infini pour toujours
toute chose à des limites
son debut est son dernier
un espace obligé à se refermer sur lui meme
Ah! mais je regrette, s'il est fini, même s'il est sans bord, alors il existe bien un au-delà de l'univers; si l'univers est, par exemple une hypersphère, n'est-il pas contenu dans un espace de dimension quatre, auquel cas il existerait bien un au-delà (dans la quatrième dimension), n'est-il pas?
On peut imaginer que l'univers est plongé (c'est vraiment le terme en math en plusEnvoyé par rik 2
) dans un espace de dimension supérieure. Mais :
- Ce n'est pas une obligation. On peut parfaitement étudier une variété (par exemple une hypersphère) pour elle-même, sans besoin de la plonger dans un espace plus grand. J'admet que c'est difficile à se représenter mentalement
- Cela ne correspondrait plus à la définition de "univers" qui veut dire tout, mais, bon, on parle bien de multi-univers ou d'univers multiple. Appellations quelque peu impropres mais habituelles.
- Rien ni dans les observations (ce qui est assez évident) ni dans la théorie (relativité générale) n'indique que l'univers soit plongé dans quelque chose de plus grand.
Une telle idée reste totalement spéculative. On peut imaginer à peu près ce qu'on veut. Et dans ce cas la question "qu'y a-t-il au-delà" devient totalement sans importance puisque cela dépend justement de ce qu'on a imaginé
Pour ce qui est de la représentation mentale, tu peux par exemple imaginer l'espace de PacMan (le jeu). L'univers est non courbé mais fini et sans bord. Si tu vas tout droit, toujours tout droit, tu te retrouves.... à ton point de départ ! Comme l'univers du petit bonhomme dans PacMan. Il n'y a donc pas d'univers extérieur, du moins, à nouveau, pas d'extérieur obligatoire.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
bon! admettons que l'univers soit une hypersphère de dimension trois, cette sphère n'est-elle pas plongée dans un espace à quatre dimensions? ou sinon ne peut-elle pas être plongée dans un espace à quatre dimensions?
Salut,
Rik, je viens d'y répondre.
Elle peut être plongée dans un tel espace plus grand mais ce n'est pas une obligation.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
oui, t'as raison! -la nuit porte conseil- que l'univers réel soit fini ou infini on peut toujours lui rajouter des dimensions supplémentaires; d'ailleurs dans mon modèle j'en ai six; ce qui est essentiel comme tu l'indiques c'est de savoir si il a un bord ou non (je crois qu'on appelle ça une coupure, non?).
Non, juste un bord ou une frontière.
Le disque a une frontière (un bord) : le cercle.
Le cercle n'a pas de frontière.
Une boule a une frontière : la sphère.
Mais la sphère (la surface) n'a pas de frontière.
Un ruban a deux frontières : deux cercles (peut-être déformés, évidemment).
Un ruban de Moebius n'a qu'une frontière : un seul cercle.
Tiens, d'ailleurs, il y a un truc amusant : une frontière n'a jamais de frontière
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Juste pour prouver une fois de plus mon côté maniaque, il y a deux notions très distinctes, pour lesquelles je vais utiliser frontière et bord. Et trois "types" de variétés lorsque ces notions sont prises en compte.
La notion de frontière s'applique a un sous-ensemble, et donc sous-entend un plongement. Un espace topologique pris comme sous-ensemble de lui-même a toujours une frontière vide.
Parler de la frontière de l'Univers sous-entend donc un plongement.
La notion de bord est différente, elle est définie intrinsèquement (sans plongement) pour les variétés : ce sont les points dont le voisinage est homéomorphe une "moitié" de Rn, alors que les points intérieurs ont un voisinage homéomorphe à Rn.
Enfin, la distinction (au sein des variétés) entre (par exemple) cercle et disque ouvert n'est ni le bord (il est vide dans les deux cas), ni la frontière (tout aussi vide dans les deux cas, en intrinsèque), mais la compacité. Le cercle est compact, le disque ouvert non.
En anglais (l'équivalent français doit être "close"), un cercle est un exemple de "closed manifold", i.e., compact et sans bord, ce que n'est ni le disque ouvert (pas compact), ni le disque fermé (il a un bord).
Appliqué à la physique ce n'est pas du pinaillage. Parler de la frontière de l'Univers implique de parler de quelque chose qui n'est pas dans l'Univers, ce qui est épistémologiquement intéressant, à dire le moins... Parler du bord est tout aussi interpellant, puisqu'il s'agirait de points de l'Univers aux propriétés topologiques spéciales. La troisième hypothèse est que l'Univers est compact (une variété close).
[On peut aussi travailler avec l'hypothèse que l'Univers n'est pas modlisé comme une variété compacte tout en évitant de parler de bord ou de frontière. C'est un peu la différence entre infini actuel (frontière, bord) et l'infini potentiel (non compacité).]
Dernière modification par invité576543 ; 08/04/2010 à 09h22.
Une autre subtilité, tant que j'y pense...
La variété définie par plongement dans R3 comme une sphère S2 moins un point est homéomorphe au plan. C'est une variété non compacte sans bord. Sa frontière est réduite à un point, et cela ne correspond pas à un bord (i.e., l'union de la variété et de sa frontière n'a pas de bord).
Ainsi, l'Univers pourrait-il être modélisé comme sans bord, mais avec frontière dans un plongement particulier, un exemple serait que cette frontière est un ensemble de points isolés (des singularités).
Non, non, tu as raison. Je n'avais pas fait assez attention. J'ai été flou.
Pour le disque remplaçons par "disque fermé" pour avoir la distinction par le bordLa notion de frontière s'applique a un sous-ensemble, et donc sous-entend un plongement. Un espace topologique pris comme sous-ensemble de lui-même a toujours une frontière vide., mais, bon, de toute façon ce n'est évidemment pas une variété physiquement réaliste pour l'univers
(moi inclu si je serais encore vivant).
Parfois j'aimerais vraiment qu'on trouve un truc archi dingue : ça nous forcerait à un peu plus d'humilité (ce qui n'est jamais mauvais) et ça nous donnerait beaucoup de travail théorique passionant.
Dernière modification par JPL ; 08/04/2010 à 12h30. Motif: Ajout d'une balise Quote oubliée
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
ce qu'on exprime en symboles parTiens, d'ailleurs, il y a un truc amusant : une frontière n'a jamais de frontièrequ'on peut prononcer à l'anglaise deedee=0
Saurais-tu proposer une observation (en mode hypothétique) qui correspondrait à "découvrir" que l'Univers (l'espace-temps? ou un référentiel?) a un bord?
Le bord d'une variété 4D est une variété 3D. L'environnement local 3D à un point du bord serait homéomorphe à R3, disons (a, b, c) et son environnement 4D à "la moitié" de R4, soit par exemple (a, b, c, d) avec d>=0. Quelle pourrait être la formule donnant le tenseur métrique exprimé en (da, db, dc, dd) ??? (En particulier, quelle pourrait être la nature de dd quand d tend vers 0 ??)
[Mon opinion personnelle est que la modélisation de l'espace-temps avec bord ne peut pas avoir de sens, pour les raisons évoquées dans un message précédent. Mais je vois très bien un modèle non compact sans avoir à l'imaginer plongé, ou plongé mais avec comme frontière des points isolés. Cela m'apparaît plus cohérent avec l'idée que la notion d'Univers (d'espace-temps de l'Univers) couvre tout l'observable (ce qui rend "non scientifique" tout plongement), tout en admettant des "singularités" correspondant à des infinis potentiels du modèle. En gros, quitte à choisir un plongement (dont l'intérêt n'est qu'intellectuel), autant le choisir minimal tout en imposant que la variété union sa frontière soit une variété (à bord ou non). (Cette dernière condition visant à virer le compactifié d'Alexandrov, qui est minimal sans elle.)]
Non, à part un truc comme "un vaisseau va tout droit et "crash" sur le bord
Je ne comprend pas bien ta question sur le tenseur métrique. Le tenseur métrique est relié à une... métrique de la variété, des distances. Et une boule fermée est une variété comme une autre, elle peut être dotée d'une métrique. Tu aurais un
Ne t'en fait pas, c'est aussi mon opinion. Je suis d'accord qu'un bord c'est bizarre (en étant gentil).
Là dessus je me demande si tu ne parlais d'une expérience permettant de distinguer une variété compate d'une non compacte ?
En fait, je crois que la distinction serait purement mathématique, je vois mal comment on pourrait distinguer les deux physiquement. Et dans ce cas, on choisi la modélisation qu'on trouve la plus appropriée/sensée/... quelles qu'en soient les raisons.
De touta façon, tu as raison, ça ne reste qu'un exercice purement intellectuel puisque je ne crois pas a un univers de ce type (sans que je puisse le prouver). Dans l'absolu on peut imaginer n'importe truc aberrant, par exemple un espace-temps défini comme de la poussière de Cantor. Why not ?Tant qu'on a des trucs mathématiquement consistant, no problemos, après, quand il faut faire coller ça à la physique du monde réel, là, c'est une autre paire de manches.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
Bien sûr puisque cela correspond aux travaux théoriques de Jean-Pierre Luminet. Sur le plan expérimental, sur la base de l'analyse du CMB, celui-ci argumente sur des possibilités que l'univers soit muni de bords.
Salut,
Ah, je savais pour la topologie mais je ne savais pas pour les bords.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
Ce sont certaines des topologies des espaces 3D qui sont sans bords.
Pour la topologie la plus triviale seule l'hypersphère S3 est sans bord et la courbure est positive (géométrie elliptique).
Certes, mais le bord ayant des propriétés topologiques différentes, il est intéressant de se poser la question du tenseur métrique sur les points du bord. Si on parle de l'espace-temps, un point intéressant est si la "direction manquante" au bord est de genre temps, espace ou lumière... (Ce n'est que dans le cas "temps" qu'on peut "se cogner"... Et encore, ce serait plutôt un "arrêt du temps", difficilement observable en fait, car une observation porte toujours sur le passé...)
Non. Parce qu'une singularité suffit pour qu'il fasse sens de modéliser l'espace-temps non-compact. Or c'est déjà le cas (trou noir, singularité originelle, ...). Il n'y a donc pas à s'attendre à "découvrir" que l'espace-temps n'est pas compact.Là dessus je me demande si tu ne parlais d'une expérience permettant de distinguer une variété compacte d'une non compacte ?
(Au passage, la singularité d'un trou noir n'est pas un point 4D, mais quelque chose comme une "demi-ligne", j'imagine?)
Pourquoi la topologie de l'univers se restreint à l'étude des ensembles espace ou espace-temps. N'est-il intéressant d'étudier la topologie (structure globale indépendamment d'une métrique) d'ensemble tel que des champs par exemple ?
Patrick
Si. Mais un champ est "sur quelque chose", l'espace-temps typiquement. La topologie de l'espace-temps est alors un "sous-problème" de la topologie d'un champ sur l'espace-temps, non?
D'accord, je comprend mieux ce que tu voulais dire et, effectivement, la situation à ce endroit serait plutôt bizarre. Mathématiquement je vois bien ce qu'est une telle variété, évidemment, mais physiquement là je sèche. Ca n'a peut être pas vraiment de sens en fait.
Pour l'histoire de la topologie des champs, ça me rappelle avoir lu un truc un peu absurde (c'était un livre de pseudo science, mais j'ai une excuse : quand j'étais gamin j'avalais les livres comme maintenant les frites
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
J'ai pris champ comme premier exemple qui me venait.
Comment somme nous sur que ce n'est pas l'espace-temps qui serait la manifestation d'un phénomène physique sous-jacent ?
Patrick
J'ai écrit une grosse connerie qui d'ailleurs est contradictoire avec le message qui a suivi. Il fallait écrire:
Bien sûr puisque cela correspond aux travaux théoriques de Jean-Pierre Luminet. Sur le plan expérimental, sur la base de l'analyse du CMB, celui-ci argumente sur des possibilités que l'univers soit sans bords.
Explication:
1D
Si l'univers était à 1 dimension spatiale alors il est soit:
topologiquement une droite alors l'univers est infini.
topologiquement un cercle alors l'univers est fini et sans bord.
2D
A deux dimensions spatiales le problème se complique car il y a 3 catégories de géométries:euclidiennes, elliptiques et hyperboliques.
Pour les géométries euclidiennes le cylindre et la bande Möbius sont des géométries infinies alors que le Tore et la bouteille de Klein sont des géométries finies et sans bords.
Pour les géométries elliptiques il y a 2 univers sans bords: la sphère S2 et le plan projectif P2.
3D
Pour les géométries 3D la complexité augmente fortement et je ne sais pas si l'on a classifié toutes les possibilités. En tous cas pour exemples d'univers sans bords il y a la sphère S3 et le Tore T3 qui sont manifestement sans bords.
Remarque importante: Les géométries sans bords ne sont en aucun cas les bords d'une autre géométrie et donc il n'y a pas de problèmes particuliers de métriques sur les bords car "l'intérieur" n'existe pas.
Salut,
Ca correspond mieux aux travaux que j'avais lu (mais qui n'étaient pas de Luminet mais d'un autre auteur dont le nom m'échappe, il y a un article de lui dans ArXiv sur le classement des variétés compactes homogènes à deux et trois dimensions et sur leur influence sur le CMBR).
Merci,
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Salut
J'ai assisté récemment à une conf. de JP Luminet, effectivement ses univers compacifiés ( comme le dodécaèdre de Poincaré qu'il affectionne particulièrement ) sont sans bord mais de "volume spatial" fini.
Il y a eu pas mal d'info à ce sujet sur futura.
Cordialement
Surtout lorsqu'il ni a pas de bord. Cela aurait surement pas mal inspirait Raymond Devos
Comment sortir d'un trou sans bord qui est un trou avec rien autour ? Et d'ailleurs, comment y tomber ?
Patrick
En 1D, on ne peut pas distinguer temporel et spatial.
Pas besoin de contrefactualité sur l'Univers. On peut parler mathématiques ! Il n'y a que 8 variétés topologiques connexes et de dimension 1 : le cercle, la droite, l'intervalle fermé (avec bord), la demi-droite fermée (avec bord), la longue ligne (sans bord), la demi-longue ligne ouverte (sans bord) et la demi-longue ligne fermée (avec bord).topologiquement une droite alors l'univers est infini.
topologiquement un cercle alors l'univers est fini et sans bord.
It makes sense to consider all the long spaces at once because every connected (non-empty) one-dimensional (not necessarily separable) topological manifold possibly with boundary, is homeomorphic to either the circle, the closed interval, the open interval (real line), the half-open interval, the closed long ray, the open long ray, or the long line.Ah, la combinatoire...2D
A deux dimensions spatiales le problème se complique
Rien à voir avec les notions de compacité ou de bord. Les différences entre géométries sont métriques. Les notions de bord ou de compacité non.car il y a 3 catégories de géométries:euclidiennes, elliptiques et hyperboliques.
Le cylindre S1 x R n'a pas de bord, les cylindres S1 x [0,1] et S1 x [0, 1[ en ont. Le ruban de Möbius peut être avec ou sans bord.Pour les géométries euclidiennes le cylindre et la bande Möbius sont des géométries infinies alors que le Tore et la bouteille de Klein sont des géométries finies et sans bords.
Il n'est pas besoin d'évoquer la géométrie (qui n'est pas définie pour tout espace topologique), et encore moins la notion d'univers. La notion de genre d'une variété topologique connexe de dimension 2 suffit. En gros (je passe toutes les conditions), tout surface close (compacte et sans bord) de genre 2 est homéomorphe à S2, de "genre" 1 homéomorphe au plan projectif.Pour les géométries elliptiques il y a 2 univers sans bords: la sphère S2 et le plan projectif P2.
On peut classer toutes les surfaces "usuelles" sans bord par le genre (entre -infini et 2) et le nombre de "trous". Le cylindre est de genre 0 à deux trous par exemple.
Notons que la demi-sphère sans bord (homéomorphe au plan, genre 0 et un trou) peut être vue comme munie de la même géométrie que la sphère et n'a pas de bord (mais elle a un trou et n'est pas compacte)...
Enfin, comme écrit précédemment, le compactifié d'un espace n'a pas nécessairement de bord. Il est conceptuellement faux de voir les trous d'un cylindre ouvert comme "correspondant à des bords", car on peut "fermer" les deux trous : - par un seul point (mais ce n'est plus une variété), - par deux points (on obtient S2), - par un point et un cercle (on obtient le disque fermé), - par deux cercles (on obtient S1 x [0,1])... Si on ne "ferme" qu'un trou, on obtient le plan ou S1x[0,1[
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Il me semble que mes efforts de faire comprendre la distinction entre bord et compacité sont sapés...
Mais bien sûr, on peut considérer que ces subtilités sont sans intérêt, ou inadaptées au niveau (supposé limité?) des lecteurs d'un forum de vulgarisation comme celui-ci?
7
Et faut que je recompte plusieurs fois, encore...
Par ailleurs, et d'un point de vue "philosophie", le mot "Univers" reste pas mal ambigu.
On ne peut parler sur la base d'observations que du "demi-Univers" constitué par le cône passé du point d'observation. Et, si on y inclut les directions de type lumière, il s'agit (en minkowskien) d'une variété avec bord.
Dans une hypothèse genre multi-Univers la topologie du complémentaire (le futur de l'observateur) n'est pas la même que celle du passé... Et est spéculative !
Ce que prédit la physique "usuelle" est simplement que tout observation future du passé d'alors amènera à modéliser le dit passé d'alors comme variété 4D (à bord). Ce qui n'est pas la même chose que modéliser l'intégralité de l'espace-temps (=? l'Univers) comme une variété...
Notons que la question de la pseudo-métrique sur le bord et près du bord du cône passé est intéressante... En particulier, il y a un point singulier (l'observateur, si on l'inclut) dont toutes les directions en partant sont de type lumière ou temps ; et les autres points du bord. Si ce bord est topologiquement homéomorphe à R3 (en minkowskien (1), observateur inclus (2)), il ne semble pas "métriquement" homogène.
Notons aussi que ce bord est ce qu'on perçoit visuellement comme "le présent". (Et l'homéomorphisme avec R3 correspond alors plus ou moins à "l'espace"...)
Cordialement,
(1) Mais pas dans l'Univers de Luminet, où ce bord est homéomorphe à la sphère d'homologie de Poincaré, sauf erreur de ma part.
(2) Si on n'inclut pas le point d'observation, le bord est alors homéomorphe à S3 moins un point, l'équivalent topologique du cylindre en 3D, S2 x R, une variété sans bord...
Et quelque chose dans le genre d'un point qui surgit au centre de l'écran puis qui s'agrandit en un cercle qui lui-même continue à s'agrandir jusqu'à quitter l'écran pour résurgir aussitôt au centre de l'écran, ça serait pas intéressant comme représentation mentale ?
Un peu hypnotique, peut-être...
Mais qu'est-ce que ça pourrait bien donner en 3D ?
Cordiales salutations.
Ma représentation mental serait plutôt comme un cercle qui grossirait sur une sphére qui serait elle même enroulé sur une hypersphère...
Cela me semble plus proche de notre vision de la nature7
Les sept merveilles du monde,
Les 7 péchés capitaux,
Les 7 jours de la semaine,
Les 7 systèmes cristallins,
...
Il faudrait demander à stefjm l'interprétation (c'est de l'humour)
Patrick
