !

Pas de on, c'est difficile de savoir de qui on parle.
J'adore retrouver par moi même, ie avec mes propres outils, ce que d'autres ont déjà trouvé avec les leurs.
C'est un exercice très intéressant et à coup sûr scientifique.
Avec une solution sous les yeux, c'est moins intéressant. (mais sans doute plus rapide.)

[invite4ff2f180]

le 'on' est claire dans la phrase car je réponds à une citation.
Je n'ai jamais dis qu'il ne fallait pas chercher par soi même, bien au contraire.

[stefjm]

le 'on' est claire dans la phrase car je réponds à une citation.
Je n'ai jamais dis qu'il ne fallait pas chercher par soi même, bien au contraire.

Il y a toujours le doute entre "ce que sait la communauté scientifique" et le "je".
Pour chercher par moi même, il faut oublier tout ce que je sais déjà.

[invitebf2c1540]

Merci à tous.

Je suis bien conscient que les propos de lionelod doivent en énerver plus d'un, parce qu'ils manquent visiblement de rigueur. Malgré tout les approches intuitives donnent parfois de bonnes pistes (à charge de les concrétiser par un calcul rigoureux ensuite).

Je vais donc apporter de l'eau au moulin de lionelod...

Notamment en réponse à Deedee81 :

Ce qui change c'est le point de vue et l'entropie qualifie l'état du système, pas le point de vue que l'on a sur lui.

Est-ce que justement l'entropie ne qualifierait pas le point de vue qu'on a sur un système ?

Je ne sais pas à quoi correspond "l'entropie exacte" dont il est fait référence à propos de l'équation de Sackur-Tetrode, mais l'entropie de Boltzman fait référence à un nombre de micro-états probables (donc inconnus) sachant qu'on connait le macro-état du système (sa température). L'entropie est donc une mesure de notre méconnaissance du système, c'est à dire un point de vue sur le système. Peut-être qu'alors l'entropie "exacte" correspond à la connaissance maximale qu'on puisse obtenir, compte tenu de l'incertitude quantique ?

Dans cette perspective, on peut considérer que si l'on augmente le grain de précision, on diminue l'entropie du système. Si par exemple je découpe un volume de gaz en sous parties et que je mesure la température précise de chaque sous-partie au lieu de simplement mesurer sa température globale, son entropie va diminuer pour moi quand bien même le gaz est identique (on peut le montrer avec des combinatoires : C-2n-2k > (C-n-k)², donc le nombre de micro-états possibles de deux parties combinées est inférieur au nombre de micro-états du tout).

Si l'on assimile le grain de précision de nos mesures à l'échelle, on constate qu'effectivement l'entropie varie avec l'échelle, et qu'une augmentation d'entropie peut être compensée par une augmentation de la précision, c'est à dire une augmentation de l'échelle. Si l'on préfère raisonner de manière absolue, comme si l'on disposait de la précision maximale compte tenu de l'incertitude quantique, l'entropie varie sans doute avec h, qui constitue alors le paramètre "échelle".

Tout ceci est entièrement intuitif, mais peut-être pourrait-on le vérifier ? Existe-t-il un lagrangien qui s'exprime en fonction de h ? Si oui, quelle grandeur est conservée par symétrie de "variation de la constante h" ?

[invite251213]

Dans cette perspective, on peut considérer que si l'on augmente le grain de précision, on diminue l'entropie du système.

Si par exemple je découpe un volume de gaz en sous parties et que je mesure la température précise de chaque sous-partie au lieu de simplement mesurer sa température globale, son entropie va diminuer pour moi quand bien même le gaz est identique.

Si tu fais ça, tu change de système : comparer l'entropie du système initial et du système d’après ne donnera pas le même résultat, mais c'est pas à cause d'une invariance d’échelle, c'est simplement que tu as changé de système pour un autre dont le macro-état est différent, et donc son entropie aussi...

Pour mesurer l'entropie d'un système, il faut fixer son macro-état, et souvent cela passe par la définition de ce système. Prendre une aprtie du système et dire : l'entropie a changée, alors que tu as passé sous le tapis 3/4 du système, de ses particules et de son volume ou de son énergie, c'est moche !

En passant, trouver un système invariant d'échelle dont l'entropie de la partie est égale à l'entropie du tout serait un vrai exploit !

Existe-t-il un lagrangien qui s'exprime en fonction de h ? Si oui, quelle grandeur est conservée par symétrie de "variation de la constante h" ?

Vu que h est un quantum d'action, et que l'action dérive du lagrangien, ça serait vraiment surprenant !

Ou alors on aurait un lagrangien de la forme x*h/T avec T un truc de la dimension d'un temps et x une constante quelconque.

[invite251213]

Désolé pur le double post, on ne peut pas éditer après 5 minutes. J’espère que ça gène pas trop.

Si par exemple je découpe un volume de gaz en sous parties et que je mesure la température précise de chaque sous-partie au lieu de simplement mesurer sa température globale,

Pour revenir dessus.

Dans le cas où on peut donner une température, on est dans une situation d'équilibre : la température est alors identique dans tout le système. Pareil pour les autres grandeurs thermodynamiques.

Donc on n'a aucun gain ni perte en terme d’information en faisant cela sur un système à l'équilibre qui est forcément homogène.

Pour les situations hors-équilibre, je ne sais pas comment ça se passe. Je ne sais même pas si on peut parler d'entropie et de température.

[invitebf2c1540]

Je ne parle pas d'oublier les 3/4 du système, simplement d'obtenir plus d'information dessus.
Au lieu de connaitre seulement sa température globale, on connait sa température dans différentes sous-parties.

Notre information sur le système augmente, et son entropie diminue du même coup, alors que le système est fondamentalement inchangé.

Ca vaut y compris pour un système en équilibre. Simplement, le fait de ne connaitre que la température globale du système signifie qu'on assimile les cas où il y a des variations entre différentes sous-parties (par exemple la partie gauche plus chaude que la droite), tandis qu'en découpant le système en sous-partie dont on connait la température de chacune, on élimine d'emblée une énorme quantité de micro-états possibles (ceux tels que la partie gauche et droite ont une température différente) et donc l'entropie diminue.

L'entropie d'un système dépend de la quantité d'information dont je dispose sur le système.

[obi76]

Je sens encore les coups de bâton de la modération arriver

Salut,

La modération est actuellement en congrès en Grèce, vous comprendrez donc aisément que je suis moins présent
Cela dit j'ai le plaisir de voir que notre conversation a repris le droit chemin, pas de coup de bâton en vue donc

[invite251213]

Ce qui me gène, c'est que l'entropie est additive (en fait extensive) pour un système à l'équilibre thermodynamique global et/ou local (il me semble du moins). Vérifie quand même, on ne sait jamais.

Donc :
- Tu prends ton système à un instant T et que tu le découpe en plusieurs sous-parties.
- Tu calcules l'entropie de chaque partie à ce même instant T.
- Tu additionne les entropies de chaque partie.
- Compare L'addition des entropies des parties et l'entropie du système total : c'est la même.

En découpant ton système, tu n'a gagné aucune information sur le système. Si je ne me trompe pas. Vérifie quand même, on ne sait jamais.

Cela ne me choque pas : on serait en face d'un système hors-équilibre thermodynamique global, et donc la formule S = Kb ln(w) n'est pas valable il me semble. Je demande quand même confirmation.

C'est une autre formule qui dépend de la probabilité de chaque micro-état et d'un autre paramètre qui entre en jeu. Se dire : on connait une partie de l'état du système, donc a supprimé pleins de micro-états ne marche peut-être plus. On peut se dire que l'augmentation de la probabilité des micro-états restants risque de changer la donne et compenser le tout.

Je sens quand même que mon raisonnement a un problème quelque part. Je ne sais pas ou, mais...