Paradoxe de monty hall: charcuter une probabilité

[Bounoume]

source: http://www.rhumatopratique.com/wp/troquet/ 'trinquons à l'acide' page d'accueil le 28.1
voici le texte:
“Dans un jeu télévisé, un candidat se voit proposer de choisir entre 3 portes : 2 cachent une chèvre, la 3ème une voiture flambant neuve.
La règle prévoit qu’au moment où le candidat choisit une porte, le présentateur ouvrira l’une des 2 autres portes, qui dissimule une chèvre. Le candidat a-t-il intérêt à maintenir son choix initial ou à choisir la porte restante ?

Une partie des gens ne change pas son choix. Plus qu’une intuition, c’est une peur de le remettre en question alors qu’on ne voit pas de raison claire de le faire. « Dans le doute, je ne bouge pas ».
Une autre partie des gens ne change pas son choix, sur l’intuition suivante : la chance de mon choix initial était de 1/3 ; elle est à présent de 1/2, comme la porte restante : pas de raison de changer.

Pourtant c’est bien ce qu’il faut faire. La probabilité du choix initial est toujours de 1/3 et c’est l’autre porte qui capitalise les 2/3 restants. Cette conclusion provoqua l’envoi de dix mille courriers de protestation à l’analyste Marilyn vos Savant, dont de nombreux mathématiciens professionnels, refusant d’accepter le résultat. ”

Read more about Trinquons à l’acide on:
http://www.rhumatopratique.com/wp/tr...ampaign=share&


perso, j'affirme aussi que ça ne change rien de changer de porte une fois une des chèvres démasquées par le présentateur.
Pouvez-vous le prouver? Ou prouver qu'il faut bien changer systématiquement?

Aspirine et dafalgan prescrits avec , et remboursés par la sécu....
-----

[Dynamix]

Salut
Tu déterres un vieux classique .
Le truc , c' est que dans le cas ou le candidat a choisis une porte chèvre (2/3) , le présentateur n' as pas de choix de la porte qu' il ouvre . Donc il donne une information au candidat .
Dans le cas ou le candidat a choisis la bonne porte (1/3) , il ne donne pas d' information .

[SunnySky]

Toute la question est dans le rôle du présentateur.

"le présentateur ouvrira l’une des 2 autres portes, qui dissimule une chèvre".

Normalement, on considère que ce n'est pas un hasard. Le présentateur sait où est la voiture et ne la dévoile jamais. Dans ce cas, oui, changer donne 2 chances sur 3 de gagner.

[Bounoume]

Tu crois donc que changer de choix donne un avantage? qu'il faut systématiquement choisir la dernière porte, celle que le présentateur n'a pas ouverte?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dynamix]

Tu crois donc

Non , ça n' a rien à voir avec une croyance .
La troisième porte est le meilleur choix statistiquement .

[Boumako]

Bonjour

Tu crois donc que changer de choix donne un avantage? qu'il faut systématiquement choisir la dernière porte, celle que le présentateur n'a pas ouverte?

Imagines un jeu où il y a 1 million de portes. La voiture se cache derrière l'une d'elle.
Tu choisis une porte (1 chance sur 1 million de gagner), puis le présentateur en ouvre 999 998 autres pour n'en laisser qu'une seule autre fermée. Quelle serait la meilleure stratégie à ton avis ?

[Bounoume]

ça c'est pas le jeu de tout ouvrir gratos.... pourquoi pas aller voir par derrière? c'est tricher!

admettons les 999999 portes.... et une seule voiture à gagner.
Mais le présentateur n'ouvre qu'une seule porte avec chèvre derrière.
Et la porte que tu avais choisi initialement est définitivement verrouillée si tu ne veux pas l'ouvrir et en choisis une autre;
tu peux alors l'ouvrir ou même passer ton tour........

si tu passes ton tour, on recommence: le présentateur ouvre une porte restante, avec chèvre derrière....

Chaque cycle consommera 2 portes, et progressivement toutes les portes seront utilisées....

Ta meilleure stratégie, après cette généralisation du paradoxe, ami Boumako?

[Boumako]

Tu réponds à ma question par une autre question ; je ne suis pas venu pour ça mais pour te faire comprendre pourquoi il est plus intéressant de modifier son choix. Si tu n'a pas compris le point de ma démonstration j’espère que quelqu'un d'autre saura se montrer plus efficace...

[Bounoume]

bon, alors on y va.....
au départ il y a 1 porte=V voiture ; 1 porte= C chèvre; 1 porter= C Chèvre

Premier choix du joueur:
il prend P1
probabilité que P1= V .... c'est p=1/3 ....logique

SI il choisit P1, alors a 1 chance sur 3 d' y trouver V, la voiture.

SI il ouvre P1,.......................... alors l'événement 'gagner la bagnole' a une chance sur 3 de se produire. Le jeu est terminé

SI il refuse d'ouvrir P1, alors....

1) le présentateur ouvre celle des 2 restantes (P2 ou P3) qui a la chèvre.
2) si le joueur persiste, il ouvre P1, alors on semble ramené au cas précédent en P1:
........ .............................. ..............l'événement 'gagner la bagnole' a une chance sur 3 de se produire. Le jeu est terminé
par contre
---------------
3)si le joueur décide d'ouvrir une autre porte - la dernière restante, évidemment, alors
a) il renonce à ouvrir P1. Ce n'est pas forcément une bonne idée, car la loi de P1 est toujours P(V)=1/3:
-> il y a une chance sur 3 qu'il rate la voiture placée en P1 !
b) la probabilité initiale que V se trouve derrière la porte choisie, disons P3, sera toujours P(V) = 1/3
pourtant on peut penser que l'info nouvelle (qui exclut une possibilité) en modifie l'estimation

considère donc la sucession des tirages dans ce cas: c'est plus compliqué.

Avec application de la règle soi-disant optimum: je prends la porte restante non ouverte par le présentateur
Le choix de P1,2,ou 3 étant initialement aléatoire par rapport à la présence de la bagnole (aucune information à ce moment)
considérons les 2 2 événements EXCLUSIFS l'un de l'autre:
soit la bagnole est en P1, soit elle n'y est pas... to be or not to be.....

---cas 'défavorable': voiture en P1!
---probabilité que la bagnole soit en P1 : 1/3
morale :si la bagnole est en PI: c'est foutu......
que le présentateur ouvre P2 ou P3 (il a le choix) ne change rien: c'est perdu
comme le joueur ne veut pas ouvrir P1, la probabilité qu'il RATE la voiture en faisant ça est de 1/3

---cas 'favorable': voiture en P2 ou P3!
---probabilité que la bagnole n'est pas en P1 : 2/3........ CE cas est donc affecté d'une probabilité à priori de 2/3
alors elle est en P2 ou P3; le présentateur ouvrira la porte de la chèvre. décidons que c'est P2.
logique avec lui-même le joueur ouvrira P3.
dans ce cas on a appris que la voiture n'est pas en P2: elle est en P1 OU P3
la probabilité que la bagnole soit en P3 (une fois P2 ouverte) est donc de: 1/2
en apparence c'est super..... mais il y a un lézard, un gros lézard.....

initialement j'ai distingué 2 CAS selon que la bagnole est ou n'est pas en P1.
le 'favorable' et le 'défavorable'. Pas de chance. le joueur ne choisit pas si il a débuté dans le cas 'favorable' ou le 'défavorable'.
C'est le hasard qui le détermine, selon que la voiture est en P1 ou qu'elle n'y est pas....
Le cas super, 'favorable' n'a qu'une probabilité d'ếtre
p(favorable) )2/3

une fois le cas 'favorable' acquis,la probabilité d'avoir alors la bagnole est bien 1/2, mais il faut d'abord décrocher ce ces 'favorable'
la probabilité de tirer le lot (probabilités conditionelles) est le produit de la proba du 1 er évènement (cas 'favorable') par la proba de tirer la voiture, une fois le cas favorable obtenu.
d'où le méchant calcul:
P(V)/'cas 'favorable'' = 2/3 * 1/2
ça fait.....(2/3)*(1/2)= 1/3 seulement, hélas
bonne soirée

[Boumako]

Je vais tenter une autre approche : Si chaque porte à 1 chance sur 3 de cacher la voiture alors sur un grand nombre de tirages la voiture se trouvera un nombre de fois équivalent derrière la porte 1, 2 ou 3.
Supposons que tu choisisses initialement la porte 1 :
- Si la voiture est derrière 1 tu gagnes si tu reste sur ton choix initial, tu perds si tu change.
- Si la voiture est cachée par la porte 2 le présentateur ouvre la porte 3 pour montrer qu'elle cache une chèvre. Tu gagnes si tu changes de choix
- Si la voiture est cachée par la porte 3 le présentateur ouvre la porte 2 pour montrer qu'elle cache une chèvre. Tu gagnes si tu changes de choix

Tu vois bien que sur ces 3 situations tu gagnes 2 fois en modifiant le choix de départ non ?

[vgondr98]

On peut voir la situation de cette manière.
Soit deux stratégies :
1) Garder la même porte.
2) Changer de porte.

Si on applique la stratégie 1, alors si on a bon au 1er round, on aura bon au second round.
Si on applique la stratégie 1, alors si on a pas bon au 1er round, on aura pas bon au second round.

Si on applique la stratégie 2, alors si on a bon au 1er round, on aura pas bon au second round.
Si on applique la stratégie 2, alors si on a pas pas bon au 1er round, on aura bon au second round.
Or la probabilité d'avoir pas bon au 1er round est de 2/3.

[Dynamix]

On peu même faire plus simple :
Dans deux cas sur trois il choisis une chèvre .
S' il change son choix il gagne.

[Bounoume]

Je vais tenter une autre approche : Si chaque porte à 1 chance sur 3 de cacher la voiture alors sur un grand nombre de tirages la voiture se trouvera un nombre de fois équivalent derrière la porte 1, 2 ou 3.

'loi' des grands nombres: ok, mais quelle conséquence en l'espèce?

Supposons que tu choisisses initialement la porte 1 :
- Si la voiture est derrière 1 tu gagnes si tu reste sur ton choix initial, tu perds si tu change.

Une chance sur 3...... exact.

- Si la voiture est cachée par la porte 2

(cas **)
tu n'en sais rien... y a aussi une chance sur 3 que ce soit vrai....
que ce soit vrai ou non (puisque tu n'as rien ouvert) tu demandes au présentateur d'ouvrir....

le présentateur ouvre la porte 3 pour montrer qu'elle cache une chèvre. Tu gagnes si tu changes de choix

pas sûr.... je sais maintenant que la bagnole est en 1 ou 3, c'est tout.
Je ne sais pas si elle est en 1 (alors la martingale actuelle est dénuée de sens) ou si elle est en 3 (alors la martingale est applicable)
donc je ne sais pas si c'est valable de changer.....
si je change, c'est que j'ai parié que la voiture n'est pas en 1 !!!! (2 chances sur 3 de faire le bon pari)
si je parie qu'elle est en 1, je serais idiot de changer.

le HIC est le - Si la voiture est cachée par la porte 2
Cette condition nécessaire au succès (voiture en position 2) n'est remplie que avec une chance sur 3
En sus, pour que le présentateur ouvre la porte 3,une des conditions est aussi que tu aies choisi de sélectionner au début la porte 1
Comme il y avait 3 possibilités au départ, c'est 1/3
Satisfaite, et avec ta décision de martingale, cette condition conduit le présentateur à ouvrir la porte 3.
Tu appliques ta martingale, et tu gagnes.......
probabilité de tout le processus:
1/3 *1/3 =1/6


mais...
il est un autre cas où le présentateur ouvre la porte 3, indépendant du cas ci-dessus (cas **) et où tu seras marron....
Il se peut que la voiture soit derrière la porte 1. Tu ne sais pas, mais tu as demandé au présentateur d'ouvrir une porte. (fausse suposition)
Il a ouvert la 3. Normal. il y a 1 des chèvres. Mais en appliquant à tort la martingale, tu ouvres la 2 et tu perds....

cette situation a une probabilité de 1/3 *1/2.=1/6.

- Si la voiture est cachée par la porte 3 le présentateur ouvre la porte 2 pour montrer qu'elle cache une chèvre. Tu gagnes si tu changes de choix

C'est le cas symétrique
probabilité de gain 1/6
proba de fausse déduction sur fausse suposition : 1/6

En regroupant les cas favorables, y a 1 chance sur 3 de gagner
et les défavorables; il y a aussi 2 chances sur 3 de perdre.

cqfd..
néanmoins ce raisonnement est compliqué, et au fil des méandres.....j'ai très peur d'avoir dérapé...
Avis des matheux très souhaités
cordialement

[Dynamix]

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
Réponse :
C' est plus facile pour ne rien comprendre .

[Médiat]

Bonjour,

Voir : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post1100742

[Archi3]

(cas **)
tu n'en sais rien... y a aussi une chance sur 3 que ce soit vrai....
que ce soit vrai ou non (puisque tu n'as rien ouvert) tu demandes au présentateur d'ouvrir....

pas sûr.... je sais maintenant que la bagnole est en 1 ou 3, c'est tout.
Je ne sais pas si elle est en 1 (alors la martingale actuelle est dénuée de sens) ou si elle est en 3 (alors la martingale est applicable)
donc je ne sais pas si c'est valable de changer.....
si je change, c'est que j'ai parié que la voiture n'est pas en 1 !!!! (2 chances sur 3 de faire le bon pari)
si je parie qu'elle est en 1, je serais idiot de changer.

le HIC est le - Si la voiture est cachée par la porte 2
Cette condition nécessaire au succès (voiture en position 2) n'est remplie que avec une chance sur 3

eh ben non, quand tu es dans la situation où tu as choisi la porte 1 et que le présentateur a ouvert la porte 3 en montrant une chèvre (info supplémentaire!!) , la probabilité que la voiture soit en 2 n'est plus de 1/3 ...

si tu crois que c'est 1/3, dis nous alors quels sont les possibilités associées aux deux autres tiers ?

Autre manière recoupant déjà tout ce qu'on t'a dit :

* si tu choisis une porte au hasard sans info du présentateur, tu as 1/3 de chance de gagner et 2/3 de chances de perdre.
* si tu ne tiens pas compte de ce qu'à ouvert le présentateur et que tu ne changes pas ton choix, tu as toujours les mêmes chances de gagner et de perdre puisque c'est comme si rien ne t'avais été indiqué : 1/3 de chance de gagner et 2/3 de perdre.
* si tu décides de changer ton choix, puisqu'il ne reste que 2 portes, tu es sûr à 100 % d'inverser le résultat : tout choix perdant devient gagnant et tout choix gagnant devient perdant, puisqu'il n'y a plus que 2 portes , une avec la voiture et une sans. Et donc tes probabilités 1/3 - 2/3 s'inversent et deviennent 2/3 - 1/3 : chaque choix gagnant remplaçant l'ancien choix perdant et vice versa.

[myoper]

J'ai une petite question: est-ce qu'il faut recommencer son choix avec les informations du présentateur ou absolument changer de choix ?
Parce que si changer de choix est bien recommencer le choix avec les informations nouvelles, ce n'est pas la seule option pour cette interprétation.

[Boumako]

le HIC est le - Si la voiture est cachée par la porte 2

Le hic c'est plutôt que tu utilises des outils mathématiques sans les comprendre, donc forcément tu arrives à des résultats délirants.

[interferences]

Bonjour,

On parle aussi de changement de variable (pour changer des milles portes).
Je cite ci dessous une explication que j'avais déjà donné dans une discussion (prof = présentateur) :

Présentons le problème sous un autre angle :

-Au départ j'ai 2chances/3 de choisir une chèvre.
-Le prof sachant ou se trouve la voiture ouvre une porte ou se trouve une chèvre : si j'ai déjà choisi une chèvre il n'a donc pas le choix de la porte. Il a donc 2chances/3 d'être obligé de prendre cette porte.
-Je me retrouve donc avec une probabilité de 2/3 sur la porte restante.

On voit que la probabilité de choisir une chèvre devient la probabilité de choisir la voiture

Au revoir

[myoper]

Présentons le problème sous un autre angle :

-Au départ j'ai 2chances/3 de choisir une chèvre.
-Le prof sachant ou se trouve la voiture ouvre une porte ou se trouve une chèvre : si j'ai déjà choisi une chèvre il n'a donc pas le choix de la porte. Il a donc 2chances/3 d'être obligé de prendre cette porte.
-Je me retrouve donc avec une probabilité de 2/3 sur la porte restante.

On voit que la probabilité de choisir une chèvre devient la probabilité de choisir la voiture

Oui mais ça, c'est une information que nous n'avons pas.
Ce qui me ramène à ma question du message 17: recommencer le choix avec les informations disponibles...

[Dynamix]

J'ai une petite question: est-ce qu'il faut recommencer son choix avec les informations du présentateur ou absolument changer de choix ?

Le présentateur demande si tu veux changer ton choix .
Le problème est de savoir si tu réponds oui ou non .

[Deedee81]

Salut,

La première proposition de myoper est alors la bonne. On peut changer son choix ou pas (et on sait qu'il vaut mieux changer).

Je ne comprend pas trop bien la difficulté de ce sujet (qui a l'époque de sa première diffusion avait aussi fait couler beaucoup d'encre). Le fait qu'on puisse (éventuellement) faire un meilleur choix lorsque l'on dispose de plus d'information (l'ndication du prof), cela n'a rien de sin extraordinaire. Et qu'on emploie les probabilités conditionnelles, ou une analyse exhaustive (un dénombrement des cas, la technique brute habituelle en probabilité), la réponse est assez évidente.

Et pour celui qui n'est toujours pas convaincu, hop, petit simulation informatique (c'est franchement facile à programmer).

Quelqu'un aurait une explication sur la raison pour laquelle beaucoup (même des mathématiciens, il y a eut des cas dans l'histoire originale) ont des difficultés à comprendre les raisonnements qui justifient la solution ? Je trouve ça aussi intéressant que le problème lui-même, si ce n'est plsu

[Dynamix]

Je dirais que quand on est bien imprégné d' une idée fausse , il est difficile de s' en défaire .
Il est plus facile de cultiver un champ vierge qu' un champ plein de mauvaises herbes .

[myoper]

Le présentateur demande si tu veux changer ton choix .
Le problème est de savoir si tu réponds oui ou non .

Oui mais ma question potait sur l'exploitation des nouvelles informations données par le présentateur.
je peux recommencer le choix et choisir la même porte parmi les deux restantes (pic et pic et colégram).

Quelqu'un aurait une explication sur la raison pour laquelle beaucoup (même des mathématiciens, il y a eut des cas dans l'histoire originale) ont des difficultés à comprendre les raisonnements qui justifient la solution ? Je trouve ça aussi intéressant que le problème lui-même, si ce n'est plsu

J'essaie ça: un nouveau venu dans le jeu, au moment ou il ne reste plus que deux portes fermée, peut tout à fait choisir la première porte choisie par le premier concurrent avec la probabilité de gagner d'une chance sur deux... ou pas ?

[Archi3]

Oui mais ma question potait sur l'exploitation des nouvelles informations données par le présentateur.
je peux recommencer le choix et choisir la même porte parmi les deux restantes (pic et pic et colégram).



J'essaie ça: un nouveau venu dans le jeu, au moment ou il ne reste plus que deux portes fermée, peut tout à fait choisir la première porte choisie par le premier concurrent avec la probabilité de gagner d'une chance sur deux... ou pas ?

oui bien sûr si tu rejoues à pile ou face, tu joues avec une chance sur deux de gagner. Ce serait vrai même si tu étais sûr de là ou se trouve la voiture (parce que tu l'as placée toi même par exemple ..) mais que tu as quand meme décidé de rejouer les portes au hasard !
ce n'est juste pas la stratégie optimale puisque la probabilité de gain est inférieure au 2/3 que tu as quand tu décides de changer systématiquement ton premier choix.

[Dynamix]

J'essaie ça: un nouveau venu dans le jeu, au moment ou il ne reste plus que deux portes fermée, peut tout à fait choisir la première porte choisie par le premier concurrent avec la probabilité de gagner d'une chance sur deux... ou pas ?

Une chance sur deux , s' il n' est pas au courant du choix du premier .
Il lui manque l' information que le premier avait , donc ses chances sont moindres .

[Bounoume]

je suis marri mes doutes étaient justifiés!
J'avais envie de faire une énumération des diverses combinaisons, mais j'avais préféré dormir...mal....
l'énumération est dans le post de polo, 1 ére page du lien ci-dessus
donné par Mediat, que je remercie.
La martingale est donc bonne: lorsque le présentateur a ouvert 1 porte, le probabilité de trouver la bagnole derrière l'autre est augmentée.

La démonstration -formelle et exacte celle-ci- est dans le lien qui y est cité plus loin:
http://www.forum.math.ulg.ac.be/view....html?id=15877
Pour ceux qui ne liraient pas jusqu'au bout cette histoire belge, la formule en fin de demo :
"On peut calculer : $ P(A\vert K)=\frac{P(K\vert A).P(A)} {P(K)}=\frac {\frac 1 6}{\frac 1 2}=\frac 1 3$"
est l'application du théorème de Bayes.

ça m'a rappelé de très vieux (et poussiéreux) souvenirs.
Errare humanum est (et perseverare diabolicum.....)

[myoper]

Une chance sur deux , s' il n' est pas au courant du choix du premier .
Il lui manque l' information que le premier avait , donc ses chances sont moindres .

Il a une chance sur deux, on est d'accord et on vient de calculer que le nouvelle probabilité du premier intervenant est passée aussi d'une chance sur trois à une chance sur deux.
Les chances sont donc identiques (1/2) et pas moindre, non ?
C'est ce que je n'arrive pas à percevoir: quelles sont les informations que le premier joueur possède et que n'a pas le second et comment modifient elles les probabilités puisque les probabilités sont calculées au final sur ce que constatent les deux joueurs (une porte à choisir parmi deux) ?

[Boumako]

Le 1er joueur sait quelle porte n'est pas désignée par le présentateur lors du second essai, le second ne voit que 2 portes sans distinction.

[Dynamix]

Pour le premier , la porte qu' il a choisis en premier n' a qu' une chance sur trois de cacher la voiture .
Pour le second qui n' a pas l' information "quelle porte a été choisie en premier" les deux porte sont équivalentes .