L'autobus

[invite7776cfba]

L’autobus par Annabelle Blanc.

Chartres et Dreux sont deux villes d’Eure-et-Loir distantes de 39 km exactement. Grand-père habite aujourd’hui une petite maison isolée qui est située au bord de la route reliant ces deux villes. Tous les jours de la semaine, un autobus fait des allers-retours continuels entre Chartres et Dreux en empruntant cette route. Sa vitesse est à peu près constante et le temps des arrêts aux différentes stations est négligeable par rapport au temps mis pour effectuer les trajets.

Grand-père est un original qui ne s’éloigne jamais de chez lui et qui n’a pas de montre. Il voudrait pourtant connaître la distance précise qui sépare sa maison de chacune des deux villes mais ne dispose absolument d’aucun moyen technique de mesure ni du temps, ni de l’espace.

Pourtant, un jour, il m’a dit :
« Annabelle, j’ai déterminé la distance de ma maison à chacune des villes. La maison est à 21,400 km de Chartres et donc à 17,600 km de Dreux. Je peux avoir des valeurs plus précises mais j’ai besoin d’un peu de temps. »

J’ai depuis vérifié ces distances avec le GPS de ma voiture et ai pu constater que Grand-père avait raison. Mais comment diable avait-il procédé pour effectuer ses mesures sans quitter sa maison ?
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[invite6f9dc52a]

Bonjour,

mais ne dispose absolument d’aucun moyen technique de mesure ni du temps, ni de l’espace.

Il ne peut donc pas savoir ni déterminer à quelle fréquence passe les bus ?

[invite7776cfba]

Non, il ne peut pas connaître la fréquence de passage ou la vitesse moyenne du bus.

[invite6f9dc52a]

Merci.


Avant de chercher, la réponse provient bien d'un calcul ou d'un raisonnement "de type géométrique" (il ne demande pas au chauffeur, par exemple) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7776cfba]

Non, non, il ne demande pas au chauffeur. D'ailleurs, Grand-père est sourd et ne parle pas aux étrangers...
Comme dans mes énigmes précédentes, il n'y a pas d'astuces, juste de la logique, de la réflexion, du calcul...

[invite2313209787891133]

Bonjour

Est ce que la détermination des distances dérive d'un calcul statistique effectué sur un grand nombre de valeurs (ce qui expliquerai que l'approximation peut s'affiner avec le temps)?
Une autre question: Est ce que les trajets sont les mêmes chaque jour ?

[invite7776cfba]

Bonjour

Est ce que la détermination des distances dérive d'un calcul statistique effectué sur un grand nombre de valeurs (ce qui expliquerai que l'approximation peut s'affiner avec le temps)?
Une autre question: Est ce que les trajets sont les mêmes chaque jour ?

Question #1 . Vous êtes sur la bonne voie !
Question #2 . Je ne comprends pas la question. Pouvez-vous préciser ?

[invite2313209787891133]

Dans ma 2eme question je veux dire est ce que l'autobus respecte toujours les mêmes horaires et les mêmes trajets d'un jour à l'autre (départ d'une ville, retour à cette ville le soir) ?

[invite6f9dc52a]

Salut,

Dans ma 2eme question je veux dire est ce que l'autobus respecte toujours les mêmes horaires et les mêmes trajets d'un jour à l'autre (départ d'une ville, retour à cette ville le soir) ?

Sauf erreur, il fait toujours complétement les allers et retours donc passe autant de fois devant la maison, Chartres et Dreux (une fois de plus pour son point de départ) et puisqu'il n'y a pas de mesure du temps (j'ai inclus les horaires, trop évidents), il n'y a pas de moyen de mesure des temps respectifs dans une direction ou une autre ...
(pour le calcul statistique, il faudrait deux bus, non ?)

[invite2313209787891133]

(pour le calcul statistique, il faudrait deux bus, non ?)

Pas nécessairement, je pense à une solution mais il faudrait que ablanc réponde à mes questions avant.

[invite6f9dc52a]

... il faudrait que ablanc réponde à mes questions avant.

Pour les horaires : pas de montre donc pas moyen de les déterminer (enfin, je n'en vois pas).

[invite7776cfba]

Myoper a raison, pas de moyen de déterminer les horaires. L'autobus peut démarrer sa journée tous les jours à la même heure ou a des horaires différents, en fonction des jours de la semaine par exemple ou des saisons. Cela n'a pas d'importance.

[invite2313209787891133]

Pour les horaires : pas de montre donc pas moyen de les déterminer (enfin, je n'en vois pas).

Avec la solution que j'avais envisagée il n'y avait pas besoin de montre ou d'une méthode de mesure du temps, mais la dernière réponse apportée fait que cette solution ne fonctionne pas.

Est ce que le raisonnement à quelque chose à voir avec le nombre de passagers ?

[invite7776cfba]

Non, les passagers n'ont pas d'importance.

[inviteccac9361]

Bonjour,

J'ai une idée, à formaliser par les mathematiciens.

 Cliquez pour afficher

Chaque jour de la semaine, au hasard, il va à sa fenetre et note si le bus est en train de passer et dans quel sens.
C'est rare, mais la repartition nombre de Bus dans un sens, et nombre de Bus dans l'autre lui donne sa position relative entre les deux bornes, dont on sait que le total fait 39km.
%Sens1*39km=Distance "Maison"-"Destination Sens1".

[inviteccac9361]

Je la refait.

 Cliquez pour afficher

Il attend le premier bus. Chaque jour de la semaine, au hasard, vers l'heure du premier bus, il va à sa fenetre et note si le bus est en train de passer.
Ensuite il fait la même chose avec le dernier.
La repartition nombre de Bus dans un sens, et nombre de Bus dans l'autre lui donne sa position relative entre les deux bornes, dont on sait que le total fait 39km.
%Sens1/%Sens2*39km=Distance "Maison"-"Destination Sens1".

[invite6f9dc52a]

Chaque jour de la semaine, au hasard, il va à sa fenetre et note si le bus est en train de passer et dans quel sens.
C'est rare, mais la repartition nombre de Bus dans un sens, et nombre de Bus dans l'autre ...

Il faut noter :

... un autobus fait des allers-retours continuels entre Chartres et Dreux en empruntant cette route.

..., il fait toujours complétement les allers et retours donc passe autant de fois devant la maison, Chartres et Dreux (une fois de plus pour son point de départ) et puisqu'il n'y a pas de mesure du temps (j'ai inclus les horaires, trop évidents), il n'y a pas de moyen de mesure des temps respectifs dans une direction ou une autre ...
(pour le calcul statistique, il faudrait deux bus, non ?)

[invitef17c7c8d]

Mettrait-il moins de temps pour déterminer les distances si le même problème se passait dans le sud de la France où l'ensoleillement est plus important ?

[inviteccac9361]

C'est vrai qu'il s'agissait d'une premiere approche du probleme.
On peut tenter de rafiner.
Si il attend tous les jours que le premier bus passe, sans le noter, il se retrouve avec un trajet aller en moins.
Donc (n-1)*Distance totale pour un sens à comparer avec n*Distance totale pour l'autre sens.
Si il note en milieu de journée si le bus passe.
Il aura plus de chance de voir passer un bus dans l'autre sens que dans le sens ou il a éliminé le premier bus.
Cet ecart est lié à la distance totale parcourue et le sens qu'il a éliminé.
Il serait peut-être utile de compter le nombre de passages.

[invite6f9dc52a]

Si il attend tous les jours que le premier bus passe, sans le noter, il se retrouve avec un trajet aller en moins.
Donc (n-1)*Distance totale pour un sens à comparer avec n*Distance totale pour l'autre sens.
Si il note en milieu de journée si le bus passe.
Il aura plus de chance de voir passer un bus dans l'autre sens que dans le sens ou il a éliminé le premier bus.
Cet ecart est lié à la distance totale parcourue et le sens qu'il a éliminé.
Il serait peut-être utile de compter le nombre de passages.

Le nombre de passages devant un point donné sera toujours exactement le même (deux par aller-retour) quelle que soit la position du point sur le trajet (puisque le bus fait un nombre entier d'allers-retours de son garage à son garage dans la journée et passe à chaque fois devant le domicile à cette occasion : une fois à l'aller et une fois au retour).

Quelle que soit la façon de compter, il y aura, au pire (ou au mieux), un passage en plus ou en moins et ça ne donnera donc aucune indication sur la distance puisque cette donnée sera la même quelle que soit l'endroit du parcours ou elle a été comptabilisée.

[invitef17c7c8d]

Il relève les positions de l'ombre de sa maison à chaque passage du bus.

km=0 position 1 de l'ombre : 1er passage du bus
Distance 2*(maison-ville B) position 2 de l'ombre : 2eme passage du Bus
Distance 2*(maison-ville A) position 3 de l'ombre : 3eme passage du Bus

Entre la position 3 et la position 1 de l'ombre, il y correspond 39*2=78km

Donc (Position2-Position1)/(Position3-Position1)=2*X/2*39

Donc X=39*(Position2-Position1)/(Position3-Position1)
Y=39-X

[invite6f9dc52a]

Il relève les positions de l'ombre de sa maison à chaque passage du bus.

km=0 position 1 de l'ombre : 1er passage du bus
Distance 2*(maison-ville B) position 2 de l'ombre : 2eme passage du Bus
Distance 2*(maison-ville A) position 3 de l'ombre : 3eme passage du Bus

Entre la position 3 et la position 1 de l'ombre, il y correspond 39*2=78km

Donc (Position2-Position1)/(Position3-Position1)=2*X/2*39

Donc X=39*(Position2-Position1)/(Position3-Position1)
Y=39-X

Je ne comprend pas : comment multiplier par une "position".
La "distance2" n'est pas définie non plus.


Je rappelle :

[il] ne dispose absolument d’aucun moyen technique de mesure ni du temps, ni de l’espace.

Donc on ne peut pas déterminer l'heure ou son équivalent temps par mesure des ombres (longueur ou distance entre les différentes positions).

[invitef17c7c8d]

Je ne comprend pas : comment multiplier par une "position".
La "distance2" n'est pas définie non plus.

C'est pas Distance2, c'est deux fois la distance entre la maison et la ville B.

Je rappelle :

Donc on ne peut pas déterminer l'heure ou son équivalent temps par mesure des ombres (longueur ou distance entre les différentes positions).

Pour moi, relever la position d'une ombre, ce n'est pas du même ordre qu'utiliser une montre...
Il pourrait aussi remplir sa baignoire et la vider petit à petit (petite fuite) et relever les trois positions de l'eau sur les parois de sa baignoire lors de trois passages du bus devant sa maison...

[invite6f9dc52a]

Je ne comprend pas : comment multiplier par une "position".
La "distance2" n'est pas définie non plus.

C'est pas Distance2, c'est deux fois la distance entre la maison et la ville B.

Ok.

Les positions ne sont toujours pas définies (unités ? Calculées comment et par rapport à quoi ?).
On a pas le droit, ici, de les mesurer.

Je rappelle :

Donc on ne peut pas déterminer l'heure ou son équivalent temps par mesure des ombres (longueur ou distance entre les différentes positions).

Pour moi, relever la position d'une ombre, ce n'est pas du même ordre qu'utiliser une montre...
Il pourrait aussi remplir sa baignoire et la vider petit à petit (petite fuite) et relever les trois positions de l'eau sur les parois de sa baignoire lors de trois passages du bus devant sa maison...

Tout cela implique une mesure et j'ai rappelé que l'énoncé précisait bien qu'il n'utilisait rien de tel :

[Il] ne dispose absolument d’aucun moyen technique de mesure ni du temps, ni de l’espace.

Un volume (baignoire) est une mesure d'espace.

Le fait d'utiliser un repère temporel mesuré (comme un cadran solaire ou un sablier) est du même ordre qu'utiliser une montre (certains s'en servent même de cette façon.

[invitef17c7c8d]

Ca m'énerve!

ou alors il compte dans sa tête.

Il commence à compter au premier passage.
Il note le nombre N2 lors du deuxième passage.
Il note le nombre N3 lors du troisième passage

X=39*N2/N3

[invite6f9dc52a]

ou alors il compte dans sa tête.

Il commence à compter au premier passage.
Il note le nombre N2 lors du deuxième passage.
Il note le nombre N3 lors du troisième passage

X=39*N2/N3

J'ai répondu au message 20 et 17 ...

On a toujours (suivant la façon dont on compte) N2 = N3 (éventuellement +/-1) si N2 et N3 sont les nombres de passages dans un sens ou dans l'autre.

Le nombre de passages devant un point donné sera toujours exactement le même (deux par aller-retour) quelle que soit la position du point sur le trajet (puisque le bus fait un nombre entier d'allers-retours de son garage à son garage dans la journée et passe à chaque fois devant le domicile à cette occasion : une fois à l'aller et une fois au retour).

Quelle que soit la façon de compter, il y aura, au pire (ou au mieux), un passage en plus ou en moins et ça ne donnera donc aucune indication sur la distance puisque cette donnée sera la même quelle que soit l'endroit du parcours ou elle a été comptabilisée.

[invitef17c7c8d]

J'ai répondu au message 20 et 17 ...

On a toujours (suivant la façon dont on compte) N2 = N3 (éventuellement +/-1) si N2 et N3 sont les nombres de passages dans un sens ou dans l'autre.

Non ce n'est pas çà que je voulais dire...

Il compte de manière régulière dans sa tête.
Il voit passer une première fois le bus, il commence à compter:1,2,3,etc..
Lorsque le bus repasse dans l'autre sens : 2495,2496,2497,etc..

Lorsque le bus repasse une troisième fois : 4215,4216.

La solution est alors : X=39*2496/4216.

En recommençant ceci une centaine de fois et en prenant la moyenne, il affine d'autant son résultat ...

[invite6f9dc52a]

Non ce n'est pas çà que je voulais dire...

Il compte de manière régulière dans sa tête.
Il voit passer une première fois le bus, il commence à compter:1,2,3,etc..
Lorsque le bus repasse dans l'autre sens : 2495,2496,2497,etc..

Lorsque le bus repasse une troisième fois : 4215,4216.

La solution est alors : X=39*2496/4216.

En recommençant ceci une centaine de fois et en prenant la moyenne, il affine d'autant son résultat ...

Ok mais ça revient à mesurer le temps et d'autre part, la régularité (donc la fiabilité) n'est pas assurée (même si ça affine, en effet, le résultat, il pourrait toujours en rester très loin - c'est "opérateur dépendant" ; pas de reproductibilité).

[invite6f9dc52a]

Mais, amha, tu as donné la meilleure réponse ...

Perso, je ne vois pas d'autre moyen de résoudre le problème par autre chose qu'une évaluation du temps a l'intérieur d'un seul trajet.
Et si la mesure d'un espace ou d'un volume est interdite et un comptage régulier aléatoire, il peut utiliser des valeurs discrètes d'un processus connu (enfin, je le suppose bien qu'on soit dans le cadre du sablier - l'ombre, il fallait la mesurer) : ici, le remplissage de la baignoire que tu as évoqué et après une approximation du nombre de baignoires, il passe à l'évier puis au verre d'eau et tu appliques ton calcul.

[invitef17c7c8d]

Mais, amha, tu as donné la meilleure réponse ...

Perso, je ne vois pas d'autre moyen de résoudre le problème par autre chose qu'une évaluation du temps a l'intérieur d'un seul trajet.
Et si la mesure d'un espace ou d'un volume est interdite et un comptage régulier aléatoire, il peut utiliser des valeurs discrètes d'un processus connu (enfin, je le suppose bien qu'on soit dans le cadre du sablier - l'ombre, il fallait la mesurer) : ici, le remplissage de la baignoire que tu as évoqué et après une approximation du nombre de baignoires, il passe à l'évier puis au verre d'eau et tu appliques ton calcul.

Oui, c'est vrai ce que tu dis: Il pourrait aussi allumer une bougie et regarder de combien elle fond, allumer une lampe et regarder la consomation électrique sur son compteur, compter les voitures en supposant un flux régulier, etc...

Cela me fait penser au R&R : Repeatability and Reproducibility.

En multipliant le nombre "d'expériences", on doit améliorer la précision du résultat.