Référentiel-Repère d'espace-Repère de temps

[rinpoche]

Bonjour,

Je suis un peu perdu sur la notion de référentiel en physique. On trouve plein de définitions différentes et je voudrais savoir si quelqu'un a la définition précise.

Futura et d'autres profs indiquent la définition suivante : "Système de coordonnées spatiales, et temporelle auquel sont référées les équations d'un problème physique", bref, l'association d'un repère d'espace (au sens matheux) et d'un repère de temps. Ici, on ne parle pas de l'objet par rapport auquel on étudie le mouvement.

Pour d'autres, le référentiel est l'objet par rapport auquel on étudie le mouvement d'un système quelconque. Le référentiel serait donc un repère d'espace mais au sens littéral du terme "repère" et non dans un sens mathématique. A ce référentiel, on lui colle alors un système d'axes pour repérer le système en mouvement et on prend un chronomètre pour mesurer des durées.

Quelle est la meilleur définition ?
Merci d'avance pour vos contributions.
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[Deedee81]

Salut,

Il n'y a pas de "meilleure" définition. Mais il est vrai qu'il y a pas mal de flou artistique.

Il me semble que :

Pour d'autres, le référentiel est l'objet par rapport auquel on étudie le mouvement d'un système quelconque. Le référentiel serait donc un repère d'espace mais au sens littéral du terme "repère" et non dans un sens mathématique. A ce référentiel, on lui colle alors un système d'axes pour repérer le système en mouvement et on prend un chronomètre pour mesurer des durées.

C'est la définition la plus courante en physique. Valable en physique classique ou en relativité restreinte (en relativité générale c'est beaucoup plus compliqué).
Et on y colle une structure d'espace vectoriel (au sens mathématique cette fois).

Les systèmes de coordonnées peuvent alors être utilisés : cartésiens, polaires, cylindriques, paraboliques, sphériques... Y en a des tonnes.

Mais oui, j'ai déjà vu bien des définitions différentes !!!!

Laisse d'autres répondre. Vu le flou sur cette notion, d'autres avis sont bienvenus.

Parfois on parle aussi de référentiel comme "référentiel de l'objet X = repère dont l'origine est cet objet". Mais là aussi il y a du flou artistique (et encore plus sur repères relatifs, privilégiés, absolus).

[mach3]

Bonsoir,

Voici la définition que je me suis construite au fil du temps par l'étude des relativités restreinte et générale ainsi que la reformulation de la physique classique qu'a amenée cette dernière (Newton-Cartan). Newton-Cartan, RR et RG, sont trois théories cadres parmi d'autres où la notion de référentiel peut constituer un outil utile.

On considère l'ensemble des événements (des couples lieu-date) de l'espace-temps comme une variété à 4 dimensions (dont les propriétés dépendent de la théorie cadre). Les mouvements y sont des suites continues d'événements : les lignes d'univers (ce qui autorisé comme mouvement et donc comme ligne d'univers dépend de la théorie cadre).

Un référentiel c'est :

-un ensemble de lignes d'univers qui remplissent intégralement l'espace-temps (ou au moins une partie de), telles qu'elles ne se coupent jamais et restent disposées les unes par rapport aux autres identiquement d'un bout à l'autre à certaines transformations non singulières près (rotation, cisaillement, dilatations ou compressions suivant divers axes...), c'est à dire qu'elles gardent toujours le même voisinage. Cet ensemble définit les "lieux" du référentiel. Deux évènements qui se produisent sur une même ligne d'univers appartenant à cet ensemble se produisent "au même lieu" ou encore "au même endroit" dans ce référentiel. Un objet dont tous les points ont une ligne d'univers qui fait partie de l'ensemble qui défini le référentiel est "immobile" dans le référentiel (il reste continuellement au même lieu, au même endroit, dans le référentiel). C'est cela qui fait que, par raccourci, on associe un référentiel à un objet dans bien des cas, mais cette association n'est pas obligatoire.
En terme technique cet ensemble de lignes d'univers est appelé un "fibré". Cet ensemble de lignes EST l'espace selon le référentiel. On note que suivant la théorie cadre, toute ligne d'univers n'est pas forcément acceptable pour la construction d'un référentiel cohérent (celles dites de genre nul sont exclues dans les relativités restreinte et générale)

-un ensemble d'hypersurfaces (3D donc), tels qu'elles ne se touchent, ni ne se coupent jamais, tout en remplissant intégralement l'espace-temps (ou du moins une partie de). Cet ensemble défini les dates du référentiel. Deux évènements qui se produisent sur la même hypersurface ont lieu à la même date dans le référentiel, ils ont lieu en même temps. En terme technique c'est également un fibré. Cet ensemble EST le temps selon référentiel. On note qu'en physique classique (Newton-Cartan) il n'existe qu'un seul ensemble pertinent de telles hypersurfaces, celles compatibles avec le temps absolu.

Un référentiel est donc une double fibration de l'espace-temps.
Le référentiel est une construction mathématique artificielle (même si elle peut être construite sur la base d'un objet réel, lequel serait donc immobile dans le référentiel ainsi construit). Le référentiel sert de cadre ("frame" en anglais, qui est justement le mot pour "référentiel" dans cette langue) pour appuyer la description des phénomènes. On peut d'ailleurs le munir de divers systèmes de coordonnées (et inversement, certains systèmes de coordonnées peuvent permettre de définir un référentiel) pour aller plus loin dans la description numérique des phénomènes, mais référentiel et système de coordonnées ne doivent pas être confondus.

m@ch3

[markusbloch]

Je cherche des références de métriques où les coordonnées d'espace et de temps peuvent permuter leur rôle, les coordonnées d'espace devenant à un moment donné les coordonnées de temps,et les coordonnées de temps devenant les coordonnées d'espace. Merci pour une réponse

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

L'exemple classique est les coordonnées de Schwarzschild de la géométrie de Schwarzschild. Dans ces coordonnées, la métrique s'écrit :

(avec , la métrique de la sphère, et une signature +---)

Cette métrique est définie dans deux régions disjointes de l'espace-temps, l'une où r>2M (appelée l'extérieur) et l'autre où r<2M (appelée l'intérieur), la frontière entre les deux régions (r=2M) n'étant pas couverte dans ce système de coordonnée (singularité de coordonnée).

On voit qu'à l'extérieur, t est une coordonnée temporelle (coefficient positif devant dt²) et r une coordonnée spatiale (coefficient négatif devant dr²), alors qu'à l'intérieur, r est une coordonnée temporelle et t une coordonnée spatiale (les deux coordonnées angulaires cachées dans étant des coordonnées spatiales dans les deux cas).

L'utilisation des mêmes lettres t et r pour l'intérieur et l'extérieur peut être critiqué :
- la seule raison de cet usage étant d'avoir la même écriture pour la métrique à l'intérieur et à l'extérieur et donc des formules de changement coordonnées identiques pour l'intérieur et l'extérieur.
- cet usage crée beaucoup de confusions chez les apprenants (du genre s'imaginer que le temps devient de l'espace et l'espace du temps...)

m@ch3

[markusbloch]

merci! ce qui me pose problème, c'est le terme en r²! si la coordonnée spatiale devient t, est-ce qu'il faut l'écrire t² à l'intérieur?

[Deedee81]

Salut,

merci! ce qui me pose problème, c'est le terme en r²! si la coordonnée spatiale devient t, est-ce qu'il faut l'écrire t² à l'intérieur?

Ca reste r² si tu gardes les notations habituelles (en étant conscient que sous l'horizon r est une variable temporelle). Et si tu changes les notations pour que la variable temporelle soit notée t sous l'horizon, alors tu dois aussi écrire t². C'est juste un jeu décriture : remplacer une lettre par une autre. La géométrie sous l'horizon étant on s'en doute assez particulière.

Note que tu peux t'éviter ces complications/confusions en utilisant une métrique qui n'a pas ce soucis. La métrique de Kruskal-Szekeres par exemple.

Concernant les confusions signalées par mach3, ça va trèèèès vite, et pas que chez des apprenants ou des amateurs. J'ai lu un article sur le rayonnement de Hawking (un rayonnement technique, pas de la vulgarisation, sur ArXiv) ou l'auteur commettait l'erreur. Ca m'a scié. Il faut être fort prudent avec la comparaison "physique - math" en RG.

Question par curiosité : tes questions dans ce fil sont bien normales (le sujet est difficile à maîtriser, ça demande pas mal d'effort et de travail) mais pourquoi cherches-tu spécialement "des références de métriques où les coordonnées d'espace et de temps peuvent permuter leur rôle" ??? En général on cherche plutôt l'inverse

[jacknicklaus]

Bonjour, ce qui vous pose problème, c'est de vous attacher à des lettres (r et t) et à vouloir leur attribuer une signification pour r<2GM.

A l'extérieur (r> 2GM), leur signification est claire car pour r très grand, retrouver une situation Newtonienne est souhaitable. En revanche, à l'intérieur... Prenez plutôt u et v comme nom de coordonnées, si ca peut aider à éviter de penser que le temps devient de l'espace et inversement. N'oubliez pas que ce qui se passe à r = 2GM en métrique de Schwarzschild n'est pas une singularité, mais un artefact lié aux choix de ces coordonnées. Bref, ne cherchez pas à faire dire aux coordonnées de Schwarzschild plus qu'elles ne peuvent le faire.

[Deedee81]

Prenez plutôt u et v comme nom de coordonnées

A ne pas confondre cette fois avec les coordonnées "nulles" (on utilise souvent u et v) Non je plaisante, ton conseil est très bon.

[markusbloch]

Je comprend bien qu'il ne faut pas chercher à faire dire à des coordonnées ce qu'elles ne peuvent dire par principe, puisque ce sont des coordonnées arbitraires. Je cherche seulement à comprendre les règles de commutation sur un plan purement mathématique. C'est pourquoi je m'attache à essayer de comprendre ce que devient la formulation de l'intervalle sur le plan de la pure logique mathématique, en faisant abstraction de toute interprétation physique. Lorsque t devient variable spatiale et r variable temporelle, et que l'on ne change pas leur écriture dans les différentielles, il me semblait logique que le terme en r² devienne t², étant donné que ce terme ne peut pas être temporel. Ce raisonnement est-il erroné?

[Deedee81]

Ce raisonnement est-il erroné?

Oui.

Tu dis "ce terme ne peut pas être temporel" ce qui est faux (ça dépend de la géométrie, qui n'est pas la simple géométrie sphérique euclidienne 4D sous l'horizon !!!! Si c'était le cas il n'y aurait pas d'horizon).

J'insiste les "règles de commutation sur un plan purement mathématique" pour te citer sont d'une simplicité enfantine "choisir une lettre pour désigner une grandeur". C'est tout, ni plus ni moins, aucune "règle purement mathématique" en soi. Suis le conseil de Jacknicklaus : remplace r et t par u et v.

[mach3]

Dans la métrique de Schwarzschild, le terme au carré devant la métrique de la sphère, peu importe comment on le note et peu importe qu'il soit une coordonnée temporelle ou spatiale, est le rayon aréal, que j'aime bien noter A.
Il est tel que si on prend tous les événements de même coordonnées r et t (de même coordonnées non angulaires si on veut éviter de nommer r et t) on obtient une sphère dont le périmètre est et la surface , c'est à dire les mêmes périmètre et surface qu'une sphère de rayon A dans l'espace euclidien.

Si on conserve les notations usuelles, à l'extérieur, le rayon areal correspond à la coordonnée spatiale r et à l'intérieur le rayon areal correspond à la coordonnée temporelle r.

m@ch3

[markusbloch]

Je crois que cette réponse correspond bien au problème que je me posais. Est-ce que l'affirmation suivante est vraie: " dans une métrique, si les deux termes en dt² et dr² changent simultanément de signe, automatiquement r devient la coordonnée temporelle et t devient la coordonnée spatiale, tous les termes en r deviennent temporels, et tous les termes en t spatiaux, et cela même s'il n'y a pas de singularité au niveau du changement de signe"?

[mach3]

dans une métrique, si les deux termes en dt² et dr² changent simultanément de signe, automatiquement r devient la coordonnée temporelle et t devient la coordonnée spatiale

Le genre d'une coordonnée se lit directement dans le signe du coefficient associé dans la métrique. En signature +---, si le coefficient est positif, la coordonnée est de genre temps, s'il est négatif elle est de genre espace, et s'il est nul elle est de genre nul

tous les termes en r deviennent temporels, et tous les termes en t spatiaux

Pas sûr de bien comprendre ce qui est entendu ici. C'est quoi "tous les termes en r" ?

cela même s'il n'y a pas de singularité au niveau du changement de signe"?

Il y a deux possibilités pour que les coefficients changent de signe : soient ils passent par 0, soit ils divergent. Si au moins l'un des deux diverge, on a une singularité de coordonnée. Si les deux s'annulent, je ne suis pas tout à fait sûr, mais il me semble bien qu'il y a aussi une singularité de coordonnées (à condition qu'il n'y ait pas de terme rectangle en drdt).

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

Si les deux s'annulent, je ne suis pas tout à fait sûr, mais il me semble bien qu'il y a aussi une singularité de coordonnées (à condition qu'il n'y ait pas de terme rectangle en drdt).

Je confirme. L'exemple typique sont les coordonnées polaires, singulières (mais pas divergentes) en l'origine.

Et je confirme aussi que l'important est la signature de la métrique, pas le signe des variables. Ainsi une signature (+---) et une signature (-+++) c'est kif kif bourricot, la coordonnée temporelle est la première. Et passer de (+---) à (-+--) n'est pas possible de manière continue sans passage par une singularité (les variétés correspondantes ne sont pas homéomorphes en langage plus topologique). Et la singularité doit être géométrique/liée à la variété. Une singularité des coordonnées ne suffit pas car celle-ci peut être due simplement à une mauvais choix de cartes pour décrire la variété ou à un choix inappropriés de coordonnées. Il se fait que tant les grandeurs physiques (les coefficients du tenseur de Riemann-Christoffel par exemple) que certains choix de métriques (comme KS) ne présentent aucune singularité sur l'horizon et donc il ne peut y avoir de changement temps<->espace au sens physique (seulement au sens de coordonnées en choisissant des lettre inappropriées pour désigner les grandeurs physique, comme si je disais "mon chat fait ouaf ouaf" simplement parce que je ne l'ai pas appelé comme il convient ). La seule chose que ça montre (avec Schwarzschild c'est flagrant) est que la géométrie sous l'horizon est très particulière et très différente de celle hors horizon.

Toute cette tartine matinale (désolé, je me sens en verve ) pour arriver à la remarque suivante. Si on veut étudier les règles mathématiques (et pas nécessairement physiques) de changement de signes, métriques, sens des variables : le domaine maître est la géométrie différentielle et la topologie différentielle. C'est pas des domaines faciles. Mais ils ne sont pas inabordables (tout ceux qui ont potassé sérieusement la RG y ont touché peu ou prou).

Il y a rien à faire, faut y passer, les trous noirs c'est pas décrit par l'algèbre de bon papa. Et je déconseille les approches purement algébriques (montrant les tenseurs comme des matrices et ne travaillant qu'en composantes). Je suis passé par là et on se rend compte par après que c'est assez trompeur. Mieux vaut bien démarrer que rectifier

Un super bon début de point de vue :
https://www.dunod.com/sciences-techn...cices-corriges
Et pour suivre :
https://www.amazon.fr/Gravitation-Ch.../dp/0716703440

C'est très classique.

[Deedee81]

Si on veut étudier les règles mathématiques (et pas nécessairement physiques)

Et si on s'intéresse aux aspects physiques : la coordonnée est-elle temporelle ou pas ? (ça me semble quelque peu inévitable sinon la question temps<->espace n'a guère de sens), ça demande au minimum de comprendre ce que signifie espace et temps.

Ca peut se voir en trois étapes :
- L'espace et le temps comme simples coordonnées. Là on est plutôt en math, on rejoint ce qu'on disait plus haut, et le lien avec la physique est assez simple (choix de référentiels, métrologie...)
- Différences physiques entre les deux : signes de métrique, causalité relativiste : intervalles spatiaux, temporels, trajectoires de type temps etc... Là aussi ça rejoint ce qu'on disait et à nouveau au sens physique c'est pas trop dur (mais bon, là, on est quand même en relativité, rarement intuitive)
- Direction du temps : la flèche du temps, et là on dépasse le domaine dont on discute : on entre dans le domaine de la thermodynamique et de la physique statistique. La compréhension de ces aspects là est importante ne fut-ce que pour ne pas tout mélanger (j'ai déjà vu trente-six fois des confusions entre "signe de la variable t" et "flèche du temps", comme si on pouvait fabriquer une machine à aller dans le temps en montant la bobine de cinéma à l'envers sur le projecteur. non, non, la Deloréan n'a pas juste une boite de vitesse montée à l'envers )

C'est aussi pour ça que je pense qu'il est totalement illusoire de se poser des questions sur le sens du temps en relativité générale.... sans avoir étudié (et pas de la vulgarisation) toute la physique qui "précède". On peut quand même faire l'impasse sur la physique quantique, c'est déjà ça Mais ça reste quand même volumineux.

Donc :
- Bien se fixer ses objectifs
- Ne pas sauter les étapes
Mais heureusement quand on aime la physique, tout ça reste un plaisir, même s'il y a beaucoup de chemin.
(moi j'avais pris le livre Gravitation comme livre de chevet pendant un temps et le poids sur mon estomac n'était pas celui de la physique mais celui du livre )

[markusbloch]

Encore merci pour tous ces éléments détaillés. J'aurais encore une question concernant les formes des métriques de Schwarzschild contenant des termes en t, comme celle de Kruskal, ou bien d'autres métriques que celle de Schwarzschild contenant des termes en t. On peut calculer des intégrales d'intervalles de temps réel pour ces métriques, mais pas des intégrales de distance réelle. Existe-t-il malgré tout des méthodes approchées permettant de calculer un ordre de grandeur correct de distance réelle (par exemple calculer une borne inférieure et une borne supérieure) dans certains cas particuliers , si les métriques ont certaines caractéristiques ? Je pense en particulier à la métrique de Kruskal, pour laquelle on peut faire un calcul exact en la retransformant en métrique de la tortue; on pourrait penser (???) que pour faire un calcul direct de distance sur la forme en t, il existe une façon de: ou bien définir une ligne d'univers approchée pour l'intégration, ou bien réaliser un calcul de moyenne sur un ensemble de ligne d'univers.

[mach3]

J'ai beaucoup de mal à comprendre la question...

Déjà que signifie exactement "les formes des métriques de Schwarzschild contenant des termes en t" ? Ca concerne les systèmes de coordonnées comportant le t de Schwarzschild (mais ça exclut kruskal alors), ou ceux comportant une coordonnée temporelle (ce qui, même si pas obligatoire, est quand même très courant) ?

On peut calculer des intégrales d'intervalles de temps réel pour ces métriques, mais pas des intégrales de distance réelle

Si j'intègre le long d'une ligne de genre espace, n'importe laquelle, j'obtiens la longueur réelle de cette ligne, et cela quelque soit le système de coordonnées. Je ne comprends pas l'affirmation citée. Il doit y avoir un sous-entendu qu'il faudrait exprimer en clair. Et cela me bloque pour comprendre la suite...

m@ch3

[markusbloch]

Je me suis mal exprimé; je voulais simplement faire référence au calcul (possible ou impossible ?) de la distance réelle pour des métriques contenant des coefficients dépendant explicitement de la coordonnée temps, et ma référence à Kruskal n'est effectivement pas bonne (j'ai fait une confusion avec la métrique de Lemaitre qui contient R-cT).

[mach3]

je voulais simplement faire référence au calcul (possible ou impossible ?) de la distance réelle pour des métriques contenant des coefficients dépendant explicitement de la coordonnée temps

Le sens de la question reste malheureusement peu clair pour moi.

C'est quoi la "distance réelle"?

Ensuite, une ligne de genre espace donnée possède toujours la même longueur, quelque soit le système de coordonnée (et donc la dépendance ou non des coefficients de la métrique à la coordonnée temporelle), c'est un objet géométrique intrinsèque. Il y a certes une infinité de lignes de genre espace qui connecte deux évènements, mais généralement seul un nombre réduit (voire une seule dans les cas simples) de ces lignes sont des géodésiques, dont la longueur donnera ce qui se rapproche le plus de l'idée qu'on peut se faire de la distance entre deux évènements.

Peut-être est-il question de distance entre "lieux" et non entre "évènements" ? et donc du choix d'un référentiel qui définit les lieux (un ensemble de lignes d'univers correspondant à l'immobilité dans le référentiel) et les dates (un ensemble d'hypersurfaces de genre espace) et permet donc de parler de distances entre deux lieux comme de la distance (au sens de la métrique de l'hypersurface, héritée de celle de l'espace-temps) entre deux évènements se produisant en ces lieux à la même date ?

m@ch3

[markusbloch]

J'ai rédigé une page Word ci-jointe pour pouvoir poser une question précise sur ce sujet

[Mailou75]

Salut,

Je me suis mal exprimé; je voulais simplement faire référence au calcul (possible ou impossible ?) de la distance réelle pour des métriques contenant des coefficients dépendant explicitement de la coordonnée temps

Tout d'abord quand tu dis "les métriques" tu te fourvoies peut être en imaginant qu'elles ont des propriétés différentes. Ce ne sont que des changements de coordonnées d'une seule et même solution, celle de Schwarzschild. Elles peuvent juste s'avérer pratiques pour mettre en évidence (artéfact?) certaines aspects des trous noirs : par exemple, les systèmes qui montrent des trajectoires continues entre intérieur et extérieur (ex Kruskal) ne sont pas définies sur l'horizon, la continuité mathématique est donc une "illusion" tant que les variables restent r et t. Il parait qu'il existe des formules "continues" mais perso j'en ai jamais vu la couleur...

Ensuite il faut que tu précises ta question, veux tu connaitre, pour un intervalle entre deux lieux (précison importante de mach3) :
A - cet intervalle d'espace vu par un observateur fixe (à l'infini ou non) en mètres locaux de l'observateur ?
B - la distance propre de l'intervalle (somme des distances propres locales) ?
C - cet intervalle d'espace vu par celui qui est en mouvement (libre ou pas) en un évènement précis ?
D - la somme des intervalles locaux perçus (compression RR) par celui qui est en mouvement, cad la distance qu'il a l'impression d'avoir parcouru ?

Je saurais répondre à A ou B, je cherche actuellement C et D ne m'intéresse pas vraiment...

[markusbloch]

J'ai donné des précisions sur la question que je me pose dans le document en pièce jointe ci-avant (pdf ou docx). J'ai précisé ce que j'entendais par métriques (avec un s).