Décroissance radioactive: quelle formules à connaitre?

[stefjm]

avec vos notations



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[Tengri]

Mais c'est normal du coup qu'on retrouve : N(t)=N(0).e^-kt ?

Comme vous l'écrivez on croit que si on choisit de s'exprimer avec k on passe en positif. Or dans tout ce que je lis , qu'il s'agisse de lambda ou k, le produit exposant est toujours négatif!

[stefjm]

Physiquement, lambda est positif et k négatif et tout colle bien.

[stefjm]

Mais c'est normal du coup qu'on retrouve : N(t)=N(0).e^-kt ?

Pas avec vos notations. gts2 en a changé par rapport aux vôtres.
pour lui, lambda=k

[gts2]

Je crois que vous mettez martel en tête pour rien, k et lambda c'est la même chose, juste un problème de notation, certains le notent k d'autres lambda.

[stefjm]

et d'autres
et le moins au bon étage rend compte de la décroissance exponentielle.

[jiherve]

Bonsoir,

Je crois que vous mettez martel en tête pour rien, k et lambda c'est la même chose, juste un problème de notation, certains le notent k d'autres lambda.

retour au #1
JR

[Tengri]

Donc, soit :

λ=4.17*10^-9 désint./s, converti en k ça donne quoi?

Je mets juste un moins devant la valeur?

[stefjm]

Relire tout le fil...

[XK150]

TROLL , TROLL , TROLL ... : déjà dit 100 fois , LAMBDA S'EXPRIME EN s^-1 , CE NE SONT PAS DES DESINTEGRATIONS PAR SECONDE , CE NE SONT PAS DES BECQUERELS , CE NE SONT PAS DES kg , NI des mètres .

MODOS : à quand la fermeture de ce post ? Merci d'avance .

[Tengri]

TROLL , TROLL , TROLL ...

Je certifie que non, j'ai juste du mal...

: déjà dit 100 fois , LAMBDA S'EXPRIME EN s^-1 , CE NE SONT PAS DES DESINTEGRATIONS PAR SECONDE , CE NE SONT PAS DES BECQUERELS

Ce n'est pas ce que j'avais compris...

s^-1=1/s=1 phénomène/s, donc 1 désintégration / s, dans mon esprit du moins. Et ça tombe mal vu que je comptais dire que le point commun de lambda et de A(t) et de pouvoir être exprimés en Bq, (donc 1 désint./s)

si lambda=(4.17*10^-9) /s, cela signifie qu'en 1s il y a 4.17*10^-9 quoi si ce n'est pas des désintégrations?

[Sethy]

Il est courant d'utiliser "k" comme "une constante" de proportionnalité quelconque.

Si on étudie l'absorption de la lumière par une filtre (par exemple les lunettes de soleil), on peut utiliser "k" pour la constante qui est fonction du colorant utilisé pour "foncer" les lunettes.

Maintenant, l'usage veut que dans ce cas-là, on utilise plutôt epsilon que "k". Comme ici, on utilise plutôt lambda que "k". On pourrait aussi écrire que E = m.k^2 avec k = à la vitesse de la lumière. Mais l'usage veut qu'on ait retenu "c" (la célérité) et qu'on écrive E = m.c^2.

Il est évident que si la formule est la même, qu'on écrive lambda ou k, forcément, les deux sont les mêmes. Sinon on arriverait à une absurdité.

Si évidemment on écrit ben, c'est sûr que pour avoir la même formule que , il faut que k soit égal à -lambda.

[FC05]

Moi ce fil me fait penser à ça :

https://www.youtube.com/watch?v=-qX8spaICr0

[Sethy]

si lambda=(4.17*10^-9) /s, cela signifie qu'en 1s il y a 4.17*10^-9 quoi si ce n'est pas des désintégrations?

Effectivement, ce que tu écris est faux.

A la limite, si ça te pose problème ne cherche pas à donner un sens physique à lambda.

Dis-toi simplement que lambda, c'est ln(2) divisé par le temps de demi-vie. Et ça, c'est toujours vrai. L'unité de lambda est évidente, c'est un nombre sans dimension (ln(2)) divisé par un temps. Et donc, ce sont des s^-1.

Et la seule justification, c'est que lorsque tu as besoin d'utiliser lambda, tu le multiplies toujours par un temps e^-(lambda.t), et donc tu multiplies des s^-1 par des s (qu'on peut aussi écrire s^+1), les deux s'annulent. Tu obtiens bien un nombre sans dimension, dont tu peux prendre l'exponentielle.

[pm42]

Quand quelqu'un pose et repose la même question pendant des pages et des pages, je me demande si on lui rend service en continuant à lui répondre.
L'interaction facile ici lui permet d'éviter de se mettre sur le sujet à tête reposée et à s'y coltiner jusqu'à comprendre.

Parce que lambda et sa dimension, cela avait déjà été abordé et répondu dès les 1ers posts. On approche du 200ème.

[Sethy]

Et la seule justification, c'est que lorsque tu as besoin d'utiliser lambda, tu le multiplies toujours par un temps e^-(lambda.t), et donc tu multiplies des s^-1 par des s (qu'on peut aussi écrire s^+1), les deux s'annulent. Tu obtiens bien un nombre sans dimension, dont tu peux prendre l'exponentielle.

Je peux peut-être même aller plus loin en réécrivant, l'équation comme

Dans ces conditions, on voit bien qu'on commence par diviser un temps par un temps, ce qui donne un nombre sans dimensions, et qu'ensuite on multiplie par ln(2) (égaiement sans dimension).

Pour plus de simplicité, ce qu'on fait, c'est qu'on a deux "constantes" de nature très différentes :
- ln(2) qui est une constante disons purement "mathématique"
- t(demi-vie) qui est elle une constante physique et qui ne dépend que du radio-isotope considéré.

Et ce qu'on fait puisque ces deux quantités sont constantes ( = ne varient pas), par simplicité, on les réuni en une 3ème constante, quotient des deux premières.

[Lansberg]

Bonjour,

si lambda=(4.17*10^-9) /s, cela signifie qu'en 1s il y a 4.17*10^-9 quoi si ce n'est pas des désintégrations?

C'est une probabilité de désintégration par unité de temps d'un noyau radioactif comme il existe une probabilité de gagner les 5 numéros au loto pour 1 grille (5,24 x 10^-7 si je ne me trompe pas).
Et en prenant l'inverse de lambda (donc une durée) et en multipliant par ln2 on a la demi-vie, période (radioactive) au bout de laquelle on peut statistiquement s'attendre à ce que la population de noyaux radioactifs ait été divisée par 2.

[Sethy]

Bonjour,


C'est une probabilité de désintégration par unité de temps d'un noyau radioactif comme il existe une probabilité de gagner les 5 numéros au loto pour 1 grille (5,24 x 10^-7 si je ne me trompe pas).
Et en prenant l'inverse de lambda (donc une durée) et en multipliant par ln2 on a la demi-vie, période (radioactive) au bout de laquelle on peut statistiquement s'attendre à ce que la population de noyaux radioactifs ait été divisée par 2.

Je me rallie à cette présentation des choses.

J'espère que l'une des explications données satisfera Tengri.

[Tengri]

Bon, juste deux choses avant que je passe à un nouvel exercice (car je m'aperçois que c'est effectivement plus formateur que des conversations théoriques infinies):

Je suis pas sur de voir la différence entre s^-1 (donc 1/s) et le nombre de désint./s

Car dans les deux cas on est dans une expression de type 1/s (ou 1/t)

Dans le cas de lambda il n'y a pas d'unité , cela veut dire que dans λ=4.17*10^-9 / s on a une probabilité à la seconde de 4.17*10^-9 désintégrations.

Or quand on envisage A(t) , donc des Bq, on est aussi dans un phénomène statistique non? Donc la différence entre les deux me parait ténue.

Pour l'histoire de k:

e^-lambda.t =e^kt,

Est ce que ça ne contredit pas le fait qu'il y ait interchangeabilité entre N(t)=N(o).e^-lamb.t et N(t)=N(0).e^-kt

Enfin bon si je sais appliquer la formule c'est sans doute l'essentiel.

[gts2]

e^-lambda.t =e^kt, Est ce que ça ne contredit pas le fait qu'il y ait interchangeabilité entre N(t)=N(o).e^-lamb.t et [B]N(t)=N(0).e^-kt

Relisez-vous ! Vous vous contredisez d'une ligne sur l'autre, comment savoir si vous voulez écrire e^+kt ou e^-kt ?

[Tengri]

(-λt=kt a écrit stefjm, je suppose que c'est juste

De toute façon pour une décroissance rencontrer +kt m'a l'air impossible)

---------

J'ai trouvé ça, je pense avoir les outils pour répondre en grande partie:

En 1983 fut découvert l'épave d'un drakkar dans un port danois. Une datation au 14C fut réalisée sur un échantillon de bois prélevé sur la coque.

On a mesuré une activité A de 12 désint/min/g de carbone.

Or, l’activité pour 1g de C participant au cycle de CO2 dans l’atmosphère est de A(0)=13.6 désint/min

Demi-vie: T= 5730 ans

1) Justifier la variation d'activité de l'échantillon de bois au cours du temps.

2) Sachant que la loi de décroissance de A en fonction du temps s'écrit A(t)=A(0).e^-λt :

-Exprimer le temps en fonction des autres grandeurs A(t) A(0) et λ

-Calculer t

1) On a une variation en fonction du nombre de nucléides restant :

On a les relations N(t)=N(0).e^-λt et A(t)=A(0).e^-λt

La comparaison de ces deux relations montre que le nombre d'éléments et activité baissent parallèlement en fonction du temps.

2) Pour la première partie je crois que ça fait appel à des logarithmes, donc je ne peux rien faire.

En revanche je peux calculer t:

Tout d'abord :

λ=Ln2/T=0.693/5730 ans= (1.21*10^-4)/a

Ensuite:

A(t)=A(0).e^-λt, avec auparavant conversion des min. en a.

12 désint/min=6 307 200/a
13.6 désint/min=7 148 160/a

6 307 200/a=7 148 160/a * 2.718^((1.21*10^-4)*t))

Je pense avoir utilisé la bonne formule. Mais l'inconnu se trouve en exposant , pas sur d'avoir les outils pour résoudre ça au final...

[Sethy]

Calcul qui nécessite 3 lignes :

A(t)=A(0).e^-λt, autrement dit A(t) / A(0) = e^-λt
En prenant le logarithme : ln (A(t) / A(0)) = -λt (ln = logarithme népérien)
En divisant le résultat par -λ, on obtient t.

Appliquons aux valeurs de l'énoncé (et du lambda que tu as calculé) :

12/13,6 = 0,882353 (qui on le rappelle est égal à e^-λt)
ln (A(t) / A(0)) = ln (12 / 13,6) = ln(0,882353) = -0,12516 (qui on le rappelle est égal à -λt).
Divisons le résultat par -λ pour obtenir t = -0,12516 / -1.21*10^-4 = 1034 années

Ou plus exactement 10.10^2 années car on n'a au maximum que 2 chiffres significatifs (12 désintégrations/min/g ne comporte que 2 chiffres, donc on ne peut pas être plus précis, mais évidemment, on conserve tous les chiffres pour les calculs intermédiaires).

Est-ce plausible ? Oui. En effet, il faut 5730 ans pour diviser le nombre de désintégration par 2. Autrement dit, il faut 5730 ans pour passer de 13,6 désintégrations/min/g à 6,8 désintégrations/min/g. Or ici, on passe de 13,6 à 12 en 1000 ans, c'est plausible (sans compter que ça l'est également historiquement parlant).

[Lansberg]

6 307 200/a=7 148 160/a * 2.718^((1.21*10^-4)*t))

Je pense avoir utilisé la bonne formule. Mais l'inconnu se trouve en exposant , pas sur d'avoir les outils pour résoudre ça au final...

Comme le montre Sethy, on ne s'embête pas avec le 2,718. Il suffit d'employer la fonction réciproque de l'exponentielle qui est le logarithme népérien, ln (cette fonction est présente dans une calculatrice scientifique).

y = e ^-λt
ln (y) = -λt

[stefjm]

(-λt=kt a écrit stefjm, je suppose que c'est juste

Évidement que ce que j'écris est juste. Quand je fais des coquilles, il y a bien toujours quelqu'un qui les corrige. C'est le principe d'un forum.

De toute façon pour une décroissance rencontrer +kt m'a l'air impossible)

Et pourquoi donc? k peut être négatif.
Vu que vous avez changer 36 fois de convention ou notation, par erreur ou volontairement, pas étonnant que vous finissiez perdu.

[Tengri]

Au tout départ je suis tombé dans un vieux livre sur N(t)=N(0).e^-kt

Puis cherchant des informations je me suis rendu compte que c’était surement désuet comme notation, puisque dans les documents récents je trouvais surtout λ à la place de k.

Mais qu'il s'agisse de λt ou kt, quand c'est en exposant je vois toujours "moins" devant!

La courbe est décroissante, il est donc normal de voir "-"

Si e^-λt=e^kt, alors comment peut être vrai N(t)=N(0).e^-kt ?

Pour être concret, en sachant que λ= (1.21*10^-4)/a, alors k vaudra quoi?

Calcul qui nécessite 3 lignes :

A(t)=A(0).e^-λt, autrement dit A(t) / A(0) = e^-λt
En prenant le logarithme : ln (A(t) / A(0)) = -λt (ln = logarithme népérien)
En divisant le résultat par -λ, on obtient t.

ça a l'air assez simple. A condition de de savoir que : log de la fraction=-λt

En fait ça fait partie des relations à connaitre.

Mais je ferais mieux de prendre des exercices plutôt de première, là c'est terminale spé.

[gts2]

Si e^-λt=e^kt, alors comment peut être vrai N(t)=N(0).e^-kt ?
Pour être concret, en sachant que λ= (1.21*10^-4)/a, alors k vaudra quoi ?

Encore une fois, c'est juste un problème de notation, vous prenez celle que vous voulez et vous vous y tenez.

Ici vous introduisez trois notations λ, k (e^-kt) et k (e^+kt) ; autrement dit vous prenez la même notation (k) pour deux cas différents, comment voulez-vous y retrouver ?
On recommence : e^-λt=e^k't=e^-kt (j'ai noté k' pour ne pas confondre). Il parait clair que λ, k c'est la même chose (λ=k) et que k'=-λ=-k (Cela a déjà été dit un certain nombre de fois, quel est le but du jeu ?)

[Sethy]

ça a l'air assez simple. A condition de de savoir que : log de la fraction=-λt

Ici, c'est bien un log, mais chaque log est pris dans une base. Ici, c'est la base "e" et donc il vaut noter log_e ou comme cette base là est particulière ln.

En effet, sur une calculatrice, ln calcule le log en base "e" alors que ... la touche log calcule le log en base 10.

Plus fondamentalement, pour imager le problème, il est difficile de discuter de littérature italienne si ... on ne connait pas l'italien. Et ici, c'est le problème. La "langue" de la physique, ce sont les maths ... donc si on ne connait les maths ben, c'est tout de suite beaucoup plus compliqué.

Peut-être un petit point sur les log.

100, c'est 10 "au carré" ou 10 "exposant 2" ou 10^2. Le log₁₀(10^2) = 2. C'est simple, prendre un log (dans la "bonne base") revient à garder l'argument de l'exposant.

Attention, le log_e10^2 (aussi noté ln(10^2)) n'est pas égal à 2. Pourquoi ? C'est simple, il suffit de prendre "e" (le fameux 2,718 ...) et de le porter au carré (on obtient 7,4 environ) et on voit bien que c'est très différent de 10^2 qui vaut 100.

De même ln(e^2) = 2, mais ln(10^2) vaut 4,6.

Donc la règle est simple : le mieux est de prendre le log dans la bonne base. Si on voit des e^-λt, ben on commence par isoler l'exponentielle (e^...) dans un membre de l'équation (comme je l'ai fait en divisant par A(0)) et ensuite on prend le ln des deux membres de l'équation.

[Tengri]

J'ai donc compris que le log en base 2 (donc ln2) n'est autre que la puissance à laquelle on élève "e" dans l'équation

Ce qui fait que ln (A(t)/A(0))=-λt est à connaitre

J'avais d'ailleurs pas vu dans un premier temps que la consigne est implicite: calcul de t, comprendre: calcul de t(0)

Voici la vidéo où figure l'énoncé:

https://www.youtube.com/watch?v=VsSlgOa6MQg

A 7:32, il n'est pas normal qu'il trouve λ=1.244!... Et en bout de course il se retrouve avec environ 1000 ans pour t . On a vu que c'était 1034 ans je crois.

Mais le 1.244 est faux , calculatrice à l'appui... C'est ces deux valeurs de λ qui expliquent je suppose un écart de quand même trois décennies!

[gts2]

J'avais d'ailleurs pas vu dans un premier temps que la consigne est implicite: calcul de t, comprendre: calcul de t(0)

t est une variable, pas une fonction ; t(0) n'a pas de sens.

A 7:32, il n'est pas normal qu'il trouve λ=1.244!... Mais le 1.244 est faux , calculatrice à l'appui...

Le calcul est parfaitement exact ! Regardez l'unité !

Et en bout de course il se retrouve avec environ 1000 ans pour t . On a vu que c'était 1034 ans je crois.

Là c'est juste un pb d'arrondi, le calcul (avec λ=1.244) conduit à bien 1034 ans.

[XK150]

Ce serait bien d'écrire les unités aux grandeurs physiques quand on les utilise .
Aussi bien pour un aspect pédagogique que pour éviter les erreurs ...