Quadrivecteur Energie-Impulsion et transpho de Lorentz

[invitec913303f]

Bonjour,

Question sans doute très facile pour certain mais...

Comment parviens t'on a établir le quadrivecteur Energie-Impulsion? Je suppose que cela se fais impérativement avec les transformations de Lorentz.

J'ai trouvé sur ce lien ici une sorte de démo: http://fr.wikipedia.org/wiki/Relativ...rgie-impulsion

Mais je fais appel à vous pour savoir si vous n'auriez pas par hazard un lien sympa ou une explication à me partager. Il faut dire que le lien entre la masse et les transformation de Lorentz ne me semble pas trivial. A moins de faire d’emblée l'équivalence entre la masse grâve et la masse inertiel mais je pense que Einstein à tiré cette conclusion bien après.

Merci à vous
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[invitec913303f]

Personne ?

[Amanuensis]

Comment parviens t'on a établir le quadrivecteur Energie-Impulsion?

La question n'est pas claire. Il est juste défini. On peut le faire en classique si on veut, la formule de changement de référentiels inertiels est différente, c'est (E', p') = (E + p²v²/4E +p.v, p+p²v/2E) sauf erreur.

[Amanuensis]

A moins de faire d’emblée l'équivalence entre la masse grâve et la masse inertiel mais je pense que Einstein à tiré cette conclusion bien après.

Cette équivalence a été posée par Newton !

Et cela n'a aucune portée sur la RR, qui ne théorise pas la gravitation. Le q.v. énergie-impulsion est une notion purement inertielle dans le cadre de la RR.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

bonsoir, d'une façon didactique ,quand on parle d'espace*temps c'est comme tu dit E=R*T (produit d'espace -temps) : (R,t) ou temps-espace (t ,R) or cette écriture n'est pas homogéne soit *X=(ct,R) ou (t,R/c) ,donc on'a définie un quadri-vecteur (4éme dim, vecteur) .
soit *X(A,a) et *Y(B,b) deux quadri-vecteurs qui appartiennent à E=R*T ,on définit le produit scalaire Minkowskien
*X.*Y =A.B-ab .
soit *Z=(R,ct) , on pose dt' =k.dt,soit: dt =n.dt' k facteur de lorentz :
d*Z/dt=(dR/dt ,cdt/dt) =(dR/ndt', cdt/ndt'), *V=(kv,kc) et sont produit scalaire est :
k²v²-k²c²=-c²
quadri-vecteeur impulsion-énergie m*V=(kmv ,kmc) si on pose kmv=P on'a *P=(P,kmc=E/c) sont produit scalaire est
*P.*P=-m²(c²)²=-E²(0)=P²c²-E² ===>
E²=E²(0)+P²C².

[azizovsky]

Bonsoir , pour une notation claire :soit *Z=(R,ct) ,
on pose dt =k.dt(0),soit: dt(0) =n.dt k facteur de lorentz :
d*Z/dt(0)=(dR/dt(0) ,cdt/dt(0)) =(dR/ndt, cdt/ndt) , *V=(kv,kc) avec k=1/n
espace-temps , c'est comme on dit espace-espace càd R²=R*R (le plan) ;les éléments A inclu dans R² est représenté par A=(x,y).

[invitec913303f]

Bonjour et merci à vous deux pour vos réponses.

bonsoir, d'une façon didactique ,quand on parle d'espace*temps c'est comme tu dit E=R*T (produit d'espace -temps) : (R,t) ou temps-espace

azizovsky, que veux tu dire par cette explication, es ce que tu peut préciser?

Merci beaucoup

[azizovsky]

Bonjour et merci à vous deux pour vos réponses.


azizovsky, que veux tu dire par cette explication, es ce que tu peut préciser?

Merci beaucoup

c'est pour simplifier l'introduction à l'écriture d'un quadri-vecteur , comme j'ai dit , on peut faire une analogie espace-espace =R² ou les élémennts sont représenté par A=(x,y) et espace(à une dimension)-temps R*T ou R*cT l'élément est A=(X,ct) ,un quadri-vecteur.

[azizovsky]

c'est pour simplifier l'introduction à l'écriture d'un quadri-vecteur , comme j'ai dit , on peut faire une analogie espace-espace =R² ou les élémennts sont représenté par A=(x,y) et espace(à une dimension)-temps R*T ou R*cT l'élément est A=(X,ct) ,un quadri-vecteur.

c'est mieux d'être général R^3 *ct ,3dimensions spatials et 1 temporelle ce qui fait un quadri-vecteur , si non l'exemple précédent , on doit dire bi-vecteur :une spatial et l'autre temporelle ce qui'est mathématiquement différent.

[invite93279690]

Salut,

Je crois que ce que azizovsky cherche à dire c'est que en partant d'un quadrivecteur position d'une masse ponctuelle dans un référentiel donné (que j'écris en ligne pour pas m'embetter avec les colonnes) :



On peut définir comme en mécanique classique sa dérivée par rapport au temps. Cette dérivée devant avoir un sens dynamique, elle s'effectue par rapport au temps propre de la masse ponctuelle :



où j'ai utilisé la dilatation des temps .

On reconnait que l'on a donc un vecteur quadri-impulsion qui s'écrit .

Une autre façon de le voir (mais après comme le dit amanuensis c'est vraiment une question de définition), c'est de retrouver les équations de la dynamique en partant d'un principe de moindre action relativiste.

[azizovsky]

c'est une façon didactique car R^3*cT n'est pas R^4 car leurs métriques sont différentes

[invite93279690]

c'est une façon didactique car R^3*cT n'est pas R^4 car leurs métriques sont différentes

Il n'y a pas de rapport a priori entre un espace vectoriel et la métrique qu'on décide de mettre par dessus. Ce qui est souvent utilisé en revanche c'est l'espace vectoriel R^3 x C auquel on affuble un produit scalaire.

[azizovsky]

moi ,je préfére la représentation quatérnionique .

[azizovsky]

Il n'y a pas de rapport a priori entre un espace vectoriel et la métrique qu'on décide de mettre par dessus. Ce qui est souvent utilisé en revanche c'est l'espace vectoriel R^3 x C auquel on affuble un produit scalaire.

avec rotation de Wick

[invitec913303f]

Bonjour et merci à vous tous.

Cela dit comment fais t'on le lien entre les transphormations de Lorentz qui ne parle que de vitesses et de temps et de la constante c et le quadrivecteur E-P ?

Alors c'est vrai on vois que la masse produit de l'énergie cinétique mais de là à rendre compte que la masse au repos est aussi de l'énergie, il y à quand même un grand pas, j'aimerais comprendre ce pas.

Désolé si je pose cette question sans doute analogues mais rien n'est trivial en science il me semble.

[Amanuensis]

Il y a différentes manières de voir le sujet.

En vision après coup, la question est de trouver une expression covariante 4D pour chaque loi physique. Le cas du "principe fondamental de la dynamique" se pose donc rapidement, et il faut trouver une expression 4D, si possible tensorielle, qui généralise la quantité de mouvement. Si on cherche un tenseur d'ordre 1, il manque le terme temporel, et par tâtonnement on arrive au terme mc²+1/2mv²+..., c'est à dire l'énergie cinétique plus un terme constant de forme particulière + éventuellement des corrections relativistes. Avec cela, ô miracle, on obtient un quadrivecteur bona fide (i.e., qui se transforme correctement lors d'un changement de référentiel).

Une autre piste amenant au même résultat vient des racines même de la RR. Les champs électriques et magnétiques sont regroupés en 4D en un seul tenseur d'ordre 2, qui combine très proprement les quatre lois de Maxwell en deux seulement, d'expression simple et de bon goût.

Maintenant, quid de la force de Lorentz ? On voit immédiatement que les termes spatiaux appellent immédiatement la formule , où v est la 4-vitesse de la particule. Mais cela fait apparaître un terme temporel supplémentaire, qu'on interprète aisément comme le travail par unité de temps du champ électrique. Le travail étant la dérivée de l'énergie, et la force celle de la quantité de mouvement, un vecteur (E,p) tombe de lui-même. Et on obtient une très propre expression (covariante) de la formule de Lorentz en 4D : .

Ce dernier cas invite une autre piste, celle de l'action. Le produit scalaire p.dx, dx étant un déplacement, est la variation de l'action de long de la trajectoire. Cela invite à écrire , avec comme quadrivecteur (E,p), puisque E par le temps est aussi l'action.

Bref, étendre les équations classiques à la 4D se fait facilement (extraordinairement facilement, ce qui en fait un argument "esthétique" très fort pour l'espace-temps de Minkowski), et fait apparaître automatiquement le quadrivecteur énergie-quantité de mouvement comme l'extension normale de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement.

[Amanuensis]

J'ai oublié une liaison essentielle : où intervient la transformation de Lorentz dans tout ça ? Dans la notion de covariance. La notion de tenseur couvre l'idée de "bon comportement lors des changements de référentiels". Les rotations spatiales, ainsi que les translations spatiales et temporelles amènent en général un bon comportement avec les grandeurs classiques ; restent les changements par vitesse relative, c'est à dire les transformations de Lorentz. Celles-ci sont donc la "pierre de touche" principale pour vérifier que grandeurs 4D et formules sont covariantes.

[invite93279690]

Bonjour et merci à vous tous.

Cela dit comment fais t'on le lien entre les transphormations de Lorentz qui ne parle que de vitesses et de temps et de la constante c et le quadrivecteur E-P ?

Alors c'est vrai on vois que la masse produit de l'énergie cinétique mais de là à rendre compte que la masse au repos est aussi de l'énergie, il y à quand même un grand pas, j'aimerais comprendre ce pas.

Désolé si je pose cette question sans doute analogues mais rien n'est trivial en science il me semble.

La constance de la vitesse de la lumière par changement de référentiel galiléen contraint les transformations associées à un changement de référentiel. En relativité restreinte, que cela soit pour de la cinématique pure ou pour s'assurer que les équations de Maxwell sont covariantes, on trouve qu'il faut utiliser les transformations de Lorentz. Par ailleurs, ces transformations peuvent être interprétées comme une sorte de rotation dans un espace vectoriel à 4 dimensions et il est donc commode d'utiliser ces notations mais pas ultimement nécessaire.

Ensuite comment est-ce qu'on passe d'un "truc" pour changer de référentiel à un changement radical de la dynamique ? La raison est celle que j'ai donnée plus haut i.e. une particule observée depuis un référentiel donné n'a a priori pas la même horloge que le référentiel en question. Mais quoiqu'il arrive l'intervalle de temps affiché par l'horloge de la particule entre deux événements qu'elle subit est bien évidemment invariant par changement de référentiel galiléen (c'est de la que vient l'intervalle espace-temps ds > 0 (pour une ligne d'univers de genre temps) à un c près).
L'idée ensuite est que si on veut conserver cette propriété qui est que lorsqu'on se ramène à la particule, on trouve toujours quelque chose d'invariant par changement de référentiel, alors il faut définir toutes les dérivées temporelles par rapport à l'intervalle de temps propre .

En reprenant ensuite la définition usuelle de l'impulsion, on se retrouve avec ce que j'ai écrit plus haut.

Pourquoi est ce que la quantité représente l'énergie ? Je ne sais pas si il existe une réponse rapide à cette question. La vérification la plus simple est de voir que lorsque la vitesse de la particule est faible, alors tu retombes sur l'énergie cinétique usuel dans le référentiel R à une constante près.

En particulier l'énergie intrinsèque du système i.e. celle qui ne dépend pas du référentiel et qui permet entre autre la création de nouvelles particules lors de collision est .

[azizovsky]

Salut , on reprend notre quadri-vecteur *Z=(R,ct) pour un référentiél au ropos , et pour un référentiel animé d'un mouvement réctiligne uniforme on'a
*Z'=(R',ct')

les transformations de Lorent (une parite) c'est (1) R'=k(R-bct) avec b=v/c et k=1/V(1-b²) d*Z/dt=(dR/dt ,cdt/dt)
t'=k(t-bR/c)
càd *Z'=AZ avec A matice de changement de référentiél .
on sait que/
((a)) :*V=(kV,kc) , *P =(P=kmV , kmc) et par définition le quadri-vecteur accélération: *F=d*P/dt(0) ce qui donne : *F=[dP/dt(0) , d(kmc)/dt(0)]

((b)): *F= [k.dP/dt , kd(kmc)/dt]=[kF , kd(kmc)/dt ]

le travail W=F.dX , en représentation 'quadri-dimension' W=*F.d*X ,dW/dt(0)=*F.[d*X/dt(0)]= *F.*V
((a)) et ((b)) donne :

k²F.V - K²d(kmc²)/dt =0 car *a.*v =0 les deux quadrivecteurs sont orthogonaux !

ce qui donne : F.V = d(kmc²)/dt , on sait en mécanique classique que F.V=dE/dt donc E =kmc²

[invite93279690]

Salut , on reprend notre quadri-vecteur *Z=(R,ct) pour un référentiél au ropos , et pour un référentiel animé d'un mouvement réctiligne uniforme on'a
*Z'=(R',ct')

les transformations de Lorent (une parite) c'est (1) R'=k(R-bct) avec b=v/c et k=1/V(1-b²) d*Z/dt=(dR/dt ,cdt/dt)
t'=k(t-bR/c)
càd *Z'=AZ avec A matice de changement de référentiél .
on sait que/
((a)) :*V=(kV,kc) , *P =(P=kmV , kmc) et par définition le quadri-vecteur accélération: *F=d*P/dt(0) ce qui donne : *F=[dP/dt(0) , d(kmc)/dt(0)]

((b)): *F= [k.dP/dt , kd(kmc)/dt]=[kF , kd(kmc)/dt ]

le travail W=F.dX , en représentation 'quadri-dimension' W=*F.d*X ,dW/dt(0)=*F.[d*X/dt(0)]= *F.*V
((a)) et ((b)) donne :

k²F.V - K²d(kmc²)/dt =0 car *a.*v =0 les deux quadrivecteurs sont orthogonaux !

ce qui donne : F.V = d(kmc²)/dt , on sait en mécanique classique que F.V=dE/dt donc E =kmc²

ça a l'air sympa ce que tu écris mais tu pourrais pas te mettre au LaTex ? parce que c'est un peu illisible...

[azizovsky]

je le sais gatsu , un quasi-nul en informatique , toujours ,on'a des points faibles .

[azizovsky]

ceci n'exclu pas que j'ai travaillé un petit peu avec l'autocad ,vrv, peb ...., c'est 'est question d'habitude , je vais essayer de m'habituer .

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
Salut , on reprend notre quadri-vecteur
pour un référentiél au ropos ,
et pour un référentiel animé d'un mouvement réctiligne uniforme on'a :


Les transformations de Lorent (une parite) c'est (1):

avec et




càd
avec A matice de changement de référentiel .

on sait que :
((a)) :

et par définition le quadri-vecteur accélération:



ce qui donne :


((b)):

Le travail , en représentation 'quadri-dimension' :

((a)) et ((b)) donne :

car
les deux quadrivecteurs sont orthogonaux !

ce qui donne :


on sait en mécanique classique que

donc

Je n'ai pas regardé la démo dans le détail, je n'ai fait que du Latex. Cependant la dernière partie de la démo où l'on passe par une formule de mécanique classique pour en déduire une de RR me laisse songeur,
Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Pas clair les t et t', vaudrait mieux utiliser les tau. Et dans le référentiel au repos dR/dt = 0, par définition du repos !

Et c'est quoi ces flèches sur les c ??

La q.v. accélération propre étant orthogonal à la 4-vitesse, dire que le 4-vecteur force est proportionnel à la 4-accélération implique qu'il est orthogonal à la 4-vitesse. Rassurant, non ?

[azizovsky]

Merci Zefram Cochrane ,on 'a F.V=d(kmc²)/dt et on sais ,en mécanique classique que F.V=dE(cinétique)/dt , or pour une vitesse faible kmc²=mc²+E(c) , donc l'équation kmc² à la dimension d'une énérgie :vitesse faible ,elle est la somme de l'énergie cinétique et d'une autre énergie ( de ropos) ,donc , c'est une généralisation de la formule classique F.V=dE(c)/dt

[azizovsky]

Pas clair les t et t', vaudrait mieux utiliser les tau. Et dans le référentiel au repos dR/dt = 0, par définition du repos !

Et c'est quoi ces flèches sur les c ??

La q.v. accélération propre étant orthogonal à la 4-vitesse, dire que le 4-vecteur force est proportionnel à la 4-accélération implique qu'il est orthogonal à la 4-vitesse. Rassurant, non ?

oui c'est mieux

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
la démo de Azizovski se base sur des vecteurs, il ma semblé judicieux de les représenter sur C. non?
dans la realtion mc² le c² n'est il pas le produit scalaire du vecteur C?

Je n'ai pas saisi le sens de ta dernière phrase, pourrais tu réexpliquer STP?
Cordialement,
Zefram

Azizovski, si tu veux, tu peux me citer pour avoir les formules Latex il faut faire surtout attention aux { et aux } et laisser un espace après \beta par exemple.

[azizovsky]

Salut , supposant qu'on ne sait pas la signéfication F.V=d(kmc²)/dt , on sait que (1): F.V =dE(cinétique)/dt , (mécanique classique) ,or d(kmc²)/dt ~x(inconnu)/s est encore flou , on va simplifié , si la vitesse est faible kmc²=mc²+E(cinétique) , soit la relation (1) est
fausse , ce qu'est impossible ,elle découle des lois et des modèles bien établis.
incomplete ??
la nouvelle démarche est fausse?? mais cette façon de faire est imposé par l'incapacité de la mécanique classique d'expliquer.....
donc la relation E=kmc² s'impose comme une généralisation de F.V=dE(c)/dt.

[Zefram Cochrane]

bonsoir,
c'est le sens de la phrase d'Amanuensis que je n'ai pas saisie sur la Q.V propre orthogonal à la 4V vitesse
pourquoi
cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

La 4-vitesse ayant une "norme" constante, sa dérivée par rapport au temps propre (à un paramètre de trajectoire quelconque en fait, puisque la dérivée ne diffère alors que par une constante multiplicative) lui est "orthogonal".

La 4-accélération est donc orthogonale à la 4-vitesse.

Si on prolonge le principe fondamental de la dynamique en définissant la 4-force comme le produit de la masse par l'accélération, la force sera orthogonale à la 4-vitesse.

En pratique cela veut simplement dire que dans un référentiel où la particule est immobile, le composant temporel d'un 4-vecteur force s'exerçant sur elle est nul (sa puissance (travail par unité de temps) nulle, ce qui est normal, la particule ne bougeant pas !). Le terme de puissance évalué avec un autre référentiel s'obtient alors par une TL (et la TL respecte l'orthogonalité).