Question: modes propres apparaissant en régime forcé

invitec2d3c7fb · 12/07/2019, 20h35

Bonjour à tous
Dans le cadre d'un travail, je résous l'équation des ondes homogène 1d $\text{[math]}$ sur un domaine borné ]0,1[ avec les conditions au bord suivantes:

-terme source $\text{[math]}$
-Dirichlet homogène $\text{[math]}$
Les conditions initiales sont mises à $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . L'idée est de voir ce que donne sur ce domaine l'apparition continue de l'excitation par le terme source.

J'ai principalement deux questions à ce sujet.

-Les CI vous paraissent-elles bien posées? Le fait est qu'à l'instant t=0 la solution vaut 0 et a manifestement une dérivée temporelle nulle.

-Je vois dans diverses résolutions (type corde de Melde avec régime forcé) que la solution s'écrit comme une onde stationnaire calée sur la pulsation source forcée $\text{[math]}$ .

Je suis d'accord avec leur résolution sur les calculs, mais quand j'implémente le problème (Matlab), je ne trouve pas du tout cela. Ce que je trouve est une solution non stationnaire, et ce n'est pas une question de régime transitoire. Le code converge et la solution même en temps long n'est pas une onde stationnaire. Le point intéressant est que quand je regarde la FFT, j'obtiens comme attendu un pic en $\text{[math]}$ mais aussi sur les modes propres du système $\text{[math]}$ . Et le code FFT converge également et mon échantillon est suffisamment long.

Soit mon approche est fausse et la solution précédente est unique, soit la solution générale s'écrit, selon ce que je trouve, comme somme de la formule précédente et des ondes stationnaires issues des modes propres (valeurs propres du Laplacien en domaine borné), solutions de l'équation pour conditions homogènes de Dirichlet en 0 et 1.
Alors en effet de telles conditions au bord sont artificielles, mais à mon sens la source génère continuellement l'excitation du système, et forme à chaque instant une CI à un problème commençant à ledit nouvel instant, et donc fourni aussi le phénomène du régime libre qui fait justement apparaître les modes propres.

Comme si l'excitation forcée impose le rythme, mais excite aussi les modes propres voisins.
Merci d'avance, cela me débloquerait beaucoup!

invitec2d3c7fb · 12/07/2019, 23h48

Correction: la solution donnée plus haut, trouvée abondamment sur internet, correspond à une source en $\text{[math]}$ et non en $\text{[math]}$ , mais ce n'est pas la question.

Le fait est qu'en résolution d'edo ou même d'edp, mathématiquement la solution est constituée de la somme de la/des solutions de l'équation donnée plus celle(s) de l'équation homogène associée.
Or si on considère un membre de droite $\text{[math]}$ à l'équation, tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sinon, et bien j'ai l'impression, sauf erreur de ma part, que le raisonnement précédent fonctionne, et donc que mon approche générale fonctionne, et qui va d'ailleurs dans le sens des résultats numériques.

Suis-je dans le flou artistique? Ou bien cela a-t-il un sens?

invitec2d3c7fb · 13/07/2019, 00h12

Cependant je dois bien avouer que la solution analytique est cohérente dans l'idée, que le résultat est assez instinctif, en régime établi. Mais je pense que cela nécessite que la corde ait toujours été soumise à ce mouvement d'onde stationnaire, sinon la mise en mouvement issue de mon problème génère continuellement du déphasage lors de la réflexion. Et m'est avis que le régime établi "idéal" est alors inatteignable.

azizovsky · 13/07/2019, 11h35

Je crois que la solution que tu'a donné n'est valable que pour les oscillations forcées, il faut ajouté les oscillations libres .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitec2d3c7fb · 13/07/2019, 13h08

Je vois bien, mais concrètement, je force des oscillations sur la borne gauche, donc on est exactement dans le cadre pour lequel la résolution analytique donnée est faite. C'est à mon sens un régime forcé. Et c'est là que ça part en sucette!

azizovsky · 13/07/2019, 16h23

la solution que tu'as donné peut s'écrire en série Fourier sous la forme (à des détail près ...) :

$\text{[math]}$

si $\text{[math]}$ s'approche de $\text{[math]}$ , il y'aura résonance (un $\text{[math]}$ devient plus grand que les autres...), or si $\text{[math]}$ , l'expression n'a pas de sens, il faut chercher une autre expression pour $\text{[math]}$ avec:

$\text{[math]}$ solution des oscillations forcés.

**stefjm** · 13/07/2019, 18h25

S'il n'y a pas d'amortissement, la réponse du système excité à la pulsation propre est en t.sin(t) qui diverge...

**gts2** · 13/07/2019, 19h21

"Les CI vous paraissent-elles bien posées? Le fait est qu'à l'instant t=0 la solution vaut 0 et a manifestement une dérivée temporelle nulle."
Oui mais ces CI sont incompatibles avec la solution en sin(k(1-x))*sin(wt) : pas la bonne dérivée.
(remarque, cette solution est déjà une série de Fourier à un terme : on ne peut développer davantage)
On part donc d'une corde au repos (au début on voit bien que la corde se met progressivement en mouvement) et on a un transitoire qui dure indéfiniment puisqu'en faisant ainsi on
a excité différents modes qui n'étant pas amortis vont rester indéfiniment. (le troisième message est correct)

Deux solutions : une CI qui respecte sin(k(1-x)*sin(wt) et on obtient bien la solution classique ou
introduire un amortissement qui amorti les ordres élevés (mais il faut trouver la bonne équation, les bons paramètres ...)

Pour ce qui est de la divergence, on la voit bien puisqu'on a un transitoire et on voit en effet l'amplitude de l'onde qui augmente avec le temps.

invitec2d3c7fb · 13/07/2019, 22h13

Salut Azizovski merci pour ta réponse. J'ai du mal à comprendre ton développement en série. Comme dit gts2, c'est déjà une projection sur la base de Fourier, en l'état...

invitec2d3c7fb · 13/07/2019, 22h20

@ stefjm
Merci pour ta réponse. Comment trouves-tu le terme en t.sin(t)?

@gts2
Merci aussi. Ta réponse me rassure, je vois mieux ce qu'il se passe. Effectivement on a un transitoire qui dure indéfiniment. Là j'ai deux remarques.
-Les termes effectivement semblent diverger, mais manifestement, par interférence, les ondes parfois se compensent (les coefs de la série font le boulot) et la solution n'explose pas nécessairement. Parfois c'est le cas, en effet (là je parle hors cas de résonance). En résonance en effet on divise par 0 et boum.
-Dans les cas où cela ne diverge pas, il me serait bien intéressant de trouver comment calculer les amplitudes des modes. Je vois numériquement que de tels cas convergents existent, et je ne sais pas comment les identifier (j'imagine que c'est faisable analytiquement) ni comment calculer les amplitudes. On voit par exemple un pic principal en $\text{[math]}$ et des pics sur les modes propres voisins, qui décroissent en s'éloignant. Alors comment quantifier cela?

Merci beaucoup!

azizovsky · 13/07/2019, 22h46

comme c'est les vacances, je donne directement mes sources :

numérisation0001.pdf , numérisation0002.pdf

la formule (66) et (60) pour c=0, i.e une force qui agit au point c=0

à vous de voir

., il est écrit dans les deux derniers lignes du 2ème page

une des deux équation de (66) est la même que celle que tu'as donné pour c=0...., j'ai fait un travail analogique c'est tous....

azizovsky · 13/07/2019, 23h03

J'ai oublié une page intermédiaire numérisation0003.pdf, pour le contexte de la formule (66).

azizovsky · 13/07/2019, 23h22

une remarque, tes conditions aux limites sont un peu

iques, $\text{[math]}$

**gts2** · 14/07/2019, 07h43

Bonjour,
Le problème des formules 60 et 66 est qu'elles donnent u(0,t)=0 lorsqu'on fait c=0 (et même u(x,t)=0).
Autrement dit ce n'est pas le même problème, comme vous l'avez remarqué dans le message précédent, cela a l'air d'être u(0,t)=u(1,t)=0 comme CL et une force appliquée en x=c.
La CL <math>u(0,t)=A \sin (\omega t)</math> n'est pas plus diabolique que çà (physiquement parlant, mathématiquement c'est autre chose) :
on a un vibreur attaché à la corde en x=0, ou une personne qui fait osciller son tuyau d'arrosage fixé au robinet.
On peut par contre retenir de la formule avant (60) au milieu de la page 1 que la réponse est bien constituée du régime forcé et d'un régime libre non amorti.

Question au modérateur : comment écrire des formules mathématiques ? Dans la FAQ, j'ai taper Latex, Math, Formule et elle (la FAQ) m'a toujours aucun résultat.

**gts2** · 14/07/2019, 07h53

Pour garder les conditions initiales et obtenir <math>A'\sin(k(1-x))\sin(\omega t)/\sin(k)<\math>, il faut amortir le régime libre.
Avec un amortissement <math>0.1 \partial_t u<\mat>, on obtient un comportement "compliqué" au début, mais à partir de t=100, on obtient "presque" le comportement attendu (test fait avec <math>\omega=1.5\pi</math>.

azizovsky · 14/07/2019, 09h46

g-J'ai dit diabolique dans le sens où tous ce j'ai exposé n'est pas utilisable dans ce cas, et les CI et CL ne sont pas moins importantes que l'équation du mouvement elle même.
g- le sens physique est évident (j'ai même fait une petite expérience avec la main pour appréhender .... ) , mais l'intégration des CI et CL dans le formalisme est moins évident ...
D-oui, j'ai lu ça (séparation ..u(x,t)=X(x)sin(wt) ), or tous ça donne (66) qui est équivalente à (60) ...(il est écrit, avant l'établissement de l'équation (60): le second a la même fréquence que la force extérieure.on associant le premier terme aux oscillations libres.....
g-pour le latex, aller en mode avancer (en bas à gauche), puis au dessus des image, le dernier des 'menu proposer'

... , il y'a deux carreaux blancs, le premier ...

azizovsky · 14/07/2019, 10h01

Envoyé par azizovsky

(en bas à gauche)

en bas, à droite, je suis un gaucher .

invitec2d3c7fb · 14/07/2019, 10h50

@ azizovski On est d'accord pour le doc. Selon toi, il s'agit bien là de la description générale, comprenant le régime transitoire? (modes propres et libres coexistants). Sinon existe-t-il un référence pour ce papier?

@ gts2 Quelle est la condition d'amortissement que tu utilises?

Sinon selon vous, un régime transitoire non périodique et sans divergence peut-il durer à l'infini (aucun amortissement ni rien)? Ou bien c'est soit stabilisation en régime établi (forcé) au bout d'un temps fini, soit divergence avec transitoire infini?

**albanxiii** · 14/07/2019, 11h16

Bonjour,

Envoyé par gts2

Question au modérateur : comment écrire des formules mathématiques ? Dans la FAQ, j'ai taper Latex, Math, Formule et elle (la FAQ) m'a toujours aucun résultat.

C'est expliqué ici pour les bases https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html
La plupart des commandes de base du mode maths de LaTeX passent sur le forum, si vous ne les connaissez pas, vous pouvez les trouver facilement sur le net.

invitec2d3c7fb · 14/07/2019, 11h55

Car j'ai aussi pris un petit modèle, aux grandeurs comme dans le tien (2Hz, domaine de 8m, pas d'amortissement, cas bien théorique, vitesse de 8m/s). Et le spectre sur un échantillon de 50 secondes est exactement le même que sur celui de 100000s, soit 130h... Et contient modes libres de façon non négligeable et mode forcé.
On a un pattern global assez régulier, type fonction presque périodique (à la sauce sin(pi.x)+sin(sqrt(2)pi.x)) dont les amplitudes sont bornées en VA à environ 3. Donc bel et bien régime transitoire, manifestement non divergent, mais donc fini ou infini?

azizovsky · 14/07/2019, 12h40

J'ai partis dans mes hallucinations

pendant une petite 1/2 heure et j'ai trouvé :

$\text{[math]}$

j'ai les conditions $\text{[math]}$ , le reste , je ne sais pas vérifié , au moins j'ai essayé ...

azizovsky · 14/07/2019, 12h55

une petite correction :

Envoyé par azizovsky

$\text{[math]}$

invitec2d3c7fb · 14/07/2019, 13h00

La condition sur la vitesse initiale ne m'a pas l'air vérifiée dans la formule, si je ne dis pas de bêtise.
Selon toi un régime transitoire dont les amplitudes sont bornées peut-il être de durée infinie?

**gts2** · 14/07/2019, 13h43

"Quelle est la condition d'amortissement que tu utilises ? "

Maintenant que albanxiii m'a répondu (merci), je peux répondre :

$\text{[math]}$

Pour ce qui est des CI et CL diaboliques, on peut y arriver, dans le cas initial sans amortissement, en trichant un peu.
On connait une solution $\text{[math]}$ (c'est là que l'on triche un peu) qui respecte les CL mais pas les CI puisque $\text{[math]}$ .
On pose $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ a comme CL $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , conditions "classiques" et comme CI
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de manière à ce que $\text{[math]}$
On est donc ramené à un problème classique, il "suffit" de développer $\text{[math]}$ en série de Fourier.

"un régime transitoire dont les amplitudes sont bornées peut-il être de durée infinie ?"
Par définition de transitoire, non, mais ici, le régime libre est non amorti et donc durera indéfiniment.
Un "vrai" transitoire doit comporter des termes s'atténuant avec le temps, ce qui est toujours physiquement le cas (dans le cadre de la discussion...).

azizovsky · 14/07/2019, 17h21