Décroissance radioactive: quelle formules à connaitre?

[Tengri]

Bonjour,

je m'intéresse en ce moment à la courbe de décroissance radioactive. J'ai regardé la vidéo suivante:

https://www.youtube.com/watch?v=6nGvYPiVHeo

J'ai tout bien compris , rien de vraiment dur, jusque là c'est des maths à peu près élémentaires.

Par contre j'aimerais savoir comment ce document et notamment les formules qu'on y trouve se rattachent à une formule plus complexe vu ailleurs, que ne je parviens pas à comprendre:

N(t) = N0.e^-λt

En faisant quelques recherches j'ai compris qu'il s’agissait d'équations différentielles. Donc niveau surement un peu au dessus de la vidéo mentionnée.

J'aimerais comprendre et pouvoir faire le lien entre cette formule et ce que j’ai vu dans la vidéo.

j'ai trouvé aussi dans un vieux livre de vulgarisation sur l'atome quasi la même formule à ceci près que c'était en exposant -kt et non -λt. Je suppose que c'est pareil?

Merci à vous !
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[jiherve]

bonjour,
k ou lambda c'est kif kif c'est un coefficient dépendant de l'élément radioactif.
N(t) = N0.e^-λt = N0/e^λt avec e constante d'Euler et ^ puissance.
C'est une décroissance exponentielle :https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A...ce_radioactive
JR

[pm42]

N(t) = N0.e^-λt
En faisant quelques recherches j'ai compris qu'il s’agissait d'équations différentielles.

Ce n'est pas une équation différentielle. C'est celle qui dit que la radioactivité à l'instant t, N(t) se calcule à partir de celle à l'instant 0, N0 et décroit exponentiellement avec le temps.
Le facteur de décroissance est λ, c'est lui qui détermine la rapidité.

Cela revient à dire : la radioactivité est divisée par 2 toutes les X années mais cela permet de la calculer rapidement pour n'importe quelle point dans le temps.

[Deedee81]

Salut,

EDIT Et voilà, je discute avec un collègue, je perd du temps et hop : croisement

J'aimerais comprendre et pouvoir faire le lien entre cette formule et ce que j’ai vu dans la vidéo.

Je n'ai pas regardé la vidéo mais voici pour la démo :
https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A...on_radioactive

Evidemment ça reste un peu technique mais forcément pour une exponentielle !!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[XK150]

Salut ,

2 relations à connaître : celle écrite " décroissance radioactive " qui donne le nombre N(t) restant à l'instant t de la population radioactive N(0) à l'instant t(0) ,
qui s'écrit de la même façon pour l'activité ( radioactive ) : A(t) = A(0).e^-λt ,
et la relation A(t) = λ N(t) qui donne l'activité en fonction de la population radioactive .

[Sethy]

As-tu (déjà) étudié les dérivées et les intégrales ?

[Black Jack 2]

Bonjour,

Ou bien ...

En partant de la demi-vie de l'isotope radioactif considéré :

La « période radioactive », ou demi-vie, d'un isotope radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux de cet isotope présents dans l'échantillon est réduit de moitié. On la note généralement T

En appliquant directement cela on a : N(t) = No * (1/2)^(t/T)
Avec N(t) le nombre de noyaux radioactifs présents l'instant t dans l'échantillon.

N(t) = No * (1/2)^(t/T)
(1/2)^(t/T) = N(t)/No
(t/T) * ln(1/2) = ln(N(t)/No)
(t/T) * ln(2) = -ln(N(t)/No)

Et en posant Lambda = ln(2)/T, il vient : - Lambda * t = ln(N(t)/No)

Soit donc : e^(- Lambda * t ) = N(t)/No

N(t) = No * e^(-Lambda * t)

Avec Lambda = ln(2)/T (T étant la durée de demi-vie de l'isotope radioactif considéré (grandeur statistique))
*********

Les relations : N(t) = No * e^(-Lambda * t) Avec Lambda = ln(2)/T et N(t) = No * (1/2)^(t/T) sont équivalentes.

La première est plus souvent utilisée car elle est plus simple (un poil) à dériver (pour trouver l'activité de l'échantillon par exemple), par contre cette première relation, au contraire de la seconde, "cache" la notion de demi vie qui est souvent utilisée dans ce type de problème.

[Tengri]

Oulalala.. un peu dur pour quelqu'un qui a arrêté toutes les sciences en première L... Et qui donc n' a jamais fait de sa vie ni dérivées ni intégrales.

Je vais relire tout ça à tête reposée.

[pm42]

Oulalala.. un peu dur pour quelqu'un qui a arrêté toutes les sciences en première L... Et qui donc n' a jamais fait de sa vie ni dérivées ni intégrales.

Tu n'as pas besoin de dérivées ou d'intégrales et c'est largement simple.

La formule, c'est simplement pour dire que la radioactivité décroit comme sur cette courbe :



Tu mets le même temps pour passer de 100% (N0) à 50% que de 50% à 25%, de 25% à 12.5%, etc.
Et c'est λ qui détermine ce temps.

Après et comme souvent, si tu poses une question simple, tu vas avoir des réponses compliquées

[pm42]

Doublon par erreur.

[Tengri]

N(t) = N0.e^-λt

c'est en fait : N0.e/λt , je crois bien...

"e" veut dire "exponentielle" ou c'est la constante de Euler?

Tu n'as pas besoin de dérivées ou d'intégrales et c'est largement simple.

La formule, c'est simplement pour dire que la radioactivité décroit comme sur cette courbe :

Pièce jointe 459380

Tu mets le même temps pour passer de 100% (N0) à 50% que de 50% à 25%, de 25% à 12.5%, etc.
Et c'est λ qui détermine ce temps.

Après et comme souvent, si tu poses une question simple, tu vas avoir des réponses compliquées

J'ai compris pour la logique de la courbe, la notion de demi vie etc... Mais lambda change en fonction de l'élément atomique? Et il se rattache donc aux abscisses vu qu'il s'exprime en secondes , je suppose ...

Mais si je veux comprendre ce qu'a écrit Black Jack, par contre, il me manquera pas mal de connaissances.

[pm42]

"e" veut dire "exponentielle" ou c'est la constante de Euler?

Les 2. e est parfois appelé constante de Euler.
e élevé à la puissance x, c'est exponentielle de x.

Donc dans le cas là, c'est : exponentielle(-λt).
Le signe -, c'est pour la faire décroissante

Mais lambda change en fonction de l'élément atomique?

Et il se rattache donc aux abscisses vu qu'il s'exprime en secondes , je suppose ...

On peut l'exprimer en secondes si t est en secondes en effet. Si on met t dans une autre unité, on fera une conversion pour trouver le lambda correspondant.
Par exemple, pour des saloperies dont la demi-vie est en milliers d'années, on peut prendre t en années plutôt qu'en secondes.

Mais si je veux comprendre ce qu'a écrit Black Jack, par contre, il me manquera pas mal de connaissances.

C'est juste du calcul mais à mon avis largement trop compliqué et détaillé vu le contexte.
Sincèrement, si tu piges bien les demi-vies et que tu as en tête la forme de la courbe, c'est déjà pas mal.

[Tengri]

A(t) = A(0).e^-λt

Exprimé je suppose en becquerel ou en curie... voire en roentgen si on veut

[XK150]

Exprimé je suppose en becquerel ou en curie... voire en roentgen si on veut

Le Ci est hors la loi depuis 1964 . Le roentgen n' est pas une unité d'activité , c'est une unité de quantité de radiations .
Il vous reste le Bq , becquerel , unité légale qui est le nom donné à une désintégration par seconde .

[Tengri]

Les 2. e est parfois appelé constante de Euler.
e élevé à la puissance x, c'est exponentielle de x.

Mais "e" vaut combien numériquement dans la formule?

On peut l'exprimer en secondes si t est en secondes en effet. Si on met t dans une autre unité, on fera une conversion pour trouver le lambda correspondant.
Par exemple, pour des saloperies dont la demi-vie est en milliers d'années, on peut prendre t en années plutôt qu'en secondes.

Mais dans lambda=A(t)/N(t), le résultat est pas un nombre sans dimension?

[pm42]

Mais "e" vaut combien numériquement dans la formule?

2,71828... mais on s'en moque : toutes les calculatrices, langages de programmation, etc, calculent directement l'exponentielle.

Mais dans lambda=A(t)/N(t), le résultat est pas un nombre sans dimension?

Si mais on l'adapte à l'unité de t choisie.

[gts2]

Mais "e" vaut combien numériquement dans la formule ?

Cela se trouve facilement, par ex. wikipedia qui donne
"La valeur numérique de e tronquée à 15 décimales est 2,718281828459045"
Sinon vous prenez votre calculatrice et tapez exp(1)

Mais dans lambda=A(t)/N(t), le résultat est pas un nombre sans dimension?

Une activité (A) est un nombre de désintégrations par unité de temps, et donc lambda a comme dimension l'inverse d'un temps.

[pm42]

Une activité (A) est un nombre de désintégrations par unité de temps, et donc lambda a comme dimension l'inverse d'un temps.

Oui, au temps pour moi.

[RomVi]

Bonjour
Dans le cas d'une décroissance radioactive l'utilisation la constante d'Euler n'est pas pertinente, donc tu remplaces e par 2.

[pm42]

Dans le cas d'une décroissance radioactive l'utilisation la constante d'Euler n'est pas pertinente, donc tu remplaces e par 2.

Cela ne change rien, cela revient juste à adapter λ et ce n'est pas par hasard que les citations qu'il a donné et les articles sur le sujet utilisent e et pas 2. Eux trouvent cela pertinent visiblement.

[Tengri]

Une activité (A) est un nombre de désintégrations par unité de temps, et donc lambda a comme dimension l'inverse d'un temps.

Nombre sans dimension signifie bien sans unité?

ça veut dire que 1/t est l'unité de lambda?

[XK150]

Bonjour
Dans le cas d'une décroissance radioactive l'utilisation la constante d'Euler n'est pas pertinente, donc tu remplaces e par 2.

Ah bon ??? Vous pouvez mettre votre méthode pour calculer le coefficient de décroissance pour 4.28 ans d'un élément radioactif de 5.27 ans de période , merci .

[XK150]

Nombre sans dimension signifie bien sans unité?

ça veut dire que 1/t est l'unité de lambda?

Oui , comme le becquerel est par définition UNE désintégration par SECONDE , vous devez prendre lambda en s^1 pour appliquer A = λ .N si vous voulez obtenir un résultat correct .

Dans le coefficient de décroissance e^-λ t , vous avez le choix de l'unité de temps , à condition de prendre la même pour λ et t ....

Ce serait bien de passer aux applis numériques simples , ça aide amha ...

[gts2]

Vous pouvez mettre votre méthode pour calculer le coefficient de décroissance pour 4.28 ans d'un élément radioactif de 5.27 ans de période

[RomVi]

Ah bon ??? Vous pouvez mettre votre méthode pour calculer le coefficient de décroissance pour 4.28 ans d'un élément radioactif de 5.27 ans de période , merci .

Ce sont des math de niveau 1ere, peut être même seconde (ça date un peu)

[gts2]

Faute de frappe : il manque, bien sûr, un signe moins.

[XK150]

Merci RomVi !

[XK150]

A l'attention de TENGRI uniquement , et non pas à ceux qui savent tout :

http://ressources.univ-lemans.fr/Acc.../radioac1.html

[Tengri]

Voyons si j'ai bien compris, en reprenant la courbe de pm42:

Si N(0)=100 et que je veux obtenir N(t) pour 2 demi-vie,

N(2)=100*e^-lambda.t

=100*2^-lambda*2

=100*(1/2^2lambda)

=100/2^2lambda

Mais là on est coincé car pour obtenir lambda faudrait que A(t) soit fourni...

[coussin]

La constante lambda est donnée par la demi-vie justement. Si on vous dit "la demi-vie est tant d'années", ça fixe la constante lambda.