Opérateurs quantiques: la position d'un électron et sa projection de spin, ca commute?

[Antonium]

Prenons par exemple les correspondant aux fonctions propres de l'oscillateur harmonique. On a

où sont les polynômes de Hermite. Je prends l'exemple de l'oscillateur harmonique car il est très facile de calculer les actions des opérateurs et dans cette base. En fait on a
et

(Avec possiblement quelques facteurs numériques, ce n'est pas vraiment important ici, je vous laisse nettoyer les détails si ça vous intéresse.)
On peut donc écrire les opérateurs sous forme matricielle dans la base des . C'est la base qui diagonalise l'opérateur . On a (à nouveau, en corrigeant les facteurs numériques)

et

où on voit clairement que est une matrice diagonale, et ne l'est pas (normal les opérateurs satisfont l'algèbre d'Heisenberg et ne commutent pas). Vous pouvez lire les comme ça.
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[coussin]

Par définition, les éléments de matrice de l'opérateur sont . Ces éléments sont a priori non nuls pour tous i,j. La matrice de est donc non diagonale.
À l'inverse, les éléments de matrice de "multiplication par 1/n" sont par orthogonalité des fonctions . La matrice de "multiplication par 1/n" est diagonale.

[Antonium]

Oui je m'excuse pour mon erreur coussin a raison, en fait on a plutôt quelque chose comme


dans le cas de l'oscillateur harmonique en utilisant les relations de récurrence des polynomes d'Hermite.

[coussin]

Ensuite, je peux diagonaliser la matrice de . J'obtiens des fonctions g_n(x). est hermitique (réel symétrique), les g_n(x) forment donc une base orthonormée (un opérateur hermitique se diagonalise par un opérateur unitaire).
Donc, dans la base des g_n(x), est diagonal (par définition de la diagonalisation...) et "multiplication par 1/n" aussi (par orthogonalité des g_n(x)).
et "multiplication par 1/n" possèdent donc une base propre commune et donc commutent.

Il y a donc une erreur dans ce raisonnement apparemment...

[La Limule]

pour le traitement de l'oscillateur harmonique avec des matrices il y a:
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...ue_matricielle

voir les matrices pour X et P quend l'énergie est diagonalisée.

[La Limule]

Je vous en prie , n'oubliez pas que le cadre c'est l'espace de hilbert des suites
et qu'il est unique à un isomorphisme pres
l'énergie, le temps ne font pas partie du matériel requis.

[La Limule]

@Coussin
je pense qu'on est hors sujet mais pour la diagonalisation de x et les 1/n,
tu as avec l'oscillateur harmonique un opérateur diagonalisé c'est celui des énergies
et aussi un opérateur x avec deux diagonales secondaires
si tu veux diagonaliser l'operateur x alors ce qui est diagonal ne le sera plus et c'est le cas pour les 1/n.
c'est le cas de l'opérateur des 1/n. si tu diagonalise l'opérateur x,