Opérateurs quantiques: la position d'un électron et sa projection de spin, ca commute?

[La Limule]

bonjour,

J'ai lu qu'il n'y a qu'un seul espace de Hilbert a base dénombrable (a un isomorphisme pres)
celui des fonctions de carré sommables sun N.
il permet de décrire des fonctions discretes mais aussi
des fonctions de continues de [0 1] dans R
etant définies sur Q qui est dénombrable (base hilbertienne) ces fonctions s'étendens au segment [0 1]
et donc de décrire des fonctions continues.
Sur un tel espace on va pouvoir traiter des opérateurs continus comme positions, impulsions
ainsi que des opérateurs comme des projections de spin sur une direction donnée.
Alains Connes nous dit que si on diagonalis un opéteur continu, un opérateur discret ne le sera pas
et inverement. cad que sur la diagonale des valeurs propres on n'aura pas a la fois
des "masses" et des "densités de masse" car leurs opérateurs ne commutent pas.
Cette non commutation empeche ainsi de parler a la fois de la position et de l'impulsion d'une particule.
En est il de meme pour la position d'un élection et sa projection de spin dans une direction?
Il me semblait que dans un Stern et Gerlach on associait une projection de spin dans une direction
a un impact sur un détecteur (mais sans précision sur la taille de la tache)
Pour un électron comment s'écrit l'opérateur de projection du spin selon un axe donné (dans l'expace de Hilbert
unique signalé au début?
-----

[ThM55]

Il convient de distinguer le moment angulaire orbital et le spin. Le moment angulaire orbital ne commute pas avec les opérateurs vectoriels (la position et l'impulsion en sont) car il représente des rotations. Le moment angulaire total (somme des moments angulaire et spin) commute avec le hamiltonien et il a les mêmes relations de commutation avec les opérateurs vectoriels que le moment angulaire orbital.

Quiz: quelle conséquence peut-on tirer de ce fait que j'ai souligné en ce qui concerne le spin? (c'est trivial).

La forme de l'opérateur de spin est donnée par les représentations linéaires de l'algèbre de Lie du groupe SU(2).

Par exemple pour la représentation fondamentale (spin 1/2), ce sont les matrices de Pauli agissant sur .

Voir ceci: https://easyspin.org/easyspin/docume...operators.html

[ThM55]

Au fait, une remarque: c'est bien joli d'essayer de comprendre les travaux d'Alain Connes, mais il y a un problème. C'est ceci: la physique théorique et la physique mathématique demandent une initiation qui se fait par étapes successives. Cela n'a aucun sens de sauter directement dans les derniers articles de recherche si on n'a pas suivi les différentes étapes, l'une après l'autre (maths de base de l'algèbre élémentaire à l'analyse dans C, mécanique classique newtonienne, thermodynamique, relativité restreinte, électromagnétisme, mécanique quantique non relativiste, mécanique quantique relativiste, physique statistique, théorie quantique des champs, etc). Il est illusoire de vouloir aborder un sujet si les étapes précédentes n'ont pas été complétées dans une bonne mesure (quoique les sujets les plus pointus de chaque étape ne soient pas forcément tous nécessaires).

Le fameux physicien néerlandais Geraard 't Hooft décrit ce parcours sur un site avec uniquement des références vers des cours en ligne: https://goodtheorist.science/ . Voir les liens vers la mécanique quantique. Il a aussi un cours sur les groupe de Lie en physique, c'est pertinent pour cette question: http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/lieg07.pdf .

Toute l'info est présente en ligne. La difficulté majeure est de faire le tri, de savoir reconnaître ce qui est important et ne pas perdre trop de temps avec ce qui est accessoire. C'est le rôle des enseignants.

[La Limule]

Merci pour tous ces bons conseils.
Allez c'est juré je m'y mets apres le réveillon du nouvel an.

Ceci dit en attendant j'aimenrais bien savoir comment s'écrit dans l'espace unique de Hilbert a base dénombrable
le commutateur des deux opérateurs position et projectiondu spin pour la particule élémentaire de spin 1/2
vu que pour l'opérateur posision il y a une infinité de valeurs propres contrairement a celui de projection du spin.
Bon week end.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Ceci confirme mon impression, tu n'as pas compris ma première réponse où j'ai expliqué que . Donc l'opérateur de position et l'opérateur de spin commutent .

Dans la représentation dans cet espace de Hilbert, ils n'agissent pas sur les mêmes variables. L'état quantique dans la représentation de position dépend non seulement des coordonnées mais aussi d'une variable discrète :



Pour un spin , la variable peut prendre (2S+1) valeurs: -S, -S+1, ... , S-1,S. Un électron a un spin donc dans ce cas cette variable peut prendre 1/2*2+1 = 2 valeur: -1 et +1.

On peut voir l'état comme un vecteur avec 2 composantes (2S+1 en général) . Chaque élément est en une fonction de carré sommable. Si on l'exprime comme un vecteur colonne, l'opérateur S_3, troisième projection du spin, est la troisième matrice de Pauli . Le lien que j'ai fourni plus haut donne les éléments de matrice pour toutes les valeurs de spin.

Comme ces matrices opèrent sur une variable indépendante différente des , il est évident qu'ils commutent avec la position; ce n'est pas le cas du moment angulaire orbital, qui est un générateur des rotations spatiales, et donc agit sur les variables de position.

Tout cela c'est la base de la mécanique quantique la plus élémentaire. Je ne veux pas te décourager mais tu es encore loin de pouvoir lire Alain Connes.

[La Limule]

Merci pour tes efforts (cette fois sans blagounette)

Ce qui me satisfetais ce serait que tu emploies le langage des opérateurs hermitiens opétant l'espace de Hilbert H décrit plus haut.
par exemple tu écris qu'il y a un commutateur [x,S] qui est nul je veux bien ca a du sens dans le cadre des opérateurs.
tu dis ensuite que x et S n'agissent pas sur les meme variables, tu parle d'un couple (x,sigmq)
il va me retser a traduire en terme de vecteur de fonctions de carrés sommabes de quoi tu parles
avec tes "variables" des produits tensoriels de deux ev peut etre puis voir leurs produirs scalaires
tu parles de variables indépendantes, des ev orthogonaux?
regarde l'article mecanique matricielle
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...ue_matricielle
c'est a ca que ressemble l'opérateur x en repérsentation énergétique.
ca ressembleraita a quoi si en plus il y avait des spins 1/2 ?

[La Limule]

Dans le représentation énergétique de wikipédia,
on voit que la diagonale principale est réservée aux énergies et les deux diagonales de part et d'autre
aux positions et impulsions. et les autres sont inutilisées.
Il y a peut etre la de la place pour ce qui concernt la partie discrete?????

[ThM55]

Ce que tu as trouvé sur Wikipedia, "la représentation énergétique", s'applique à l'oscillateur harmonique, c'est intéressant mais ce n'est pas représentatif du cas général. X est proportionnel à , somme d'opérateurs qui font passer d'un niveau d'énergie à un autre adjacent (donc des créateurs et annihilateurs de quanta). C'est juste l'écriture des éléments de matrice dans une base particulière. La base de positions dans l'espace des fonctions de carré sommable est une base différente. Le fait qu'on ajoute un spin ne change rien à tout cela puisque le spin commute avec les coordonnées. Rien n'empêche de prendre le produit tensoriel des bases de l'énergie et celles du spin et d'écrire des éléments de matrice entre les éléments de cette base.

C'est juste un peu plus difficile pour la typographie, comme toujours quand on a des tenseurs.

Bon désolé d'être plutôt laconique, mais je ne vais tout de même pas faire un cours de mécanique quantique. Tu trouveras toutes les réponses dans les cours renseignés par 't Hooft et dans les livres d'introduction habituels. Personnellement j'aime bien celui de Leslie Ballentine mais il est peut-être un peu compliqué. Le "minimum théorique" de Leonard Susskind est plus limité mais très abordable: https://www.amazon.fr/M%C3%A9canique...s%2C119&sr=8-1

[La Limule]

Pas de probleme.
j'essaierai de trouver le formalisme opératoriel permettant de démontrer ton affirmation que si on écrivait les opérateurs position et projection du spin dans une direction donnée alors leur commutateur serait nul.

Ps. Je ne serais pas vexé si quelqu'un y parvenait avans moi

[La Limule]

J'ai trouvé cet article décrivant le formalisme quantique des particules a spin 1/2
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/...ours_chap4.pdf
On a bien pour l'espace total :
Le fait qu'on aie un produit tensoriel semble bien indique un commutateur nul entre les operateurs agissant de chaque coté.

[ThM55]

C'est souvent présenté dans les cours d’introduction, comme celui que tu as trouvé, comme un postulat. C'est pour simplifier, mais en fait cela se démontre si on admet qu'une particule peut avoir un moment angulaire propre (ce que l'expérience a révélé vers 1925). Cela vient du théorème de Noether: l’invariance par rotation pour une particule libre entraîne la conservation du moment angulaire total (moment angulaire orbital et spin). En terme d'opérateurs, cela signifie que le commutateur avec le hamiltonien s'annule: . Pour une rotation "infinitésimale" qu'on peut représenter par un vecteur orienté dans l'axe de la rotation et de longueur infinitésimale r radians, on montre que si est un opérateur vectoriel (comme la position ou l'impulsion, ou un moment angulaire différent de J), on a



( est le produit vectoriel).

Mais à partir de la définition du moment angulaire orbital , on montre aussi que



Comme , on doit avoir . C'est donc vrai non seulement si est la position mais aussi pour l'impulsion et même le moment angulaire orbital: .
Cet opérateur peut donc avoir des états propres communs avec la position et donc on peut le représenter par une variable discrète supplémentaire dont dépend l'état, à côté de la position. C'est toujours bon de mieux comprendre d'où viennent les affirmations postulées car on peut alors mieux comprendre dans quelle mesure et sous quelles conditions on peut éventuellement les contester ou pas.

[La Limule]

En relisant l'article cité dans le post 10, j'ai un doute sur la cohérence du produit tensoriel

Il est indiqué que Hespace est l'ensemble des fonctions de carré sommable sur l'espace R3 et que
Hspin c'est C^2 cad l'ensemble des fonctions complexes définies sur deux points (les spins haut et bas dans une direction donnée?)
en fait comme on a trois direction pour la projection du spin, il serait plus cohérent de dire
que Hspin est l'ensemble des fonctions complexes définies sur la sphere de Bloch.
Qu'en pensez vous?

[ThM55]

Ce serait peut-être une bonne idée d'étudier un cours de base de mécanique quantique, non? Je ne sais pas si c'est pertinent, c'est une idée saugrenue qui m'est venue comme ça en lisant la question.

On y a apprend des choses vraiment élémentaires: comme le fait que les composantes du spin ne commutent pas entre elles, donc qu'un vecteur ne peut être vecteur propre simultané des trois opérateurs.

[La Limule]

@Thm55
Tu es assurément un grand donneur de leçon devan l'éternel mais les conseilleurs peuvent ils etre des payeurs?
Il te faudra dans ce cas précis prouver que tu es crédible en commentant une phrase de Alain Connes.
Elles est dans le post 1 et mériterait d'etre illustée avec des opérateurs quantiques précis (a toi d'en fournir)

il n'y auraiit aucune honte pour toi de répondre que ça dépasse ta compréhesion.
Deedee81 disait qu'il s'était arrété en deça de la théorie de chmps.

Ou bien tu peux fournir un exemple de deux opérateurs que ne commutent pas (un continu et un discret) sur l'espace unique dont
parle Alain connes en montrant qu'ils sont diagonalisables dans des bases différentes,
ou alors tu ne le peux pas.

je peux te redonner la vidéo dans laquelle il l'a dite:
https://www.google.com/search?sca_es...AyAl7GL1c,st:0
et c'est entre les minutes 31 et 34

[coussin]

Du coup, je ne comprends pas ce sujet...
Connes donne un exemple dans la vidéo que vous citez : la multiplication par x (continu) et la multiplication par 1/n (discret).
Que voulez-vous de plus au juste ?

[La Limule]

Merci Coussin de me répondre.
J'avais bien sur lu les exemples donnés par Alain Connes. Mais j'ai du mal à calculer des deux facons leurs produits OO' et O'O
par exemple je prends un vecteut de l'espace de Hilbert L^2 (N)
ca va etre une suite v_n de nombres dont la somme des carrés convergent
si je fais opérer sur cette suite v_n la multiplication par 1/n , là c'est simple on obtient la suite v' = v1/1, v2/2 v3/3 etc qui est de carré sommable. il faut ensuite faire agir sur une telle suite la multiplication par x et là ca se complique.
cet opérateur est continu mais comme il est rappelé on a un espace de Hilbert unique ou Q est dense.
tout x est limite d'une suite de rationnels q1 q2 q3 etc
En quoi consiste la multiplication par un x donné ?
j'avais pensé a la multiplication de la suite v'n terme a terme par q1 q2 q3 etc
mais il y a plein de suites de rationnels qui convergent vers un x donné. La je cale.

[ThM55]

Je crois avoir déjà expliqué (si pas sur ce fil, ailleurs), que je ne comprenais pas les trucs d'Alain Connes. De plus je n'ai pas le temps de m'y consacrer: j'ai déjà 67 balais et j'ai calculé que je ne vivrai sans doute pas assez longtemps pour lire tous les bouquins de math et de physique qui attendent dans mes étagères. Pour la réponse à la question du fil, je ne peux que répéter que l'opérateur du spin d'une particule commute avec la position, l'impulsion et le moment angulaire et je n'ai plus rien à ajouter.

[La Limule]

Pas de probleme , je te comprends parfaitement.
D'autant plus que j'ai dix ans de plus que toi.

[coussin]

Je ne comprends pas l'exemple donné par Connes.
Il me semble quand même que l'exemple donné par ThM55 est bien plus simple et marchera toujours tant qu'on a un espace de Hilbert total H= H1 x H2 avec H1 continu et H2 discret.

[La Limule]

le probleme avec Htot = produit tensoriel de Hespace et de Hspin c'est que c'est un autre espace hilbertien
que celui étudié par AC. il est sans doute plus simple mais le probleme est un probleme mathématique.
On ne peut répondre a un probleme mathématique en étudiant une autre structure.
peut etre que je devrais poster la question en maths.

[coussin]

Que ce soit x ou 1/n, ce sont deux nombres. Donc la multiplication par x ou 1/n devrait commuter...
Si Connes dit que ça ne commute pas, il s'agit encore d'un propos qu'il faut "traduire" et c'est un peu fatigant à la fin avec Connes...

[La Limule]

Je pense que le problème ne vient pas de Connes mais ne notre énorme flemme à tous.
Moi le premier j'utilise les mots "opérateur agissant sur un espace de Hilbert" avec la vague idée qu'un opérateut, en gros
c'est une matrice dont la dimension peut etre infinie. Et un espace de Hilbert un EV avec un produit scalaire pérmettant de parler
en MQ de transitions, d'amplitues etc.

Dans sa vidéo Connes nous dit qu'il n'y a qu'un seul espace de Hilbert a base dénombrable et que des opérateurs
discrets ou continus vont pouvoir y opérer, que certais y seront diagonaux alors que d'autres non....

Qui a vraiment lu l'article wikipédia sur les espaces vectoriels?
J'y ai trouvé ces lignes (à ma grande surprise):

Deux espaces de Hilbert admettant des bases hilbertiennes équipotentes (en relation bijective) sont isométriquement isomorphes, autrement dit : tout espace de Hilbert de base hilbertienne X est isomorphe à ℓ2(X). Par exemple : tout espace de Hilbert séparable (et de dimension infinie) est isomorphe à ℓ2(ℕ) = ℓ2

Dans notre cas on a tout d'abord une base hilbertienne formés de vecteurs orthonormés:
e1 = (1 0 0 0 0 /..
e2 = (0 1 0 0 0 0 ...
e3 = (0 0 1 0 0 ...
et on forme les suites de de carrés sommables

On a d'un autre coté , défini sur le segmant [0 1] une suite indexée par n de fonctions f_n(x)de carré = 1 et deux è deux
orthogonales. Connes dit aussi qu'on peut avoir la meme chose avec des fonctions définies sur un cercle.
Sans que ca marche ca fait penser a des polynomes orthogonaux
https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_...es_orthogonaux

de meme qu'on voit ce qu'est pour une suite v1 v2 v3 l'action de l'opérateur dianal avec des 1/n
sur la diagonal, on voit également comment agit la multiplication par x sur les fonctions f_n (x)
Elles deviendront toutes nulles en 0 et vaudront x f_n (x)

Ce serait bien vous trouviez de tels f_n (x)

[coussin]

Ce serait bien vous trouviez de tels f_n (x)

Y en sûrement une infinité...
Une classe possible est celles qui s'annulent en 0 et 1. Ce sont les sin(n π x), à une constante de normalisation près. Ce sont les modes d'une corde vibrante.

[La Limule]

Bien vu

[La Limule]

je repense à une remarque que tu avais faite sur la commutativité des deux opétateurs
Tu avais dit que multiplier par x ou par 1/n c'était multiplier par des nombres et que ca commutait.
ce n'est pas exactement ça a mon avis
la multiplication par x est pour les f_n (x) la multiplication par la fonction définie sur [0 1] dont le graphe
est un segment de pente 1.
il faudrait pour opérer dans la base des f_n l'exprimer comme un opérateur linéaire
ce n'est pas x Id car dans ce cas x serait simplement un nombre appelé x et l'opérateur serait une multiplication
par une constante.

[coussin]

Bien évidemment x n'est pas une constante.
Mais bien évidemment aussi 1/n (x f_n(x)) est la même fonction que x (1/n f_n(x))...

[La Limule]

Connes dit que la multiplication par la fonction x peut etre diagonalisée mais qu'alors l'opérateur
que transforme les vn en v1/1 v2/2 v3/3 etc n'est plus diagonal.
Yapuka voir comment on fait ça.

[La Limule]

J'ai posté dans la section math pour avoir un exemple des fonctions orthonormales
En attendant on peut continuer sans préciser plus.
si f1 (x) est le premier élément de cette famille on va avoir a considerer la fonction
x f1(x) avec les x variant de 0 a 1. cette fonction va etre partout inférieure ou égale a f1 (x) sur le secment
et sera donc de carré sommable.
et comme les fn (x) forment une base hilbertienne cette fonction s'écrira grace a des coefficients
x f1 (x) =
L'opérateur de multiplication par x va donc se présenter dans la base de f_n comme une matrice
de dimension infinie dont le premier vecteur colonne sera



etc

le deuxieme vecteur colonne de cet opérateur sera obtenu avec les coefficients associés a x f2 (x)

Rien n'impose des conditions de symétrie pour cette matrice infinie
Et on va pouvoir regarder si elle commute avec l'opérateur diag (1, 1/2, 1/3 etc)
Si on fait la multiplication avec "diag" à dorinte,
la premiere colonne va etre inchangée, la deuxieme divisée par 2 erc
si on fait la multiplication avec "diag" a gauche
la primiere ligbe reste inchangée
la deuxieme ligne est divisée par 2 la troisieme par 3.

on peut voir que ca ne commute pas.

[Antonium]

Bonjour,

dans votre exemple vous considérez une matrice complètement quelconque, alors que pour la matrice qui correspond à l'opération "multiplication par x" vous aurez et les autres pour i=2,3,...
De même pour les autres colonnes. Autrement dit la matrice est diagonale (et oui si on exprime l'état dans la base des positions propres, alors l'opérateur position est ... diagonal).

[La Limule]

Non car l'opérateur multiplication par x est un opérateur bien précis tout il y a un opétateur dérivation par x
il n'y en a pas 36.
Lambda c'est un nombre qui apparait dans une décomposition
pour l'opérateur multiplication par x qui est un opérateur unique bien défini il vaudrait combien lambda?
et pour l'opérateur dérivée par x il a une valeur x?