Métrique de Schwarzschild nulle ds²(r,t)=0

[azizovsky]

Bonjour, pour une métrique de Schwarzschild , on'a :



si on pose : , pour une variation petite de près de , on trouve:



(1)

on peut éliminé la constante par différentiation on considérons que et comme variable



mais l'équation (1) me pose problème conceptuel, quelle signification physique peut on lui donné ?

Merci d'avance .( la RG n'est pas mon domaine ... )
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[Sethy]

Je me perds un peu dans tes équations, mais il y a (ce qui me semble être) de flagrantes erreurs.

Ecrire une différentielle d'un côté (comme c.dt par exemple) et poser cela égal à une quantité finie (comme Rs + h) me parait un non sens.

[azizovsky]

Je me perds un peu dans tes équations, mais il y a (ce qui me semble être) de flagrantes erreurs.

Ecrire une différentielle d'un côté (comme c.dt par exemple) et poser cela égal à une quantité finie (comme Rs + h) me parait un non sens.

j'ai déjà pensé à ça, mais on 'a , si , équivalente à

(la partie linéaire en dr), le reste n'est que du calcul machinal .

[coussin]

j'ai déjà pensé à ça, mais on 'a , si , équivalente à

(la partie linéaire en dr), le reste n'est que du calcul machinal .

Non, ce n'est pas correct et je suis d'accord avec Sethy. Vous mélangez quantités infinitésimales et non-infinitésimales.
Dans la série de Taylor, ce que vous avez écrit "dx" est (x-x0), quantité non-infinitésimale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Soit g la métrique et u un 4-vecteur. Si , on a :



Dans le cas particulier où le paramètre lambda est l'intervalle s, on a (selon le genre de u, et la signature) et donc :



Ce qui peut se réécrire, par une sorte d'abus de notation :


D'une manière générale, écrire est une notation impropre. On devrait écrire g(u,u)=0 et étudier l'ensemble des vecteurs u qui satisfont cette relation, qui sont, en RG, les vecteurs de genre nuls par définition, autrement dit :


où lambda n'est pas le temps propre, ni l'intervalle

On peut alors par exemple multiplier par :



m@ch3

[mach3]

Suite.

Dans le cas de la métrique de Schwarzschild, on a donc :



Dans le cas où u est dans le sous-espace orthogonal aux 1-formes et ( et ), cela se réduit à :



Si en plus u est de genre nul :







qui est la vitesse coordonnée de la lumière suivant une géodésique radiale de la région I de la géométrie de Schwarzschild en coordonnées de Schwarzschild (signe + dans le cas d'une géodésique sortante, signe - dans le cas d'une géodésique entrante).
On note que cette vitesse coordonnée tend vers 0 quand r tend vers 2M. Cela signifie que t diverge à l'infini quand r tend vers 2M le long d'une telle géodésique radiale nulle.

Il serait abusif d'écrire que le long d'une telle géodésique on a :

bien que ce soit ce qui est souvent fait. Mais c'est bel et bien faux, dr et dt sont des 1-formes, qui font parti d'un espace vectoriel. Ecrire ceci revient à dire qu'elles sont colinéaires, alors que par hypothèse (formule de la métrique) elles sont orthogonales. On a par contre le droit d'écrire :

avec \lambda un paramètre qui évolue le long de la géodésique (et dont la forme générale peut être fixée par l'équation des géodésiques)
Cette équation relie la dérivée directionnelle de r le long de la géodésique à la dérivée directionnelle de t le long de la géodésique. On considérant les développement limités à l'ordre 1 des fonctions et :


avec , , de petites variations de r, t et

Il vient :




et là c'est propre et sans abus car et sont des nombres, nombres qui doivent être petits pour que l'approximation tienne (sinon il faut utiliser le développement limité à un ordre plus élevé).

En particulier, si on a fait les DL au voisinage de et , on aura :


Si j'ai bien compris, là on suppose que est très proche de 2M, tel qu'on pourrait avoir r=2M tout en gardant l'approximation valable :




On sait par ailleurs que t tend vers l'infini quand r tend vers 2M, donc je peux affirmer qu'ici l'approximation ne tient pas car n'est pas petit. Donc cette relation ne vaut rien, il n'y a rien à en tirer.

m@ch3

[azizovsky]

Merci tous, je vais voir ce que je dois rectifier .

PS: Merci bcp mach3 pour l'effort, c'est le seul qui nous reste sur ce forum pour la RG ....

[Sethy]

Merci tous, je vais voir ce que je dois rectifier.

Je ne veux pas enfoncer le clou mais prend le temps de bien clarifier les notions de différentielles, etc.

Fait aussi attention aux "changements de variables" qui peuvent masquer les choses, comme quand tu introduis la variable h dans ton raisonnement. C'est bien l'introduction de ce h qui te sert justement à masquer le problème de la différentielle. D'ailleurs, une différentielle ne devrait jamais être remplacée par quelque chose qui n'est pas du même ordre. Le dernier message de mach3 en est un parfait exemple.

On est sur un forum et c'est donc sans conséquences.

[mach3]

PS: Merci bcp mach3 pour l'effort, c'est le seul qui nous reste sur ce forum pour la RG ....

N'exagerons rien, il reste encore quelques autres contributeurs bien compétents sur le sujet (0577, yves, didier et désolé pour d'autres que j'oublie forcément).

m@ch3

[azizovsky]

N'exagerons rien, il reste encore quelques autres contributeurs bien compétents sur le sujet (0577, yves, didier et désolé pour d'autres que j'oublie forcément).

m@ch3

Oui, c'est vrai, j'étais absorbé par les développements que tu'as posté, revenons à nos moutons, je crois que j'ai compris mon erreur: déjà par exemple la fonction :

avec quand , la dérivée à n'a pas de sens. Comme tu l'a mentionné, c'est comme dériver (orthogonaux, le b.a.-ba de la dérivation...), j'ai pas fait attention à quand ..

Pendant quand on y'est, j'ai une autre question, on'a et je garde tous ce qui a dans la métrique : https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A..._Schwarzschild , on'a :



est ce que ce dl en RG et le ds en RR pour R(s)=0 ?

Pof, au lieu d'aller en mode avacer, j'ai envoyé...

[azizovsky]

Pour , on a : est ce que ce et le de la RR ou, il y'a quelque chose qui m'échappe car déjà on a supposé ? Merci .

ps: il y'a un - devant dr dans le précédent message et un dt dans le 2 ème membre de l'équation

[mach3]

Peux-tu reposter ton message en te relisant cette fois, parce qu'en l'état je n'y comprends rien (trop d'erreurs?). On effacera ton message précédent pour ne pas faire doublon.

m@ch3

[azizovsky]

on'a supposé que et je garde tous ce qui a dans la métrique nulle : https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A..._Schwarzschild , on'a :



si , on'a:


est ce que c'est la métrique de Minkowski ou je mélange tous ? (car déjà on'a un )

[mach3]

Si on fait tendre le rayon de Schwarzschild vers 0 (ou à l'inverse, qu'on considère des valeurs de r très très élevée devant le rayon de Schwarzschild), oui, on obtient la métrique de Minkowski, exprimée en coordonnées sphériques :



m@ch3

[coussin]

C'est faux. Vous avez la fâcheuse habitude d'ajouter des différentielles où il n'en faut pas...

[azizovsky]

Si on fait tendre le rayon de Schwarzschild vers 0 (ou à l'inverse, qu'on considère des valeurs de r très très élevée devant le rayon de Schwarzschild), oui, on obtient la métrique de Minkowski, exprimée en coordonnées sphériques :



m@ch3

Ecrite comme ça, la formule ne me parle pas du tous, j'essaye de faire une connexion avec la RG d'après ce que je comprend en RR , mais je ne suis pas encore arrivé depuis des années ...., je pose et pour simplifier je garde qu'une seule angle , on a :

pour un grand comme tu 'as dit .

Que représente ce car je peut poser , cela devient :



or on 'a déjà supposé .

Désolé, ma compréhension est lente mais efficace .

C'est faux. Vous avez la fâcheuse habitude d'ajouter des différentielles où il n'en faut pas...

Oui, quelque que fois je suis débordé : un ou deux livres de maths pour vérifier..., le PC, un livre de physique avec d'autres notations et mes pauvres raisonnement sur quelques papiers....

[mach3]

Ecrite comme ça, la formule ne me parle pas du tous,

c'est la même chose que



On a simplement remplacé la partie spatiale (qui est la métrique d'Euclide) exprimée en coordonnées cartésienne, , par son expression en coordonnées sphérique .

Si on est en genre nul, on peut écrire, abusivement, ds=0 et il vient



ou encore



Plus proprement, c'est qu'il faut considérer et cela donne :



Je ne comprend pas bien la suite.

m@ch3

[azizovsky]

Merci, j'essayerai de reformuler ma question si c'est possible.(je suis déjà dessus depuis plus de 3 heurs ...)

ps: c'étais toujours ma bête noire

[Sethy]

Merci, j'essayerai de reformuler ma question si c'est possible.(je suis déjà dessus depuis plus de 3 heurs ...)

ps: c'étais toujours ma bête noire

Ce que je pense ... mais visiblement ce que je pense ... c'est qu'avant d'écrire un tas d'équation, il faudrait déjà pouvoir expliquer avec des mots le but de cet exercice.

J'ai quelques notions de RG (j'ai regardé 3x les vidéos de Richard Taillet, en refaisant tous les calculs et en appliquant à d'autres systèmes de coordonnées) mais je suis bien incapable de sentir ce que poser représente "physiquement".

Et encore moins bien sûr, de sentir la nuance de développer par rapport à d.

Donc ma question est simple, pourquoi poser ?

[mach3]

est un paramètre "générique" d'une ligne de l'espace-temps, c'est à dire une suite continue d'événements étiquetés par .
A minima, on demande que ce paramètre soit monotone le long de la ligne, mais il n'a alors aucun sens physique a priori.

Dans le cas d'une géodésique (qu'elle soit de genre temps, nul ou espace), on va demander à ce que le paramètre soit "affine", afin que l'équation des géodésiques ait une "bonne tête" :

Si il n'est pas affine, alors elle aura une forme différente par exemple :
(cas où on utilise le temps coordonnée comme paramètre sur une géodésique de genre temps)

Quand le paramètre est affine, il prend un sens physique particulier.

Quand la géodésique est de genre temps, le paramètre affine est une fonction affine du temps propre qui s'écoule le long de la géodésique : , avec a qui définit alors l'unité de temps et b l'origine des temps.

Quand la géodésique est de genre espace, le paramètre affine est une fonction affine de la longueur propre mesurée le long de la géodésique (idem, un coefficient définit l'unité de longueur et un coefficient définit l'origine).

Dans les deux cas, le paramètre affine est donc une fonction affine de l'intervalle d'espace-temps, s. Il est pratique de généraliser et de paramétrer toute ligne (pas forcément géodésique) de genre espace ou de genre temps par l'intervalle ou une fonction affine de l'intervalle. Cela permet par exemple d'exprimer la 4-vitesse, 4-vecteur tangent de norme unité (ou c, tout dépend justement du coefficient dans le paramètre affine) à une ligne d'univers de genre temps comme
, avec les vecteurs de base et les coordonnées de la 4-vitesse.

Quand la géodésique est de genre nul, c'est plus corsé, car l'intervalle d'espace-temps ne varie pas le long de la géodésique. C'est ce que l'on peut noter maladroitement ds=0, ou proprement :

Le paramètre affine ne peut plus être défini via l'intervalle. Il se retrouve défini par l'équation des géodésiques elle-même (on démarre de l'équation des géodésiques avec une bonne tête et on recherche une forme satisfaisante pour le paramètre), par exemple dans le cas d'une géodésique radiale de genre nul en géométrie de Schwarzschild, le paramètre se trouve être une fonction affine de la coordonnée r de Schwarzschild.

m@ch3

[azizovsky]

Ce que je pense ... mais visiblement ce que je pense ... c'est qu'avant d'écrire un tas d'équation, il faudrait déjà pouvoir expliquer avec des mots le but de cet exercice.

Ok, je reprend dès le début, on'a :

D'après:https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A..._Schwarzschild , on'a :

pour un très grand

soit:



on'a :

je n'arrive pas à 'géométriser' toutes ses conditions dans un même référentiel .

[azizovsky]

est un paramètre "générique" d'une ligne de l'espace-temps, c'est à dire une suite continue d'événements étiquetés par .
A minima, on demande que ce paramètre soit monotone le long de la ligne, mais il n'a alors aucun sens physique a priori.

Dans le cas d'une géodésique (qu'elle soit de genre temps, nul ou espace), on va demander à ce que le paramètre soit "affine", afin que l'équation des géodésiques ait une "bonne tête" :

Si il n'est pas affine, alors elle aura une forme différente par exemple :
(cas où on utilise le temps coordonnée comme paramètre sur une géodésique de genre temps)

Quand le paramètre est affine, il prend un sens physique particulier.

Quand la géodésique est de genre temps, le paramètre affine est une fonction affine du temps propre qui s'écoule le long de la géodésique : , avec a qui définit alors l'unité de temps et b l'origine des temps.

Quand la géodésique est de genre espace, le paramètre affine est une fonction affine de la longueur propre mesurée le long de la géodésique (idem, un coefficient définit l'unité de longueur et un coefficient définit l'origine).

Dans les deux cas, le paramètre affine est donc une fonction affine de l'intervalle d'espace-temps, s. Il est pratique de généraliser et de paramétrer toute ligne (pas forcément géodésique) de genre espace ou de genre temps par l'intervalle ou une fonction affine de l'intervalle. Cela permet par exemple d'exprimer la 4-vitesse, 4-vecteur tangent de norme unité (ou c, tout dépend justement du coefficient dans le paramètre affine) à une ligne d'univers de genre temps comme
, avec les vecteurs de base et les coordonnées de la 4-vitesse.

Quand la géodésique est de genre nul, c'est plus corsé, car l'intervalle d'espace-temps ne varie pas le long de la géodésique. C'est ce que l'on peut noter maladroitement ds=0, ou proprement :

Le paramètre affine ne peut plus être défini via l'intervalle. Il se retrouve défini par l'équation des géodésiques elle-même (on démarre de l'équation des géodésiques avec une bonne tête et on recherche une forme satisfaisante pour le paramètre), par exemple dans le cas d'une géodésique radiale de genre nul en géométrie de Schwarzschild, le paramètre se trouve être une fonction affine de la coordonnée r de Schwarzschild.

m@ch3

Je comprend très bien ce que tu voulais dire, j'ai un 'grand pas' dans la géométrie Riemannienne, ce qui manque, c'est la physique véhiculée (représentée)...

[mach3]

Commençons par du très général. Ce qui suit s'applique à n'importe quelle variété (pseudo-)riemannienne de dimension n, (ce qui comprend entre-autres l'espace-temps, que ce soit de la RR ou de la RG, ainsi que l'espace euclidien).

Prenons le vecteur tangent p à une courbe de la variété, de paramètre , tel que :


sont les composantes de p dans la base

Ce vecteur tangent peut se voir comme la limite quand tend vers 0 d'un morceau de ligne géodésique tracée du point au point de la courbe, divisé par . Il représente donc un déplacement infinitésimal le long de la courbe, divisé par une variation infinitésimale du paramètre (exemple en euclidien 3D, le vecteur vitesse pour une trajectoire paramétrée par le temps).

On peut décomposer ce vecteur tangent en la somme de n vecteurs indépendants, , , etc.
On décompose en fait le déplacement infinitésimal divisé par la variation infinitésimale du paramètre sur n directions dans l'espace-temps (exemple en euclidien 3D, un vecteur vitesse peut se décomposer sur 3 directions de l'espace)

Quand on applique la (pseudo-)métrique sur le couple (p,p), on obtient :



Dans le cas où la base () est orthogonale, l'expression est :



(les sont les composantes du tenseur métrique dans la base (), elle dépendent de cette base, et par définition la base est orthogonale si pour , )

On dit qu'elle est diagonale.

Dans le cas particulier où la base est orthonormale(*), l'expression est :



Si tous les signes devant les termes sont des "+", la variété est Riemannienne, sinon elle est pseudo-Riemannienne et la suite des signes est appelée signature (par exemple pour l'espace-temps, c'est -+++ ou +---). Dans ce dernier cas, la métrique n'est pas une métrique au sens mathématique propre (pour ce faire il faudrait qu'elle soit définie positive), mais une pseudo-métrique (non définie). Il y a des vecteurs non nuls dont le "carré" est un nombre négatif. Pire, il y a des vecteurs non nuls dont le "carré" est nul.

---

Faisons un petit apparté Euclidien pour rappeler certaines choses, et aider à la compréhension de la suite.

En géométrie Euclidienne 3D, avec une base orthonormale, on a :
( est la métrique d'Euclide, le produit scalaire de l'espace euclidien)

Et d'une manière générale, pour une base quelconque en géométrie euclidienne (et même Riemannienne) on a :



On interprétera comme une longueur divisée par l'unité du paramètre (dans le cas d'une trajectoire 3D paramétrée par le temps, c'est donc la norme de la vitesse). Et si on intègre cela entre deux bornes le long de la courbe, on a la longueur de la courbe entre les deux bornes (c'est l'intégrale curviligne) :

(pour une trajectoire 3D paramétrée par le temps, on intègre donc ||v||dt)

Fin de l'apparté euclidien

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Occupons nous maintenant du cas particulier de l'espace-temps de la relativité (restreinte ou générale). 4 dimensions, signature (+---) ou (-+++).
On a une pseudo-métrique (non définie), il y a des vecteurs non nuls dont le "carré" est un nombre négatif, pire, il y a des vecteurs non nuls dont le "carré" est nul.

On parle de genre de vecteur. En signature (-+++) :
-si , p est de genre temps et s'interprète comme une durée propre par unité du paramètre et si on intègre entre deux bornes le long de la courbe, on a une durée propre, celle mesuré physiquement par une horloge le long de ce morceau de courbe.
-si , p est de genre espace et s'interprète comme une longueur propre par unité du paramètre et si on intègre entre deux bornes le long de la courbe, on a une longueur propre, celle mesuré physiquement le long de ce morceau de courbe.
-si , p est de genre nul et il n'a ni longueur ni durée, ou encore, il a une longueur et une durée nulle.

Par définition, une courbe de genre nul (géodésique ou non) est telle qu'en tout évènement de la courbe, un vecteur tangent à la courbe est de genre nul. On aura donc :



Ceci étant posé, on va pouvoir investiguer proprement le cas de figure proposé, mais j'arrête ici pour l'instant.

m@ch3

*: si la base est orthonormale partout et pas seulement au point considéré la base n'est généralement pas associée à des coordonnées (on parle de base non holonomique) et de nombreuses expressions en composantes deviennent plus complexes, des termes liés aux commutateurs des vecteurs de base ne s'annulant plus (notamment celle des symboles de Cristofel en fonction des dérivées partielles des composantes de la métrique). Les cas particuliers sont les bases de Lorentz en espace-temps plat qui sont orthonormales et sont associées aux coordonnées de Lorentz (base holonomique) et les bases cartésiennes en espace euclidien qui sont orthonormales et sont associées aux coordonnées cartésiennes (base holonomique).

[Sethy]

Ok, je reprend dès le début, on'a :

D'après:https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A..._Schwarzschild , on'a :

pour un très grand

soit:



on'a :

je n'arrive pas à 'géométriser' toutes ses conditions dans un même référentiel .

Je me répète, j'ai l'impression que tu ne fais que "jouer" avec les équations. Je ne critique pas, ça m'arrive de faire ça également. Je constate juste.

Pourquoi ne pas simplement poser le mouvement selon un axe, à choisir, prend l'axe "Z", c'est à dire celui où sin(w) vaut 0. En plus, si tu ne considères que le mouvement radial, tu peux immédiatement poser et égaux à 0. Donc est aussi égal à 0.

Cela t'évite d'introduire ce , dont le sens physique n'est pas immédiat.

[Sethy]

Ceci dit, la discussion est intéressante. Je l'ai imprimée et je compte y revenir plus tard. Il y a vraiment matière à réflexion.

[mach3]

Donc revenons à la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques et signature -+++ :



Réarrangeons...



Si c'est nul à gauche, cela signifie :
p est de genre espace et est tangent à une courbe localement orthoradiale et orthochrone (c'est à dire que les évènements du plan osculateur de la courbe au point de tangence ont des coordonnées r et t constantes). La courbe peut par exemple être un cercle centré sur l'origine du repère, tous les évènements du cercle étant simultanés.

Si est nul (cela correspond au cas ds²=0, mais plus ça va plus j’exècre cette notation, la réflexion que je mène en rédigeant ce fil aggrave d'ailleurs mon sentiment à son égard ), p est de genre nul et tangent à une courbe de genre nul, pas d'autres contraintes. Il est décomposable en un vecteur orthoradial et orthochrone, de genre espace, et son "complément" de genre temps. Ce n'est qu'une décomposition parmi une infinité d'autres.

Si est nul, on a . p est un vecteur radial, sans contrainte sur le genre.

Je ne saisis pas trop ce que l'on peut tirer d'une telle décomposition

m@ch3

[azizovsky]

Merci beaucoup Mach3, je vais potasser ce que tu'as écrit, je vais te dire comment je vois les choses:

on'a :

pour simplifier ou imager un peu la géométrie qu'il faut, je prend

pour , on'a l'hyperbole de sommet d'axe de symétrie .

pour , on'a l'hyperbole de sommet d'axe de symétrie

pour --> , on a deux bissectrices...

et pour tous ramasser, il faut une rotation spéciale du référentiel ou je ne sais pas quoi, c'est lourd tous ça ...

[azizovsky]

Je me répète, j'ai l'impression que tu ne fais que "jouer" avec les équations. Je ne critique pas, ça m'arrive de faire ça également. Je constate juste.

Pourquoi ne pas simplement poser le mouvement selon un axe, à choisir, prend l'axe "Z", c'est à dire celui où sin(w) vaut 0. En plus, si tu ne considères que le mouvement radial, tu peux immédiatement poser et égaux à 0. Donc est aussi égal à 0.

Cela t'évite d'introduire ce , dont le sens physique n'est pas immédiat.

je viens de voir ton message, c'est dans les détails que ce cache le , .

[azizovsky]

J'ai quelques notions de RG (j'ai regardé 3x les vidéos de Richard Taillet, en refaisant tous les calculs et en appliquant à d'autres systèmes de coordonnées) mais je suis bien incapable de sentir ce que poser représente "physiquement".

Et encore moins bien sûr, de sentir la nuance de développer par rapport à d.

Donc ma question est simple, pourquoi poser ?

Moi, j'ai potassé des dizaines de livre de géométrie différentielle pour appréhender le sens physique des choses...et je n'arrive pas à me positionner... , d'habitude, on pose , et si on pose

pour des grand r

je suis sur le sol (terre),

on peut la mettre sous forme: (1)

si , on'a (2)


===> ????

[azizovsky]

Je peux concevoir que la vitesse radiale = vitesse sur le sol de la terre (en norme mais orthogonaux), mais où est l'origine du repère temps ? (il ne peut rester le même dans les deux cas ...)