Continuité de l'espace et du temps

[Amanuensis]

Mais cette topologie, s'applique à n'importe quel ensemble, y compris un ensemble continu comme IR. Non ?

Oui, c'est un choix possible Un espace peut être muni de tas de topologies différentes. Celle "usuelle" sur R n'est pas la discrète, mais la topologie de l'ordre (la topologie se construit avec les intervalles) qui est la même que celle qu'on construit avec la distance usuelle (|x-y|), est qui aussi celle "naturelle" pour la géométrie intuitive.

Du coup, elle me semble complètement étrangère aux espaces discrets.

Au contraire. Dès qu'on parle d'espaces discrets, on parle (pas nécessairement consciemment) de la topologie discrète. Par exemple l'ensemble des entiers est vu en général comme sans topologie autre que la discrète, alors que la réunion de {0} et des 1/n, est souvent muni de la topologie telle que {0} n'est pas un point isolé.

Mais c'est un peu une définition "négative". La topologie discrète est toujours possible, et n'amène rien de bien utile. Quand on dit "espace discret", on dit en gros "espace non muni d'une quelconque topologie intéressante".

Souvent aussi un ensemble (cas de N) est perçu comme sous-ensemble d'un espace topologique non trivial (N dans R), et la topologie induite est pertinente. Pour R avec la topologie usuelle, la topologie induite sur N est bien la topologie discrète, et parler de N comme espace discret est cohérent. (Ce n'est pas le cas de Q, par exemple ; la topologie induite sur Q n'est pas la discrète.)
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[invite7863222222222]

D'accord, je manque un peu de notions : je me demande pourquoi on ne peut en fait, parler sur IN aussi de la topologie construite à partir de la distance |n-m| ?

[azizovsky]

D'accord, je manque un peu de notions : je me demande pourquoi on ne peut en fait, parler sur IN aussi de la topologie construite à partir de la distance |n-m| ?

Salut ,(....X est métrisable, par exemple par la distance discrète, i.e. la distance d définie par : d(x,y) = 1 si x ≠ y, et d(x,x) = 0...)wikipédia

[invite7863222222222]

Salut ,(....X est métrisable, par exemple par la distance discrète, i.e. la distance d définie par : d(x,y) = 1 si x ≠ y, et d(x,x) = 0...)wikipédia

Et ?

|n-m| est bien aussi une distance sur IN (elle vérifie bien les 3 conditions d'une distance), non ?

[Amanuensis]

D'accord, je manque un peu de notions : je me demande pourquoi on ne peut en fait, parler sur IN aussi de la topologie construite à partir de la distance |n-m| ?

C'est bien une distance. Cela donnera la topologie discrète (chaque point est isolé, puisque l'ensemble {m tel que |m-n|<1/2} est réduit au seul point n).

Le choix de la distance "1 si différent", fait par MissPacMan, est juste parce que c'est la distance la plus "simple" compatible avec la topologie discrète.

[azizovsky]

Salut , je ne suis pas un matématicien mais je cois que ceci http://fr.wikipedia.org/wiki/Adh%C3%...C3%A9matiques)
va éclaircir un petit peu ton problème .

[Amanuensis]

Pour "connexe" signifiant continu, l'exemple qui suit montre, il me semble, l'ambiguïté.

En se limitant à un "espace 2D", on voit comme "discret" la représentation par les points de {n, m} avec n et m des entiers relatifs. La représentation "continue" est R².

Mais si je prends comme représentation l'ensemble union des {n, x} et des {y, m} avec x et y parcourant R, et n et m parcourant les relatifs, j'ai une représentation indéniablement connexe, mais que beaucoup ne verront pas comme "continue", et même comme une forme de représentation discrète.

Des modèles apparentés ont des applications en physique, pour les matériaux très poreux, ou les matériaux ultra-légers formés de parois très fine en réseau (mousses).

(Pour faire pire, on a QxR union RxQ, connexe et plein de trous partout... Le terme "continu" sera mal accepté. Mais ce n'est évidemment pas perçu comme discret.)

[azizovsky]

des exemple d'esseble discretes : ensseble de Cantor , Q(p) des nombre p-adique (ultramétique).

[Amanuensis]

Peut-on appeler "discrets" des espaces topologiques sans aucun point isolé, comme le Cantor ou les p-adiques ???

Pour moi, non.

[invite7863222222222]

Le choix de la distance "1 si différent", fait par MissPacMan, est juste parce que c'est la distance la plus "simple" compatible avec la topologie discrète.

C'est la plus "simple", aussi car il n'y a pas de modèles plus prolifiques qui se basent sur d'autres topologies discrètes actuellement et qui pourraient avoir un intérêt (ce qu'on cherchaient un peu à savoir quand même).

[azizovsky]

Peut-on appeler "discrets" des espaces topologiques sans aucun point isolé, comme le Cantor ou les p-adiques ???

Pour moi, non.

Un espace topologique dans lequel tout point est isolé est dit discret.

[invite7863222222222]

Non effectivement, pour moi non plus.

[Amanuensis]

Un espace topologique dans lequel tout point est isolé est dit discret.

Bravo. Mais alors pourquoi donc proposez-vous des espaces sans point isolé, comme l'espace de Cantor, comme des "ensembles discrets" ?

[azizovsky]

Bravo. Mais alors pourquoi donc proposez-vous des espaces sans point isolé, comme l'espace de Cantor, comme des "ensembles discrets" ?

Un espace topologique FINI X est DISCRET si et seulement s'il est séparé, auquel cas il est même compact ,
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_...on_(topologie) ,
oui c'est vrai .

[azizovsky]

Bravo. Mais alors pourquoi donc proposez-vous des espaces sans point isolé, comme l'espace de Cantor, comme des "ensembles discrets" ?

Un espace topologique FINI X est DISCRET si et seulement s'il est séparé, auquel cas il est même compact ,
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_...on_(topologie) ,
oui c'est vrai .

[invite7863222222222]

L'ensemble de Cantor n'a pas de points isolés comme Q ou IR.

[azizovsky]

L'ensemble de Cantor est également totalement discontinu c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe.

[azizovsky]

le problème c'est qu'en math chaque terme utiliseé de une phrase (proposition) doit être peser avec une balance de diamant .

[invite7863222222222]

Et Q lui est non séparé (donc "non discret" comme l'ensemble de Cantor), mais pas "discontinu".

[azizovsky]

Salut , est ce que quantifié l'espace-temps veut dire :discontinu ou discret ?

[Amanuensis]

Et Q lui est non séparé (donc "non discret" comme l'ensemble de Cantor), mais pas "discontinu".

Q, topologie usuelle, est séparé (les topologies non séparées sont rares...), et est totalement déconnecté (donc "discontinu"). Il est "non discret" parce qu'il n'a aucun point isolé.

[Amanuensis]

Salut , est ce que quantifié l'espace-temps veut dire :discontinu ou discret ?

Bonne question...

Si on prend l'exemple d'une grandeur linéaire quantifiée, la charge électrique, c'est discret.

Je ne connais pas de cas de grandeur physique représentée par un discontinu non discret (par Q par exemple). Cela pourrait arriver pour un rapport entre deux grandeurs représentées chacune par un ensemble discret.

[invite7863222222222]

mais en fait les propriétés de l'ensemble de départ sont une chose mais il y a aussk les propriétés des sous ensembles de cet ensemble de départ. La question est finalement là sur ce dernier ensemble.

Car parler de la continuité ou de la connexité de IR par rapport à IR sont évidentes (comme celle de Q dans Q, je crois bien qu'on puisse dire).

Il faut donc se placer dans un cadre puis voir quelles sont les possibilités.
Dans IR, on peut avoir du continu, du discontinu, du dénombrable de l'indénombrable, du discret ou du non discret.
Dans Q, on peut avoir du continu ou du discontinu (on a forcément que du dénombrable), du discret du non discret.
Dans IN, on peut avoir du continu ou du discontinu.

La question, je la vois donc globale, un ensemble dans l'ensemble de départ (par rapport à), dans le but d'éviter le plus possible des à priori.

[Amanuensis]

Je ne comprends pas le continu dans Q ou dans N, dans le contexte.

[azizovsky]

Bonsoir , http://www.futura-sciences.com/fr/ne...ig-bang_12380/
il y'a , ((...Le résultat le plus spectaculaire fut qu’il était alors possible de construire des opérateurs de surface et de volume, pour la géométrie de l’espace-temps, dont les spectres sont discrets !
On sait qu’en mécanique quantique les grandeurs comme l’énergie ou le moment cinétique sont données par des opérateurs. En agissant sur la fonction d’onde, qui mathématiquement ressemble à la fonction décrivant une onde lumineuse, l’opérateur d’énergie extrait alors les différentes composantes du spectre composant cette onde. Dans le cas de l’atome d’hydrogène, cela donne des niveaux discrets d’énergie et des orbites caractérisées elles aussi par une série discrète de distances de l’électron par rapport au noyau.
La situation est vraiment très similaire car le principe de correspondance de Bohr s’applique aussi dans le cas du spectre des aires et des volumes. Au fur et à mesure que le nombre quantique caractérisant des orbites de plus en plus grandes augmente, la différence entre les niveaux d’énergie devient de plus en plus faible ainsi que les distances spatiales séparant les orbites. Le spectre discret devient continu et la physique quantique se raccroche à la physique classique. Ainsi, pour des surfaces et des volumes de plus en plus grands, la notion d’espace-temps classique continu est retrouvée.))))

[invite8da976cf]

Bonjour,

Au fur et à mesure que le nombre quantique caractérisant des orbites de plus en plus grandes augmente, la différence entre les niveaux d’énergie devient de plus en plus faible ainsi que les distances spatiales séparant les orbites.

Ok. Auriez-vous la gentillesse de poster ici l' (les) équation liée à votre assertion?

Le spectre discret devient continu

Disposez-vous des égalités mathématiques situant la limite? dans l'affirmative, je vous remercie de les communiquer.

merci, cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Ok. Auriez-vous la gentillesse de poster ici l' (les) équation liée à votre assertion?
Disposez-vous des égalités mathématiques situant la limite? dans l'affirmative, je vous remercie de les communiquer.

C'est la simple théorie de Schrödinger appliquée à l'hydrogène ou aux hydrogénoïdes (niveaux d'énergie, ça c'est le plus flagrant, et les orbitales, là c'est plus compliqué et en plus il faut calculer les positions moyennes et tout ça). C'est dans presque tous les bouquins de MQ (mais le lien avec la physique classique quand on parle d'électrons très excités, les atomes de Rydberg, ce n'est pas toujours présent).

On peut même montrer que lorsque les électrons très très excités changent de niveau, ils tombent d'orbitale en orbitale, avec un mouvement "quasi" continu et en émettant un rayonnement presque identique au rayonnement de freinage (le vieux problème du problème de Rutherford où ils ne comprenaient justement pas pourquoi on n'observait pas ce rayonnement dans ce qu'on appelait pas encore l'état de base de l'atome).


On trouve ça sur Wikipedia.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Atome_d...A9lectroniques pour la solution générale

Et pour les atomes de Rydbeg avec ces orbitales semi-classiques :
http://en.wikipedia.org/wiki/Rydberg_atom
(désolé, l'article en français est presque vide, malheureusement)

Il y a effectivement une analogie assez frappante entre le lien espace-temps discontinu - continu en LQG et ce lien quantique - classique en mécanique quantique "orthodoxe". Je pense que cette analogie n'est pas un hasard mais là je m'avance un peu, je ne maîtrise pas assez la LQG pour le confirmer.

[invite7863222222222]

Vu les subtilités dans ce domaine, parler de quasi continu, c'est comme dire discret, ou dénombrable, non ?

[invite473b98a4]

Je ne suis pas sûr qu'on puisse dire que le spectre d'émission d'un atome soit réellement discret, il y a l'effet doppler où l'incertitude sur la vitesse de l'émetteur (et donc incidemment la largeur du spectre) devient grande quand la connaissance de la position de l'émetteur devient précise. Pour qu'il soit discret il faudrait qu'il existe un référentiel bien déterminé dans lequel il émet toujours la même longueur d'onde, c'est ce qui se passe a priori, sauf qu'on ne connait pas bien sa position à un instant donné, donc certainement pas sa vitesse/quantité de mouvement. Comme la MQ dit plutôt le contraire cad si tu connais la quantité de mouvement tu ne connais pas la position, ça me parait dur d'identifier facilement un émetteur si on ne connait pas du tout sa position. A moins d'avoir un seul atome dans une boite infinie...


Sinon la base des positions est bien continue en MQ.

A part ça vous êtes vraiment sûr que l'espace est continu dans les théorie classique? Il faut voir ce qu'on entend par là, un "pas" d'espace pourrait poser quelques problèmes avec une transfo de lorentz, tout comme la longueur d'onde d'une OEM après un boost qui pourrait devenir plus petit que la longueur de planck... Cependant si on prend l'équation de Poisson appliqué au champ électrique dans un premier temps, on a bien classiquement une discontuité du champ électrique là où on a des sources, non? Le terme de divergence ne témoigne que de ça je crois. Comme cette loi est Newtoniennement valable pour la gravitation je me demande si la RG n'implique pas également que le champ gravitationnel est discontinu à l'endroit des sources, et donc l'espace lui même.

Comme il y a des sources de champ gravitationnel partout ça complique la chose je suppose.

[invite76543456789]

Pour "connexe" signifiant continu, l'exemple qui suit montre, il me semble, l'ambiguïté.

En se limitant à un "espace 2D", on voit comme "discret" la représentation par les points de {n, m} avec n et m des entiers relatifs. La représentation "continue" est R².

Mais si je prends comme représentation l'ensemble union des {n, x} et des {y, m} avec x et y parcourant R, et n et m parcourant les relatifs, j'ai une représentation indéniablement connexe, mais que beaucoup ne verront pas comme "continue", et même comme une forme de représentation discrète.

Des modèles apparentés ont des applications en physique, pour les matériaux très poreux, ou les matériaux ultra-légers formés de parois très fine en réseau (mousses).

(Pour faire pire, on a QxR union RxQ, connexe et plein de trous partout... Le terme "continu" sera mal accepté. Mais ce n'est évidemment pas perçu comme discret.)

J'aurai tendance a qualifier ces deux exemples continus, comme quoi.

En fait je me demande si finalement "connexe et localement contractile" ou meme " connexe et localement homéo à R^n", serait plus proche de ce que vous entendez par continu.
Avez vous un exemple de qqch qui soit continu mais qui ne soit ni l'un ni l'autre.