Mécanique quantique : démonstration de l'équation de Schrödinger

[Eksterlande]

Bonjour à tous,

Comme je le disais dans mon dernier post, je travaille actuellement le cours de mécanique quantique d'Etienne Parizot.
Dans celui-ci, E.Parizot propose une démonstration de l'équation de Schrödinger (plutôt que de la prendre en postulat, comme il est visiblement de coutume). Ici c'est un peu un calcul préalable, sur l'équation d'évolution du système, mais un élément me gêne dans le déroulé du calcul. Je mets en .pdf la démonstration, et le timer pour ceux qui voudraient vérifier que je ne lui fais pas dire ce qu'il ne dit pas : ( https://youtu.be/cjzJ_bFC6OU?list=PL...PnRxUdc&t=1975 )!

Voilà le déroulé*:démo.pdf


Et voilà mon problème: il traite ces expressions comme de simples égalités, sauf qu'à partir d'un moment (que j'ai surligné en rouge dans le .pdf), il est sous entendu que l'on fait tendre δt vers 0. Mais du coup, à partir de ce moment, si toutes ces expressions sont des limites, il me semble un peu cavalier de «faire passer» des termes de gauche à droite comme ça... D'où ma question: Est-ce vraiment correct!? A la fin d'ailleurs, on explicite tout d'un coup que l'on a bien une limite avec l'expression de la dérivée... Bref, je trouve le calcul un peu confus. Si vous pouviez m'éclairer sur ce que je crois être fautif et qui ne l'est sans doute évidemment pas ! Merci !

Ps : Ce que je n'ai pas évoqué, c'est le fait que j'essaie de proposer sur youtube une version de ce cours plus adaptée au format vidéo (la version proposée est en fait le cours filmé en direct, ça dure 40h, alors qu'en enlevant tous les temps d'écriture, les moments de flottements, les questions redondantes d'élèves etc, ça tiendra en 15 heures max, donc je pense que ça vaut le coup, et puis il n'y aurait plus le brouhaha de l'amphi...). Et j'ai également commencé la saisie intégrale en .pdf .
Les chapitres 1 et 2 sont déjà entièrement disponibles, le 3 bientôt...Mais justement, je tique sur un élément et je n'ose du coup pas «recracher» ça, d'où ma question!

Ps n°2 : Je précise également que malgré quelques essais pour lui demander l'autorisation, je n'ai jamais réussi à le joindre (via l'espace commentaires sur ses vidéos youtube, et par email via une adresse trouvée sur un vieux blog...) . Donc non, j'ai pas l'autorisation de faire ce que je suis en train de faire. Mais son contenu est sans licence, donc je me suis permis, en créditant dans tous les coins, et avec les alertes sur mon statut d'amateur bien sûr...
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[gts2]

Bonjour,

Sans intervenir sur le côté quantique de la chose : je vois
(1) U(t,t+dt)=...
(2) U(0,t+dt)=...
on multiplie (1) à droite et à gauche par U(0,t), à droite on ne touche à rien, à gauche on identifie (2) et on obtient
(3) U(0,t+dt)=...

Donc je ne vois pas "passer des termes de gauche à droite", et le passage à la limite n'est fait que dans les trois dernières lignes, donc pas en (3)

[ordage]

Bonjour
L'équation de Schrödindger peut s"établir simplement à partir du Hamiltonien classique où on remplace les grandeurs physiques x, p, E, par les opérateurs associés à ces grandeurs, qu'on applique à la fonction d'onde.
Cordialement

[Eksterlande]

Alors justement si, il y a un passage à la limite implicite à la ligne 3, car le hamiltonien est en fait développement limité, que l'on prend à l'ordre 1 en faisant tendre dt vers 0. Il le dit bien dans le cours d'ailleurs. Et quand je dis "passer des termes de gauche à droite", je veux dire "ajouter, soustraire, multiplier" des deux côté bien sûr.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Eksterlande]

Je n'aurais pas du mettre le point d'interrogation dans le titre du message, ça donne l'impression que c'est ce que je demande. Je l'ai mis pour dire "est-ce que la démonstration est correcte?". Navré, merci quand même!

[gts2]

Si c'est le DL, il a été fait à l'équation (1) et multiplier un DL par un terme fini constant U(0,t) n'invalide pas le DL.

[coussin]

Oui, rien ne me gène dans cette démo. Tout est fait avec des delta_t qui ne sont pas des quantités infinitésimales. La limite n'est prise qu'à la fin pour faire apparaître la définition de la dérivée.
Le tout premier signe égal est un peu cavalier puisque ce n'est qu'un DL au premier ordre mais si c'est indiqué clairement...

[Eksterlande]

Justement, c'était bien cela qui me turlupinait, le δt était pour moi ici une quantité infinitésimale, puisqu'on ne peut remplacer Û(t, t+δt) par son expression avec H que si l'on fait tendre δt vers 0... E.Parizot le dit lui-même ici : https://youtu.be/cjzJ_bFC6OU?list=PL...PnRxUdc&t=2222
C'est peut-être ce passage que j'interprète mal ...

[coussin]

Quand bien même... Ce sont des maths faites par un physicien, c'est classique... Un mathématicien pourra objecter...
Toute la démonstration découle de la première "égalité" et de propriétés de l'opérateur d'évolution.

[Eksterlande]

D'accord, alors me voilà rassuré! Merci beaucoup d'avoir pris le temps de regarder ça de plus près!

[mar2128]

Bonjour, je dirais 2 choses :
1) La continuité de U n'est pas suffisante pour assurer le développement limité (DL) au 1er ordre, il faut la dérivabilité (et même sans doute la continuité de la dérivée).
2) tes calculs sont alors parfaitement justes avec des égalités entre les termes à condition d'y intégrer le "petit o" de la notation de Landau.
Ce petit o est un symbole défini par : o(dt)/dt tend vers 0 quand dt tend vers 0 (c'est à dire que o(dt) tend vers 0 "beaucoup plus vite" que dt).
Le début du calcul (DL au 1er ordre) s'écrit alors rigoureusement ainsi :
U(t,t+dt) = I - (i dt / hbar) H + o(dt)
Et à la fin, on obtient :
i hbar [U(0,t+dt)- U(0,t)]/dt = H U(0,t) + o(dt)/dt U(0,t) (multiplier o(dt) par la constante i hbar redonne o(dt) )
Ce qui donne bien le résultat final :
i hbar dU(0,t)/dt = H U(0,t)
vu que o(dt)/dt tend par définition vers 0 quand dt tend vers 0.
PS : vu les caractères clavier, j'ai écrit dt pour delta-t
PS2 : en principe le petit o de Landau s'utilise avec des fonctions d'un espace vectoriel normé (ici R) à valeurs dans un espace vectoriel normé., où la notion de limite est bien définie. Ici on considère U comme une fonction de variable réelle (le temps) mais ses valeurs sont des opérateurs de l'espace de Hilbert des états... je pense que le petit o est quand même utilisable car il existe une norme sur cet espace d'opérateurs, norme déduite de la norme sur l'espace de Hilbert des états.