Décroissance radioactive: quelle formules à connaitre?

[Tengri]

OK, je comprends que la charge mentale occupée par les conversions te fait perdre le fil du raisonnement.
Alors reprenons, avec l'exemple du ⁶⁰Co (ça ne change rien au raisonnement et je vais t'enlever les conversions en mettant tout directement en secondes).

A l'instant t=0, supposons que tu as un échantillon de 100 nucléides (c'est un échantillon minuscule, mais peu importe).
La demi-vie est de 1,66.10^8 secondes.

Question 1:
Combien reste-t-il de nucléides au bout de 7 ans, soit 2,21.10^8 secondes ?

Question 2 :
Quelle proportion de l'activité initiale reste-t-il ?

Bon alors j'ai fini la question 1 . Je ferai la 2 quand je serai sûr d'avoir juste.

On pose la formule générale:

N(t)=N(0). e^-λt

Connaitre le nombre de t(1/2)=1.66.10^8 est nécessaire :

Sur 7 ans=(2.21.10^8) s , on a:

n.t(1/2) = t/t(1/2) = 2.21.10^8 / 1.66.10^8 = 1.33 t(1/2) de 1.66.10^8 s

Donc:

N(1.33 *1.66*10^8 s)=100*2.73(^λ*1.66.10^8)

Manque λ=Ln2/t(1/2)=2.73/1.66*10^8 = 1.64 *10^-8

N(1.33*1.66.10^8 s)=100*2.73^(1.64 *10^-8 *1.66*10^8)

N(220 780 000s)=1539.60

Environ 1540 nucléides au bout de 7 ans
-----

[Sethy]

Pourquoi évoquer une formule qu'on n'utilise jamais dans la résolution ?

Ici, je vois une , c'est bien. Mais à aucune étape du calcul, je ne vois cette formule utilisée.

Formule qui en plus est valable à tout moment (donc aussi après ...), formule qui regroupe, lambda, un temps (à choisir, je sais quel temps j'utiliserais), la quantité initiale et la quantité recherchée ...

[Tengri]

C'est juste, j'aurais dû davantage expliciter, c'est tout le problème quand on manie plusieurs données, on prend l'exponentielle, puis on passe au calcul de lambda, puis on revient à l’exponentielle... le fil est vite perdu, surtout pour quelqu'un comme moi...

[Sethy]

C'est juste, j'aurais dû davantage expliciter, c'est tout le problème quand on manie plusieurs données, on prend l'exponentielle, puis on passe au calcul de lambda, puis on revient à l’exponentielle... le fil est vite perdu, surtout pour quelqu'un comme moi...

Où as-tu pris l'exponentielle dans ton calcul ? Moi, je ne le vois pas en tout cas ...

[Tengri]

(si ça se trouve c'est faux et me suis emmêlé ...)

Mais j'ai pas suffisamment précisé là aussi, j'aurais du mettre sachant que e=2.73, et donc:

N(1.33 *1.66*10^8 s)=100*2.73(^λ*1.66.10^8)

[Tengri]

Mon calcul est faux !

J'ai pas reporté à la puissance de l'exponentielle le n.t(1/2), le 1.33!

Enfin je crois qu'il faut le faire!

[Tengri]

Bon archi faux mon truc...

il est évident que le nombre de nucléides ne passera jamais de 100 à 1540!

En relisant mon brouillon , j'ai vu que j'ai confondu e et Ln2... Et j'ai en prime oublié le "-"

J'ai tout retapé à la machine, désolé si c'est purement numérique et sans les relations:

100*2.73^(-4.17*10^-9*1.33*1.66*10^8) = 39.67

Une quarantaine de nucléides, c'est beaucoup mieux comme résultat !

[Sethy]

Tu peux tester la plausibilité du résultat en évaluant (idéalement sans calcul), la population après 1 durée de demi-vie et 2 durées de demi-vie. Ensuite, vérifie si ton résultat est logique.

[Tengri]

ça doit être ça...

50 nucléides après 166 millions de s
25 après 332 m de s

Je suis tombé sur une valeur plus ou moins médiane apparemment. Donc ça doit être juste.

(je suis quelqu'un qui n'a quasi pas d'ordre de grandeur des quantités, surtout bon dans des applications mécaniques de formules, du coup si je persiste à vouloir faire de la physique à un tel niveau je vais très vite rencontrer de très fortes résistances à la réussite d'exercice, ou alors va falloir travailler pour toujours comprendre en profondeur ...)

Je m’attaquerai à la question 2 demain. J'imagine que le calcul de A(t) devra être exprimé en pourcentage...

[Tengri]

Une quarantaine de nucléides après 7 ans (=2,21.10^8 s)

lamb=A(t)/N(t)= 4.17*10^-9

A(t)=lamb.N(t)= 4.17*10^-9 * 39.67=1.66*10^-16 Bq


Je doute fort que ce nombre de désint./s soit cohérent...

Pourtant je ne vois pas ce qui cloche dans mon calcul!

[gts2]

4.17*10^-9 * 39.67=1.66*10^-16 Bq

Reprenez votre calculatrice : cela fait en gros 4*10^-9 * 40=160 10^-9=1,6 10^-7

[Tengri]

Effectivement..

Mais ça veut dire que l'écart de temps est très grand entre 2 désintégrations, est ce bien normal?

A(0)=lamb.N(0)=(4.17*10^-9)*(100nucl.)=4.17*10^-7

Pour la question de la proportion on a donc un passage : (4.17*10^-7) =>1,6*10^-7
(4.17*10^-7) - (1,6*10^-7) = 2.57*10^-7 Bq

Chute de A(0) de 2.57*10^-7 Bq

2.57*10^-7 Bq / 4.17*10^-7 Bq = 100/x

(2.57*10^-7)x=(4.17*10^-7)100

x=(4.17*10^-7)100 / (2.57*10^-7)

= chute de 1.07*10^-11% entre A(0) et A(t)

Voilà, à voir si les deux réponses sont justes..

[gts2]

Là encore, il faut reprendre votre calculatrice : une chute de 2,57 xx à partir de 4,17 xx, cela fait 2,57/4,17=0,62=62% normal : plus grand que 50 % correspondant à t1/2 et plus petit que 75% correspondant à t1/4.

[Tengri]

Le piège des parenthèses...

61.63% de chute de A!

J'avais pas réfléchi: sur un échantillon aussi microscopique il est logique qu'on ait de "minuscules morceaux de désintégration" /s, déjà en A(0), et à plus forte raison en A(t)

[Sethy]

Tu peux tester la plausibilité du résultat en évaluant (idéalement sans calcul), la population après 1 durée de demi-vie et 2 durées de demi-vie. Ensuite, vérifie si ton résultat est logique.

Là encore, il faut reprendre votre calculatrice : une chute de 2,57 xx à partir de 4,17 xx, cela fait 2,57/4,17=0,62=62% normal : plus grand que 50 % correspondant à t1/2 et plus petit que 75% correspondant à t1/4.

C'est "le" réflex à avoir : vérifier la plausibilité de sa réponse. Surtout ici, où c'était vraiment très facile avec cette histoire de 5,27 ans > 7 ans et des poussière > 2 x 5,27 ans. Le résultat devait d'office être compris entre ces deux bornes, qui en plus, étaient super faciles à calculer (50% et 25%).

[stefjm]

C'est des > de chimiste ?

[Tengri]

J'ai eu un vrai doute à un moment donné :

dans:

N(t)=N(0). e^-λt , on est bien obligé de répercuter le nombre de t(1/2) au niveau de la puissance, à droite?

Parce que dans lambda=Ln2/t(1/2) c'est différent, on a au dénominateur non pas un "nombre de" mais une valeur "en soi"

-----

Au fil de tous ces calculs et raisonnements on voit une chose aussi: les approximations numériques s'enchainent dès qu'on utilise les résultats de la machine. Et comme en plus Ln2 et "e" ne tombent pas juste, est ce qu'on est pas dans une imprécision grandissante, (en plus le phénomène étudié est essentiellement statistique!)

Si c'est des échantillons réduits qui sont concernés, on obtient des résultats de plus en plus faux non?

[XK150]

Non , c'est faux ; Il n'y a pas d'approximation numérique , et de plus aucune ne se reporte si on calcule correctement .


Par exemple , on connaît parfaitement ce que sera l'activité des dizaines de radionucléides des déchets nucléaires ultimes dans un million d'années , à la seule condition de connaître leur masse et leur période respective aujourd'hui .
La précision dépend de la précision sur la masse ( en général , par pesée) pour obtenir N , et sur lambda qui est obtenu à partir de T , la demi-vie , en général connue de façon expérimentale .

Par exemple , la demi-vie du 60Co est aujourd'hui donnée pour 5.2714 ans ( ce qui détermine son lambda ) , elle est donc comprise entre 5.2713 et 5.2715 ans .

Tout cela est plus que largement suffisant pour 99.9999% des applications pratiques en milieu industriel ou médical ...
Les sources pratiques de 60Co s'échelonnent entre 10^9 et 10^15 Bq et on ne vous les vend pas de Bq en Bq , pas plus que l'on ne vous vend la salade gramme par gramme ...!

[Black Jack 2]

Bonjour,

Tout a été dit et redit (36 fois)
Voila des extraits du texte de ce topic suffisants pour répondre à toutes les questions qui ont été posées ici.

N(t) = N(0). e^(-λt)
A(t) = -dN(t)/dt
A(t) = λ * N(t)
Avec λ = ln(2)/T
T étant la demi vie

Ou bien :

N(t) = N(0) * (1/2)^(t/T)
A(t) = -dN(t)/dt
A(t) = ln(2)/T * (1/2)^(t/T)
*********
Il faut bien entendu que t et T soient dans la même unité de temps (seconde, heure, jour, année, siècle ...)

Et dans le SI (système international d'unités), on a obligatoirement :
t et T en s
λ en s^-1
A en Bq (désintégrations/seconde)
*********

Elémentaire, n'est-il pas ?

[stefjm]

Au fil de tous ces calculs et raisonnements on voit une chose aussi: les approximations numériques s'enchainent dès qu'on utilise les résultats de la machine. Et comme en plus Ln2 et "e" ne tombent pas juste, est ce qu'on est pas dans une imprécision grandissante, (en plus le phénomène étudié est essentiellement statistique!)

On s'en fout que Ln2 et e ne tombent pas juste.
D'un point de vu formel, le calcul avec e ou 2 pour la base de la puissance (ou du logarithme) est strictement équivalente. Je l'avais montré mathématiquement, mais cela a été jugé trop complexe pour une question de débutant et il y a eu des remarque désagréable à mon encontre.

D'un point de vu numérique, il suffit de faire les calculs avec les chiffres significatifs nécessaires.

La base de la puissance, c'est comme la base de numération (en général, 10, mais on pourrait choisir 2 aussi) : nécessaire pour calculer, mais arbitraire. C'est un choix pratique.

[Tengri]

On aurait peu , si on veut , calculer sans demi-vie :

N(t) = N(0). e^(-λt)

Et remplacer t par exemple par des années : N(7ans) et continuer le calcul en conséquence. Même si ce n'est pas dans les clous de l'écriture officielle.

-----

J'ai pas compris les histoires de base 2 ou 10. Je sais juste qu'on a une numération traditionnelle en base 10 mais c'est tout.

Et que pour ce qui nous occupe: Ln2=env.0.693 et "e"=env.2.73

On a quand même pas le droit de remplacer "e" par 10???

Et je me demandais aussi , si à force de cumuler comme résultats des nombres non décimaux, on n'augmentait pas la marge d'erreur.

Apparemment non, entre 5.2713 et 5.2715 ans de fait la marge d'erreur est très faible .

[XK150]

Dans toutes les relations , si vous utilisez lambda , sous entendu vous connaissez aussi T . Si vous utilisez T , sous entendu vous connaissez lambda ...
Donc , pas utile de se torturer l'esprit sur ce point .
Et donc , 3 relations à connaître , dont la première est : λ = Ln2/T .

Un radioélément est avant tout caractérisé par T , grandeur physique basique qui provient de mesures physiques .
Grandeur " parlante " : tout le monde ( ou presque ....) est capable d'imaginer ce qui se passe pour un radioélément de 5.27 ans ou de 3 minutes de demi-vie :
demain matin , votre radioélément de 3 minutes de demi-vie sera devenu un élément stable ( à part peut être quelques atomes ...) et vous pourrez le jeter dans votre poubelle ménagère ... ,
mais le 60Co , NON !

[Lil00]

On aurait peu , si on veut , calculer sans demi-vie :

N(t) = N(0). e^(-λt)

Et remplacer t par exemple par des années : N(7ans) et continuer le calcul en conséquence. Même si ce n'est pas dans les clous de l'écriture officielle.

Oui, on peut aussi faire tout le calcul en années, mais pas "sans demi-vie", puisque lambda dépend de la demi-vie.

J'ai pas compris les histoires de base 2 ou 10. Je sais juste qu'on a une numération traditionnelle en base 10 mais c'est tout.

Et que pour ce qui nous occupe: Ln2=env.0.693 et "e"=env.2.73

On a quand même pas le droit de remplacer "e" par 10???

Pas grave si tu n'as pas compris, c'est juste une formulation différente pour écrire la même chose. Il ne s'agit pas de base 2 ou 10, mais de s'affranchir des expressions avec les fonctions exponentielle et logarithme. Certains trouvent que c'est plus élégant, d'autres préfèrent conserver les notations "habituelles" utilisées en physique. Et non, on ne peut pas "remplacer e par 10" sans rien changer d'autre.

Et je me demandais aussi , si à force de cumuler comme résultats des nombres non décimaux, on n'augmentait pas la marge d'erreur.

Apparemment non, entre 5.2713 et 5.2715 ans de fait la marge d'erreur est très faible .

La question est bonne : si on fait trop de calculs successifs en gardant peu de chiffres après la virgule, oui, on risque de cumuler des erreurs. L'informatique et les calculettes modernes permettent sans effort de garder une bonne précision.

Je reviens aussi sur un remarque que tu as faite plus tôt sur la notion d'ordre de grandeur, que tu avais du mal à appréhender. En fait, c'est un peu le but de tout exercice de physique, d'avoir une idée du phénomène : si à chaque étape du calcul, tu te rends compte que ton résultat est cohérent, ça permet de continuer. Si tu t'aperçois que ce n'est pas le bon ordre de grandeur (par exemple, si tu as un prix au m² pour un appartement parisien, et que tu calcules un prix total pour l'appartement de 200€, oups y'a une erreur quelque part, ou encore si tu calcules la distance du soleil à partir du temps mis par la lumière pour nous arriver, et que tu arrives à une distance de quelques kilomètres, idem).
C'est donc très important de se poser ces questions : et en fait, c'est juste du bon sens, comme le montrent ces deux exemples.

[stefjm]

J'ai pas compris les histoires de base 2 ou 10. Je sais juste qu'on a une numération traditionnelle en base 10 mais c'est tout.

Voici de quoi cogiter.

-1 Base dix
Quand on compte en base dix, la liste de symboles utilisés est {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. On utilise des puissances de dix pour décomposer un nombre dans cette base.
Exemple :



La fonction réciproque de la fonction est la fonction (logarithme à base 10).
Exemple : et
La fonction permet de compter le nombre de chiffre d'un nombre.
Plus il y a de chiffre, plus le nombre est grand. C'est une fonction très pratique pour traiter de grands nombres.

Cette fonction log à base 10 s'écrit en fonction de la fonction ln :


Ce logarithme est très utilisé actuellement par les électroniciens qui définissent ainsi des décibels et des décades.

-2 Base deux
Quand on compte en base deux, la liste de symboles utilisés est {0,1}. On utilise des puissances de deux (qui s'écrit 10) pour décomposer un nombre dans cette base.
Exemple :


, C'est un peu chiant...

La fonction réciproque de la fonction est la fonction (logarithme à base 2). On est toujours embêté pour écrire la base!

Exemple : et
La fonction permet de compter le nombre de chiffre d'un nombre.
Plus il y a de chiffre, plus le nombre est grand. C'est une fonction très pratique pour traiter de grands nombres.

Cette fonction log à base 10 (ici 2) s'écrit en fonction de la fonction ln exactement de la même façon que pour la base 10 :
avec

Cette base était très utilisée pour les décroissances radioactives (temps de demi vie, parce que 1/(base 2)) et par les électroniciens analogique qui définissaient l'octave par . Elles est toujours très utilisé par les informaticiens et l'électronique numérique (et les musiciens classiques, octave x2, quinte x3).

Et que pour ce qui nous occupe: Ln2=env.0.693 et "e"=env.2.73

E=env 2.718 histoire de ne pas être trop faux.

On a quand même pas le droit de remplacer "e" par 10???

Pas directement bien sûr.

Mais, oui, toutes les bases sont équivalentes. Une base de numération, c'est un nombre (entier en général) différent de 0 et de 1, sinon, ce n'est pas intéressant. C'est également en lien avec les bases des logarithmes pas forcément entières (exemple e)

On a donc pour la relation générale dans les base e, 2 et 10 :

avec


Les base 2 et 10 sont pratiques parce que très intuitives (on divise par 2 ou par 10) et faciles d'accès.
La base e est plus difficile, mais simplifie les calculs car la dérivée de e^x est e^x car ln(e)=1.
La dérivée de 2^x est ln(2).2^x, moins sympa pour les calculs.

Wikipédia pour les bases : https://fr.wikipedia.org/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)
Pour les logarithmes, histoire : https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoi...exponentielles
Maths : https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme

Cordialement

[Tengri]

Merci!

Mais:

E=env 2.718 histoire de ne pas être trop faux.

Qu'est ce qui autorise à remplacer 1 par 3 (il avait bien été question dans la discussion de 2.73)

Logiquement on arrondirait pas à 2.72?

[stefjm]

Qu'est ce qui autorise à remplacer 1 par 3 (il avait bien été question dans la discussion de 2.73)

Rien, puisque c'est une erreur d'approximation.
Je n'ai pas retrouvé où c'était, mise à part sous votre plume (ou peut-être une intervention qui a été effacée?).

Logiquement on arrondirait pas à 2.72?

Oui.
Mais plus on arrondit, plus il y a d'erreurs.
Au moins, avec une base entière, on évite ce problème.

Cordialement

[Tengri]

Dans :

λ = ln(2)/T

On est vraiment obligé d’utiliser T et non t ?

Dans les autres relations l'écriture par défaut est "t"...

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Au tout début j'avais parlé d'une autre écriture:

N(t)=N(0).e^kt

On peut vraiment dire que k= λ ?

Sinon j'ai lu dans un poste (-k/t) en exposant (ou l'inverse je sais plus...), dans ce qui semblait être une variante de la formule de base. C'est quoi?

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Concernant ces histoires d'approximations, je crois que c'est une expérience qui aide à comprendre pourquoi les mathématiciens "purs" sont souvent hostiles à la physique, pour eux ce n'est pas assez exact, pas assez platonicien. De fait si la physique est une mathématique appliquée (donc à la matière), il y a un coût à payer du côté de la précision numérique.

[gts2]

Dans : λ = ln(2)/T On est vraiment obligé d’utiliser T et non t ?

Tout dépend ce que vous entendez par là : si T est la période et t le temps, alors λ (une constante) ne peut pas être autre chose que ln(2)/T avec T constant.

Mais après si un problème de notation : c'est pour cela que j'ai donné la définition de t et T.

N(t)=N(0).e^kt. On peut vraiment dire que k= λ ?

Encore une fois, c'est juste un problème de notation, à définir avant de commencer quoi que ce soit : si N(t)=N(0).e^-kt et N(t)=N(0).e^{-λ t}, λ et k c'est la même chose.

[stefjm]

@Tengri

[Tengri]

Si λ est le coefficient radioactif, alors qu’est ce que k? Quelle nuance?

Surtout, pourquoi le signe moins? car si λ = -k j'ai pas l'impression dès lors que -λt=-kt

On se retrouverait pas avec kt positif , vu qu'on aurait deux moins?