Faut-il ignorer cette coincidence ?

[Mailou75]

Bonsoir,

Je suis tombé sur une nouvelle relation assez amusante sur les trous noirs, que j'aimerais partager avec vous. Comme l'indique le titre j'ai le sentiment, à force de suivre la même voie, que c'est plus qu'une coïncidence. Ceci n'a rien d'une théorie personnelle, ce ne sont que des maths, de la géométrie. J'ai posté dans cette catégorie car ça risque de demander, même à ceux qui connaissent le sujet, une bonne capacité d'abstraction pour un nouveau formatage (auquel je ne comprends encore moi même pas grand chose). Comme je suis en vacances vous n'aurez pas le petit schéma habituel mais j'en ai à vous link qui feront parfaitement l'affaire. Bon courage aux lecteurs...

Tout part de l'équivalence en RR entre la géométrie de Minkowski et une géométrie que l'on peut qualifier de trigonométrique. Certains en auront déjà entendu parler lol. Ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4094435 on peut voir sur les deux schémas de gauche comment se lisent les valeurs de Beta et Gamma et leurs relations, hyperbolique ou trigonométrique selon le cas, avec l'angle formé entre deux lignes d'univers. Si Minkowski offre une vision "quasi-newtonnienne" de la RR, la représentation Trigo est d'emblée plus difficile à lire, utiliser, changer de repère, additionner les vitesses et pas pratique pour les neurones... une tannée. Mais c'est tellement juste que ça pique la curiosité.

Si on transpose cette lecture sur un trou noir de Schwarzschild on obtient ceci https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6396833. On s'intéresse au schéma de gauche, celui qui chute depuis l'infini. On voit (faites moi confiance) que localement, si on prend l’orthogonale à la parabole de Flamm, on trouve la vitesse locale de chute libre depuis l'infini (et son 1/Y).

(J'ouvre une parenthèse pour signaler que, puisque pour le cas particulier de la chute libre depuis l'infini on trouve la relation Y=z+1, où Gamma est le facteur de Lorentz de la vitesse de chute libre locale et z+1 le redshift gravitationnel perçu par l'observateur éloigné regardant un immobile en r. Du coup l'orthogonale à la parabole de Flamm pourrait tout aussi bien représenter l'immobile. Déjà ça commence à piquer pour la lecture... fin de parenthèse)

Nous arrivons maintenant à la fameuse relation. Si on considère que l'espace (Flamm) va se décaler vers le haut au cours du temps et que le vecteur hortogonal contenu dans une bulle infinitésimale (pas comme le schéma...) va joindre à chaque itération une coordonnée r de plus en plus faible, alors on peut tracer une trajectoire jusqu'à r=Rs. Ce que j'ai fait. Et vu le résultat obtenu j'ai du vérifier quelque chose analytiquement. Ce que j'ai fait faire, lol. Tenez vous bien la formule d'une courbe orthogonale à Flamm pour tout r c'est ...... celle de Newton !

Si on regarde en haut à gauche du dernier lien, on a Newton. Il se trouve que pour la chute libre radiale, Newton fonctionne. Par exemple si on prend le point noté "5" à la traversée de l'horizon, la courbe à une pente de 45°, ce qui équivaut à la vitesse lumière pour Minkowski, et c'est pareil partout, la pente va toujours (pour r>Rs) donner la vitesse de chute libre locale depuis l'infini. Pour trouver l’orthogonale à Flamm il suffit de décaler celle de Newton (la rouge) de Rs vers la droite !! Pour reprendre le même exemple, la courbe (cycloïde) est horizontale au contact de Rs ce qui en lecture trigonométrique va à nouveau donner c (90°).

Ne me demandez pas pourquoi ni comment ça marche, je n'en ai aucune idée, mais ça marche, trop bien pour être ignoré... Par contre ce qu'elle veut dire, a priori, c'est qu'il n'y aurait pas d’intérieur aux trous noirs mais seulement des trous de vers où l'on passe de la région I de Kruskal vers la région III. Il n'y a pas vraiment de question associée au message, c'est plus pour vous soumettre une piste d'étude. Comment toutes ces égalités pourraient être possibles si il n'y avait pas quelque chose de vrai là dedans ? Ce qui est sur c'est que je progresse, maintenant j'arrive à écrire "Schwarzschild" sans faire de faute !

A+
Mailou
-----

[Stappa75]

J'ai toujours pensé que les trous noirs étaient troublants.

[mach3]

Vite fait...

Il y a sûrement un lien avec l'orthogonalité (au sens de la métrique) entre geodesique de chute libre avec vitesse nulle à l'infini et tranches spatiales plates de Gullstrand Painlevé. Cette orthogonalité me pose question depuis longtemps, mais je n'ai pas encore approfondi suffisamment.

Il faudrait un effort important de présentation de ta part et de compréhension de la part des lecteurs (dont moi) pour s'assurer que c'est bien de cela qu'il s'agit ou eventuellement d'autre chose d'utile et pas d'un artefact sans intérêt.

Pas sûr que ca puisse rester en section avancé en l'état.

m@ch3

[Mailou75]

Salut mach3,

Il y a sûrement un lien avec l'orthogonalité (au sens de la métrique) entre geodesique de chute libre avec vitesse nulle à l'infini et tranches spatiales plates de Gullstrand Painlevé.

C'est sûr, où que se croisent Flamm et "Newton décalé de Rs" elles sont toujours perpendiculaires. J'y vois la conservation de l'orthogonalité pour l'inertiel qui chute. Ou peut être ce que vous appelez transport parallèle. Mais comme je l'ai dit entre parenthèses on ne sait pas qui est qui, l'immobile, le chuteur... si c'est comme en RR, cette représentation n'est valide que pour une relation entre deux objets, seulement deux par deux. Ce n'est pas aberrant puisqu'un échange se fera toujours entre deux particules, mais pas évident à visualiser.

Il faudrait un effort important de présentation de ta part

Je l'ai fait, pas encore au propre, mais c'est tout à fait semblable au deuxième lien que j'ai donné. Tu n'y trouverais rien de neuf que la courbe rouge de Newton décalée à droite, je le ferai quand même à la rentrée pour appuyer ce fil. Ce qui se conçoit bien s’énonce clairement, c'est loin d'être le cas... je mets juste le doigt sur une égalité que je ne sais pas expliquer. Il n'y pas de question directe mais un gros sujet pour qui veut s'y frotter. Je n'en sais pas plus que ce qu'ai dit malheureusement.

autre chose d'utile et pas d'un artefact sans intérêt.

C'est le sujet. Je doute que ce soit sans intérêt, j'ai le sentiment que si on arrive à comprendre cette géométrie elle donnera des "pourquoi", qui sont toujours plus intéressants que les "comment".

Pas sûr que ca puisse rester en section avancé en l'état.

Ce n'est pas le premier venu qui prendra le sujet au sérieux et le résoudra, voilà pourquoi cette section. Fais comme tu le sens

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Possible qu'il y ait un lien avec cette figure :

https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6498640

m@ch3

[mach3]

Alors, équation de l'arc de parabole "couché" qui est la génératrice du paraboloide de Flamm :



dérivée :



Equation de la chute libre avec vitesse nulle à l'infini dans les coordonnées de Gullstrand-Painlevé :



dérivée :



Pour être orthogonales, deux courbes doivent avoir leur nombres dérivées inverses opposés.

Si on regarde en r pour la chute libre et en r+2M pour l'arc de parabole, on a bien des nombres dérivées inverses et opposés, ce qui valide l'affirmation faite.

Reste à comprendre l'origine de la coïncidence.

m@ch3

[mach3]

Un cran plus loin, si je dispose des immobiles de Schwarzschild avec une étiquette , de façon à ce que ces immobiles, en tant qu'arpenteurs, mesurent entre eux des distances , alors on a :
(valable pour r>2M bien sûr).

En particulier

or, , du coup :



Ce dernier terme est la vitesse à laquelle les étiquettes des arpenteurs immobiles de Schwarzschild défilent devant un chuteur radial ayant une vitesse nulle à l'infini, à vérifier mais ça doit correspondre localement à .

Or on a vu que la pente de la parabole génératrice du paraboloide de Flamm est , donc on a simplement : le du chuteur peut se lire graphiquement sur la pente de la parabole. Tout cela valable seulement pour r>2M bien-sûr.

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci pour tes réponses,

Je suis heureux d’avoir piqué ta curiosité

Possible qu'il y ait un lien avec cette figure : https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6498640

Je ne pense pas. Dans ces graphes on est toujours en «Minkowski local», dans le sens où la pente de la courbe de chute de Newton est à 45° sur l’horizon, soit c. Une fois la courbe décalée de Rs tout ceci devient faux, par contre on trouve de nouvelles égalités. Si on finit par y comprendre quelque chose, on aura peut être une nouvelle figure de ce type.

ce qui valide l'affirmation faite.

Merci pour ta validation. J’avais déjà la version empirique graphique et la version mathématique, je n’étais pas trop inquiet sur cette égalité. Ça ne la rend pas moins surprenante.

Reste à comprendre l'origine de la coïncidence.

Voilà. J’ai mis «coïncidence» dans le titre du fil mais je doute que c’en soit une. C’est un passage vers une géométrie différente, la lecture trigo. Il se peut que tout ceci ne soit que du flan… toutefois si on arrive à retrouver toutes les égalités connues, je mise qu’on aura des des réponses à certains «pourquoi» (que la géométrie localement de Minkowski obture).

, donc on a simplement : le du chuteur peut se lire graphiquement sur la pente de la parabole.

Oui il semble que ta formule donne bien le BY. On peut effectivement trouver cette valeur avec la dérivée de Flamm (tangente à la courbe) où avec la dérivée de la «cycloïde de Newton décalée» en prenant directement B=sin(pente). C’est kif kif, à nouveau merci pour la validation.

Tu as maintenant les mêmes billes que moi. Enfin il te manque quand même un peu de trigo, pour l’instant, en utilisant directement tan(pente)=BY tu restes abstrait, il te faut dissocier B et 1/Y cad sin et cos.

Quelles sont tes premières impressions ? La piste de semble-t-elle digne d’y passer un peu de temps ?

Tout cela valable seulement pour r>2M bien-sûr.

Oui, de même que la définition de l’espace chez Flamm. L’apparition de la cycloïde dans un repère où l’ordonnée n’a presque aucun sens me laisse perplexe. La paraboloïde de Flamm y gagne en sens physique, car le temps est orthogonal à l’espace. Et s’il n’y avait pas d’intérieur ?

J’avais déjà du mal à faire de la RR trigo mais là…

Merci pour ton aide

[mach3]

Possible qu'il y ait un lien avec cette figure : https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6498640

Je ne pense pas.

Je doute de plus en plus du lien, mais je n'ai pas fini de faire le tour...

Dans ces graphes on est toujours en «Minkowski local», dans le sens où la pente de la courbe de chute de Newton est à 45° sur l’horizon, soit c. Une fois la courbe décalée de Rs tout ceci devient faux, par contre on trouve de nouvelles égalités. Si on finit par y comprendre quelque chose, on aura peut être une nouvelle figure de ce type.

attention le coup du décalage c'est surement un genre de mirage... la coincidence avérée et intéressante c'est en fait entre la pente du paraboloide et , PAS entre la pente du paraboloide et la pente de la géodésique de chute libre en Gullstrand-Painlevé décalée de rs.

C’est un passage vers une géométrie différente, la lecture trigo. Il se peut que tout ceci ne soit que du flan… toutefois si on arrive à retrouver toutes les égalités connues, je mise qu’on aura des des réponses à certains «pourquoi» (que la géométrie localement de Minkowski obture).

Comme tu y vas... Ce n'est pas une "géométrie" différente, mais une représentation différente d'une même géométrie, et les représentations en maths on s'en fiche un peu car les résultats sont indépendants des représentations faites. Au mieux les représentations ça aide à réfléchir, au pire ça trompe...

Quelles sont tes premières impressions ? La piste de semble-t-elle digne d’y passer un peu de temps ?

Il y a deux choses que j'aimerais comprendre :
-pourquoi la pente de la géodésique en Gullstrand-Painlevé décalée de rs est liée à (mais ça ça va surement être trivial)
-pourquoi la pente du paraboloide est liée à (et là ça semble plus nébuleux)

Et s’il n’y avait pas d’intérieur ?

C'est une question intéressante (il y a des spéculations sérieuses d'ailleurs), mais hors-sujet ici : le cadre est la géométrie de Schwarzschild en pure RG, c'est à dire un espace-temps de symétrie sphérique, vide, stationnaire et asymptotiquement plat dont la géométrie satisfait à l'équation d'Einstein, or il y a bien un intérieur dans ce cadre (c'est indiscutable, car c'est juste des maths). Faire "disparaitre" l'intérieur ne peut relever que d'hypothèses supplémentaires (notamment des trucs quantiques ou des "extensions" de la RG) qui sortent de ce cadre.

m@ch3

[mach3]

Bon, il semble que tout réside dans la définition d'une variable radiale dont la variation est fidèle aux distances radiales que mesurent les immobiles de Schwarzschild (contrairement au rayon aréal r), définie comme :
(avec et une définition pour l'instant implicite de )

Ainsi le présent dans l'expression de la métrique en coordonnées de Schwarzschild devient simplement

Pour un chuteur libre avec vitesse nulle à l'infini, on sait que :
, avec r le rayon aréal et la coordonnée temporelle de Gullstrand-Painlevé.

En terme de la nouvelle variable radiale , on a :


Ainsi si on dessine la chute dans un repère d'une part et dans un repère d'autre part, la pente de la première pour une certaine valeur de r sera la même que la pente de la seconde pour une valeur de correspondant à r+2M (valeur à préciser si je trouve l'expression analytique de )

Ensuite il suffit de remarquer que mesure la longueur (de part sa définition ci-dessus) de l'arc de parabole générateur de la paraboloide de Flamm, ce qui donne donc si on veut plonger cet arc dans le plan euclidien (ou le paraboloide dans l'espace euclidien) par l'introduction d'une variable ad hoc w tel que est orthonormé :





(le signe dépendant du choix arbitraire du sens de w, autrement dit si on choisit l'arc haut ou l'arc bas)

Le point qui reste à voir, c'est pourquoi un mouvement avec comme propriété (qui se trouve être la pente de la parabole dans le plongement) est celui d'un chuteur libre avec vitesse nulle à l'infini et pas un mouvement quelconque sans intérêt (autre que celui d'avoir cette propriété).
Accessoirement, une expression analytique de serait sympa.

m@ch3

[mach3]

Accessoirement, une expression analytique de serait sympa.

(à une constante d'intégration près, qui donne quand si choisie nulle)

merci Wolfram Alpha.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Je doute de plus en plus du lien, mais je n'ai pas fini de faire le tour...

Tu doute du lien lui même ou du lien avec le lien ?
Pour ma part il n’y en pas directement.

attention le coup du décalage c'est surement un genre de mirage... la coincidence avérée et intéressante c'est en fait entre la pente du paraboloide et , PAS entre la pente du paraboloide et la pente de la géodésique de chute libre en Gullstrand-Painlevé décalée de rs.

Pour moi c’est un peu la même chose. Je te joins un schéma à la main pour clarifier le texte. A gauche on voit qu’effectivement, la tangente à Flamm peut suffire à déterminer la vitesse B. A droite le vecteur unitaire est vraiment celui du temps propre qui va faire passer le chuteur de r à r-epsilon. Le second est pour moi bien plus riche.

Comme tu y vas... Ce n'est pas une "géométrie" différente, mais une représentation différente d'une même géométrie, et les représentations en maths on s'en fiche un peu car les résultats sont indépendants des représentations faites. Au mieux les représentations ça aide à réfléchir, au pire ça trompe...

Tu as raison ce n’est qu’une représentation différente de la même chose. Je pense, mais peut être que je me trompe, qu’elle décrit mieux la physique avec une géométrie réelle (et compliquée) et non plus seulement une géométrie traduisant des résultats, mais dont l’aspect physique est quasi inexistant, sauf pour l’observateur éloigné.

Il y a deux choses que j'aimerais comprendre :
-pourquoi la pente de la géodésique en Gullstrand-Painlevé décalée de rs est liée à (mais ça ça va surement être trivial)
-pourquoi la pente du paraboloide est liée à (et là ça semble plus nébuleux)

J’essayais de te préparer une réponse audible, j’ai cherché où était le BY dans la figure, ça n’avait pas beaucoup de sens, j’ai dû reprendre tes calculs avec des valeurs numériques pour exemple et finalement je pense que tu t’es trompé à partir du message 7, j’espère que ça ne changera pas tes conclusions… du coup je ne relève pas les messages 10 et 11 qui en découlent.

On est d’accord sur le premier terme dl/dr=z+1 où z+1 est le redshift gravitationnel 1/rac(1-Rs/r). Cette première formule nous donne le rapport entre la longueur propre locale de l’espace de Flamm dl et le même intervalle dr lu sur l’axe r, ce que voit l’éloigné.

Ensuite je suppose que ton tr est ce que j’appelle T (pour tau) cad le temps propre de l’immobile en r. On peut donc écrire directement la vitesse de chute locale dl/dT=B où B est donnée par rac(Rs/r). On est donc pas d’accord puisque toi tu trouves BY.

De là on peut trouver une expression pour dr/dT=B/Y car on sait que pour le cas particulier de la chute libre depuis l’infini on a Y=z+1. Cette valeur ne nous intéresse pas beaucoup, il faut continuer pour que ça devienne intéressant et prendre le temps propre dt de l’observateur éloigné défini par dt/dT=z+1, on trouve alors que dr/dt=B/Y^2 qui est l’effet Shapiro, la vitesse paraît plus lente aux abords du trou noir pour l’observateur éloigné (du carré du redshift car le retard apparent combine une compression de l’espace et un étirement du temps locaux).

Avec cette version je retombe sur mes pieds, avec la tienne les applications numériques ne collent pas. Si t’as le courage de contrôler ta copie…

A bientôt et merci

[Mailou75]

PS : Parenthèse pour donner un exemple chiffré et justifier des déformations visuelles.
https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6393977

Si on regarde les figures du milieu en bas, la seconde en partant du bas (avec un carré vert clair) c’est le repère d’un immobile en r=1,865Rs. Il voit passer un chuteur depuis l’infini à une vitesse locale (mini Minko) de 0,73c et le regarde s’éloigner avec un redshift de z+1=2,544.

Le troisième repère en partant du bas est celui de l’observateur éloigné, le Schw normal. Il va voir le carré vert clair compressé radialement , il voit r et non d (ton l) et étiré verticalement, cad ralenti. Cette double déformation de la valeur du redshift local z+1=1,468 est l’effet Shapiro. Au final il voit un shift de z+1=3,735 et une vitesse apparente de 0,34c, tu as le Schw complet sur la gauche de la planche pour vérifier

Fin de la parenthèse

[Mailou75]

En lisant tes derniers messages je suis tombé sur

Pour un chuteur libre avec vitesse nulle à l'infini, on sait que :
, avec r le rayon aréal et la coordonnée temporelle de Gullstrand-Painlevé.

Ton dtr c’est le temps propre du chuteur donc on a bien dr/dtr=B. Ça ne contredit pas ce que j’ai dit, je pense qu’on est d’accord mais pas partout, ça demande relecture… demain pour y voir plus clair

[Mailou75]

En fait tout va bien, si j’appelle T’ le temps propre du chuteur (ton tr) alors je peux écrire dr/dT’=B (pente de Newton) et comme dl/dr=z+1 on trouve facilement dl/dT’=BY (avec Y=z+1). Je vais donc lire tes message 10 et 11

[Mailou75]

Ok pour le message 10 à ceci près que tu t’emmerdes avec ton tr, avec les variables T et t de l’immobile en r et de l’observateur a l’infni c’est bien plus simple, la preuve j’y arrive (voir message 12).

(à une constante d'intégration près, qui donne quand si choisie nulle)
merci Wolfram Alpha

Si on pense à la même chose Wolfram t’as trompé, la formule de d (portion d’un arc de parabole) en fonction de r est celle en vert ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4618580. Tu noteras l’équivalence entre axe des ordonnées pour la courbe verte, portion de parabole et intégrale de z+1.
Si tu veux un repère ou l’espace est celui de Flamm le temps propre de tous les immobiles identique, un «repère propre», voir à droite ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6277232

Cette fois bonne nuit

[mach3]

Je pense, mais peut être que je me trompe, qu’elle décrit mieux la physique avec une géométrie réelle (et compliquée) et non plus seulement une géométrie traduisant des résultats, mais dont l’aspect physique est quasi inexistant, sauf pour l’observateur éloigné.

c'est quoi une géométrie "réelle". Ce n'est parce que la géométrie euclidienne est la plus intuitive qu'elle plus réelle que d'autres... Et tu restes dans la confusion entre géométrie et représentation. La géométrie ce sera toujours la même, un truc lorentzien, après on représente sur une feuille et là on choisit une bijection entre la géométrie de l'espace-temps (ou d'une coupe de l'espace-temps) et la géométrie de la feuille de papier. Suivant la bijection, totalement arbitraire, certaines courbes se couperont à angle droit (sur la feuille) ou pas, sans préjuger de l'angle qu'elles font entre elles dans la géométrie étudiée (angle qui lui mériterait bien le qualificatif "réel", vu qu'il est défini au sens de la métrique et que la métrique formalise les mesures réelles qu'on est censé faire si on se trouve dans la géométrie lorentzienne considérée)

On est d’accord sur le premier terme dl/dr=z+1 où z+1 est le redshift gravitationnel 1/rac(1-Rs/r). Cette première formule nous donne le rapport entre la longueur propre locale de l’espace de Flamm dl et le même intervalle dr lu sur l’axe r, ce que voit l’éloigné.

"longueur propre locale de l’espace de Flamm dl", plus rigoureusement il s'agit des longueurs mesurées localement par des arpenteurs immobiles de Schwarzschild.
"dr lu sur l’axe r, ce que voit l’éloigné", non, dr c'est la variation de rayon aréal, sans lien a priori avec ce que voit un éloigné jusqu'à preuve formelle du contraire. Il faut arrêter avec ça et je l'ai déjà dit. La confusion vient du fait que pour des valeurs de r très élevée, r se comporte comme une distance à un centre en géométrie euclidienne (car en géométrie euclidienne, distance au centre = rayon aréal), mais ce n'est pas la seule variable radiale qui possède cette propriété (exemple parmi une infinité : le "r" dans la publication originale de Schwarzschild, qui vaut 0 sur l'horizon, est aussi parfaitement convenable). On a déjà parler de ce que "voit" l'éloigné et on est en désaccord. Un éloigné voit en combien de temps la lumière lui revient de l'objet, il voit la taille angulaire de l'objet, il voit la luminosité de l'objet, mais il ne voit pas r. Il mesurera une distance radar, une distance angulaire (connaissant la taille physique de l'objet qu'il observe), une distance de luminosité (connaissant la luminosité de l'objet à une distance de référence), a priori toutes différentes, mais pas r. r il peut le déterminer à partir de ces mesures, mais pas directement et probablement pas sans avoir déjà une idée de la géométrie. Je ne peux pas t'aider si tu persistes dans cette ornière selon laquelle r "c'est ce que voit un éloigné", et je dirais même que tu gaspille ton temps (qui serait mieux employé à vraiment étudier la RG, ce qui est faisable vu les ressources en lignes et l'aide que tu pourrais avoir ici).

Ensuite je suppose que ton tr est ce que j’appelle T (pour tau) cad le temps propre de l’immobile en r.

non, c'est la coordonnée temporelle de Gullstrand-Painlevé (comme déjà dit), qui coincide avec le temps propre d'un chuteur radial de vitesse nulle à l'infini.

On peut donc écrire directement la vitesse de chute locale dl/dT=B où B est donnée par rac(Rs/r). On est donc pas d’accord puisque toi tu trouves BY.

en fait on est d'accord, c'est juste que le sens de tr n'a pas été compris.

Si t’as le courage de contrôler ta copie…

Normalement il n'y a pas d'erreur.

Ton dtr c’est le temps propre du chuteur donc on a bien dr/dtr=B. Ça ne contredit pas ce que j’ai dit, je pense qu’on est d’accord mais pas partout, ça demande relecture… demain pour y voir plus clair

Bah voilà

Si on pense à la même chose Wolfram t’as trompé, la formule de d (portion d’un arc de parabole) en fonction de r est celle en vert ici

non, je l'ai vérifiée (dérivation à la main), et elle est correcte. La différence d'écriture provient simplement du fait que , j'ai vérifié.

m@ch3

[Mailou75]

Salut mach3,

Effectivement, ce ne sont que des représentations différentes de calculs identiques, elles sont donc toutes équivalentes d’un point de vue maths. Toutefois si on regarde un Kruskal par exemple, c’est bien pratique pour les shifts mais aucune longueur sur le papier ne correspond à quelque chose de physique pour un observateur. Dans la figure de Flamm on a la longueur propre de l’espace local, un vecteur unitaire qui est vraiment le temps propre du chuteur et un angle droit entre espace et temps qui n’est peut être pas un hasard non plus. C’est seulement en ce sens que je parle de physique vs maths. Après, comme dit, cette figure n’aide pas à comprendre au premier abord… on verra si c’est la panacée ou pas du tout.

Ok pour ce qui est vu par l’eloigné je n’insiste pas, d’ailleurs c’est hors sujet ici. J’ai juste ouvert cette parenthèse pour justifier des égalités que j’ai balancé un peu gratuitement. Tant qu’on est d’accord sur les maths on reste d’accord sur le fond, désolé pour les tergiversations, j’ai commencé à répondre aux premiers messages où tr était encore mal défini, le terme m’a induit en erreur mais, a priori, on est maintenant ok pour toutes les égalités.

Pour la formule de la longueur propre en fonction de r, j’avais hésité à préciser que parfois des formules différentes donnent le même résultat. Je n’avais pas les moyens de vérifier mais tu l’as fait. Donc à ce stade on est d’accord sur tout normalement.

Quelle est l’etape suivante ? Cherches tu une raison aux résultats obtenus ou mes explications ont elles été éclairantes ? Pour ma part je ne comprends pas, dans cette nouvelle représentation comment montrer la relation eloigné/immobile/chuteur. On pourrait passer à la chute depuis Rmax ce qui nous aidera sans doute à répondre à la question précédente, c’est peut être anticipé. Veux tu faire un peu de RR trigo pour mieux comprendre la RG trigo ?

Merci pour ton aide

[mach3]

La suite pour l'instant c'est ça :

Le point qui reste à voir, c'est pourquoi un mouvement avec comme propriété (qui se trouve être la pente de la parabole dans le plongement) est celui d'un chuteur libre avec vitesse nulle à l'infini et pas un mouvement quelconque sans intérêt (autre que celui d'avoir cette propriété).

Parallèlement, petite réflexion :
Au sens de la métrique, les lignes d'univers des immobiles de Schwarzschild sont orthogonales aux tranches de t constant (qui correspondent au paraboloïde).
Au sens de la métrique toujours, les lignes d'univers de la pluie (les chuteurs libres avec vitesse nulle à l'infini) sont orthogonal aux tranches de t_r constant (qui sont euclidiennes)
L' "angle" (angle au sens de la métrique, donc une rapidité) entre immobile et pluie doit être le même que l' "angle" entre tranche de t constant et tranche de t_r constant (en géométrie euclidienne c'est le cas, à voir comment ça se transpose).
Mieux l' "angle" entre pluie et tranches de t constant doit être le même que l'angle entre immobile et tranches de t_r constant.

En RR, il est possible de représenter deux systèmes de coordonnées de Lorentz, t,x et t',x' (avec t orthogonal à x et t' orthogonal à x' au sens de la métrique), de façon à ce que à la fois t et x' d'une part et t' et x d'autre part soit orthogonaux (dans la représentation). Notons qu'au sens de la métrique t et x' ne sont pas orthogonaux, mais font le même angle que t' et x.
Il est peut-être possible de faire la même chose en géométrie de Schwarzschild (localement c'est une certitude), c'est à dire avoir une représentation où la pluie est orthogonale aux tranches de t constant et les immobiles orthogonaux aux tranches de tr constant. On est peut-être proche de ça.

m@ch3

[mach3]

En RR, il est possible de représenter deux systèmes de coordonnées de Lorentz, t,x et t',x' (avec t orthogonal à x et t' orthogonal à x' au sens de la métrique), de façon à ce que à la fois t et x' d'une part et t' et x d'autre part soit orthogonaux (dans la représentation). Notons qu'au sens de la métrique t et x' ne sont pas orthogonaux, mais font le même angle que t' et x.

Pour abonder encore un peu dans ce sens, supposons un objet de vitesse par rapport à , alors dans le repère , la pente de la ligne d'univers sera . Supposons que ce même objet ait une vitesse nulle par rapport à , alors on peut montrer que , alors dans le repère "hybride" , la pente de la ligne d'univers est . Dans ce même repère, une ligne de t constant est de pente

Je pense qu'en transposant ça en Schwarzschild on tombe pas loin. Pas plus de temps pour ça aujourd'hui.

m@ch3

[ordage]

Vite fait...

Il y a sûrement un lien avec l'orthogonalité (au sens de la métrique) entre geodesique de chute libre avec vitesse nulle à l'infini et tranches spatiales plates de Gullstrand Painlevé. Cette orthogonalité me pose question depuis longtemps, mais je n'ai pas encore approfondi suffisamment.

Bonjour
Je suis surpris qu'on appelle cette forme "Gullstrand-Painlevé" alors que les publications de Painlevé (Compte-rendu de l'académie des Sciences ) sont non seulement antérieures à celle de Gullstrand (1922) mais bien plus riches: Il présente la forme dans le premier article du 24 octobre 1921 et il explique, dans un long article du 14 novembre 1921, comment il l'a obtenu de façon magistrale, puisqu'il établit la forme le plus générale dans ce système de coordonnées, dont la forme présentée n'est qu'un cas particulier. Ajoutons qu'il établit aussi une solution géométrique de l'équation géodésique en mécanique newtonienne ! Je vous invite à lire ces CRAS: Un régal..
J'ai vu que c'était le cas sur wiki, j'avais corrigé, mais il semble qu'il y ait des forcenés qui recorrigé! Ont une dent contre lui?
Les scientifiques français ne sont pas très présents en relativité, si on élimine ceux qui ont contribué, que va -t-il nous rester.
Cordialement

[mach3]

Bonjour
Je suis surpris qu'on appelle cette forme "Gullstrand-Painlevé" alors que les publications de Painlevé (Compte-rendu de l'académie des Sciences ) sont non seulement antérieures à celle de Gullstrand (1922) mais bien plus riches: Il présente la forme dans le premier article du 24 octobre 1921 et il explique, dans un long article du 14 novembre 1921, comment il l'a obtenu de façon magistrale, puisqu'il établit la forme le plus générale dans ce système de coordonnées, dont la forme présentée n'est qu'un cas particulier. Ajoutons qu'il établit aussi une solution géométrique de l'équation géodésique en mécanique newtonienne ! Je vous invite à lire ces CRAS: Un régal..
J'ai vu que c'était le cas sur wiki, j'avais corrigé, mais il semble qu'il y ait des forcenés qui recorrigé! Ont une dent contre lui?
Les scientifiques français ne sont pas très présents en relativité, si on élimine ceux qui ont contribué, que va -t-il nous rester.
Cordialement

C'est hors-sujet, mais c'est l'usage de désigner par Gullstrand-Painlevé (ou Painlevé-Gullstrand) cette solution particulière. Par exemple ici : https://arxiv.org/pdf/1211.4337.pdf

Je sais bien que la formule trouvée par Painlevé est plus générale (elle contient à la fois la forme originale de Schwarzschild, celle dite de Gullstrand-Painlevé, ainsi que celle de Eddington-Finkelstein, et infinité d'autres), j'ai même créé un fil sur le sujet, à propos de la thèse de Fric : https://forums.futura-sciences.com/a...-generale.html
La découverte de ce travail ancien a été l'occasion pour moi de redémontrer cette formule de A à Z et de comprendre mieux pas mal de choses sur la résolution du problème de Schwarzschild (ce qui pourra faire l'objet d'un fil, un de ces 4).

Fin du hors-sujet.

m@ch3

[ordage]

Bonjour
OK, fin de la parenthèse, merci pour la référence https://arxiv.org/pdf/1211.4337.pdf, très synthétique.
Cordialement

[mach3]

Bon, je crois que je tiens quelque chose. On notera et (les lettres b et y étant choisies à dessein...), la métrique de la sphère

1) Métrique en coordonnées de Schwarzschild :


Localement, on peut définir , le temps d'un immobile de Schwarzschild, avec et , les distances qu'il mesure avec , ce qui donne l'écriture locale pour la métrique :



2) Coordonnées de Lemaitre, , définies depuis les coordonnées de Schwarzschild par :



Ce qui donne comme écriture de la métrique :


Localement, on peut définir , la distance que mesure la "pluie" (chuteur libre avec vitesse nulle à l'infini) avec , du coup localement la métrique peut s'écrire :


3) Le passage entre les coordonnées locales et les coordonnées locales se fait donc via la transformation :



On y reconnait donc une transformation de Lorentz locale, y correspondant à et b à (j'avais prévenu que c'était à dessein )

Tout comme cela est possible entre deux systèmes de coordonnées de Lorentz espace-temps plat, on va donc pouvoir, au moins localement, représenter les lignes d'univers des immobiles de Schwarzschild orthogonales aux tranches euclidiennes de constant et en même temps les lignes d'univers de la pluie orthogonales aux tranches paraboloïdes de constant.

Reste à voir comment trafiquer pour que l'orthogonalité soit plus que locale...

Cela dit en passant, les coordonnées de Painlevé font le boulot en ce qui concerne la représentation des immobiles orthogonaux aux tranches de constant, mais il n'y a pas l'autre orthogonalité. Un autre système basé sur le t de Schwarzschild et le de Lemaitre doit surement exhiber une orthogonalité entre les représentations de la pluie et des tranches de t constant, ce qui est peut-être suffisant pour ce que l'on recherche, il suffira peut être ensuite de plier les tranches de t constant en parabole...

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Pas lu le dernier message, je suis un peu en retard…

Le point qui reste à voir, c'est pourquoi un mouvement avec comme propriété (qui se trouve être la pente de la parabole dans le plongement) est celui d'un chuteur libre avec vitesse nulle à l'infini

Ci joint un premier graph pour la question ci dessus. C’est très semblable au premier de ce message, j’ai seulement ajouté la valeur BY de la pente de la parabole. Ça fonctionne, je n’ai pas pour l’instant de «pourquoi» mais depuis quand la physique répond à autre chose que «comment» ?

[Mailou75]

Je te cite en gris :

Au sens de la métrique, les lignes d'univers des immobiles de Schwarzschild sont orthogonales aux tranches de t constant (qui correspondent au paraboloïde).

Voir carré bleu. L’orthogonalité est respectée (droites perpendiculaires) dans le Schw.

Au sens de la métrique toujours, les lignes d'univers de la pluie (les chuteurs libres avec vitesse nulle à l'infini) sont orthogonal aux tranches de t_r constant (qui sont euclidiennes)

Voir «carré» rose. Aucune des deux figures ne représente l’orthogonalité. Pour l’avoir il faudrait passer au Slide, que tu connais dejà (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6765416).

L' "angle" (angle au sens de la métrique, donc une rapidité) entre immobile et pluie

Voir angle noir plein. Chez Painlevé, si on zoom pour faire un mini Minko on peut lire N (eta, la rapidité).

doit être le même que l' "angle" entre tranche de t constant et tranche de t_r constant (en géométrie euclidienne c'est le cas, à voir comment ça se transpose). (1)

Voir angle noir vide.

Mieux l' "angle" entre pluie et tranches de t constant

Voir angle vert plein.

doit être le même que l'angle entre immobile et tranches de t_r constant. (2)

Voir angle vert vide (désolé ma fille n’a pas plus de couleurs dans sa trousse)

…..

Tout d’abord est ce que les angles représentés sont ceux auxquels tu pensais ?

Ensuite… si on prend les deux premières lignes de symboles (avec carrés bleus), elles nous disent que si l’égalité (1) est juste alors l’égalité (2) l’est aussi. Les deux lignes suivantes (avec carrés roses) confirment aussi la même chose. Mais j’ai un problème : dans les deux premières on suppose qu’en additionnant un angle droit et un autre angle obtiendra un angle obtu et dans les deux suivantes on suppose qu’en soustrayant un angle à un angle droit on obtiendrait un angle aigu. Le problème c’est que l’ensemble des lignes sont censées donner le même résultat.

Soit il est absurde de parler d’angle entre ligne d’univers et ligne d’espace, soit un truc trivial m’échappe, soit je me suis vautré… j’ai bien des réponses à proposer mais elles sont nazes, je vais donc m’abstenir.

…..

Je n’ai pas encore eu le temps de traiter le sujet de RR, je n’ai pas bien compris ce que tu attendais. Je lirai le message 24 ensuite. Tu vas trop vite c’est les vacances, cool

Encore merci à +

Édit : en pointillé bleu j’ai mis des géodésiques lumière entrantes, pour info.
Il faudrait refaire tout ça au propre pour que ce soit juste, la c’est une image.

[Mailou75]

Salut,

Tout d’abord une remarque sur une conséquence de ce que tu dis. Si la véritable orthogonalité est entre les lignes d’univers des chuteurs et les tranches d’espace à T constant (temps propre des chuteurs) alors la figure à l’origine de ce fil perd tout son intérêt puisqu’elle montre une orthogonalité avec les tranches à t constant (temps propre de l’observateur éloigné) cad la parabole de Flamm. Sinon il faut que le vecteur tangent à Newton soit l’immobile, ça marche aussi puisque Y=z+1, mais dans le cas c’est le mouvement (direction du vecteur non verticale) dont on se passerait bien… dommage, ce serait donc juste une coïncidence, snif ?

Sinon j’ai lu et relu tes passages sur la RR et les systèmes orthogonaux x;t’ et x’;t formant un angle entre eux mais je n’arrive à rien, des axes de temps qui ne sont plus des lignes d’univers ou autre aberration… tu nous ferais un petit dessin de ce à quoi tu penses ?

Le passage à la RG du message 24 aboutit à un «changement de repère» qui peut se faire localement, et qui correspondrait à ta volonté d’avoir T orthogonal à r (ou l) et t orthogonal aux horizontales de Painlevé (T cst), si j’ai bien compris. A nouveau un petit dessin serait le bienvenu, imagine si j’avais du te décrire mon dernier dessin avec des mots ou des maths, lol. Quant à ton idéal avec deux grilles orthogonales avec juste un angle entre elles pour créer une nouvelle carte, je pense que c’est illusoire…

Enfin tu suggère d’étudier un système avec Le t de Schw et le P de Lemaitre où l’on aurait des chuteurs (pluie) orthogonaux à l’espace des immobiles. Est-ce pour rétablir «l’anomalie» de la figure d’origine (voir début de la réponse) ? J’avoue que tu m’as un peu largué sur l’objectif à atteindre…

Merci a +

[ordage]

Bonjour
Dans la forme de Painlevé, le vecteur (covariant) 4-vitesse U_µ = {-1,0,0,0) de l'observateur "repère" (en chute libre radiale depuis l'infini, sans boost - "fiducial observer" ) est orthogonal (au sens de la relativité) avec le 4-vecteur R^µ = {0,1,0,0} de la base supportant la coordonnée r: U_µ .R^µ = 0.
Les coordonnées des 4-vecteurs sont dans la base de de 4-vecteurs t,x,y,z.

A noter que ce vecteur 4-vitesse U_µ est constant tout au long de la géodésique. Ici on parle de vecteurs, pas de coordonnées.
C'est une propriété originale (il y en a d'autres) de la forme de Painlevé. A noter aussi que si la chute radiale est "Newtonienne", ce n'est pas le cas, par exemple, d'une orbite circulaire où la forme de Painlevé et celle de Schwarzschild sont identiques.
Cordialement

[ordage]

Bonjour

Dans la forme de Painlevé, le vecteur U, vecteur 4-vitesse de composantes covariantes U_µ = {-1,0,0,0), de l'observateur "repère" (en chute libre radiale depuis l'infini, sans boost - "fiducial observer" ), est orthogonal (au sens de la relativité) avec le 4-vecteur spatial R, supportant la coordonnée r, de composantes contravariantes R^µ = {0,1,0,0}. En effet, il est évident que leur produit scalaire est nul:

U_µ .R^µ = 0.

Ce vecteur U est aussi orthogonal aux vecteurs spatiaux associés aux coordonnées angulaires (facile à vérifier).

Étant orthogonal aux 3 vecteurs de base spatiaux, il est orthogonal à la section spatiale de la forme de Painlevé.

Comme c'est le vecteur tangent à la ligne d'univers (géodésique dans ce cas), la géodésique suivie par l'observateur repère est orthogonale aux sections spatiales.

Nota:Les coordonnées des 4-vecteurs sont dans les bases des 4-vecteurs supportant les coordonnées t,x,y,z, dans cet ordre. Les vecteurs sont notés en caractères gras.

A noter que ce vecteur 4-vitesse U_µ est constant tout au long de la géodésique. A noter aussi que sous l'horizon les 4 coordonnées sont toutes de type espace, mais que cette forme permet d'y définir des lignes d'univers de type temps.

Cordialement

Bonjour
Ainsi rédigé et complété , j'espère que ce devrait être plus clair.
Cordialement

[mach3]

Tout d’abord est ce que les angles représentés sont ceux auxquels tu pensais ?

Il semble que tout soit correct.

Ensuite… si on prend les deux premières lignes de symboles (avec carrés bleus), elles nous disent que si l’égalité (1) est juste alors l’égalité (2) l’est aussi. Les deux lignes suivantes (avec carrés roses) confirment aussi la même chose. Mais j’ai un problème : dans les deux premières on suppose qu’en additionnant un angle droit et un autre angle obtiendra un angle obtu et dans les deux suivantes on suppose qu’en soustrayant un angle à un angle droit on obtiendrait un angle aigu. Le problème c’est que l’ensemble des lignes sont censées donner le même résultat.

Soit il est absurde de parler d’angle entre ligne d’univers et ligne d’espace, soit un truc trivial m’échappe, soit je me suis vautré… j’ai bien des réponses à proposer mais elles sont nazes, je vais donc m’abstenir.

On peut parler de tels angles, mais il y a des subtilités. Pour les utiliser correctement, il faut imposer que les angles entre les lignes d'univers sont des imaginaires purs (c'est en lien avec le fait qu'on utilise le cosh, qui n'est rien d'autre que le cos d'un imaginaire) et pareil pour les angles entre lignes d'espaces qui sont dans le même plan t,x (alors que deux lignes d'espace dans un plan purement spatial feront bien-sûr un angle réel pur), l'angle entre ligne d'univers et ligne d'espace sera alors un complexe dont la partie réelle est /2 (le cos d'un tel angle sera si je ne me trompe le sinh de sa partie imaginaire).
En fait on peut construire un bricolage de trigonométrie minkowskienne en posant que les durées sont des imaginaires négatifs (me demande pas pourquoi négatifs, j'ai juste constaté que ça fonctionnait) et en suivant les définitions usuelles des fonctions trigo (cosinus = adjacent/hypoténuse, sinus = opposé/hypothénuse, etc). Suffit ensuite de convertir les cos ou sin d'imaginaires en cosh et sinh ( cosh(x) = cos(ix) et sinh(x) = -i sin(ix) ). Par exemple tu prends un triangle ABC rectangle en B, avec AB temporel de longueur -it (donc durée t), BC spatial de longueur x, AC temporel de longueur -it' (donc durée t'), le sinus de BAC (qui est un angle imaginaire, i) c'est BC/AC = x/(-it'). Si on multiplie par -i pour passer du sin i au sinh , on retrouve bien x/t' qui doit valoir \gamma\beta, le sinh de la rapidité entre les lignes d'univers AB et AC.

Ensuite attention à la représentation qui ne peut que échouer concernant ces angles. Un angle représenté obtus peut en fait être droit ou même aigu... et vice versa.

Si la véritable orthogonalité est entre les lignes d’univers des chuteurs et les tranches d’espace à T constant (temps propre des chuteurs) alors la figure à l’origine de ce fil perd tout son intérêt puisqu’elle montre une orthogonalité avec les tranches à t constant (temps propre de l’observateur éloigné) cad la parabole de Flamm.

je ne sais pas si ça perd de l'intérêt, mais ça a en tout cas à peu près autant d'intérêt qu'une figure dans laquelle la ligne d'univers d'un objet est représentée orthogonale avec la ligne de simultanéité d'un observateur en mouvement par rapport à cet objet (un truc en t,x', voir après).

Sinon j’ai lu et relu tes passages sur la RR et les systèmes orthogonaux x;t’ et x’;t formant un angle entre eux mais je n’arrive à rien, des axes de temps qui ne sont plus des lignes d’univers ou autre aberration… tu nous ferais un petit dessin de ce à quoi tu penses ?

Je n'arrive pas à faire un dessin convenable, mais voilà la marche à suivre :
1-dessiner un repère orthonormé t,x
2-ajouter dedans un repère t',x' tel qu'il soit une transformation de Lorentz d'un "angle" de t,x (dans ce style : https://physics.stackexchange.com/qu...-metric-tensor )
3-effectuer une transformation de Lorentz de l'ensemble d'un angle , afin d'avoir une symétrie axiale verticale entre les axes t et t', et une symétrie axiale horizontale entre les axes x et x' (ça donne un truc comme ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Diagra...multaneity.svg ), du coup il y a dans la représentation orthogonalité entre t et x' d'une part, et t' et x d'autre part.
4-Eventuellement, effectuer une rotation euclidienne autour de l'origine pour que t devienne vertical et x' horizontal.

Pas de temps pour plus pour l'instant, et je n'ai pas pu avancer sur le sujet ce week-end.

m@ch3