Tenseur d'inertie, axe propre, intégrale de fonctions impaires, axe de symétrie

[invite270c37bc]

bonjour!

je sais pas si mon sujet est posté au bon endroit (peut être en maths je trouverais plus de réponse) mais néanmoins l'argument de mon message est extrêmement physique et je n'oserais pas embêter des mathématiciens avec de telles préoccupations hahah.

L'idée est que j'étudie les tenseurs d'inertie. Et donc on m'explique que en dimension 3,
le moment d'inertie vaut le produit d'une matrice 3*3 par le vecteur de rotation.


Ensuite on peut expliciter la matrice ( les détails se trouvent ici : http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_...o/grain07.html )

je me pose plusieurs questions.


-Pourquoi un opérateur linéaire peut représenter un moment d'inertie ?


-si j'ai bien compris chaque élément de la matrice correspond à une coordonnée de rotation couplée à une coordonnée de l'objet ( rotation selon x avec la position x, puis rotation selon x mais position y etc...). Mais pourquoi dans cette idée la matrice serait symétrique? Et pourquoi les termes diagonaux correspondent à des distances ?

Enfin pourquoi si on effectue un chgmt de base pour arriver sur des axes de symétries comme base, on trouve uniquement une diagonale ? Ils disent que cela est dû à l'idée d'intégrale de fonctions impaires ( ce qui est logique dans la mesure où l'objet possède un axe de symétrie. Mais là justement un axe de symétrie n'impliquerait pas que la fonction est paire? ).
Réciproquement, si un système n'admet pas d'axe de symétrie, cela signifie t-il que son tenseur d'inertie n'est pas diagonalisable?

merci d'avance pour vos réponses

sleinininono
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[invite270c37bc]

si je puis me permettre, j'aimerais rajouter ces interrogations suivantes:


pourquoi a-t-on choisi cette expression pour le moment d'inertie ? I = somme des masses fois une longueur ( dans un modèle discret ).

Par ailleurs qu'est ce que signifie qu'une valeur propre du tenseur vaut 0?



je vous remercie encore une fois et vous souhaite de bonnes fêtes !

[0577]

Bonjour,

Et donc on m'explique que en dimension 3,
le moment d'inertie vaut le produit d'une matrice 3*3 par le vecteur de rotation.

Ce n'est pas le moment d'inertie mais le moment cinétique qui s'exprime de cette façon.

pourquoi a-t-on choisi cette expression pour le moment d'inertie ? I = somme des masses fois une longueur ( dans un modèle discret ).

Un moment d'inertie n'est pas une masse fois une longueur mais une masse fois une longeur au carré.

Les réponses aux autres questions se trouvent essentiellement dans le document en lien dans la question. La question de départ est: comment exprimer le moment cinétique d'un solide en fonction du vecteur rotation? Par application des définitions du moment cinétique et du vecteur rotation, un petit calcul montre que le moment cinétique s'exprime en fonction du vecteur rotation par application d'une transformation linéaire qui est par définition le tenseur d'inertie.

Le tenseur d'inertie est une matrice symétrique à coefficients réels. Une matrice symétrique à coefficients réels est toujours diagonalisable en une base orthonormée, i.e. il existe toujours un choix d'axes de coordonnées tel que la matrice du tenseur d'inertie est diagonale. Si les trois valeurs propres du tenseur d'inertie sont distinctes, alors un tel système d'axes de coordonnées est unique et les axes correspondants sont appelés axes principaux du solide. Le document en lien semble identifier "axes principaux" et "axes de symétrie": je pense que c'est une erreur de terminologie. Un solide "générique"(comme un ellipsoïde de paramètres a,b,c distincts) n'a pas d'axe de symétrie mais a toujours trois axes principaux. Si un solide a une symétrie de révolution autour d'un axe, alors au moins deux des valeurs propres sont égales.

Si une des valeurs propres est nulles, cela signifie que le solide est en fait unidimensionnel, i.e. contenu dans une droite. Il ne peut pas y avoir exactement deux valeurs propres nulles (du moins si toutes les masses du système sont positives...) et si les trois valeurs propres sont nulles, cela signifie que le solide est en fait zéro-dimensionnel, i.e. réduit à un point.

Pour obtenir une bonne compréhension conceptuelle du tenseur d'inertie, un exercice intéressant (peut-être trop difficile étant donnée la question initiale mais destiné alors à d'autres lecteurs) est d'étudier l'analogue du tenseur d'inertie lorsque la dimension d'espace n'est pas 3 mais un entier positif arbitraire.

[invitef29758b5]

Mais pourquoi dans cette idée la matrice serait symétrique?

Regarde la définition des produits d' inertie .
Ils sont forcément symétriques .

Et pourquoi les termes diagonaux correspondent à des distances ?

Les termes diagonaux ou pas ont tous la même dimension : M.L²

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite270c37bc]

merci à vous pour vos réponses.

A la lumière de vos réponses et d'un retravail sur la notion, je me permets de reformuler mes questions :


-Pourquoi un opérateur linéaire peut représenter un moment cinétique ? J’ai pas vraiment l’impression que c’est linéaire.
La piste que j’ai c’est que un torseur représente la dérivation d’une base et c’est antisymétrique. Et ce que l’opérateur d’inertie c’est deux dérivations (une rotation d'angle pi ) ce qui expliquerait pourquoi l’endomorphisme est symétrique ?




-si j'ai bien compris chaque élément de la matrice correspond à une coordonnée de rotation couplée à une coordonnée de l'objet ( rotation selon x avec la position x, puis rotation selon x mais position y etc...). Mais pourquoi dans cette idée la matrice serait symétrique? Et pourquoi les termes diagonaux correspondent à des distances à des axes alors que les autres non? On reconnait la forme caractéristiques x^2 + y^2 = z^2 seulement sur la diagonale.
En fait dans le document, ils disent que les autres termes indiquent qu'on a pas choisi un axe de symétrie... mais ils expliquent pas ce qu'ils représentent...




-Enfin pourquoi si on effectue un chgmt de base pour arriver sur des axes de symétries comme base, on trouve uniquement une diagonale ? Ils disent que cela est dû à l'idée d'intégrale de fonctions impaires ( ce qui est logique dans la mesure où l'objet possède un axe de symétrie. Mais là justement un axe de symétrie n'impliquerait pas que la fonction est paire? ).
-Réciproquement, si un système n'admet pas d'axe de symétrie, cela signifie t-il que son tenseur d'inertie n'est pas diagonalisable?



-Par rapport à cette histoire de valeur propre, on a que si on a un axe c'est qu'il y a symétrie. Mais alors si on prenait un objet sans axe de symétrie, le tenseur d'inertie n'aurait aucune valeur propre non? en mode une étoile courbée (shuriken)
Vous proposez de ne pas faire l'amalgame entre axes de symétries et axes principaux... peut être que là se trouve la réponse ? comment définiriez vous un axe principal? Par rapport à l’ellipsoïde (le cachet de pharmacie), je vois clairement des plans de symétries...


merci de votre lecture

bonne soirée!

[invite270c37bc]

d'ailleurs j'avais trouvé ces slides très intéréssantes sur un autre sujet du forum :

http://slideplayer.fr/slide/5525315/

et je viens de voir la notion de produits d'inertie. Alors oui à partir de cela on comprend que la matrice est symétrique, mais j'aimerais savoir pourquoi conceptuellement elle l'est.
Par ailleurs quand je parle des termes non diagonaux je parle justement de ces produits d'inertie, quelle est leur origine?
le dernier message sur ce post m'a plutôt aidé http://forums.futura-sciences.com/ph...-dinertie.html , mamomo666 reprend les calculs d'une autre façon et j'ai enfin compris d'où les termes de la matrice proviennent.



et donc pour corriger mon précédent message, en fait un objet non symétrique (le shuriken par exemple) n'aura tout simplement pas de base de diagonalisation ? autrement dit les produits d'inertie ne peuvent valoir 0?

[albanxiii]

La discussion se continue là bas http://forums.futura-sciences.com/ma...-impaires.html pour les intéressés.
Doublons interdits pour mémoire.