Paradoxe des jumeaux

[Amanuensis]

Mais pourrais tu expliquer comment tu arrives à cette formule stp ?

Il y a plein de manières d'y arriver, c'est juste l'équivalent en hyperbolique d'une formule classique en euclidien (cf. message #79) ; les démos sont similaires à celles faites en euclidien.

Une méthode est juste de faire le produit scalaire. Soit A l'événément origine, B l'événement rebroussement, C l'événement origine, on a vectoriellement AC = AB+BC, d'où AC² = AB²+BC²+2 AB.BC, le produit scalaire de deux vecteurs temporels est |AB|.|BC|.cosh êta en minkowskien, par définition de êta, à un signe près dépendant de l'orientation temporelle des vecteurs. Cette méthode se passe complètement de référentiel ou de système de coordonnées...

Suffit de penser en termes géométriques pour que ce genre de chose soit clair, et bien comprendre la RR pour faire ensuite la traduction en physique! (Pour moi le point difficile a été la relation entre êta et l'accélération ressentie...)
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[Mailou75]

Formalisation de "plus long", SVP.

Ben l'observateur fixe a le chemin le plus court entre les deux événements, une droite.
Les jumeaux mobiles ont un chemin plus long, le plus long vaut pour un aller retour à c (temps propre nul).
La longueur du chemin est celle mesurée graphiquement pour une trajectoire représentée dans le repère inertiel.
J'ai bon ?

[Amanuensis]

C'est bien la tautologie que j'avais indiquée: le "chemin" est ici la représentation graphique de la durée, avec la propriété que l'ordre est inversé. Dire que c'est plus long sur le dessin, c'est dire que la durée est plus courte, c'est juste une propriété du dessin, pas une propriété physique.

(Et en plus la relation entre longueur sur dessin et durée n'est pas exacte, il est aisé de montrer des cas d'inversions, i.e., plus long sur le dessin, mais durée aussi plus longue...)

[Mailou75]

on a vectoriellement AC = AB+BC, d'où AC² = AB²+BC²+2 AB.BC, le produit scalaire de deux vecteurs temporels est |AB|.|BC|.cosh êta en minkowskien,

Parfait pour la démonstration, merci
Tu réponds même partiellement a une vielle question (http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4091918)

Produit scalaire normal :
N=X_AX_B+Y_AY_B
N=OA.OB.cos

Produit scalaire hyperbolique :
N'=X_AX_B-Y_AY_B
N'=OA.OB.cosh

Sauf qu'en application numérique ça ne marche toujours pas... tu me filerais un exemple stp ?
(Quant aux longueurs des arcs/courbes je ne sais pas d'où j'avais sorti cette relation mais c'est n'imp on dirait...)

Cette méthode se passe complètement de référentiel ou de système de coordonnées...

Disons qu'elle se vérifie quel que soit le référentiel dans lequel on représente les vecteurs (?)

(Pour moi le point difficile a été la relation entre êta et l'accélération ressentie...)

Facile, comme je le disais plus haut on peut se servir de (et non ).
L'accélération ressentie est celle qui fait passer de 0 à dans un référentiel inertiel.
Mais quand tu parles "d'intégration" je suis un peu perdu

C'est bien la tautologie que j'avais indiquée: le "chemin" est ici la représentation graphique de la durée, avec la propriété que l'ordre est inversé. Dire que c'est plus long sur le dessin, c'est dire que la durée est plus courte, c'est juste une propriété du dessin, pas une propriété physique.

Si ! celui qui a le "chemin" (minko) le plus long est aussi celui qui parcours le plus de distance (espace) dans un temps égal pour l'observateur fixe. C'est donc celui qui va le plus vite, ce sera le plus jeune au retour

Et en plus la relation entre longueur sur dessin et durée n'est pas exacte, il est aisé de montrer des cas d'inversions, i.e., plus long sur le dessin, mais durée aussi plus longue...

Show me

[Amanuensis]

Sauf qu'en application numérique ça ne marche toujours pas... tu me filerais un exemple stp ?

Disons qu'elle se vérifie quel que soit le référentiel dans lequel on représente les vecteurs (?)

C'est ce qu'on attend d'une propriété physique indépendante du référentiel! Les vecteurs (4-vecteurs) sont des objets (de modèle) "en eux-mêmes", tout comme la métrique (et donc le produit scalaire et la norme), etc.

Facile, comme je le disais plus haut on peut se servir de (et non ).
L'accélération ressentie est celle qui fait passer de 0 à dans un référentiel inertiel.

Mais ça ne marche pas quand on intègre par rapport au temps propre. bêta est adapté quand on intègre en temps coordonnée.

Mais quand tu parles "d'intégration" je suis un peu perdu

Imaginons que la phase accélérée dure 10 secondes, et les voyages 10 ans (en temps propre), on va négliger la durée d'accélération, et remplacer l'accélération par son intégrale ("impulsion"). Si on parle d'accélération ressentie, par exemple 1 g ressenti pendant 10 secondes, le résultat de l'intégration n'est pas bêta = 100 / (3 10^8), mais êta = 100 /(3 10^8)

(Pour le reste, me faut un peu de temps pour tout vérifier...)

[Amanuensis]

Si ! celui qui a le "chemin" (minko) le plus long est aussi celui qui parcours le plus de distance (espace) dans un temps égal pour l'observateur fixe. C'est donc celui qui va le plus vite, ce sera le plus jeune au retour

Troisième exercice alors!

3) Les jumeaux partent tous avec de S avec des vitesses différentes, et subissent un changement de vitesse à la même distance (mesurée dans le référentiel "fixe") en prenant la vitesse (différente pour chacun) qui les amènent à se rencontrer en F. Quel est l'âge à l'arrivée en fonction fonction de la durée propre avant changement de vitesse? Quel est le cas du plus jeune? [Celui qui change de vitesse à mi parcours.] Quel est le cas du plus âgé? [Asymptote vers le cas où un des deux parcours est à c]

(Réponses à vérifier...)

Comme ce n'est pas constant, on pourra trouver des cas où la distance parcourue par un jumeau est plus grande qu'un autre, et pourtant l'âge est plus grand...

[Mailou75]

Comme ce n'est pas constant, on pourra trouver des cas où la distance parcourue par un jumeau est plus grande qu'un autre, et pourtant l'âge est plus grand...

La distance (en terme d'espace) sera toujours la même dans cet exercice, le "chemin" (dans l'espace temps) va différer.

Quel est le cas du plus jeune? [Celui qui change de vitesse à mi parcours.] Quel est le cas du plus âgé? [Asymptote vers le cas où un des deux parcours est à c]

D'instinct je dirais l'inverse, celui qui change à mi parcours (temps) sera le plus vieux des jumeaux, les cas limites à c seront les plus jeunes.
J'essaye de faire un graph qui va bien

[Mailou75]

Rien à faire... la règle du "chemin le plus long" prévaut toujours

Mais c'était le bon exercice, la distance parcourue est la même pour tous dans le même temps pour l'observateur.
Le plus vieux est celui qui a une vitesse moyenne 0,6c et l'accélération la plus faible !!

[Mailou75]

Donc au final c'est Pathfinder qui avait raison

Pour deux jumeaux qui font un aller retour à la même distance et reviennent en même temps,
c'est celui qui aura subi les plus fortes accélérations/décélérations qui reviendra le plus jeune !

[Mailou75]

PS : A l'inverse du premier exercice, ici le choix des événements contraint les jumeaux à une vitesse de départ minimale 0,43c pour être au rendez vous

[Mailou75]

Mais ça ne marche pas quand on intègre par rapport au temps propre. bêta est adapté quand on intègre en temps coordonnée.

Ok je comprends, se transpose entre référentiels et on pourra toujours mesurer cet angle quel que soit le référentiel hortogonal choisi, alors seulement on parlera de qui dépend du référentiel "coordonnée" alors que n'en dépend pas.

Imaginons que la phase accélérée dure 10 secondes, et les voyages 10 ans (en temps propre), on va négliger la durée d'accélération, et remplacer l'accélération par son intégrale ("impulsion"). Si on parle d'accélération ressentie, par exemple 1 g ressenti pendant 10 secondes, le résultat de l'intégration n'est pas bêta = 100 / (3 10^8), mais êta = 100 /(3 10^8)

Là je suis sur le c.. !! Tu veux dire qu'on a ?
Je commence à comprendre pourquoi Gloubi dans un calcul d'accélération continue parlait de "rapidité", en multiple de c et pas en tant qu'angle hyperbolique, et tombait, par un calcul d'intégrale, sur la valeur du calcul simplifié de .
Mais cela n'est pas pour faciliter la compréhension en effet...

[Zefram Cochrane]

Là je suis sur le c.. !! Tu veux dire qu'on a

Bonsoir,
peux tu m'expliquer cette formule?

jai du mal a me faire au concept de rapidité.

Par contre pour le troisième exercice, soit D la distance, SF . chaque voyangeur va le parcourir en un temps Ti = D/Vi , D étant commun à tous le monde est le voyageur qui aura la vitesse la plus importante (du point de vue du référentiel fixe) va devoir attendre en F les autres voyageurs plus lents.

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut,

peux tu m'expliquer cette formule?
j'ai du mal a me faire au concept de rapidité.

Bof... j'en découvre un usage que j'ignorait... apparemment il faut la comprendre ainsi :
Si un voyageur subit une accélération constante pendant une durée propre
il aura acquis relativement à un observateur fixe une rapidité
Cette rapidité est aussi l'angle hyperbolique qui permet de définir la vitesse relative

C'est ce qu'on fait en approximation quand on dit soit car pour les cas non relativistes ~et ~, enfin il me semble

J'en sais pas plus que ça... j'essaye de calculer la distance en fonction de t (ou ) mais j'y arrive pas

Par contre pour le troisième exercice, soit D la distance, SF . chaque voyangeur va le parcourir en un temps Ti = D/Vi , D étant commun à tous le monde est le voyageur qui aura la vitesse la plus importante (du point de vue du référentiel fixe) va devoir attendre en F les autres voyageurs plus lents.

S et F sont des événements séparés dans le temps mais situés au même endroit, il n'y a pas de distance D.
Si tu parles de la distance de l'aller retour alors ton calcul semble donner des vitesses égales à l'aller comme au retour,
or l'exercice suppose que les jumeaux ne se retrouvent pas seulement au point de départ mais aussi au même moment

[Amanuensis]

Rien à faire... la règle du "chemin le plus long" prévaut toujours

Ma demande de formalisation n'est pas satisfaite alors. Il semblerait qu'à chaque fois que je suppose une définition, elle est remplacée par une autre.

Une fois de plus, que signifie "chemin le plus long"?

[Amanuensis]

Si un voyageur subit une accélération constante pendant une durée propre

Accélération mesurée localement (accélération propre), point essentiel.

C'est ce qu'on fait en approximation quand on dit soit car pour les cas non relativistes ~et ~, enfin il me semble

Correct

J'en sais pas plus que ça... j'essaye de calculer la distance en fonction de t (ou ) mais j'y arrive pas

Calculer la distance parcourue "mesurée localement" est facile: 0.

Faut bien distinguer ce qui est mesurable localement (temps propre, accélération propre) et ce qui est qui est mesuré en coordonnées.

[Amanuensis]

Pour la longueur dessinée, encore un exercice (sans intérêt pour la physique...)

4) Les jumeaux partent tous avec de S avec des vitesses différentes, et subissent un changement de vitesse à l'instant et distance (en coordonnées) (t, d) tel que , en prenant la vitesse (différente pour chacun) qui les amènent à se rencontrer en F. Quel est l'âge à l'arrivée en fonction fonction du point de changement de vitesse?

Note : Le 0.4 peut être remplacé par une autre valeur entre 0 et 1/2

[Mailou75]

Une fois de plus, que signifie "chemin le plus long"?

Longueur dessinée (sic)?

Correct

Calculer la distance parcourue "mesurée localement" est facile: 0.

Hein hein... je parlais de d (coordonnée) en fonction de , c'est pas la plus facile à utiliser mais elle doit bien exister.
L'idéal serait d en fonction de t, mais tu sais comme je suis bon en intégrales... j'ai essayé, en vain

4)

En plus d'être un exercice c'est une énigme... qu'est ce que tu cherches à faire ?
Je n'arrive même pas à trouver des valeurs pour t et d qui puissent satisfaire l'équation, t'es sur de ton coup?

Merci

[invite6754323456711]

Longueur dessinée (sic)?

http://luth.obspm.fr/~luthier/gourgo...er/relatM2.pdf

2.3.5 Représentation graphique des vecteurs

Pour dessiner des figures dans l’espace-temps, on supprimera une ou deux dimensions : on aura alors respectivement des dessins à trois dimensions en perspective ou des dessins plans. Deux vecteurs orthogonaux pour la métrique g ne seront pas nécessairement représentés par deux flèches perpendiculaires (au sens usuel du terme) : par exemple, un vecteur de genre lumière est orthogonal à lui-même alors que graphiquement, une flèche ne peut évidemment pas être perpendiculaire à elle-même. Cet aspect des graphiques d’espace-temps est illustré sur les Fig.2.7 et Fig.2.8 , sur lesquelles nous invitons le lecteur à pendre le temps de réfléchir

on sait faire aussi.

Patrick

[Mailou75]

Bon j'ai essayé de déchiffrer ce que tu voulais faire : tu bosses avec Thalès pour définir des "longueurs dessinées identiques".
Du coup l'équation qu'il faudrait satisfaire (par rapport à notre jumeaux référent aller-retour c) c'est :


Pour laquelle t=T/2 est notre référent (demi tour à mi parcours)

On trouve logiquement que tous les événements "demi-tour" sont situés sur une ellipse dont S et F sont les foyers,
ainsi on est assuré que les longueurs des chemins sont toutes égales.

On constate cette fois qu'à chemin égal on peut avoir des différences de temps propre,
à nouveau celui qui subira les accélérations les plus fortes sera celui qui revient le plus jeune !!

So... YOU WIN !!!
(c'est Bobdémaths qui va faire la gueule, LA règle souffre quelques exceptions)

[Mailou75]

Simplification de la formule :



c'était le bon exercice ou pas du tout ?

[Amanuensis]

Simplification de la formule :



c'était le bon exercice ou pas du tout ?

C'est tout bon(1). Et comme gamma²=1(1+beta²), ça fait T/gamma... Normal, le jumeau "référent" va à vitesse constante en module par rapport au "fixe"...


(1) Y compris l'analyse du but de l'exercice 4.

[Mailou75]

C'est tout bon(1). (1) Y compris l'analyse du but de l'exercice 4.

Yeah !

En tout cas tu viens de mettre le doigt sur un truc, on lit partout que le chemin le plus long a le temps propre le plus court,
et cet exercice vient de démontrer que cette règle est fausse... va falloir corriger pas mal de bouquins

Et comme gamma²=1/(1-beta²), ça fait (...)

ça fait rien du tout

[Amanuensis]

Pour revenir à êta versus bêta...

Déjà, répétons que êta, bêta = tanh êta et bêta gamma = sinh êta contienne tous la même information, et ont une signification physique identique.

Une manière de comprendre est de faire le parallèle avec les angles sphériques. On a alpha, sin alpha et tan alpha, qui donne aussi (du moins pour les angles entre -pi/2 et pi/2, la même information. Géométriquement, c'est l'angle alpha qui apparaît le concept le plus "premier". Mais il y a au moins un cas en physique où on préfère la tangente: la notion de pente. Quand on dit "une pente de 50%, on indique que la tangente de l'angle est 0.5.

L'intérêt de éta (et de alpha), c'est quand il y a une addition (ou une intégration, pareil). On peut très bien utiliser les tangentes pour "additionner" deux angles: t(a+b) = (ta+tb)/(1-ta.tb), formule identique à la composition des vitesses en RR, au signe près. Additionner des angles est quand même plus simple que passer par la formule de "composition des pentes", la formule avec les tangentes.

C'est pareil avec les "triangles hyperboliques": quand on compose les vitesses (les bêta), on additionne les "rapidités", juste parce que c'est plus simple à manipuler.

Il y a quand même un petit bonus, comme déjà indiqué, l'opération inverse de l'intégration étant la dérivation: l'accélération propre est formellement la dérivée de la rapidité (mesurée depuis une référence quelconque), ce qui en fait l'homologue de la vitesse angulaire, qui est la dérivée de l'angle (mesurée depuis une référence quelconque) par rapport au temps propre. Alors que la dérivée de la tangente (ou de la tangente hyperbolique bêta) n'a pas de sens physique direct.

[Amanuensis]

ça fait rien du tout

(pour moi...)

En tout cas tu viens de mettre le doigt sur un truc, on lit partout que le chemin le plus long a le temps propre le plus court,
et cet exercice vient de démontrer que cette règle est fausse... va falloir corriger pas mal de bouquins

Non, non. Tu parles de la longueur dessinée sur un diagramme de Minkowski, qui n'est pas une représentation fidèle de la métrique. Je ne me rappelle pas de texte où on s'occupe de la longueur ainsi dessinée. Tu est en train de dire l'équivalent de "en géographie il est écrit que le chemin le plus court est celui mesuré sur une carte de Mercator, c'est faux, va falloir corriger" ; non, aucun bouquin de géographie ne dit cela, on sait bien qu'une carte de Mercator ne représente pas fidèlement les distances.

[Mailou75]

Je ne me rappelle pas de texte où on s'occupe de la longueur ainsi dessinée.

C'est pourtant de cela dont parle Bobdémaths, et que l'on retrouve ailleurs (manque source...)

"en géographie il est écrit que le chemin le plus court est celui mesuré sur une carte de Mercator, c'est faux, va falloir corriger"

Analogie douteuse... dans notre cas (Langevin) un seul des jumeaux est inertiel et seule la représentation des chemins dans son repère (hortogonal) a un sens par rapport au sujet. On ne peut pas changer de repère. Ça ne dépend donc pas d'un choix de représentation mais d'un choix dans l’énoncé du problème.

........

Déjà, répétons que êta, bêta = tanh êta et bêta gamma = sinh êta contienne tous la même information, et ont une signification physique identique

Tu peux même ajouter le Doppler et ( c'est l'impulsion p=mc )
et c'est clair que tout ça c'est kif kif

t(a+b) = (ta+tb)/(1-ta.tb)

C'est pareil avec les "triangles hyperboliques": quand on compose les vitesses (les bêta), on additionne les "rapidités", juste parce que c'est plus simple à manipuler.

Oui j'ai déjà vu ce cours http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4062704

Il y a quand même un petit bonus, comme déjà indiqué, l'opération inverse de l'intégration étant la dérivation: l'accélération propre est formellement la dérivée de la rapidité (mesurée depuis une référence quelconque), ce qui en fait l'homologue de la vitesse angulaire, qui est la dérivée de l'angle (mesurée depuis une référence quelconque) par rapport au temps propre. Alors que la dérivée de la tangente (ou de la tangente hyperbolique bêta) n'a pas de sens physique direct.

Lourd...
vitesse angulaire = ?
dérivée de la rapidité = ?
dérivée de l'angle =?
La rapidité semble être encore plus intéressante que je ne pensais,
mais ça va me demander du temps pour digérer cette remise en question

Sinon pour un objet soumis à une accélération constante , peut on exprimer la distance parcourue pour l'observateur fixe ?
On a bien mais c'est pas vraiment exploitable...

Merci pour ton soutien
Mailou

[Amanuensis]

Nan, manque le signe.

[Mailou75]

Nan, manque le signe.

mieux ?

On a bien mais c'est pas vraiment exploitable...

Ben j'me suis arrangé avec ça mais c'est approximatif...
Courbes pour des accélérations de 0,05c/s, 0,1c/s (3millions de g) et 0,2c/s
J'ai noté en bleu le moment où chacun atteint une rapidité de 1c (vitesse 0,76c) soit à 5, 10 et 20s.
On voit que les voyageurs atteignent à peu près la même distance au bout de 13, 19 et 28s.

Je reste convaincu qu'on doit pouvoir trouver l'équation de cette courbe d(t)...
Et déterminer aussi quelle est la distance parcourue du point de vue du voyageur d'(t) (ou d'())
(Calcul de Gloubi ici http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4479952 mais sans les formules, snif...)

Merci d'avance
Mailou

[Amanuensis]

mieux ?

Nan. sinh ou tanh ont un signe (vitesse dans un sens ou dans l'autre. cosh ne distingue pas les directions.

Et déterminer aussi quelle est la distance parcourue du point de vue du voyageur d'(t) (ou d'())

Pas de sens physique clair. La rapidité s'interprète comme un 'angle', pas comme une vitesse. Son intégrale n'a pas de sens clair (pas plus que l'intégrale d'un angle sphérique). Pour le voyageur, la distance parcourue est nulle. Pour avoir une distance parcourue non nulle, faut choisir un référentiel inertiel, et ce n'est plus "le point de vue du voyageur".

[Mailou75]

Nan. sinh ou tanh ont un signe (vitesse dans un sens ou dans l'autre. cosh ne distingue pas les directions.

Oui ils ont le signe de qui peut être négatif, sauf le cosh, c'est pourquoi j'ai mis une valeur absolue.
Bref c'est du détail

Pas de sens physique clair.

J'ai vu que tu avais déjà réagi sur le "sens physique" dans le fil que je cite.
Pourtant le voyageur parcourt bien une distance (compressée) de son point de vue. Evidemment que sa vitesse dans son référentiel est nulle, mais on doit pouvoir calculer la vitesse le la "planète cible" qui s'approche à vitesse croissante dans le référentiel du voyageur, ce qui revient à calculer sa vitesse (perçue pendant le voyage) par rapport à un point fixe, différente de sa vitesse vue depuis un point fixe, non ?

Merci
Mailou

[Mailou75]

Je reste convaincu qu'on doit pouvoir trouver l'équation de cette courbe d(t)...

Tu sèches ou tu me lâches ?

(De mon coté j'ai tout essayé j'arrive à rien...)