BonjourEnvoyé par humanino
Bonjour,
ayant recu peu de succes avec ma precedente enigme, je vous en propose une nouvelle
Ca devrait etre beaucoup plus facile. On joue a pile ou face, avec une piece equilibree. Les tirages successifs sont notes sur papier. Le but est d'etre le premier a voir une sequence predefinie. Vous avez le choix entre PFF et PFP. Lequel choisissez-vous, et si oui, pourquoi ?
les 2 combinaisons ont la meme probabilité d apparaitre alors pas de difference
Super... je ne sais pas pourquoi, je n'ai pas envie de te souhaiter la bienvenue...
Tu arrives exactement aux mêmes valeurs que Donnelly. Mais ce sur quoi nous divergeons, il me semble, c'est sur la réponse à la question initiale.
Pour moi, la distance entre deux PFF ne peut même pas exister. Lorsque PFF est atteint, le jeu est terminé. Le deuxième PFF n'existe tout simplement pas.
La question à laquelle je tente de répondre est celle-ci: si on commence à jouer à pile ou face et qu'on arrête dès qu'une séquence PFF ou PFP apparaît, existe-t-il une combinaison qui offre de meilleures chances de gains? Ma réponse est non.
J'ai justifié ma réponse par l'indépendance du résultat qui suit PF. Et je n'ai pas changé d'avis.
Petite remarque sur les calculs de distances: les valeurs numériques étaient "prévisibles intuitivement":
-Pour PFF, tout est indépendant. 1/2*1/2*1/2= 1/8. Donc 1 million sur 8 millions
-Pour PFP, ce n'est pas indépendant. La dernière lettre peut servir de point de départ pour une deuxième séquence et cette séquence est éliminée. On élimine donc les séquences pour lesquelles on a déjà une première étape de franchie. La probabilité de gagner à nouveau qu'on élimine ainsi est de 1/2*1/2=1/4. On a donc éliminé 25% des réussites, ce 25% étant calculé sur le nombre de réussites comptées. Or 0,8M+25% de 0,8M, ça donne 1M.
En somme, si la distance moyenne est plus grande, c'est qu'on ne les compte pas tous...
Si tu enlevais ta condition de non-recouvrement, j'aurais tendance à croire que tu arriverais aux mêmes distances.
Cette condition de non-recouvrement ne pénalise, bien sûr, que PFP. Mais si le jeu se termine au premier gagnant, il n'y a aucune raison de pénaliser ainsi un joueur.
Voilà pourquoi, je crois, nous arrivons à des résultats différents.
Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.
Oui, je l'ai deja dit. Mais tu noteras, sur la figure attachee, que les distributions n'ont pas la meme forme. Or, ma condition enleve le premier bin de l'histogramme, et n'affecte aucunement les autres bins...
Oups... Tu as raison. Mes excuses.
Ça, j'ai de la difficulté à le comprendre. Il doit y avoir une raison, mais je ne la vois pas.
Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.
Pressentant que ma remarque "les distributions n'ont pas la meme forme" ne sera pas necessairement appreciee a sa juste valeur, j'ai fait une troisieme version de simu. Celle-ci colle je crois parfaitement a la question posee initialement, dites-moi si ce n'est pas le cas
Je procede a 1M de jeux. Pour chaque jeu, je tire a pile ou face, jusqu'a ce que j'ai trouve les deux configurations. Je note le nombre de tirages necessaires a l'apparition de PFF, et de PFP, et a la fin du jeu, je fais la moyenne :
Tres franchement, je suis surpris et c'est pour cela que j'ai commence cette discussion !Code:Tirage 0 : FPFPFF pff=6 pfp=4 Tirage 100000 : FPFPFF pff=6 pfp=4 Tirage 200000 : FFFFFFFPFFFPPFFFFFPPPFP pff=10 pfp=23 Tirage 300000 : FPPFFFPFFPPFP pff=5 pfp=13 Tirage 400000 : FPPFPPFPPPFPPFF pff=15 pfp=5 Tirage 500000 : FFFPPPPFFFPFFFFFPPFP pff=9 pfp=20 Tirage 600000 : FPPPFFFFFPPFP pff=6 pfp=13 Tirage 700000 : FFFPPFPFPFF pff=11 pfp=7 Tirage 800000 : FPPFPPPPPFF pff=11 pfp=5 Tirage 900000 : FPFFFFFPFP pff=4 pfp=10 FIN : ----- dist moy PFF=8.00538 PFP=10.0058
Ci-joint le nouvel histogramme. Cette fois, les nombres totaux de configurations sont identiques (1M) et on peut mieux comparer les distributions.
Y a-t-il un statisticien dans l'avion ?
On en revient toujours à la compréhension de l'énoncé. Pour moi, cette simulation ne permet pas de répondre à la question initiale.Celle-ci colle je crois parfaitement a la question posee initialement, dites-moi si ce n'est pas le cas
Je procede a 1M de jeux. Pour chaque jeu, je tire a pile ou face, jusqu'a ce que j'ai trouve les deux configurations. Je note le nombre de tirages necessaires a l'apparition de PFF, et de PFP, et a la fin du jeu, je fais la moyenne :
Pour comprendre la nuance entre les deux, allons-y pour une analogie quelque peu boiteuse.
2 équipes de foot s'affrontent. AAA est une équipe qui offre un effort constant. BBB est une équipe très irrégulière. Dans ses bons matchs, elle gagne contre AAA par 10-1. Dans ses mauvais matchs, elle perd 2-0. Elle a 50% de bons matchs et 50% de mauvais matchs. Au cours des 20 derniers matchs entre les deux équipes, BBB a marqué 100 buts et en a accordé 10. Le temps moyen entre deux buts marqués est 10 fois plus court que le temps moyen entre deux buts marqués. Quelle est la probabilité que BBB gagne le prochain match? Je réponds 50%.
L'analogie, ici, ne set qu'à mettre en évidence un fait: la distance moyenne entre les buts n'est pas un indicateur parfait du vainqueur. Pour vaincre, au foot, un but de plus suffit.
Ici, pour être vainqueur, il suffit d'être premier. Le concept de distance moyenne, s'il est contredit par un autre raisonnement davantage collé sur le problème, doit être abandonné.
Si PFP gagne 50% du temps, mais gagne par une distance de 3 en moyenne, et si PFF gagne 50% du temps, mais gagne par une distance de 6, en moyenne, alors je dis que les deux séquences ont des chances égales de gagner. D'ailleurs, dans les dix tirages que tu as choisis, chacun gagne 5 fois...
Dernière modification par SunnySky ; 25/07/2008 à 01h21.
Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.
Merci pour ta patience. Je commencais a vraiment devenir fou !
Très franchement, je suis aussi extrêmement surpris. Je me serais attendu à obtenir la même valeur pour les deux, lorsqu'on fonctionne comme tu l'as fait. À un point tel que je me pose des questions...Tres franchement, je suis surpris et c'est pour cela que j'ai commence cette discussion !
Je ne peux pas t'aider en programmation, mais ça me semble louche. Les 10 tirages que tu utilises donnent des moyennes de distance de 8,3 et 10,4, ce qui est cohérent avec toutes tes données. Mais si on fait le décompte, on peut y trouver 77F et seulement 51P. Ton générateur aléatoire semble, selon l'échantillon que tu as mis à notre disposition, favoriser les F. Si tel est le cas, il n'est pas surprenant de voir les FPF gagner sur les FPP.
Suggestion: reprends ton programme et calcule FPF et FPP, puis PFP et PFF. Par symétrie, les résultats devraient être les mêmes. Si les proportions diffèrent sensiblement, il faudrait revoir le générateur.
Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.
J'ai deja echange les significations pile/face <-> 0/1 (en fait, plus ou moins grand que 0.5 pour un generateur uniforme sur [0,1]). Et puis, je retrouve 8 et 10 donne dans la presentation.
Il existe un moyen de desequilibrer le jeu : chaque nouveau tirage est fait avec une nouvelle piece donnee par le joueur. Et le perdant (pour compenser) garde toutes les pieces... Mais ce n'est pas tres naturel.
Sauf que ici il y a une corrélation entre la "distance" et la probabilité de gagner.
Je commence à avoir du mal à suivre. Où en est-vous, et surtout quel problème cherchez vous à résoudre?Très franchement, je suis aussi extrêmement surpris. Je me serais attendu à obtenir la même valeur pour les deux, lorsqu'on fonctionne comme tu l'as fait. À un point tel que je me pose des questions...
Si c'est cela (problème 1):
c'est la même question qu'à laquelle yat a répondu, et la réponse est non.La question à laquelle je tente de répondre est celle-ci: si on commence à jouer à pile ou face et qu'on arrête dès qu'une séquence PFF ou PFP apparaît, existe-t-il une combinaison qui offre de meilleures chances de gains?
Mais à la question (problème 2)
La réponse est non. Les séquences PFP et FPF sont défavorisées. L'argumentaire que je propose se développe comme suit.si on commence à jouer à pile ou face et qu'on arrête dès qu'une séquence de longueur 3 particulière apparaît, les différentes séquences offrent-elle les mêmes chances de gains?
La différence est la suivante. Dans le problème 1, on cherche PFP tel que PF n'était jamais apparu avant; dans le problème 2, on cherche PFP tel que PFP n'était pas apparu avant. Il n'est pas bien compliqué de voir que ça ne peut pas être la même chose!
Soyons plus précis. Dans le problème 1, on cherche les séquences SPFP, avec S une séquence ne contenant pas PF, et dans le problème 2, on cherche SXYZ tel que SXY ne contient pas XYZ.
Maintenant, pour voir que PFP ne se comporte pas comme PFF, il suffit de compter, respectivement, combien il y a de séquences S de longueurs n telles que SPF contient PFP, et combien il y a de séquences S de longueur n telles que SPF contient PFF.
Pour n=1, c'est pareil, 0 pour chacun.
Pour n=2, ce n'est déja pas pareil. Les quatre séquences sont PPPF, PFPF, FPPF et FFPF. PFP est présente dans l'une mais PFF dans aucune.
Ca suffit pour créer la différence, non?
Cela veut dire que la probabilité de trouver, pour la première fois, PFP au cinquième tirage est plus faible que la probabilité de trouver pour la première fois PFF au cinquième tirage.
Il est clair que trouver PFP ou PFF au cinquième tirage à la même probabilité. Mais la la probabilité de trouver, pour la première fois, PFP au cinquième tirage (1/8 fois 7/8) est plus faible que la probabilité de trouver pour la première fois PFF au cinquième tirage (1/8), simplement parce dans le cas PFP il faut ôter la probabilité de trouver PFP au troisième tirage, alors que si on trouve PFF au cinquième tirage, il n'est pas possible qu'il ait été tiré avant.
Résumons:
proba de PFP pour la première fois: troisième position, 1/8, quatrième position 1/8, cinquième position 7/64
proba de PFF pour la première fois: troisième position, 1/8, quatrième position 1/8, cinquième position 1/8
Autre manière encore de voir les choses: si le jeu est d'avoir XYZ pour la première fois en cinquième position, PFF offre de meilleures chances de gain que PFP.
Ca se généralise à toute position au-delà de la cinquième, ce qui montre que PFP est défavorisé par rapport à PFF dans le problème 2.
Comme souvent, un effet peu intuitif des probabilités conditionnelles...
Cordialement,
Corrections indiquées en rouge...
Cordialement,
Ca reste dans le sujet, alors allons-y...
Soit A l'espérance mathématique du nombre de tirages restant à faire pour obtenir PFF sachant que les deux tirages sont PP, B pour PF, C pour FP et D pour FF.
Lorsqu'on a PP, par exemple, on ne peut pas tomber sur PFF en un tirage. Par contre, si on tire encore un P on reste en PP mais avec un lancer de plus, alors que si on tire un F, on se retrouve en PF, toujours avec un lancer de plus. On peut donc dire que A=((1+A)+(1+B))/2, soit A=2+B.
Lorsqu'on a PF, si on tire P on se retrouve en FP, et si on tire F, on aura gagné en un tirage. On a donc B=((1+C)+1)/2=C/2+1.
on trouve de la même manière C=1+(A+B)/2 et D=2+C
La résolution donne A=6, B=4, C=6 et D=8.
Au début de la partie, on a quatre possibilités équiprobables pour les deux premiers tirages, chacune des quatre possibilités nous menant à une situation dont on connait l'espérance. L'espérance E en début de partie est donc telle que E=2+(A+B+C+D)/4, soit E=8.
Bonjour
il est possible, comme le laisse entendre SunnySky que le générateur aléatoire laisse à désirer. Mais comment le vérifier ?
Peut-être en comptabilisant simplement le nombre de piles et de faces sur 1 million de tirages.
J'avoue que j'utilise aussi l'informatique pour des simulations et oh horreur, je n'ai même pas vérifié ce simple élément.
L'electronique, c'est fantastique.
