Vérification formelle de la loi d'attraction

[invite391b927d]

Bonjour,

Je cherche à vérifier formellement la loi d'attraction de Newton. Mon idée est d'étudier le cas élémentaire de deux corps totalement isolés, dans le vide, et dans un référentiel d'inertie (pas de rotation notamment).

Bien sûr ce cas d'école est idéalisé puisqu'il est impossible d'isoler parfaitement deux corps dans l'univers. Néanmoins deux objets en orbite autour de la Terre (référentiel dans lequel la somme des forces est nulle, provoquant l'apesanteur) dont l'attitude reste fixe (référentiel d'inertie), très loin de tout autre satellite (autres interactions gravitationnelles négligeables) sont en première approximation dans la situation recherchée. Il doit donc être possible de vérifier la loi d'attraction de Newton en mesurant comment deux objets en orbite s'influencent, par exemple deux vaisseaux spatiaux lors d'un rendez-vous.

Je vous propose, ci-dessous, d'étudier ce problème. Après une analyse théorique qui me permet de définir l'équation des trajectoires, je présente quelques applications numériques, dont le cas d'un rendez-vous ATV-ISS. Le problème est que l'expérience ne semble pas corroborer la théorie dans ce dernier cas. J'aimerais donc savoir ce que vous en pensez.

Aspect Théorique
Faisons l'expérience de pensée de deux corps de masses et , de rayon vecteur et par rapport au centre d'inertie du système, fixes l'un par rapport à l'autre, et très éloignés de toute autre masse. On impose au référentiel du système d'être d'inertie, c'est à dire qu'il n'est notamment pas en rotation. La seule force non négligeable existant alors dans ce système sera la force d'attraction de Newton entre les deux corps.

A cause de cette force chaque corps est accéléré vers l'autre selon les formules suivantes :
et (1)
où G est la constante de la gravitation et .

Au lieu de nous référer au centre d'inertie du système à deux corps, choisissons plutôt de placer au centre du repère de référence. La valeur absolue de l'accélération du corps dans ce repère est l'addition des valeurs absolues des deux accélérations précédentes. Puisque et sont colinéaires, elle vaut :
(2)

Nous obtenons donc l'équation différentielle à résoudre pour déterminer la trajectoire du corps par rapport au corps considéré fixe :
(3)

Sa solution analytique est connue :
ou encore avec (4)

C'est l'équation de la trajectoire recherchée.

Applications numériques

• Posons , alors , si alors mettra pour atteindre .
• Posons , alors , si alors mettra pour atteindre .
• Posons , alors , si alors mettra pour atteindre .
• Cas du rendez-vous ATV-ISS*: l'ISS pèse environ 400 tonnes et l'ATV environ 6 tonnes, dès lors la constante k vaut . Selon la configuration de la station on peut estimer que le point d'amarrage de l'ATV se situe à 20 m environ du centre d'inertie de l'ISS. Pendant son approche, l'ATV est stoppé et maintenu fixe par rapport à l'ISS à plusieurs reprises (voir http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/11394...ve-docking.php), et notamment au point S41 situé à 11m du point d'amarrage, soit environ 31m du centre d'inertie de l'ISS. L'ATV est maintenu en S41 pendant 5 minutes. Selon l'équation (4), à la distance la variable temps vaut . En ôtant 5 minutes à ce temps on obtient la distance. Ainsi l'ATV, laissé fixe puis libre, au point S41 progressera de façon spontanée vers l'ISS de 40 cm environ en 5 minutes.

Bien sûr cette dernière application numérique n'est qu'approximative, notamment parce que je confond l'ISS et l'ATV avec leurs centres d'inertie, ce qui n'est pas strictement vrai, mais l'ordre de grandeur est réaliste : l'ATV devrait progresser spontanément de plusieurs dizaines de centimètres en 5 minutes, s'il est stoppé au point S41.

Grain de sable
Les calculs précédents montrent donc que pour maintenir l'ATV fixe au point S41, il faut appliquer une légère rétro-poussée, sinon il progressera spontanément vers l'ISS.

J'ai donc demandé au CNES s'ils devaient appliquer une telle rétro-poussée. La réponse de la Direction de la Communication Externe de l'Education et des Affaires Publiques du Centre National d'Etudes Spatiales fut : "Non, l’ATV n’est pas attiré par l’ISS. Lorsqu’il est à un point d’arrêt, il contrôle son attitude mais il ne se rapproche pas spontanément de la station ; il faut réactiver sa propulsion pour qu’il se remette en marche vers la station après sa période d’attente."

Conclusion et question
Si mon calcul est correct l'ATV devrait appliquer une rétro-poussée pour rester fixe à proximité de l'ISS. Si cela n'est pas nécessaire, comme l'indique le CNES, alors il y a un problème avec la loi d'attraction de Newton.

Si mon calcul est faux, je vous serais reconnaissant de m'indiquer le calcul correct à apliquer, calcul qui démontrerait que, malgré l'attraction de Newton, l'ATV reste fixe au point S41.

En espérant vous lire,
Cordialement
-----

[invite391b927d]

Ben je ne sais pas, c'est la première fois que je vois ça, tout allait bien dans la prévisualisation, et tout allait bien aussi quand j'ai posté ...
On va être embêtés si on ne peut plus avoir les formules sur ce forum.

Certes laisser tomber un cailloux à terre serait une façon de faire, mais dans ce cas de figure l'accélération locale peut être considérée comme constante et dès lors l'équation de la trajectoire est r=1/2 gamma t^2, ce qui est différent de l'équation de trajectoire formellement (formule (4) calculée selon l'équation de Newton.

Cordialement.

[calculair]

Bonjour

Les forces de gravité sont très faibles, mais elles sont universelles....

Dans le cas d'un rendez vous orbital, il se peut qu'elles soient negligeables et dans la pratique, elles n'interviennent pas ( ou si peu que personne ne s'en préoccupe )

Cependant je serais curieux de voir votre calcul theorique qui montre que le vehicule statial est attiré vers ISS.C'est la distance entre centre de gravité qu'il faut considerer en première approximation.

Quant à la mesure experimentale sur terre des forces gravitationnelles, c'est la manip de Cavendish " acces.ens-lyon.fr/clea/archives/.../CLEA_CahiersClairaut_103_02.pd f "

[invitecaafce96]

Ben je ne sais pas, c'est la première fois que je vois ça, tout allait bien dans la prévisualisation, et tout allait bien aussi quand j'ai posté ...
On va être embêtés si on ne peut plus avoir les formules sur ce forum.

Certes laisser tomber un cailloux à terre serait une façon de faire, mais dans ce cas de figure l'accélération locale peut être considérée comme constante et dès lors l'équation de la trajectoire est r=1/2 gamma t^2, ce qui est différent de l'équation de trajectoire formellement (formule (4) calculée selon l'équation de Newton.

Cordialement.

Bonjour,
Ce n'est pas de votre faute. C'est déjà arrivé... Vous avez écrit les formules en Latex ? Un peu de patience ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Ben je ne sais pas, c'est la première fois que je vois ça

Moi c'est la deuxième fois, et je ne sais pas pourquoi.

Qu'est-ce que c'est que ce beans ????

Je met ça dans le forum des bugs.

[harmoniciste]

Bonjour hclatomic
La force de gravitation universelle entre l'ISS de 400 tonnes et l'ATV de 6 tonnes séparés de 31m vaut: G.m.m' / d², soit 165 E-6 Newtons. L'accélération de l'ATV vers l'ISS vaut donc F/m = 27 E-9 m/s² Et en négligeant celle de ISS vers l'ATV (66 fois moindre), la distance parcourue en 300 secondes d'attente vaudra 0,5 .a. t² = 1,2 mm, ce qui est bien loin des 40 cm que vous annoncez.

[invite391b927d]

@calculair

Je donne la démonstration ci-dessus, pour obtenir l'équation de la trajectoire (formule(4)). Vous pourrez voir cela quand les formules TEX marcheront

L'expérience de Cavendish est en effet une autre façon de montrer la validité de la loi d'attraction, mais dans cette expérience les corps sont contraints à ne posséder qu'un seul mouvement, une rotation autour d'un axe. Une vérification formelle nécessite de laisser les corps totalement libres, ce qui n'est pas le cas dans l'expérience de Cavendish.

[invite391b927d]

@harmoniciste

Vous prétendez ici que la trajectoire prévue par la loi de Newton serait r=1/2 a t^2, mais ce n'est pas ce que dit cette loi. Celle-ci prévoit la trajectoire donnée par la formule (4) : r = -k t^2/3, où k est une constante. Votre calcul ne peut donc convenir.

[1max2]

D'après ce que je crois savoir, les calculs classiques x=0.5at² .. F=ma =Gmm'/d² .m et m' les 2 masses .sont valables par rapport au centre de gravité, ou centre de masse des 2 objets, non ? Alors soit on néglige l'accélération du "gros" , soit on l'ajoute au "petit" ...

[invite391b927d]

Je me permets de joindre un fichier pdf où les formules sont lisibles, en attendant que les formules TEX tombent en marche.

[Deedee81]

P.S. : pour l'affichage débile du premier message, ça devrait rapidement se régulariser. Désolé pour le désagrément.

En passant, je confirme le message de 1max2 précédent Mais je n'ai pas lu ce fil plus en profondeur (dont le message 1, inutile de dire pourquoi )

EDIT croisement, je laisse les passionés ayant du temps de cortiquer le pdf que je vais valider.

[calculair]

Bonjour

La force d'attraction entre les 2 coprs est F = G ( M1 M2 ) /R^2

L'appliquation PFD donne M1 dV/dt = G ( M1 M2 ) /R^2

d2 R /dt^2 = G M2 /R^2

R^2 d2R = GM2 dt^2

en integrant 1 fois

R^3 /3 = GM2 t

en integrant une 2° fois

R^4 /12 = 1/2 GM2 t^2

R^4 /6 = GM2 T^2

[coussin]

Si cela n'est pas nécessaire, comme l'indique le CNES, alors il y a un problème avec la loi d'attraction de Newton.

Est-ce nécessairement la conclusion qui s'impose selon vous ?

[invitef29758b5]

Salut

centre de gravité, ou centre de masse

Le centre de gravité et le centre de masse ne sont confondu que dans un champ uniforme .
Pour deux masses pas vraiment ponctuelles , le champ n' est pas uniforme .

[calculair]

Bonjour

La force d'attraction entre les 2 coprs est F = G ( M1 M2 ) /R^2

L'appliquation PFD donne M1 dV/dt = G ( M1 M2 ) /R^2

d2 R /dt^2 = G M2 /R^2

R^2 d2R = GM2 dt^2

en integrant 1 fois

R^3 /3 = GM2 t

en integrant une 2° fois

R^4 /12 = 1/2 GM2 t^2

R^4 /6 = GM2 T^2

Je suis allé un peu vite

m1 d2R/ dt^2 = G ( M1 M2 ) /R^2

d2R /dt^2 = G M1^2 M2 /R^2

on pose G M1^2 M2 = K

R^2 d2 R= K dt^2

integratin N°1 R^3 /3 = K t

integration N°2

R^4 / 12 = 1/2 K T^2

Vitesse d'approche = dr/dt = 3 K t /R^3

[invite391b927d]

@imax2

La réponse est la même que celle que j'ai faite @harmoniciste.
L'équation différentielle à résoudre, en une dimension, est : a r^2 = constante, a étant l'accélération. Sa solution n'est pas r=1/2 a t^2, mais r=-k t^2/3, où k est une constante.

[invite391b927d]

Je suis allé un peu vite

m1 d2R/ dt^2 = G ( M1 M2 ) /R^2

d2R /dt^2 = G M1^2 M2 /R^2

on pose G M1^2 M2 = K

R^2 d2 R= K dt^2

integratin N°1 R^3 /3 = K t

integration N°2

R^4 / 12 = 1/2 K T^2

Vitesse d'approche = dr/dt = 3 K t /R^3

Je me suis pour ma part adressé au forum mathématique pour résoudre l'équation différentielle a r^2 = cste, où a est l'accélération.
Voici le fil concerné : http://forums.futura-sciences.com/ma...enseigner.html. Hélas le problème, actuel des formules TEX frappe aussi ces messages.

[invite391b927d]

Est-ce nécessairement la conclusion qui s'impose selon vous ?

Je ne vois pas quelle autre solution on pourrait trouver pour expliquer cet écart entre théorie et expérience. Si vous avez une hypothèse, elle sera la bienvenue.

Eventuellement on pourrait proposer que l'ATV produise un nuage de matière noire dans son sillage qui équilibre à tout instant la force d'attraction de l'ISS, mais je pense que ce ne serait pas raisonnable.

[coussin]

Moi je pense que vous avez découvert une autre "anomalie Pioneer"

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Dans votre texte en pdf, vous changez de repère et prenez comme repère un corps accéléré. Dans un repère accélère, les lois de Newton ne sont pas applicables. À moins de « tricher » et ajouter des forces fictives (ou des accélération d’entraînement).
Pas étonnant que vous trouviez des résultats en contradiction avec les lois de Newton.
Faites vos calculs dans un repère inertiel et regardez si les résultats sont en contradiction avec les lois de Newton.
Au revoir.

[invite391b927d]

Moi je pense que vous avez découvert une autre "anomalie Pioneer"

Oui, c'est effectivement ce que je me suis dit d'abord, mais cela ne convient pas. Si c'était le cas, par exemple une fuite de gaz anormale servant de rétro-poussée, cela pourrait arriver sur 1 ATV, pas tous, de plus cette poussée parasite équilibrerait très exactement l'attraction de l'ISS à une position et une seule, pas à chaque arrêt lors de l'approche.

[invite6dffde4c]

Re.
Un calcul classique de force me donne 0,16 N ce qui donne une accélération de 2 ,77 E-8 m/s². En 5 minutes ça bouge de 1 mm.
A+

[invite391b927d]

Bonjour.
Dans votre texte en pdf, vous changez de repère et prenez comme repère un corps accéléré. Dans un repère accélère, les lois de Newton ne sont pas applicables. À moins de « tricher » et ajouter des forces fictives (ou des accélération d’entraînement).
Pas étonnant que vous trouviez des résultats en contradiction avec les lois de Newton.
Faites vos calculs dans un repère inertiel et regardez si les résultats sont en contradiction avec les lois de Newton.
Au revoir.

Je ne crois pas. Dans ce référentiel, centré sur m1, ce corps est immobile au centre du repère. Certes dans ce référentiel d'inertie, c'est à dire fixe, le corps m2 doit posséder un mouvement accéléré selon Newton. Mais ce n'est pas parce qu'un objet est en accélération dans un référentiel d'inertie que ce dernier va cesser d'être un référentiel d'inertie.
A noter d'ailleurs qu'en gardant la référence au centre d'inertie des deux corps on arrive aux mêmes résultats numériques.

[invite391b927d]

Re.
Un calcul classique de force me donne 0,16 N ce qui donne une accélération de 2 ,77 E-8 m/s². En 5 minutes ça bouge de 1 mm.
A+

Pouvez-vous nous préciser les calculs théoriques qui vous amènent à ce résultat, notamment l'équation de votre trajectoire ?
Merci d'avance.

[harmoniciste]

Utilisant les formules F = G . m₁.m₂ /d² et x = 0,5* t²* F/m, la distance x parcourue en 300 secondes départ arrêté avec d = 31 mètres sera de 1,2 mm
Certes, la formule x = 0,5* t²* F/m n'est pas rigoureuse ici, puisque la force gravitationnelle augmente au fur et à mesure du parcours: La distance de séparation après 300 s n'est plus 31m, mais 30,9988m!

[invite6dffde4c]

Je ne crois pas. Dans ce référentiel, centré sur m1, ce corps est immobile au centre du repère. Certes dans ce référentiel d'inertie, c'est à dire fixe, le corps m2 doit posséder un mouvement accéléré selon Newton. Mais ce n'est pas parce qu'un objet est en accélération dans un référentiel d'inertie que ce dernier va cesser d'être un référentiel d'inertie.
A noter d'ailleurs qu'en gardant la référence au centre d'inertie des deux corps on arrive aux mêmes résultats numériques.

Re.
tant pis.
A+

[invitef29758b5]

Pourquoi changer de référentiel ?
d²R/dt²=d²r₁/dt²-d²r₂/dt²
si je ne m' abuse ...?

[invite391b927d]

Utilisant les formules F = G . m₁.m₂ /d² et x = 0,5* t²* F/m, la distance x parcourue en 300 secondes départ arrêté avec d = 31 mètres sera de 1,2 mm
Certes, la formule x = 0,5* t²* F/m n'est pas rigoureuse ici, puisque la force gravitationnelle augmente au fur et à mesure du parcours: La distance de séparation après 300 s n'est plus 31m, mais 30,9988m!

Effectivement, la formule rigoureuse de la trajectoire n'est pas r=1/2 a t^2, mais r=-k t^2/3, comme je l'explique.

[invite391b927d]

@Dynamix

Pour l'aspect pratique des choses.
Si vous étudiez les mouvements du couple Terre-Soleil, par exemple, il est pratique de fixer le soleil au centre du repère de référence. C'est en tout cas l'usage.

Mais on pourrait rester dans le référentiel dont le centre est le centre d'inertie des deux corps, les résultats numériques sont alors identiques. Il faut cependant dans ce cas se coltiner une constante k = G m1^3 / (m1+m2)^2, ce qui est moins pratique que k=G (m1+m2).

[invite6dffde4c]

@Dynamix

Pour l'aspect pratique des choses.
Si vous étudiez les mouvements du couple Terre-Soleil, par exemple, il est pratique de fixer le soleil au centre du repère de référence. C'est en tout cas l'usage.

Mais on pourrait rester dans le référentiel dont le centre est le centre d'inertie des deux corps, les résultats numériques sont alors identiques. Il faut cependant dans ce cas se coltiner une constante k = G m1^3 / (m1+m2)^2, ce qui est moins pratique que k=G (m1+m2).

Re.
Essayez de le faire pour le couple Terre-Lune, et vous nous raconterez le résultat.
A+