Espace temps plat en RR?

invitea77fed85 · 28/04/2015, 20h40

Bonjour,

Je vous informe que Stéphane Le Corre a apporté des réponses sur Ça se Passe Là-Haut...

là :
http://www.ca-se-passe-la-haut.fr/20...17344769354691
et là :
http://www.ca-se-passe-la-haut.fr/20...34493385843379

Eric

azizovsky · 28/04/2015, 21h02

Bonsoir, je n'arrive pas à comprendre le but de la discussion: le cadre général de la théorie de S. Le Corre est la RG (linéarisation des équations du champ, analogie avec l'éléctromagnétisme .....) où il est le problème ?

le résultat est faux implique que l'analogie est fausse.

**yves95210** · 28/04/2015, 21h05

Bonsoir Eric,
et merci pour l'info. Je vais aller voir.

**Universus** · 28/04/2015, 21h09

Envoyé par maxwellien

Bonjour, ceux que disent les intervenants est très intéressant néanmoins je rappelle que le sujet de la discussion porte sur l'origine des effets de la RR et de ceux de la RG.
Dans les deux théories on a des variations de longueurs et de temps mais causées par des origines différentes ( la courbure pour la RG et la transformation de Lorentz pour la RR)..
Dans ce cas des causes différentes engendrerai les mêmes effets!!

Je prends le blâme concernant le détournement de votre fil de discussion, ayant été le premier intervenant réagissant véritablement aux allusions à Le Corre sans pour autant avoir contribué au sujet qui vous intéressait le plus. Je m'en excuse par cette réponse.

La relativité restreinte et la relativité générale, malgré les critiques de certains à cet effet (consulter par exemple le livre Gravitation and Cosmology de Weinberg), sont des théories ayant une interprétation géométrique très forte. De fait, votre question admet une telle interprétation géométrique, très analogue à la situation suivante.

Imaginons une rue droite déserte avec un trottoir de chaque côté. Imaginez-vous les yeux bandés, marchant en ligne droite d'un pas habituel d'un trottoir à l'autre. Tout dépendant de l'angle avec lequel vous entrez sur la voie, Pythagore oblige, pour parcourrez une distance plus ou moins grande avant d'atteindre l'autre trottoir. En un sens, faute de savoir par quel angle vous avez traversez la voie, vous direz que la voie est large de la distance que vous avez marchée. Si un de vos amis se prêtait au même jeu traversait selon un autre angle, plus souvent qu'autrement il conclurait à une largeur différente de la vôtre.

Ceci est à comparer à une expérience en RR où deux faisceaux lumineux seraient émis du même l'un après l'autre (les trottoirs). Quelle durée sépare les deux émissions (quelle est la largeur de la voie) ? La réponse dépend de l'observateur inertiel croisant les deux faisceaux (la réponse dépend de vous ou de votre ami, yeux bandés, traversant la voie en ligne droite), en particulier de la vitesse relative entre deux tels observateurs (en particulier de la différence d'angle entre vous et votre ami) : l'espacement entre les deux émissions correspond au temps propre de chacun entre les croisements avec les faisceaux (à la distance parcourue de chacun sur la voie). Par hypothèse, tout objet en RR se déplace dans l'espace-temps à une seule vitesse (vous et votre ami marchez tout deux à une même vitesse, un pas régulier).

Imaginons maintenant que la rue soit un peu spéciale, en ce sens que les deux trottoirs suivent chacun un méridien terrestre. Évidemment, la voie varie en largeur selon la latitude, cette variation étant notable si la rue s'étend sur des centaines ou des milliers de kilomètres. Répétez la même expérience, cette fois-ci sans nécessairement que vous et votre ami ne partiez du même endroit sur le trottoir. En tentant de marcher en ligne droite, vous suivrez l'un l'autre des géodésiques de la surface terrestre. En raison de la courbure de la Terre, celui qui marcherait près d'un pôle traverserait vraisemblablement la voie en moins de pas que celui qui marcherait près de l'équateur.

Ceci est à comparer à la RG, avec le même dictionnaire que précédemment.

Nous voyons donc deux phénomènes distincts, influençant tout deux sur la distance parcourue (sur le temps propre) : l'angle avec lequel on quitte un trottoir et où sur Terre on quitte ce trottoir. L'angle, c'est « une transformation de Lorentz » ou peut-être plus précisément la rapidité relativiste ; cela mesure (de manière relative, toujours) à quel point un observateur se déplace près de la vitesse de la lumière (à quel point le marcheur est parallèle au trottoir). La courbure de l'espace-temps, comme la courbure de la Terre, produit une déviation des géodésiques voisines ; tout dépendant d'« où » (à quel événement) se trouve l'observateur dans l'espace-temps, il se peut que les géodésiques soient encore près l'une de l'autre ou pas du tout.

Je demande l'avis d'un modérateur : est-il plus approprié de poursuivre d'éventuelles discussions sur les idées de Le Corre sur ce fil, d'ouvrir un autre fil à cet effet ou tout simplement de cesser d'en discuter sur ce forum ? Pour l'instant, je poursuis ici...

Envoyé par yves95210

J'ai d'autre part (en utilisant honteusement les arguments donnés par Universus et auxquels je n'avais pas pensé moi-même) posé directement quelques questions à S. Le Corre via le blog qui parlait de sa publication, et il a commencé à y répondre.

Vous avez bien fait, car Le Corre a relevé une erreur de ma part : quand j'affirmais que $\text{[math]}$ ne changeait probablement pas trop selon que la loi soit en $\text{[math]}$ ou en $\text{[math]}$ , je pensais (très maladroitement) surtout à la proximité des valeurs numériques $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ face à la valeur de $\text{[math]}$ ... or, comme le fait remarquer Le Corre dans sa réponse, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont possiblement très très différents et cela importe beaucoup ! En fait, lorsque je disais qu'on perdait des dizaines d'autres de grandeur, je me trompais, puisque $\text{[math]}$ compense partiellement.

Le Corre stipule que $\text{[math]}$ , ce qui résulte de l'égalité $\text{[math]}$ à une distance $\text{[math]}$ , ce qui correspond peut-être en moyenne tout au plus au tiers du rayon d'une galaxie (par exemple, Andromède a un rayon situé entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et il existe des galaxies bien, bien plus grandes qu'elle). En considérant une valeur de $\text{[math]}$ si près du centre d'une galaxie, Le Corre se nuit puisqu'il sous-estime potentiellement $\text{[math]}$ . J'ai aussi utilisé la méthode des moindres carrés afin de trouver la valeur de $\text{[math]}$ rendant $\text{[math]}$ le plus similaire possible à $\text{[math]}$ à l'extérieur du centre galactique et il s'avère qu'il faut un $\text{[math]}$ encore un peu plus grand que celui évalué par Le Corre.

Ceci dit, ce qui importe vraiment est ceci. Notons $\text{[math]}$ la valeur du champ gravitique « interne » produit par une galaxie à une distance $\text{[math]}$ de son centre pour une loi en $\text{[math]}$ avec n=2,3. Puisque $\text{[math]}$ , il en résulte que le quotient $\text{[math]}$ satisfait $\text{[math]}$ . Par hypothèse, $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ , soit encore $\text{[math]}$ .

La situation B considérée dans l'article porte sur les amas galactiques, qui sont peut-être en moyenne d'un rayon de $\text{[math]}$ , c'est-à-dire une échelle supérieur à celle d'une galaxie par un ordre $\text{[math]}$ de 2 ou 3. Ainsi, considérant que j'interprète ce que dit Le Corre dans son article comme modélisant un amas par une spire (en rotation), nous obtenons un champ gravitique au centre valant $\text{[math]}$ fois celui estimé par Le Corre dans son article. Dans sa réponse, Le Corre suggère de considérer une sous-partie de l'amas d'un ordre de grandeur plus petit, ce qui a pour effet de multipler par $\text{[math]}$ l'estimation précédent et ainsi obtenir la même estimation que dans l'article. Ce faisant, par contre, le sous-amas est probablement moins massif, peut-être 10, 100 ou 1000 fois moins massif, ce qui devrait réduire à nouveau l'estimation.

Bref, tout ça pour dire que ma critique 1 n'est pas du tout aussi dommageable pour le modèle que je ne le pensais, mais elle se révèle du même genre que mes autres critiques : en moyenne, il est possible que chaque critique enlève un-demi ou un ordre de grandeur aux estimations de Le Corre. Par ailleurs, les étapes menant aux estimations de l'article sont parfois conservatrices, parfois audacieuses, de sorte qu'il est difficile d'évaluer de juger de ce qu'il en est. Il est vraisemblable que les estimations de Le Corre, qui réalisent le « miracle » de justesse, soient trop élevées et trop optimistes, mais il y a tout de même une chance. Cette chance existe d'autant que mes critiques n'obligent pas plus de devoir réduire de plusieurs ordres de grandeur les estimations de l'article : il se pourrait que le gravitomagnétisme soit une interaction à grandes échelles suffisamment forte pour, que sur l'histoire de l'Univers, les configurations (de prime abord improbables) favorisant un champ gravitique total élevé soient favorisées.

**yves95210** · 28/04/2015, 21h15

Envoyé par maxwellien

Bonjour, ceux que disent les intervenants est très intéressant néanmoins je rappelle que le sujet de la discussion porte sur l'origine des effets de la RR et de ceux de la RG.
Dans les deux théories on a des variations de longueurs et de temps mais causées par des origines différentes ( la courbure pour la RG et la transformation de Lorentz pour la RR)..
Dans ce cas des causes différentes engendrerai les mêmes effets!!

Bonsoir,

Vous avez raison, la débat en cours à propos de l'article de S. Le Corre n'a pas grand'chose à voire avec le sujet initial de ce fil (encore que...). Il aurait mieux valu ouvrir un nouveau fil, et plutôt dans le forum Astronomie et Astrophysique.

Si les modérateurs sont d'accord (et pas opposés à ce que nous continuions de discuter d'une "théorie personnelle") il faudrait créer un nouveau fil pour y transférer tous les messages postés par Nicophil, Universus et moi et qui depuis la page 4 portent essentiellement sur ce sujet.
Mais comme deux discussions ouvertes dans le forum Astronomie justement à propos de l'article de S. Le Corre ont été rapidement fermées par la modération pour la raison ci-dessus, je crains que cette demande n'ait guère de succès...

Cordialement,
Yves

Edit : croisement avec le message d'Universus...

invitee724fe2f · 28/04/2015, 22h27

Bonjour,

Envoyé par maxwellien

Bonjour, ceux que disent les intervenants est très intéressant néanmoins je rappelle que le sujet de la discussion porte sur l'origine des effets de la RR et de ceux de la RG.
Dans les deux théories on a des variations de longueurs et de temps mais causées par des origines différentes ( la courbure pour la RG et la transformation de Lorentz pour la RR)..
Dans ce cas des causes différentes engendrerai les mêmes effets!!

c'est une remarque que j'avais faite à l'état brut dans un autre fil.
Qu'appelez vous origines différentes ? selon moi, c'est peut-être pareil mais c'est la situation telle que nous la décrivons qui change trop radicalement pour ne pas chercher autre chose.

**yves95210** · 29/04/2015, 15h05

Envoyé par Universus

Je demande l'avis d'un modérateur : est-il plus approprié de poursuivre d'éventuelles discussions sur les idées de Le Corre sur ce fil, d'ouvrir un autre fil à cet effet ou tout simplement de cesser d'en discuter sur ce forum ? Pour l'instant, je poursuis ici...

Bonjour,
J'en fais autant, faute de mieux. C'est vrai que cette discussion n'a rien à faire dans ce fil, mais je n'ai pas vraiment envie d'y mettre fin...

Le Corre a relevé une erreur de ma part : quand j'affirmais que $\text{[math]}$ ne changeait probablement pas trop selon que la loi soit en $\text{[math]}$ ou en $\text{[math]}$ , je pensais (très maladroitement) surtout à la proximité des valeurs numériques $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ face à la valeur de $\text{[math]}$ ... or, comme le fait remarquer Le Corre dans sa réponse, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont possiblement très très différents et cela importe beaucoup ! En fait, lorsque je disais qu'on perdait des dizaines d'autres de grandeur, je me trompais, puisque $\text{[math]}$ compense partiellement.

Le Corre stipule que $\text{[math]}$ , ce qui résulte de l'égalité $\text{[math]}$ à une distance $\text{[math]}$ , ce qui correspond peut-être en moyenne tout au plus au tiers du rayon d'une galaxie (par exemple, Andromède a un rayon situé entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et il existe des galaxies bien, bien plus grandes qu'elle). En considérant une valeur de $\text{[math]}$ si près du centre d'une galaxie, Le Corre se nuit puisqu'il sous-estime potentiellement $\text{[math]}$ . J'ai aussi utilisé la méthode des moindres carrés afin de trouver la valeur de $\text{[math]}$ rendant $\text{[math]}$ le plus similaire possible à $\text{[math]}$ à l'extérieur du centre galactique et il s'avère qu'il faut un $\text{[math]}$ encore un peu plus grand que celui évalué par Le Corre.

Ceci dit, ce qui importe vraiment est ceci. Notons $\text{[math]}$ la valeur du champ gravitique « interne » produit par une galaxie à une distance $\text{[math]}$ de son centre pour une loi en $\text{[math]}$ avec n=2,3. Puisque $\text{[math]}$ , il en résulte que le quotient $\text{[math]}$ satisfait $\text{[math]}$ . Par hypothèse, $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ , soit encore $\text{[math]}$ .

La situation B considérée dans l'article porte sur les amas galactiques, qui sont peut-être en moyenne d'un rayon de $\text{[math]}$ , c'est-à-dire une échelle supérieur à celle d'une galaxie par un ordre $\text{[math]}$ de 2 ou 3. Ainsi, considérant que j'interprète ce que dit Le Corre dans son article comme modélisant un amas par une spire (en rotation), nous obtenons un champ gravitique au centre valant $\text{[math]}$ fois celui estimé par Le Corre dans son article. Dans sa réponse, Le Corre suggère de considérer une sous-partie de l'amas d'un ordre de grandeur plus petit, ce qui a pour effet de multipler par $\text{[math]}$ l'estimation précédent et ainsi obtenir la même estimation que dans l'article. Ce faisant, par contre, le sous-amas est probablement moins massif, peut-être 10, 100 ou 1000 fois moins massif, ce qui devrait réduire à nouveau l'estimation.

Bref, tout ça pour dire que ma critique 1 n'est pas du tout aussi dommageable pour le modèle que je ne le pensais, mais elle se révèle du même genre que mes autres critiques : en moyenne, il est possible que chaque critique enlève un-demi ou un ordre de grandeur aux estimations de Le Corre. Par ailleurs, les étapes menant aux estimations de l'article sont parfois conservatrices, parfois audacieuses, de sorte qu'il est difficile d'évaluer de juger de ce qu'il en est. Il est vraisemblable que les estimations de Le Corre, qui réalisent le « miracle » de justesse, soient trop élevées et trop optimistes, mais il y a tout de même une chance. Cette chance existe d'autant que mes critiques n'obligent pas plus de devoir réduire de plusieurs ordres de grandeur les estimations de l'article : il se pourrait que le gravitomagnétisme soit une interaction à grandes échelles suffisamment forte pour, que sur l'histoire de l'Univers, les configurations (de prime abord improbables) favorisant un champ gravitique total élevé soient favorisées.

J'en reviens à ma question précédente sur la modélisation de l'amas : autant on peut assimiler grossièrement une galaxie spirale à un disque presque plat, et en déduire une loi en 1/r³ pour le champ gravitique qu'elle crée en sa périphérie (par analogie avec le champ magnétique créé par une spire circulaire parcourue par un courant), autant il me semble difficile de faire une telle analogie pour un amas, ou pour des structures de plus grande taille dont le champ gravitique pourrait aussi contribuer à expliquer certaines observations (par exemple le fait que dans les filaments cosmiques, les axes de rotation des galaxies semblent à peu près alignés avec l'axe du filament : l'analogue du filament en EM serait plutôt un cylindre chargé, et son champ gravitique serait donc dirigé suivant l'axe du cylindre).
Par ailleurs, la loi en 1/r³ vaut pour le champ gravitique en périphérie de la galaxie, alors que c'est à l'intérieur de l'amas que son champ gravitique nous intéresse.

D'où ma tentative de calculer le champ gravitique à l'intérieur d'une boule de densité uniforme en rotation (ce qui revient à calculer le champ magnétique à l'intérieur d'une boule chargée en rotation), mais je n'ai pas encore eu le temps (ou le courage

) de m'y mettre sérieusement. Si cela fait sens, on pourrait éventuellement affiner le modèle en choisissant une densité décroissante du centre vers la périphérie (selon une loi pas trop compliquée si possible).
L'idée n'étant évidemment pas d'adopter ce modèle pour n'importe quel amas, mais simplement de montrer que ce type de structure pourrait conduire à des ordres de grandeur plus importants du champ gravitique, ce qui compenserait les quelques ordres de grandeurs que vos critiques font perdre aux estimations de Le Corre.

Cordialement,
Yves

**Universus** · 29/04/2015, 19h00

Bonjour,

Envoyé par yves95210

J'en reviens à ma question précédente sur la modélisation de l'amas : autant on peut assimiler grossièrement une galaxie spirale à un disque presque plat, et en déduire une loi en 1/r³ pour le champ gravitique qu'elle crée en sa périphérie (par analogie avec le champ magnétique créé par une spire circulaire parcourue par un courant), autant il me semble difficile de faire une telle analogie pour un amas, ou pour des structures de plus grande taille dont le champ gravitique pourrait aussi contribuer à expliquer certaines observations (par exemple le fait que dans les filaments cosmiques, les axes de rotation des galaxies semblent à peu près alignés avec l'axe du filament : l'analogue du filament en EM serait plutôt un cylindre chargé, et son champ gravitique serait donc dirigé suivant l'axe du cylindre).
Par ailleurs, la loi en 1/r³ vaut pour le champ gravitique en périphérie de la galaxie, alors que c'est à l'intérieur de l'amas que son champ gravitique nous intéresse.

D'où ma tentative de calculer le champ gravitique à l'intérieur d'une boule de densité uniforme en rotation (ce qui revient à calculer le champ magnétique à l'intérieur d'une boule chargée en rotation), mais je n'ai pas encore eu le temps (ou le courage

) de m'y mettre sérieusement. Si cela fait sens, on pourrait éventuellement affiner le modèle en choisissant une densité décroissante du centre vers la périphérie (selon une loi pas trop compliquée si possible).
L'idée n'étant évidemment pas d'adopter ce modèle pour n'importe quel amas, mais simplement de montrer que ce type de structure pourrait conduire à des ordres de grandeur plus importants du champ gravitique, ce qui compenserait les quelques ordres de grandeurs que vos critiques font perdre aux estimations de Le Corre.

J'ai effectué les calculs pour une boule homogène de masse $\text{[math]}$ , de rayon $\text{[math]}$ et de vitesse angulaire constante $\text{[math]}$ . Mais avant d'en discuter, je souhaiterais revenir sur cette histoire de loi en $\text{[math]}$ , pour deux raisons :

1) Vous (dans le premier paragraphe cité ci-dessus) et monsieur Le Corre (dans sa seconde réponse sur le blog) mentionnez le fait que la loi en $\text{[math]}$ est probablement inappropriée pour expliquer le champ gravitique produit (à l'intérieur, à l'extérieur) d'un amas, car en partie trop simpliste. Vous n'avez pas tort en soulevant ce point, mais là n'est pas la leçon à tirer de la loi en $\text{[math]}$ . Dans les estimations faites dans l'article, faute de distribution précise à étudier, l'argument procède par une sorte de cumul de champs individuels ; ce faisant, on ne cherche pas à voir comment le champ résultant varie en fonction de la position, mais seulement à trouver un ordre de grandeur à ce champ. Une loi en $\text{[math]}$ est à considérer afin d'évaluer la contribution de chaque source ; cela ne contredit en rien la possibilité d'un champ total variant de manière très complexe dans l'espace.

2) En considérant la loi en $\text{[math]}$ plutôt que celle en $\text{[math]}$ , j'ai remis en question les valeurs numériques obtenues dans les situations A à C de l'article. Sur le blog, Le Corre a répondu que ces estimations pouvaient tenir si on se concentrait sur un « sous-amas » ; dans mon précédent message, j'ai argué que cela pouvait peut-être engendrer d'autres problèmes. Bon... mes remises en question étaient justifiées pour la contribution de la rotation des galaxies lointaines, mais pas pour la contribution de leur translation, qui s'évalue toujours de prime abord selon une loi en $\text{[math]}$ . Les estimations de l'article, en particulier celles du cas B, ne devraient pas revenir dans nos bonnes grâces pour autant. En effet, la contribution des mouvements de translations y est évaluée par un argument de proportionnalité avec le champ interne produit par la rotation d'une galaxie ; or, une leçon à tirer du chahut autour de la loi en $\text{[math]}$ est que divers types de sources ne se comparent pas aisément. Bref, il faudra revenir sur l'estimation que la translation d'une galaxie produit un champ gravitique 10 fois supérieur à celui produit par sa rotation.

De retour au champ gravitomagnétique produit par une boule homogène en rotation uniforme. J'ai donné les expressions pour le potentiel-vecteur d'une coquille quelques pages plus tôt ; nous pouvons en déduire par calcul direct le cas d'une boule homogène. En effectuant le remplacement formel $\text{[math]}$ , nous obtenons pour le champ gravitique les expressions (dans un mélange de coordonnées sphériques et cylindriques)

$\text{[math]}$

En particulier, dans le plan $\text{[math]}$ (c'est-à-dire $\text{[math]}$ ), ceci donne

$\text{[math]}$

Comme je l'avais anticipé auparavant, nous voyons que le champ gravitique s'annule et change de sens en s'éloignant de l'axe de rotation. En conséquence, par self-interaction, le champ gravitique ne stabilise pas cette distribution.

Pour un amas peut-être typique (fions-nous au superamas de la Vierge), $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Donc en $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Ainsi, pour que $\text{[math]}$ , il faudrait avoir $\text{[math]}$ . J'ai calculé que pour une boule homogène en rotation, la vitesse moyenne est donnée par $\text{[math]}$ , ce qui donne ici $\text{[math]}$ : c'est 500 fois la vitesse de la lumière ! C'est bien loin d'une réponse physiquement plausible et encore plus loin d'une réponse compatible avec le régime où la GEM s'applique. Il est vraisemblable que la vitesse angulaire soit d'au plus $\text{[math]}$ , donnant lieu à $\text{[math]}$ (Le Corre utiliserait probablement une vitesse angulaire de $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ ). Avec les données du cas B dans l'article, ce rapport est même de $\text{[math]}$ .

Il était clair que le modèle en boule considéré ici allait donner lieu à un champ gravitique inférieur à celui que donne le modèle en spire implicitement considéré dans l'article et aucun ne représente véritablement bien un amas réaliste (il me manque de données sur un amas typique pour tenter un calcul plus précis). Malgré tout, il y a une différence de six ordres entre les deux modèles, pour des données identiques !

Je vais un peu vite en affaire : les données ne sont pas tout à fait identiques. Le modèle en boule considéré ici n'utilisait comme entrées que trois facteurs de l'amas : sa masse, sa taille et sa vitesse angulaire. Le modèle considéré pour le cas B de l'article est une spire ; il s'avère que pour une spire de rayon R, de masse M et de vitesse angulaire $\text{[math]}$ , le champ gravitique produit au centre de la spire est le même que pour le centre d'une boule. Paradoxe ? Non, car dans l'article, plutôt que de considérer la masse et la vitesse angulaire de l'amas, on y considère le produit des rapports $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ que l'on multiplie non pas par $\text{[math]}$ , mais par $\text{[math]}$ . Or, dans le cas par exemple de la galaxie Andromède, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ , alors que $\text{[math]}$ .

Cela nous mène à un aspect que je n'avais pas encore considéré, mais que j'ai survolé au point 2) ci-haut en parlant du lien entre ce qu'une galaxie produit de par sa translation et ce qu'elle produit par sa rotation. L'article évalue à partir des donnés astronomiques des valeurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et s'évertue ensuite à expliquer la valeur $\text{[math]}$ à l'aide d'estimations faisant intervenir les propriétés (relatives) d'un amas (à celles d'une galaxie) et la valeur $\text{[math]}$ . Selon les estimations de Le Corre, on y parvient. L'étape logique suivante est d'expliquer cette valeur de $\text{[math]}$ qui est décidément (voir le paragraphe précédent) plus élevée (d'un ordre 2 ou 3) que ce à quoi nous pourrions nous attendre en tentant de modéliser une galaxie et d'évaluer le champ gravitique qu'elle produit.

D'ailleurs, en considérant que toute la masse d'une galaxie est concentrée dans son bulbe et que ce bulbe est homogène et de rotation uniforme, nous savons de ce qui précède quel doit être le champ gravitique extérieur au bulbe. La loi étant en $\text{[math]}$ , nous voulons comparer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (j'ai pris $\text{[math]}$ ). Cela n'explique pas un centième de la valeur $\text{[math]}$ .

Cela mène à une drôle de situation : la matière noire des galaxies peut être remplacée par un champ gravitique externe $\text{[math]}$ , lui-même pouvant s'expliquer par le cumul des $\text{[math]}$ d'un (super)amas, mais ce $\text{[math]}$ ne semble pas s'expliquer par le contenu « direct » d'une galaxie...

**Nicophil** · 30/04/2015, 11h53

Envoyé par maxwellien

je rappelle que le sujet de la discussion porte sur l'origine des effets de la RR et de ceux de la RG.
Dans les deux théories on a des variations de longueurs et de temps mais causées par des origines différentes (la courbure pour la RG et la transformation de Lorentz pour la RR)...

Il faut distinguer :
- un espace et un temps sont relatifs à un observateur : chaque observateur se fait sa carte espace-temps.
- l'existence d'énergie courbe l'Espace-Temps ("lui-même"), donc tout observateur doit en rendre compte dans sa carte espace-temps de l'Espace-Temps.

Si on introduit cette distinction indispensable, ça donne :

Envoyé par Deedee81

Ce qui cause les modifications de l'espace et du temps en RR c'est la vitesse et le choix des trajectoires : et pas les accélérations en soi (erreur archi-classique).
Ce qui cause les modifications de l'espace et du temps en RG c'est ça aussi, ainsi que la présence de masses qui déforme l'Espace-Temps.

S'il n'y avait que des observateurs inertiels, ce serait donc assez clair. C'est à cause des observateurs non inertiels que ça se complique :

Envoyé par Deedee81

- Pour créer la courbure de l'Espace-Temps, il ne faut pas une accélération [de l'observateur] mais de l'énergie [dans le Territoire observé].

Notons que dans un référentiel accéléré (Rindler, Sagnac) l'espace peut présenter une courbure et même des discontinuités et des horizons ! Mais il s'agit :
- D'un coupe dans l'espace-temps, une coupe spatiale, on dit aussi "plan" de simultanéité (la façon de faire dépend d'ailleurs de la manière de synchroniser les horloges).
- Dans un espace-temps euclidien, tout coupe spatiale est euclidienne. Mais pas dans un espace-temps de Minkowski. Comme signalé par didier, ce point est crucial.
- l'Espace-Temps lui-même reste plat.

Newton déjà distinguait les forces réelles, dont l'existence est physique, et les forces fictives, qui apparaissent seulement sur les cartes des observateurs non inertiels...

**yves95210** · 30/04/2015, 12h27

Bonjour Universus,

Merci pour votre message d'hier soir auquel je n'ai pas encore eu le temps de répondre (et pour les calculs que je vous ai poussé à faire)... C'est bon, je suis convaincu, on va avoir du mal à imaginer une répartition de masse de l'amas qui explique la valeur du k₀ calculé par Le Corre. Et encore moins, il me semble, qui explique que cette valeur soit à peu près constante (dans un rapport 1 à 2) pour toutes les galaxies étudiées. Or dans son étude, Le Corre écarte la possibilité que ce soit des structures encore plus grandes (superamas) qui expliquent cette valeur.

D'autre part, j'avais déjà écarté l'hypothèse d'une influence du champ gravitique créé par les vitesses de translation des galaxies proches. Pour le coup, celui-ci est bien en 1/r², en considérant que, vu de la galaxie étudiée, les galaxies qui seraient à l'origine de k0 peuvent être modélisées comme des points massifs en mouvement (donc l'équivalent de charges ponctuelles en mouvement pour le champ magnétique). Et, avec des galaxies typiques de masse 10⁴¹kg, distantes de 1 million d'al (10²²m), de vitesse relative de l'ordre de 1000km/s (c'est déjà beaucoup), une galaxie proche contribuerait au mieux pour 10^-24 à k₀; donc même en considérant une dizaine de galaxies proches on arriverait au mieux à 10^-23, et encore, à condition qu'elles se déplacent toutes dans le même sens par rapport à la galaxie étudiée.

Bref, je pense que, quelle que soit l'origine envisagée pour k₀, on a un problème d'ordre de grandeur.

Remarque : toute cette discussion, ainsi que l'article de Le Corre, se situe dans un cadre de réflexion "sans matière noire". Maintenant, on pourrait imaginer une solution intermédiaire, nécessitant moins de matière noire que les modèles couramment admis, mais prenant en compte le champ gravitique créé par le mouvement de cette matière (puisqu'il n'y a pas de raison qu'elle ne soit pas aussi en rotation). Si cela aboutit à une masse de matière noire nettement inférieure à ce qui est estimé aujourd'hui, cela pourrait avoir des conséquences sur le type de "matière noire" que l'on recherche.

invitee724fe2f · 30/04/2015, 12h39

Bonjour,

c'est très interessant. Mais sur le plan strict, tout "déforme l'espace temps" , en particulier la répartition de l'énergie et son état antérieur à -dt.

Avez vous un lien vers des cours qui disent la même chose ? de quels théorêmes de la RG déduit on cela ?

Comme dit 1max2, il ne faut présumer de rien et ne pas se sentir obligé d'être terre à terre ... je peux vous répéter de mémoire les 3 derniers articles de news lus ( ensuite, je fais le ménage ) et il y a de quoi faire pas mal de discussions de salon. Là, c'est un forum de sciences, recommandé par des profs ( FS cité chaleureusement lors d'une conférence il y a 10 ans ) et on peut s'attendre à lire des réponses-références.

**Universus** · 30/04/2015, 15h12

Bonjour,

Envoyé par yves95210

Bonjour Universus,

Merci pour votre message d'hier soir auquel je n'ai pas encore eu le temps de répondre (et pour les calculs que je vous ai poussé à faire)... C'est bon, je suis convaincu, on va avoir du mal à imaginer une répartition de masse de l'amas qui explique la valeur du k₀ calculé par Le Corre. Et encore moins, il me semble, qui explique que cette valeur soit à peu près constante (dans un rapport 1 à 2) pour toutes les galaxies étudiées. Or dans son étude, Le Corre écarte la possibilité que ce soit des structures encore plus grandes (superamas) qui expliquent cette valeur.

D'autre part, j'avais déjà écarté l'hypothèse d'une influence du champ gravitique créé par les vitesses de translation des galaxies proches. Pour le coup, celui-ci est bien en 1/r², en considérant que, vu de la galaxie étudiée, les galaxies qui seraient à l'origine de k0 peuvent être modélisées comme des points massifs en mouvement (donc l'équivalent de charges ponctuelles en mouvement pour le champ magnétique). Et, avec des galaxies typiques de masse 10⁴¹kg, distantes de 1 million d'al (10²²m), de vitesse relative de l'ordre de 1000km/s (c'est déjà beaucoup), une galaxie proche contribuerait au mieux pour 10^-24 à k₀; donc même en considérant une dizaine de galaxies proches on arriverait au mieux à 10^-23, et encore, à condition qu'elles se déplacent toutes dans le même sens par rapport à la galaxie étudiée.

Bref, je pense que, quelle que soit l'origine envisagée pour k₀, on a un problème d'ordre de grandeur.

Remarque : toute cette discussion, ainsi que l'article de Le Corre, se situe dans un cadre de réflexion "sans matière noire". Maintenant, on pourrait imaginer une solution intermédiaire, nécessitant moins de matière noire que les modèles couramment admis, mais prenant en compte le champ gravitique créé par le mouvement de cette matière (puisqu'il n'y a pas de raison qu'elle ne soit pas aussi en rotation). Si cela aboutit à une masse de matière noire nettement inférieure à ce qui est estimé aujourd'hui, cela pourrait avoir des conséquences sur le type de "matière noire" que l'on recherche.

Le calcul pour un cylindre en rotation est plus simple à effectuer et nous savons que si le cylindre est assez long, alors le champ est en bonne approximation constant à l'intérieur (puisqu'il l'est si le cylindre est infiniment long). Cela modéliserait certainement mieux les filaments cosmiques existant à ce genre d'échelle. Par contre, pour la grandeur du champ, je pense que toutes les configurations simples vraisemblables donnent des réponses analogues au centre.

Au reste, j'ai maintenant une sixième critique, initiée par la question : comment expliquer $\text{[math]}$ ? Je ne pense pas que ce soit une question qui intéresserait particulièrement Le Corre, mais cette question est certainement pertinente si l'on va au bout de la démarche qu'il a entamée. Les estimations de mon précédent message laissent entendre que la matière lumineuse est de beaucoup insuffisante ; et même s'il y avait 10 fois plus de matière noire ordinaire que de matière lumineuse, le compte n'y serait pas.

On peut noter que les couches extérieures d'une galaxie contribue au $\text{[math]}$ à l'intérieur de la galaxie (alors que le bulbe contribue au $\text{[math]}$ ) ; cela exige moins des galaxies lointaines. Or, une première estimation toute bête ne laisse pas penser que cela pourrait contribuer à plus d'un centième, voire d'un millième du $\text{[math]}$ total.

Je ne pense pas que nous puissions étudier la justesse des idées de Le Corre bien davantage. J'ai l'impression que plusieurs éléments en jeu ont tendance à faire perdre plusieurs ordres de grandeur à ces estimations (notons que perdre un ordre de grandeur revient à un peu près à exiger 90% de matière noire pour 10% de matière ordinaire...), mais les données astronomiques semblent ne pas donner lieu à une débâcle totale... donc il y a peut-être un peu d'espoir pour cette idée, mais ce n'est pas moi qui conforterai cet espoir.

Envoyé par Anta.C

c'est très interessant. Mais sur le plan strict, tout "déforme l'espace temps" , en particulier la répartition de l'énergie et son état antérieur à -dt.

Avez vous un lien vers des cours qui disent la même chose ? de quels théorêmes de la RG déduit on cela ?

Ce n'est pas un théorème, c'est le principe même de l'utilisation de la RG : tout ce qui contribue au tenseur énergie-impulsion produit de la courbure spatio-temporelle. Où ça se complique, c'est lorsqu'on demande « qu'est-ce qui contribue au tenseur énergie-impulsion et comment ? ».

D'une part, afin d'évaluer le tenseur énergie-impulsion, il faut avoir une certaine idée de la distribution des masses, des charges, de leurs vitesses, etc. Donc il faut savoir mesurer des distances et des durées : il faut un tenseur métrique. Ayant un tenseur métrique, on peut calculer sa courbure. Or, l'équation d'Einstein lie cette courbure au tenseur énergie-impulsion. C'est un peu le serpent qui se mord la queue.

D'autre part, de manière plus ou moins liée à l'aspect précédent, il faut savoir ce qui contribue au tenseur énergie-impulsion. Par exemple, le champ électromagnétique contribue. Nous avons amplement discuté sur ce fil de la GEM, qui approxime la gravitation décrite par la RG et qui ressemble drôlement à l'électromagnétisme de Maxwell ; donc, dans le cadre de la GEM, le champ gravitomagnétique a un tenseur-énergie impulsion. Est-ce dire qu'en RG on peut attribuer un tenseur énergie-impulsion à la gravité, à la courbure de l'espace-temps ? Le serpent se mordrait-il si fortement la queue ?! C'est une question de fond, qui a été débattue et l'est encore un peu. La plupart des relativistes ne pense pas qu'il faille considérer explicitement la gravité dans le tenseur énergie-impulsion, jugeant plus ou moins que la théorie s'en charge d'elle-même. D'autres scientifiques ne sont pas d'accord avec cela : par exemple, Philip Mannheim a visité à quelques reprises mon université ces dernières années ; il a beaucoup travaillé sur la gravité conforme, sorte de modification de la RG encore plus sophistiquée que celle-ci sur le plan mathématique et qui, selon Mannheim, prédit aussi les courbes de rotation des galaxies à même le contenu matériel de ces galaxies... mais je pense qu'il a besoin de considérer un tenseur énergie-impulsion explicite pour la gravité afin d'y parvenir (c'est ce que j'ai compris de ses conférences).

Dans le même ordre d'idée, pendant longtemps il y avait la conjecture de l'énergie positive en RG, conjecture mathématique plus ou moins liée à la difficulté physique de définir le concept de masse en RG.

Bref, tout déforme l'espace-temps, mais il n'est pas tout à fait clair ce qui fait partie de ce « tout »

**yves95210** · 30/04/2015, 17h07

Envoyé par Universus

Je ne pense pas que nous puissions étudier la justesse des idées de Le Corre bien davantage. J'ai l'impression que plusieurs éléments en jeu ont tendance à faire perdre plusieurs ordres de grandeur à ces estimations (notons que perdre un ordre de grandeur revient à un peu près à exiger 90% de matière noire pour 10% de matière ordinaire...), mais les données astronomiques semblent ne pas donner lieu à une débâcle totale... donc il y a peut-être un peu d'espoir pour cette idée, mais ce n'est pas moi qui conforterai cet espoir.

Je pense que cela peut servir de conclusion à notre discussion à propos de l'article de Stéphane Le Corre.

Nous allons donc pouvoir arrêter de parasiter le fil 'Espace temps plat en RR' avec cette discussion parallèle. Si de nouveaux éléments apparaissent il sera toujours possible d'ouvrir un nouveau fil (qui aura plutôt sa place dans le forum Astronomie et Astrophysique).

Cordialement,
Yves

**Nicophil** · 30/04/2015, 20h52

Envoyé par Universus

la difficulté physique de définir le concept de masse en RG.

Bref, tout déforme l'espace-temps, mais il n'est pas tout à fait clair ce qui fait partie de ce « tout »

The only difference between the "hot" and "cold" systems in our last question is due to the motion of the particles in the gas inside the pressure vessel. Doesn't this imply that a moving particle has "more gravity" than a stationary particle?

This remark is probably true in essence, but it is difficult to quantify.
Unfortunately, it is not clear how to measure the "gravitational field" of a single relativistically moving object. It is clear that it is possible to view gravity as a force when one has a stationary metric - but the metric associated with a moving mass is not stationary.
While definitional and measurement issues constrain our ability to quantify the gravitational field of a moving mass, one can measure and quantify the effect of motion on tidal gravitational forces. When one does so, one finds that the tidal gravity of a moving mass is not spherically symmetrical - it is stronger in some directions than others. One can also say that, averaged over all directions, the tidal gravity increases when an object moves.

Some authors have used the total velocity imparted by a "flyby" rather than tidal forces to gain an indirect measure of the increase in gravitational "effective mass" of relativistically moving objects (Olson & Guarino 1985)
While there is unfortunately no single definitive way to interpret the space-time curvature caused by a moving mass as a Newtonian force, one can definitely say that the motion of the molecules in a hot object increases the mass of that object.
Note that in General Relativity, gravity is caused not by mass, but by the stress–energy tensor. Thus, saying that a moving particle has "more gravity" does not imply that the particle has "more mass". It only implies that the moving particle has "more energy".

Donc en fait la RG ne prétend pas savoir comment gérer les masses en mouvement ??

**Universus** · 01/05/2015, 16h45

Bonjour,

Envoyé par Nicophil

[...] Doesn't this imply that a moving particle has "more gravity" than a stationary particle?
[...]Unfortunately, it is not clear how to measure the "gravitational field" of a single relativistically moving object.
[...]Note that in General Relativity, gravity is caused not by mass, but by the stress–energy tensor. Thus, saying that a moving particle has "more gravity" does not imply that the particle has "more mass". It only implies that the moving particle has "more energy".

Donc en fait la RG ne prétend pas savoir comment gérer les masses en mouvement ??

Ce n'est pas la bonne question (rhétorique) à poser. Une théorie, surtout physique, n'est pas un bloc monolithique : elle consiste en plusieurs parties a priori indépendantes et toutes remodelables. Le principal travail du physicien est d'étudier les liens pouvant exister entre ces parties afin qu'un tout cohérent (du moins « stable ») et utile en résulte ; cela peut nécessiter certains remodelages des parties. Ces diverses incarnations de la théorie ne sont pas appelées différemment les unes des autres, car elles ont trop en commun. Cependant, lorsqu'on « interroge » la théorie, il faut parfois spécifier une incarnation.

Par exemple, la RR est subordonnée dans un sens à la RG ; pourtant, on néglige toujours la gravité (la courbure de l'espace-temps) en relativité restreinte. La raison provient du fait que la RG n'est pas seulement la théorie de la gravité d'Einstein, qui en est une partie, mais aussi une théorie généralisée de la dynamique et de la cinématique. La RR est subordonnée à cette dernière partie de la RG.

Les parties « gravité d'Einstein » et « dynamique/cinématique » de la RG reposent toutes deux sur une idée commune de l'espace-temps, c'est leur point commun, mais elles ont chacune des aspects qui sont plus ou moins exclusifs : les utiliser les deux ensembles sans précaution résulte en quelque chose d'incohérent, mais en s'y prenant bien, cette chose est « stable ».

Il est fréquent, dans une première approche à la RG, de considérer l'équation d'Einstein comme décrivant comment l'énergie est source de gravité et de se servir de l'hypothèse géodésique afin de traiter l'action de la gravité sur les corps-test. Ainsi, la partie « gravité d'Einstein » sert à décrire le rôle de l'énergie comme source de courbure, tandis que la partie « dynamique/cinématique » sert à décrire le comportement de « l'énergie » sous l'effet de la courbure. Cette approche est « stable » pour autant qu'on n'applique pas l'hypothèse géodésique aux sources de courbure et qu'on ne cherche pas à déterminer la courbure générée par les corps-test ; dans les régimes où ces hypothèses sont satisfaites, cette approche est utile, permettant de prédire l'avancement du périhélie de Mercure, l'effet Lense-Thirring, etc. Cependant, elle ne peut pas servir à étudier l'évolution des étoiles binaires.

L'hypothèse géodésique mérite son nom d'hypothèse : dans une approche cohérente, toute énergie serait perçue comme source de courbure et la dynamique serait complètement régie par l'équation d'Einstein. La question est : est-ce que l'équation d'Einstein prédit un mouvement « presque géodésique » pour les « petites sources énergétiques ». C'est une question compliquée, car elle cherche à lier deux incarnations de la théorie : qu'est-ce qu'une petite source énergétique ? qu'est-ce qu'être presque géodésique ? etc. Heureusement, la réponse à la question est affirmative : l'hypothèse géodésique est une approximation d'une incarnation plus cohérente de la RG.

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Si vous fixez des coordonnées sur une région de l'espace-temps et si vous savez décrire le tenseur énergie-impulsion dans cette carte, alors vous connaissez explicitement une membre de l'équation d'Einstein. En principe, l'équation est soluble et on obtient (une myriade) de métriques solutions dans cette région (il y a des ambiguïtés dues au fait qu'aucune condition frontière n'est imposée de prime abord). Ainsi, pour autant que vous sachiez argumenter que le tenseur énergie-impulsion donné décrit une particule en mouvement, la RG (via l'équation d'Einstein) vous dit quel champ cette particule produit. Or, « particule », « masse », « mouvement » sont des concepts à définir dans une incarnation (à établir) de la théorie.

Cela n'a rien de facile, car la RG nous confronte à la naïveté avec laquelle nous traitions de ces notions dans des théories plus simples. Un exemple : en électromagnétisme relativiste, on sait qu'une charge électrique accélérée produit un rayonnement électromagnétique, alors qu'une particule chargée en mouvement linéaire uniforme n'en produit pas. Ce qui détermine le fait d'être accéléré ou pas, c'est la structure (pseudo)métrique de l'espace-temps de Minkowski : la particule chargée suit-elle une géodésique ou pas ? C'est-à-dire : y a-t-il un observateur inertiel qui voit constamment la particule immobile ou pas ? Par analogie, en utilisant la GEM, nous dirions qu'une particule massive qui suit une géodésique ne produit pas d'ondes gravitationnelles, mais qu'une qui ne suit pas une géodésique en produit.

Or, en RG, la particule courbe l'espace-temps. Si la particule est ponctuelle et immobile, la solution est la métrique de Schwarzschild. Qu'importe la masse de la particule, pour autant qu'elle soit strictement positive, toutes les géodésiques de genre temps finissent par tomber sur la particule, c'est-à-dire que tous les observateurs inertiels finissent par croiser la particule (et en fait, finissent pas être emprisonnés dans le trou noir). C'est un résultat qualitatif immensément différent du cas de la GEM. Est-ce que la particule est immobile ou pas, puisque tous les observateurs inertiels s'approchent d'elle ? Plus généralement, comment savoir si une particule est accélérée, puisqu'elle détermine elle-même partiellement les géodésiques de l'espace-temps ? Produit-elle des ondes gravitationnelles ?

Ce sont des questions compliquées, parce que le coeur de la RG exige que nous revoyions nos conceptions « axiomatisées » par les théories précédentes de ce qu'est une masse, un mouvement, etc. La RG peut suggérer des réponses, mais encore faut-il que nous puissions concrètement utiliser ces nouveaux concepts et faire le pont avec les anciens ; ce sont des considérations quelque peu extérieures à la théorie elle-même. La RG gère ce qu'elle peut gérer ; c'est plutôt nous qui devons apprendre la façon par laquelle elle gère ce que nous aimerions étudier. Il en va de même avec toutes les théories physiques, avec les langages informatiques, etc. : nous pouvons modeler et construire ces choses dans une certaine mesure, mais pas totalement, à partir de quoi nous devons apprendre à opérer à l'intérieur des limites qu'elles imposent.

**Nicophil** · 05/05/2015, 16h56

Envoyé par yves95210

Rien à voir avec la RG ou la gravitation en général, mais avec la MQ. Voir par exemple le petit bouquin de vulgarisation de Feynman (Lumière et matière) qui explique très bien cela sans faire de maths.

Envoyé par Universus

Je pensais que nous parlions du ralentissement de la lumière près d'une masse grave, pas de celle observée depuis des siècles selon le médium optique !

Mais :

Envoyé par gwgidaz

L'équation de propagation des ondes dans notre espace 3D s'écrit aussi sous forme d'un laplacien nul dans un espace 4D ( x,y,z, ict)

Poincaré n'était pas allé chercher son idée de 4D très loin. Ni Minkowski.
Mais le premier, d'épistémologie conventionnaliste, avait parfaitement conscience qu'il ne s'agissait que de présentations géométriques différentes, alors que Minkowski, platoniste naïf (pléonasme), crut avoir fait une grande découverte quant à la nature (de l' "éther" ?).

Avec ou sans quadri-écriture : les deux (re)présentations sont possibles.

L'éther 4D est intéressant pour la lumière (ce qui n'est pas rien, loin s'en faut, en astronomie !), voire pour les problèmes à un corps.
Mais pour les interactions, tout physicien repassera en éther 3D. Et avec des étoiles fixes comme trame de fond s'il vous plaît !

Après, c'est comme la dualité onde-corpuscule : les deux descriptions doivent correspondre.

**Universus** · 05/05/2015, 18h56

Ainsi soit-il !

Il n'y a aucun intérêt à entretenir vos monologues. Vous citez des passages où on vous indique que vous vous méprenez sur un sujet A afin de rebondir vers un sujet B sans lien avec le sujet A. Vous faîtes des sophismes comme d'autres respirent, le plus récent étant décidément le sophisme de l'homme de paille, toujours à travers des affirmations péremptoires. Ça ne sert à rien d'expliquer en quoi vous mélangez tout (encore ci-dessus) puisque vous ne considérez jamais les commentaires plus soutenus qu'on écrit.

Ce forum n'est pas une taverne : il n'y a pas de place pour faire semblant de parler consciencieusement de science. Des « forums-tavernes » pullulent partout ailleurs sur le web si vous ne pouvez vous en empêcher.

**Nicophil** · 05/05/2015, 20h15

Un sincère et grand merci pour vos réponses particulièrement éclairantes, Universus.

Notamment le paragraphe

Envoyé par Universus

D'une part, afin d'évaluer le tenseur énergie-impulsion, il faut avoir une certaine idée de la distribution des masses, des charges, de leurs vitesses, etc. Donc il faut savoir mesurer des distances et des durées : il faut un tenseur métrique. Ayant un tenseur métrique, on peut calculer sa courbure. Or, l'équation d'Einstein lie cette courbure au tenseur énergie-impulsion. C'est un peu le serpent qui se mord la queue.

qui m'a enfin permis de comprendre pourquoi Einstein appelait "éther" ce que Deedee appelle "l'espace-temps lui-même".

**chaverondier** · 06/05/2015, 09h29

Envoyé par Universus

...Dans le cadre de la GEM, le champ gravitomagnétique a un tenseur-énergie impulsion. Est-ce à dire qu'en RG on peut attribuer un tenseur énergie-impulsion à la gravité, à la courbure de l'espace-temps ? Le serpent se mordrait-il si fortement la queue ?! C'est une question de fond, qui a été débattue et l'est encore un peu. La plupart des relativistes ne pense pas qu'il faille considérer explicitement la gravité dans le tenseur énergie-impulsion, jugeant plus ou moins que la théorie s'en charge d'elle-même. D'autres scientifiques ne sont pas d'accord avec cela : par exemple, Philip Mannheim a visité à quelques reprises mon université ces dernières années ; il a beaucoup travaillé sur la gravité conforme, sorte de modification de la RG encore plus sophistiquée que celle-ci sur le plan mathématique et qui, selon Mannheim, prédit aussi les courbes de rotation des galaxies à même le contenu matériel de ces galaxies... mais je pense qu'il a besoin de considérer un tenseur énergie-impulsion explicite pour la gravité afin d'y parvenir (c'est ce que j'ai compris de ses conférences).

A ce sujet, auriez vous des commentaires à faire sur l'introduction, dans le tome2 de théorie des champs de Landau et Lifchitz, d'un pseudo-tenseur d'énergie-impulsion modélisant physiquement le champ gravitationnel ? Il présente un caractère non local et dépendant du référentiel considéré (L&L parlent d'une dépendance au système de coordonnées, mais c'est exagéré. En fait, il y a seulement dépendance vis à vis du choix du référentiel d'observation). Ce champ est parfois qualifié par certains de "non physique" (pas facile de savoir ce qu'il faut comprendre par là) parce qu'il n'est pas un tenseur (donc n'est pas invariant par difféomorphisme) cf § 96 Le pseudo-tenseur d'énergie-impulsion du champ gravitationnel.

Ce champ a tout de même le mérite de faire apparaître explicitement la conservation de l'énergie-impulsion (conservation qui n'est, en fait, pas respectée, comme le rappelle ce §96, si on se contente de considérer le seul tenseur énergie-impulsion du contenu énergie-matière au lieu de son addition avec le pseudo-tenseur énergie-impulsion du champ gravitationnel) ?

**Universus** · 06/05/2015, 16h24

Bonjour,

Envoyé par chaverondier

Envoyé par Universus

...Dans le cadre de la GEM, le champ gravitomagnétique a un tenseur-énergie impulsion. Est-ce à dire qu'en RG on peut attribuer un tenseur énergie-impulsion à la gravité, à la courbure de l'espace-temps ? Le serpent se mordrait-il si fortement la queue ?! C'est une question de fond, qui a été débattue et l'est encore un peu. [...]

A ce sujet, auriez vous des commentaires à faire sur l'introduction, dans le tome2 de théorie des champs de Landau et Lifchitz, d'un pseudo-tenseur d'énergie-impulsion modélisant physiquement le champ gravitationnel ? Il présente un caractère non local et dépendant du référentiel considéré (L&L parlent d'une dépendance au système de coordonnées, mais c'est exagéré. En fait, il y a seulement dépendance vis à vis du choix du référentiel d'observation). Ce champ est parfois qualifié par certains de "non physique" (pas facile de savoir ce qu'il faut comprendre par là) parce qu'il n'est pas un tenseur (donc n'est pas invariant par difféomorphisme) cf § 96 Le pseudo-tenseur d'énergie-impulsion du champ gravitationnel.

Ce champ a tout de même le mérite de faire apparaître explicitement la conservation de l'énergie-impulsion (conservation qui n'est, en fait, pas respectée, comme le rappelle ce §96, si on se contente de considérer le seul tenseur énergie-impulsion du contenu énergie-matière au lieu de son addition avec le pseudo-tenseur énergie-impulsion du champ gravitationnel) ?

Je ne me suis pas spécialisé en relativité générale, n'ayant même pas vraiment pu lire sur le sujet depuis trois ans, ce qui me cause un certain désarroi (et ce d'autant plus quand on me dirige vers des sujets aussi intéressants que celui dont vous parlez). Je n'ai en particulier jamais étudié le pseudo-tenseur de Landau et Lifshitz et je n'ai pas leur livre à ma disposition. Cet article wikipedia ne me semble pas trop mal cependant ; j'ai aussi rapidement lu les passages du livre de Wald faisant allusion à ce pseudo-tenseur et aux problématiques auxquelles il est lié. Je peux donc commenter un peu ce sujet, misant sur le fait qu'un non-initié (ce que je suis ici) est parfois extraordinairement perceptif ! (Je me croise les doigts !)

Tout d'abord, notons que la considération de ce pseudo-tenseur est quelque peu indépendante a priori à la problématique (un peu vague) que je soulignais, à savoir « la gravitation doit-elle contribuer explicitement au tenseur énergie-impulsion intervenant dans l'équation d'Einstein ? » La vérification du point 3 effectuée sur la page wikipedia rend tout à fait clair que le pseudo-tenseur de Landau et Lifshitz (avec la vocation que lui donnait ses auteurs) est différent du tenseur énergie-impulsion de la matière et des autres champs. En d'autres termes, ce (pseudo-)tenseur énergie-impulsion n'est pas celui qui intervient dans l'équation d'Einstein. C'est différent de ce que Mannheim me semblait soutenir et du « débat » auquel il faisait allusion (et conséquemment auquel j'ai aussi fait allusion).

En ce qui a trait à la conservation de l'énergie-impulsion, je pense qu'il y a une question de point de vue en jeu ici. L'équation d'Einstein $\text{[math]}$ implique une conservation « invariante » ou « géométrique » du tenseur d'énergie-impulsion usuel : $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ . Cette loi de conservation s'exprime aussi $\text{[math]}$ ; cela suggère fortement qu'un « tenseur » $\text{[math]}$ doit être « pseudo » afin que $\text{[math]}$ , puisque les symboles de Christoffel sont « pseudos » aussi.

Nous voyons ainsi que la loi de conservation « invariante » implique en général qu'il n'y a pas de loi de conservation « en coordonnées » dans les régions où le tenseur énergie-impulsion ne s'annule pas identiquement. Indirectement, cette non-conservation est une conséquence de l'utilisation d'une métrique plate fictive associée aux systèmes de coordonnées choisi ; la différence entre la vraie métrique et cette fausse métrique s'interprète comme un champ physique (gravitationnel) dans cette carte et le (pseudo-)tenseur de Landau-Lifshitz mesure l'énergie-impulsion de ce champ. L'aspect « pseudo » provient du choix arbitraire de coordonnées et, conséquemment, de la scission de la métrique en « métrique plate de fond » + « champ gravitationnel perçu ». En fait, comme le fait remarquer Wald, toutes ces considérations transportent dans le contexte général de la RG ce qui se fait fréquemment dans l'étude de la gravitation linéarisée comme perturbation de la métrique de Minkowski.

Remarque : Landau et Lifschitz ont raison de dire que leur pseudo-tenseur dépend du système de coordonnées. Juste en regardant la première expression de $\text{[math]}$ donnée dans la page wikipedia, un changement de coordonnées préserve la forme du premier terme, mais transforme le second terme en quelque chose de la même forme plus quelque chose d'ordre. Cela montre que cette expression dépend du système de coordonnées. Ceci dit, si le changement de coordonnées laisse invariant un observateur inertiel, le point 4 montre que l'observateur ne perçoit pas ponctuellement d'énergie gravitationnelle qu'importe le système de coordonnées qu'il choisit (entre le premier et le second) ; c'est au-delà de son voisinage infinitésimal que le changement se fait sentir, pour ainsi dire parce qu'il n'interagit plus avec les mêmes observateurs inertiels qu'avant, ce qui modifie sa compréhension du « champ gravitationnel » avoisinant.

Incorrigible que je suis, je profite de l'occasion afin de dériver un peu vers une réponse/critique de propositions faîtes précédemment dans le fil.

En un sens, étant donné un système de coordonnées, le (pseudo-)tenseur de Landau-Lifschitz fait apparaître explicitement les phénomènes gravitationnels cachés dans l'équation d'Einstein ; la théorie s'occupait avant de la gravité d'elle-même, le choix de coordonnées nous oblige à considérer la gravité explicitement. D'un point de vue mathématique, c'est du pareil au même. D'un point de vue physique cependant, il ne m'apparaît pas clair comment réaliser un système de coordonnées un tant soit peu quelconque. Oui je peux utiliser une règle avec une graduation logarithmique, oui je peux utiliser pour horloge un sablier aux grains de tailles diverses, tout ça me permet d'étiqueter tous les événements distinctement ; mais la métrique plate que j'en déduis est ad hoc. Ayant des étalons foncièrement différents en des événements différents, je complique immensément la comparaison des phénomènes physiques en divers événements : en un événement, la vitesse de la lumière est de 1 [unité logarithme]/[grain de sable tombé], en un autre elle est de 140 milliards. En ayant un tel système de coordonnées, j'interprète ce qu'est la gravité en rapport à mes choix arbitraires plutôt que par son inter-relation avec les autres phénomènes physiques. Ça me permet de décrire ce qui se passe, mais je ne saisi pas plus ce qu'est l'essence de la gravitation, ni de grand chose d'autre d'ailleurs...

Désolé, je n'ai pas le temps (ni probablement le talent) pour écrire une réponse plus intelligible...

Cordialement,

Universus

invitee724fe2f · 06/05/2015, 16h57

Bonjour,

Envoyé par Universus

Désolé, je n'ai pas le temps (ni probablement le talent) pour écrire une réponse plus intelligible...

c'était pas mal

merci

vous devriez lire Malcadena Einstein Gravity from Conformal Gravity

We show that that four dimensional conformal gravity plus a simple Neumann boundary condition can be used to get the semiclassical (or tree level) wavefunction of the universe of four dimensional asymptotically de-Sitter or Euclidean anti-de Sitter spacetimes. This simple Neumann boundary condition selects the Einstein solution out of the more numerous solutions of conformal gravity. It thus removes the ghosts of conformal gravity from this computation.

**Universus** · 06/05/2015, 17h44

Petites corrections :

Envoyé par Universus

[...] cela suggère fortement qu'un « tenseur » $\text{[math]}$ doit être « pseudo » afin que $\text{[math]}$ , puisque les symboles de Christoffel sont « pseudos » aussi.

Cette phrase est trompeuse. Le tenseur $\text{[math]}$ est un vrai tenseur, bien que sa « divergence coordonnée » ne le soit pas. Il faut le point 4 du « tenseur » énergie-impulsion recherché pour en déduire que la réponse est forcément un pseudo-tenseur.

Remarque : Landau et Lifschitz ont raison de dire que leur pseudo-tenseur dépend du système de coordonnées. Juste en regardant la première expression de $\text{[math]}$ donnée dans la page wikipedia, un changement de coordonnées préserve la forme du premier terme, mais transforme le second terme en quelque chose de la même forme plus quelque chose d'ordre.

J'ai écrit le mot « ordre » trop souvent dans fil, mes doigts l'écrivent par réflexe... c'était bien sûr « autre » que je voulais écrire.

Envoyé par Anta.C

c'était pas mal

merci

vous devriez lire Malcadena Einstein Gravity from Conformal Gravity

Merci pour le bon mot et pour la référence. Vous ajoutez beaucoup à mon désarroi... je ne suis pas du tout familier avec la gravité conforme, la supersymétrie et toutes ces autres choses, mais j'aimerais !

**chaverondier** · 06/05/2015, 19h50

Envoyé par Universus

Notons que la considération de ce pseudo-tenseur est quelque peu indépendante a priori de la problématique (un peu vague) que je soulignais, à savoir « la gravitation doit-elle contribuer explicitement au tenseur énergie-impulsion intervenant dans l'équation d'Einstein ? »

Pour ma part je pense plutôt l'inverse, mais ça dépend de façon un peu subjective de ce que l'on met (implicitement) derrière "doit" (des considérations physiques, oui mais lesquelles ?)

Envoyé par Universus

La vérification du point 3 effectuée sur la page wikipedia rend tout à fait clair que le pseudo-tenseur de Landau et Lifchitz (avec la vocation que lui donnait ses auteurs) est différent du tenseur énergie-impulsion de la matière et des autres champs.

Mathématiquement oui car c'est un pseudo-tenseur (t_ij dx^i dx^j n'est pas invariant par changement de carte). Physiquement par contre, le pseudo-tenseur énergie-impulsion permet de faire réapparaître explicitement "l'énergie potentielle de pesanteur" (pas de raison, à mon sens, de changer son nom au prétexte qu'on est en Relativité Générale) dans l'équation de conservation de l'énergie.

En effet, quand on exprime de façon covariante la conservation de l'énergie, donc en ne considérant (explicitement) que le tenseur énergie-impulsion des champs d'énergie-matière, on fait intervenir la divergence covariante laquelle contient implicitement la gravitation via la courbure gravitationnelle modélisée par un champ de jauge: la métrique (avec comme groupe d'invariance de jauge le groupe de Lorentz).

Quand, maintenant, on introduit le pseudo-tenseur énergie-impulsion du champ gravitationnel dans l'équation exprimant la conservation de l'énergie, cette équation s'écrit cette fois sous la forme:

div(T_matière/énergie + t_gravitation) = O où cette fois-ci, div désigne la divergence classique (1).

L'intégration de div(T_tot) dans un quadrivolume borné Omega d'espace-temps exprime bien le fait que le pseudo-tenseur énergie-impulsion total est à flux conservatif sur l'hypersurface drond_Oméga bornant ce quadrivolume. Par suite si, par exemple, on considère maintenant un quadrivolume limité:

en amont (temporellement) par une hypersurface "initiale" de type espace sectionnant un feuilletage 1D de type temps
en aval (temporellement) par une hypersurface "finale" de type espace sectionnant de même feuilletage

le flux du pseudo-tenseur énergie-impulsion sur chacune de ces deux hypersurfaces a la même valeur (sous certaines conditions aux limites peut-être un peu restrictives toutefois). Cette égalité exprime la conservation de l'énergie-impulsion du contenu matière-énergie-champ gravitationnel de l'univers au fil "du" temps.

(1) en fait c'est plus précisément div (-g) (T_matière/énergie + t_gravitation) = O (cf equation 96,10) du Landau et Lifchitz).

**Universus** · 07/05/2015, 03h17

Envoyé par chaverondier

Envoyé par Universus

Notons que la considération de ce pseudo-tenseur est quelque peu indépendante a priori de la problématique (un peu vague) que je soulignais, à savoir « la gravitation doit-elle contribuer explicitement au tenseur énergie-impulsion intervenant dans l'équation d'Einstein ? »

Pour ma part je pense plutôt l'inverse, mais ça dépend de façon un peu subjective de ce que l'on met (implicitement) derrière "doit" (des considérations physiques, oui mais lesquelles ?)

[...]

En effet, quand on exprime de façon covariante la conservation de l'énergie, donc en ne considérant (explicitement) que le tenseur énergie-impulsion des champs d'énergie-matière, on fait intervenir la divergence covariante laquelle contient implicitement la gravitation via la courbure gravitationnelle modélisée par un champ de jauge: la métrique (avec comme groupe d'invariance de jauge le groupe de Lorentz).

J'interprétais la question que j'avais posée uniquement dans l'optique de votre second paragraphe ci-dessus : dans l'équation d'Einstein écrite sous la forme $\text{[math]}$ , doit-on insérer explicitement la gravité dans le membre de droite ? Le « tenseur énergie-impulsion des champs d'énergie-matière » contient-il une part de la gravité ? Soit encore, peut-être plus précisément : si nous savions localiser l'énergie du champ gravitationnel, doit-on l'incorporer dans cet objet $\text{[math]}$ ? Les prescriptions habituelles prétendent que non. Je ne vois absolument pas en quoi discuter du tenseur de Landau-Lifshitz change quoi que ce soit à ces considérations.

Le tenseur de Landau-Lifshitz s'écrit sous la forme $\text{[math]}$ . En posant $\text{[math]}$ comme « tenseur énergie-impulsion total », l'équation d'Einstein se récrit $\text{[math]}$ . Si on en croît les prescriptions habituelles de la RG et la démarche de Landau-Lifshitz, le membre de droite comprend en particulier tout le contenu énergétique de la gravité. Ainsi, si on sait évaluer de quelle que façon que ce soit le (pseudo-)tenseur $\text{[math]}$ , on a en principe une manière de retrouver la métrique de l'espace-temps. Cette démarche n'est pas en contradiction avec la précédente, ni une réponse affirmative à la question que j'ai posée, mais une reformulation.

Envoyé par chaverondier

Envoyé par Universus

La vérification du point 3 effectuée sur la page wikipedia rend tout à fait clair que le pseudo-tenseur de Landau et Lifchitz (avec la vocation que lui donnait ses auteurs) est différent du tenseur énergie-impulsion de la matière et des autres champs.

Mathématiquement oui car c'est un pseudo-tenseur (t_ij dx^i dx^j n'est pas invariant par changement de carte). Physiquement par contre, le pseudo-tenseur énergie-impulsion permet de faire réapparaître explicitement "l'énergie potentielle de pesanteur" (pas de raison, à mon sens, de changer son nom au prétexte qu'on est en Relativité Générale) dans l'équation de conservation de l'énergie.

En effet, quand on exprime de façon covariante la conservation de l'énergie, donc en ne considérant (explicitement) que le tenseur énergie-impulsion des champs d'énergie-matière, on fait intervenir la divergence covariante laquelle contient implicitement la gravitation via la courbure gravitationnelle modélisée par un champ de jauge: la métrique (avec comme groupe d'invariance de jauge le groupe de Lorentz).

Quand, maintenant, on introduit le pseudo-tenseur énergie-impulsion du champ gravitationnel dans l'équation exprimant la conservation de l'énergie, cette équation s'écrit cette fois sous la forme:

div(T_matière/énergie + t_gravitation) = O où cette fois-ci, div désigne la divergence classique (1).

L'intégration de div(T_tot) dans un quadrivolume borné Omega d'espace-temps exprime bien le fait que le pseudo-tenseur énergie-impulsion total est à flux conservatif sur l'hypersurface drond_Oméga bornant ce quadrivolume. Par suite si, par exemple, on considère maintenant un quadrivolume limité:

en amont (temporellement) par une hypersurface "initiale" de type espace sectionnant un feuilletage 1D de type temps
en aval (temporellement) par une hypersurface "finale" de type espace sectionnant de même feuilletage

le flux du pseudo-tenseur énergie-impulsion sur chacune de ces deux hypersurfaces a la même valeur (sous certaines conditions aux limites peut-être un peu restrictives toutefois). Cette égalité exprime la conservation de l'énergie-impulsion du contenu matière-énergie-champ gravitationnel de l'univers au fil "du" temps.

(1) en fait c'est plus précisément div (-g) (T_matière/énergie + t_gravitation) = O (cf equation 96,10) du Landau et Lifchitz).

Physiquement ou mathématiquement, pseudo-tenseur ou pas, $\text{[math]}$ . Vous m'avez demandé si je souhaitais commenter sur une question que j'avais posée en connaissance du tenseur de Landau-Lifshitz ; dans mon interprétation de la question, ce pseudo-tenseur n'est pas une réponse affirmative à la question. Sur ce sujet, je ne sais donc pas quoi ajouter.

Pour moi, le pseudo-tenseur de Landau-Lifshitz est l'une des nombreuses quantités (pseudo-)tensorielles introduites afin de décrire des charges conservées dans diverses classes d'espaces-temps feuilletés de manière plus ou moins précise. Elles ont leur utilité ; on peut dans une certaine mesure et avec une certaine efficacité heuristique leur donner des interprétations physiques comme « énergie potentielle » (encore que la multitude de candidats n'aide pas à déterminer lequel mérite le plus d'être qualifié « d'énergie potentielle »). Or, dans l'état, toutes ces reformulations de la RG sont subordonnées à l'interprétation « orthodoxe » covariante de la RG qui tient en toute généralité, cette dernière ayant à mon sens (et c'est vraiment de l'ordre du senti, j'ai de la difficulté à rationaliser la chose) un pouvoir théorique plus grand que celui de ces formulations.

Cordialement,

Universus

**chaverondier** · 07/05/2015, 07h06

Envoyé par Universus

Si nous savions localiser l'énergie du champ gravitationnel, doit-on l'incorporer dans cet objet $\text{[math]}$ ? Les prescriptions habituelles prétendent que non.

Je ne vois absolument pas en quoi discuter du tenseur de Landau-Lifchitz change quoi que ce soit à ces considérations.

et effectivement, l'énergie gravitationnelle est non locale. C'est précisément pour cette raison que l'énergie-impulsion gravitationnelle prend la forme d'un pseudo-tenseur et présente donc la RG sous une forme non explicitement covariante.

Envoyé par Universus

Cette démarche n'est pas en contradiction avec la précédente, mais une reformulation.

Tout à fait.

Envoyé par Universus

Physiquement ou mathématiquement, pseudo-tenseur ou pas, $\text{[math]}$ .

En fait, L&L notent $\text{[math]}$ le tenseur énergie-impulsion des champs de matière-énergie et $\text{[math]}$ le pseudo-tenseur énergie impulsion du champ gravitationnel. Avec ces notations on a $\text{[math]}$ . Je suppose que c'est ce que vous avez voulu dire.

Envoyé par Universus

Sur ce sujet, je ne sais donc pas quoi ajouter. Pour moi, le pseudo-tenseur de Landau-Lifchitz est l'une des nombreuses quantités (pseudo-)tensorielles introduites afin de décrire des charges conservées dans diverses classes d'espaces-temps feuilletés de manière plus ou moins précise. Elles ont leur utilité ; on peut dans une certaine mesure et avec une certaine efficacité heuristique leur donner des interprétations physiques comme « énergie potentielle » (encore que la multitude de candidats n'aide pas à déterminer lequel mérite le plus d'être qualifié « d'énergie potentielle »). Or, dans l'état, toutes ces reformulations de la RG sont subordonnées à l'interprétation « orthodoxe » covariante de la RG qui tient en toute généralité, cette dernière ayant à mon sens (et c'est vraiment de l'ordre du senti, j'ai de la difficulté à rationaliser la chose) un pouvoir théorique plus grand que celui de ces formulations.

C'est très précisément ce type de commentaires que j'attendais. Dans la formulation de Landau et Lifchitz on a une formulation non explicitement covariante de la RG, mais elle l'est implicitement. Il y équivalence mathématique (encore que, me semble-t-il, mais je n'en suis pas sûr, on ne devrait pas pouvoir y héberger un espace-temps qui ne serait pas homéomorphe à IR^4. Si cette restriction n'est pas une supposition erronnée de ma part, je vois ça plutôt comme une bonne chose).

Dans la formulation standard, explicitement covariante, la conservation de l'énergie-impulsion n'est (implicitement) pas respectée parce qu'il manque l'énergie-impulsion du champ gravitationnel. La conservation de l'énergie est par contre retrouvée (en conservant l'équivalence mathématique avec l'équation de champ G = khi T) quand on fait explicitement apparaître le pseudo-tenseur énergie-impulsion du champ gravitationnel. C'est ce que signale l'équation (96,11) du Landau et Lifchitz où, intégrée sur un feuilletage en hypersurfaces de type espace sectionnant un feuilletage 1D de type temps (un référentiel formé d'observateurs "réels" donc) la quadri impulsion :

P^i = 1/c intégrale[(-g) (T^ik +t^ik) dS_k] est bien une constante.

Concernant l'intérêt général d'une formulation explicitement covariante, je comprend ce que vous voulez dire. Outre le fait qu'elle est d'une écriture mathématique beaucoup, beaucoup plus simple, elle présente l'avantage de faire explicitement apparaître la structure géométrique de la RG (son groupe de jauge : le groupe de Lorentz) et on la préfère aussi pour cette raison (un peu comme la Relativité Restreinte par opposition à son interprétation Lorentzienne introduisant un référentiel inertiel privilégié alors que le fondement géométrique de la Relativité Restreinte, l'invariance de Lorentz, implique qu'il n'y en ait pas).

Je signale tout de même que l'utilisation de la covariance comme fil conducteur pour construire, en espace-temps courbe, telle ou telle généralisation (localement) invariante de Lorentz de telle ou telle équation connue en espace-temps plat a ses limites. Par exemple, la généralisation de l'équation de Dirac en présence d'un champ gravitationnel obtenue en s'appuyant essentiellement sur un principe de covariance conduit à l'équation dite de Dirac Fock Weyl, dont l'Hamiltonien n'est pas unique.

Voir à ce sujet les travaux de Mayeul Arminjon :
Representations of the Dirac wave function in a curved spacetime (Nov 2010)
http://arxiv.org/abs/1011.6286

Voir aussi (pour repartir du début, ça surprend, mais ça vaut vraiment un peu plus qu'un coup d'oeil)
Équations de Dirac dans un espace-temps courbe & Mécanique quantique associée, Mayeul Arminjon, 24 janvier 2011
http://geo.hmg.inpg.fr/arminjon/Armi...anuary2011.pdf, et

Dirac equation from the Hamiltonian and the case with a gravitational field, Mayeul Arminjon, (Dec 2005)
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0512046

**Nicophil** · 07/05/2015, 13h02

Bonjour,

Envoyé par chaverondier

(un peu comme la Relativité Restreinte par opposition à son interprétation Lorentzienne introduisant un référentiel inertiel privilégié alors que le fondement géométrique de la Relativité Restreinte, l'invariance de Lorentz, implique qu'il n'y en ait pas).

Je saute ("comme la vérole sur le bas-clergé breton") sur cette remarque pour rappeler que l'invariance (des lois) de Newton est restreinte aux observateurs galiléens.
L'expérience nous montre qu'elle ne peut en aucun cas être généralisée à tout observateur.
J'dis ça, j'dis rien...

**Universus** · 07/05/2015, 14h30

Bonjour,

Je ne pourrai pas entretenir cette discussion pour encore bien longtemps, puisque toutes ces questions ne me sont pas familières : elles m'ont toujours paru très intéressantes, mais elles sont trop éloignées de ce que je fais au quotidien pour que j'aie bien eu le temps de les étudier et d'y réfléchir (et elles me demanderaient toute la considération qu'elles nécessitent : beaucoup).

Envoyé par chaverondier

et effectivement, l'énergie gravitationnelle est non locale. C'est précisément pour cette raison que l'énergie-impulsion gravitationnelle prend la forme d'un pseudo-tenseur et présente donc la RG sous une forme non explicitement covariante.

Je ne suis pas certain que ce soit la raison pour laquelle on obtient un pseudo-tenseur. Il y a aurait une certaine quantité, due à Møller, qui est tensorielle. Aussi, je ne sais pas le sens donné à « non-local » ici.

En fait, L&L notent $\text{[math]}$ le tenseur énergie-impulsion des champs de matière-énergie et $\text{[math]}$ le pseudo-tenseur énergie impulsion du champ gravitationnel. Avec ces notations on a $\text{[math]}$ . Je suppose que c'est ce que vous avez voulu dire.

Ce n'est pas tout à fait ce que je voulais dire : c'était une inégalité de leur nature, à la façon dont L&L les distinguent. Il aurait mieux convenu d'écrire (dans une notation suggestive) $\text{[math]}$ , signifiant que le pseudo-tenseur de L&L, n'eu égard au caractère « pseudo » de cette quantité mathématique, ne contribue pas sur le plan physique au tenseur des champs matière-énergie.

C'est très précisément ce type de commentaires que j'attendais. Dans la formulation de Landau et Lifchitz on a une formulation non explicitement covariante de la RG, mais elle l'est implicitement. Il y équivalence mathématique (encore que, me semble-t-il, mais je n'en suis pas sûr, on ne devrait pas pouvoir y héberger un espace-temps qui ne serait pas homéomorphe à IR^4. Si cette restriction n'est pas une supposition erronnée de ma part, je vois ça plutôt comme une bonne chose).

Dans la formulation standard, explicitement covariante, la conservation de l'énergie-impulsion n'est (implicitement) pas respectée parce qu'il manque l'énergie-impulsion du champ gravitationnel. La conservation de l'énergie est par contre retrouvée (en conservant l'équivalence mathématique avec l'équation de champ G = khi T) quand on fait explicitement apparaître le pseudo-tenseur énergie-impulsion du champ gravitationnel. C'est ce que signale l'équation (96,11) du Landau et Lifchitz où, intégrée sur un feuilletage en hypersurfaces de type espace sectionnant un feuilletage 1D de type temps (un référentiel formé d'observateurs "réels" donc) la quadri impulsion :

P^i = 1/c intégrale[(-g) (T^ik +t^ik) dS_k] est bien une constante.

Certes, la formulation de Landau et Lifshitz est non-manifestement covariante, mais la récriture de l'équation d'Einstein sous la forme $\text{[math]}$ permet en principe, pour autant que le pseudo-tenseur énergie-impulsion total soit connu, de déduire la métrique lorenztienne de l'espace-temps et par conséquent toute l'information manifestement covariante. Sur le principe, il y a équivalence entre les deux formulations. Dans la pratique cependant, cela n'est pas assuré (j'imagine d'ailleurs que cela rejoint une des remarques récurrentes de Nicophil dans cette discussion, du moins sous une forme primitive : chaque formulation est bien adaptée à un type de problèmes).

Pour des situations suffisamment bonnes, par exemple des espaces-temps statiques asymptotiquement plats ou dans une approximation linéaire « uniforme », on peut certainement se servir des interprétations newtoniennes de la gravité là où le champ est faible afin d'évaluer le pseudo-tenseur de L&L. En général cependant, je n'ai pas l'impression qu'il y a moyen de connaître directement ce pseudo-tenseur (déjà que le tenseur énergie-impulsion « usuel » est difficile à évaluer en général...) ; il faudrait donc repasser par l'approche « orthodoxe » afin d'obtenir une solution et évaluer le tenseur L&L a posteriori. C'est une difficulté pratique, mais cette difficulté me semble peser lourd dans l'évaluation de la pertinence de toute cette formulation sur le plan de la théorisation : un modèle ne devrait pas seulement être jugé sur sa faculté en principe de donner une description réaliste des expériences et des observations, mais aussi sur sa faculté en pratique d'en donner. Si cette formulation de Landau et Lifshitz n'est en général utilisable qu'une fois une solution donnée, elle n'est pas très pratique et, du coup, les notions qu'elle met de l'avant ne devraient peut-être pas être considérées « riches » sur le plan physique.

Concernant l'intérêt général d'une formulation explicitement covariante, je comprend ce que vous voulez dire. Outre le fait qu'elle est d'une écriture mathématique beaucoup, beaucoup plus simple, elle présente l'avantage de faire explicitement apparaître la structure géométrique de la RG (son groupe de jauge : le groupe de Lorentz) et on la préfère aussi pour cette raison (un peu comme la Relativité Restreinte par opposition à son interprétation Lorentzienne introduisant un référentiel inertiel privilégié alors que le fondement géométrique de la Relativité Restreinte, l'invariance de Lorentz, implique qu'il n'y en ait pas).

Je suis d'accord, mais ça va plus loin que cela. Par exemple, lorsqu'on parle de la « vitesse de la lumière dans le vide » en relativité, on sait très bien de nos jours que la lumière n'a pas à aller à cette vitesse. Il s'agit plutôt d'une vitesse atypique, d'une « vitesse repère » par rapport auxquelles tous les phénomènes physiques se comparent. L'identification d'une telle « quantité » a été un grand avancement dans la théorisation de la physique, puisqu'elle a suggéré que tous les phénomènes physiques devaient « percevoir » cette « quantité », que tous les phénomènes devaient être subordonnés à une structure plus profonde (que certains souhaitent mordicus nommer éther, grand bien leur fasse) et, conséquemment, tous les phénomènes se comparent entre eux à travers leur relation à cette « quantité ». En toute honnêteté, de prime abord, cela n'a pas à être le cas : dans cette direction, je pense d'ailleurs que vous avez souvent exprimé l'idée que certains phénomènes physiques seraient régis par l'invariance de Lorentz et que d'autres ne le seraient pas. C'est une possibilité, mais la possibilité que tous les phénomènes soient subordonnés à l'espace-temps lorenztien est un principe théorique fort riche en enseignements physiques, ne serait-ce parce qu'il permet aussi de poser la question de sa validité (comme vous l'avez fait par le passé). L'existence d'approches (manifestement) covariantes et, en fait, l'axiome selon lequel les phénomènes physiques sont descriptibles par de telles approches sont des résultats non triviaux et, ce faisant, sources d'avancement dans la théorisation du monde. Miser sur des approches non-manifestement covariantes, c'est psychologiquement un peu continuer à jouer avec toutes les autres théoriques non covariantes, c'est se freiner dans une bonne théorisation, c'est éviter de mettre le doigt sur ce qui distingue les modèles réalistes dans l'ensemble des possibles. Je ne prétends pas que toutes les théories futures seront covariantes, ni que les formulations non-manifestement covariantes ne seront pas source d'avancement, mais seulement que la question de la covariance rend les problèmes plus limpides, ce qui en fait un principe physique d'une importance capitale.

Je signale tout de même que l'utilisation de la covariance comme fil conducteur pour construire, en espace-temps courbe, telle ou telle généralisation (localement) invariante de Lorentz de telle ou telle équation connue en espace-temps plat a ses limites. Par exemple, la généralisation de l'équation de Dirac en présence d'un champ gravitationnel obtenue en s'appuyant essentiellement sur un principe de covariance conduit à l'équation dite de Dirac Fock Weyl, dont l'Hamiltonien n'est pas unique.

Voir à ce sujet les travaux de Mayeul Arminjon :
Representations of the Dirac wave function in a curved spacetime (Nov 2010)
http://arxiv.org/abs/1011.6286

Voir aussi (pour repartir du début, ça surprend, mais ça vaut vraiment un peu plus qu'un coup d'oeil)
Équations de Dirac dans un espace-temps courbe & Mécanique quantique associée, Mayeul Arminjon, 24 janvier 2011
http://geo.hmg.inpg.fr/arminjon/Armi...anuary2011.pdf, et

Dirac equation from the Hamiltonian and the case with a gravitational field, Mayeul Arminjon, (Dec 2005)
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0512046

Merci pour ces références, que j'espère pouvoir lire un jour ! J'ai rapidement lu le second lien, qui soulève de surprenantes questions en effet sur les champs régis par l'équation de Dirac.

Je ne comprends pas trop cependant cette histoire avec le hamiltonien. Depuis longtemps, on sait que les formulations « rationelles » ne sont pas tout à fait uniques et, aussi, que l'approche hamiltonienne cadre difficilement avec une approche relativiste, à tout le moins différemment qu'avec une approche classique. J'imagine que l'aspect soulevé par monsieur Arminjon est différent, mais sinon je ne sais pas s'il s'agit vraiment d'un problème de fond.

Quant aux limites du principe de covariance, c'est assuré qu'il y en a : ce principe ne détermine pas à lui seul la physique. Par exemple, l'électromagnétisme de Maxwell s'écrit en notation complètement covariante $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : ces équations font du sens quel que soit l'espace-temps. Or, rien n'empêche d'ajouter certains termes de courbures (assurément passés inaperçus par les expériences antérieures au XXe siècle) : cela ne contrevient en rien au principe de covariance général. Par contre, le principe indique des endroits où chercher : il ne détermine pas la destination, mais contraint les chemins à suivre.

Envoyé par Nicophil

Je saute ("comme la vérole sur le bas-clergé breton") sur cette remarque pour rappeler que l'invariance (des lois) de Newton est restreinte aux observateurs galiléens.
L'expérience nous montre qu'elle ne peut en aucun cas être généralisée à tout observateur.

Je ne pense pas que cette remarque concerne ce dont chaverondier traitait, qui d'ailleurs portait de prime abord uniquement sur les observateurs galiléens. Par ailleurs, il y a un sens plus ou moins rigide à donner aux « lois de Newton » : un sens trop rigide ne peut évidemment tenir que pour quelques situations, mais un sens plus permissif (mais pas pour autant moins vrai, au contraire !) tient plus généralement.

Par analogie, la loi de Coulomb (sous une certaine forme) ne tient rigoureusement que pour un seul repère, celui où une particule est au repos ; il faut juxtaposer (entre autres choses) la loi de Biot-Savart à la loi de Coulomb pour avoir une description du phénomène selon plus d'un observateur. La loi de Coulomb n'est pas fausse, seule la forme trop rigide utilisée ne tient pas en général ; une forme plus permissive existant, elle est même meilleure.

La relativité générale sert à extraire des lois de la dynamique newtonienne et relativistes restreintes ce qu'elles ont en commun pour l'appliquer à des contextes généraux. Après coup, on sait ce qui des lois de Newton a une signification plus profonde et plus inévitable, plus générale. Il est trompeur d'entretenir un clivage trop net (ou trop vague, selon le point de vue) entre les observateurs inertiels et les autres.

Cordialement,

Universus

**Nicophil** · 07/05/2015, 16h00

Envoyé par Universus

Par ailleurs, il y a un sens plus ou moins rigide à donner aux « lois de Newton » : un sens trop rigide

Pas plus rigide que les barres rigides d'Einstein... Sur lesquelles il fonda sa Relativité cinématique, par opposition à la Relativité dynamique de Poincaré (contraction de l'étalon-mètre en mouvement).

Le jumeau voyageur revient absolument plus jeune que le jumeau inertiel, a fortiori s'il est allé séjourné près d'un trou noir : pour un physicien, ce sont les "lois du GPS".

**chaverondier** · 07/05/2015, 21h38

Envoyé par Universus

Je ne suis pas certain que ce soit la raison pour laquelle on obtient un pseudo-tenseur.

La raison pour laquelle on a un pseudo-tenseur résulte du fait que l'on remplace l'équation

div(T) = 0

mais avec une divergence covariante où T désigne le tenseur énergie-impulsion du champ d'énergie-matière et dans ce cas l'intégrale de T_i^k (-g)^(1/2) dS_k ne se conserve pas

par l'équation:
div[(-g) (T+t)] = 0

mais avec cette fois une divergence classique.

L'ajout de t à T permet de restaurer la conservation de l'énergie (sans perdre pour autant l'équation de champ G = khi T où T est le tenseur énergie-impulsion du champ d'énergie-matière)

Il y a très peu de chose à rajouter à ça pour aboutir à l'unicité du tenseur t respectant ces conditions et à son expression (très compliquée d'ailleurs. cf. équation (96,8) du L&L si vous parvenez à mettre la main dessus)

Le tenseur énergie-impulsion du champ gravitationnel est donc une conséquence très directe de l'équation de champ de la relativité générale combinée à la condition de conservation de l'énergie-impulsion. Il s'avère que ce qui manque pour obtenir cette loi de conservation, c'est l'énergie-impulsion du champ gravitationnel.

Le caractère non local de cette énergie est très directement lié au caractère non tensoriel de t. Si, en un évènement donné, on se place dans un référentiel chute libre, le tenseur énergie-impulsion du champ gravitationnel t s’annule (t_ij dx^i dx^j n'est donc pas invariant par changement de carte). On ne peut donc pas localiser cette énergie puisqu'en un évènement donné, on peut la faire disparaître en choisissant un référentiel approprié.

Envoyé par Universus

Il aurait mieux convenu d'écrire (dans une notation suggestive) $\text{[math]}$ , signifiant que le pseudo-tenseur de L&L, eu égard au caractère « pseudo » de cette quantité mathématique, ne contribue pas sur le plan physique au tenseur des champs matière-énergie.

Ma foi, disons que le pseudo tenseur énergie-impulsion total est la somme du tenseur énergie-impulsion du champ d'énergie matière + le pseudo-tenseur énergie impulsion. Ces deux quantités concourent tout deux au contenu énergie-impulsion de l'univers et c'est cette somme la qui se conserve comme il se doit.

Envoyé par Universus

Certes, la formulation de Landau et Lifshitz est non-manifestement covariante, mais la récriture de l'équation d'Einstein sous la forme $\text{[math]}$ permet en principe, pour autant que le pseudo-tenseur énergie-impulsion total soit connu, de déduire la métrique lorenztienne de l'espace-temps

En fait, le pseudo-tenseur énergie impulsion du champ gravitationnel est déterminé par la donnée de la métrique (et de la connexion affine qui en découle). Son expression est donnée en fonction de la métrique et des coefficients de Christoffel par l'équation (96,8) du Landau et Lifchitz, théorie des champs.

Envoyé par Universus

En général cependant, je n'ai pas l'impression qu'il y ait moyen de connaître directement ce pseudo-tenseur

Dès qu'on connait la métrique, on peut le calculer.

Envoyé par Universus

Il faudrait donc repasser par l'approche « orthodoxe » afin d'obtenir une solution et évaluer le tenseur L&L a posteriori.

Il ne faut pas repasser, par une approche orthodoxe pour obtenir t. Il faut passer par une approche orthodoxe puisqu'on a besoin de la métrique pour calculer t.

Envoyé par Universus

Vous avez souvent exprimé l'idée que certains phénomènes physiques seraient régis par l'invariance de Lorentz et que d'autres ne le seraient pas.

En fait, cette idée découlait de deux hypothèses

une interprétation réaliste de la fonction d'onde d'une part, l'idée que la fonction d'onde de la chaise qui est devant moi représente bien la chaise qui est devant moi (un point de vue minoritaire)
.
l'hypothèse que la causalité (les causes précèdent les effets) est objectivement respectée (indépendamment de toute considération d'observateur et donc d'entropie).

La combinaison de ces deux hypothèses exige alors un référentiel quantique privilégié (comme proposé par De Broglie, Bell, Scarani, Valentini, Percival par exemple et Gisin tourne autour de l'idée sans toutefois se prononcer en sa faveur) et conduit à une interprétation de l'expérience d'Alain Aspect comme une action instantanée à distance en violation de la causalité relativiste ET de l'invariance de Lorentz.

J'ai commencé à envisager un point de vue différent suite à la discussion engagée par Stefjm et par Ludwig signalant le fait que l'équation de Dirac, comme l'équation de Schrödinger émergent d'une équation du second ordre en temps donc T-symétrique.

Je commence réellement à admettre que l'écoulement irréversible du temps et le principe de causalité puissent être interprétés comme des émergences de nature thermodynamique statistique (et rien d'autre) comme le proposent d'ailleurs C. Rovelli, A. Connes et P. Martinetti (cf http://arxiv.org/abs/gr-qc/9406019, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0212074).

Maintenant :

les travaux réalisés sur la formulation time-symmetric de la mécanique quantique et sur la mesure faible réalisés par les Aharonov, Bergmann, Lebowitz, Albert, Vaidman, Elitzur, Steinberg, Popescu, Lundeen, Tollaksen, Rohrlich, Kwait, Bamber et quelques autres (The Two-State Vector Formalism of Quantum Mechanics: an Updated Review http://arxiv.org/abs/quant-ph/0105101, A time-symmetric formulation of quantum mechanics, Yakir Aharonov, Sandu Popescu, and Jeff Tollaksen http://www.tau.ac.il/~yakir/yahp/yh171.pdf)
.
l'interprétation rétrocausale de l'action de mesures fortes sur des mesures faibles antérieures (Can a Future Choice Affect a Past Measurement's Outcome? Yakir Aharonov, Eliahu Cohen, Doron Grossman, Avshalom C. Elitzur http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1206/1206.6224.pdf)
.
le fait que l'effet tunnel me semble transmettre de l'information à vitesse supraluminique (avis très minoritaire. Il n'est même pas celui de Chiao pourtant auteur de Tunneling Times and Superluminality: a Tutorial, 1998, http://arxiv.org/abs/quant-ph/9811019v1) mais en respectant pourtant l'invariance de Lorentz (cf l'article de Winful en 2006 sur ce sujet)

me poussent, petit à petit, à envisager la possibilité que, peut-être, le principe de causalité et l'écoulement irréversible du temps ne puissent se passer de la notion d'entropie caractérisant la myopie d'une famille d'observateurs. En tout cas, c'est ce que me semble exprimer l'hypothèse dite du temps thermique de C. Rovelli, A. Connes et P. Martinetti.

Bref, l'abandon du principe de causalité (à l'échelle quantique et uniquement d'un point de vue interprétatif) permet de conserver l'interprétation réaliste des deux vecteurs d'état de la formulation time-symmetric de la mécanique quanrique (le vecteur d'état qui évolue dans le sens normal du temps et le vecteur d'état qui évolue à rebrousse temps) sans avoir à abandonner pour autant l'invariance de Lorentz.

invitea77fed85 · 07/05/2015, 22h30

Bonsoir,

Juste un petit mot à destination de ceux parmi vous qui ont pris part à la discussion sur les articles de Stéphane Le Corre sur Ça se Passe Là-Haut, S. Le Corre vient de sortir de son silence pour répondre point par point à toutes les interrogations et réfutations qui avaient été posées, en 5 longs commentaires brillants... Ça devrait vous intéresser... Je ne remets pas l'URL, vous la connaissez.

Eric

Espace temps plat en RR?

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