L'espace est-il vraiment infini ?

[invité576543]

On peut classer toutes les surfaces "usuelles" sans bord par le genre (entre -infini et 2) et le nombre de "trous". Le cylindre est de genre 0 à deux trous par exemple.

Je me corrige. Ce qui est entre -infini et 2, c'est la caractéristique, pas le genre. Le genre est un entier, et le cylindre est bien de genre 0.
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[invité576543]

Et quelque chose dans le genre d'un point qui surgit au centre de l'écran puis qui s'agrandit en un cercle qui lui-même continue à s'agrandir jusqu'à quitter l'écran pour resurgir aussitôt au centre de l'écran, ça serait pas intéressant comme représentation mentale ?

Un peu hypnotique, peut-être...
Mais qu'est-ce que ça pourrait bien donner en 3D ?

La question n'est pas claire. Que veut dire "resurgir"? Pourquoi le point qui "apparaît" aurait une relation avec ce qui a disparu?

On peut tout aussi bien décrire un cercle qui s'agrandit indéfiniment, disparait, et un nouveau point surgit au centre, non?

Par ailleurs, c'est mathématisable par exemple par la fonction t --> (cos(t), sin(t))*(1/(1-frac(t))-1)

L'équivalent 3D ne pose pas de difficulté, mais quelle est la portée de l'exercice?

J'imagine que quelque chose m'a échappé...

[Les Terres Bleues]

.
C'était juste une proposition d'une autre représentation mentale pour un univers fini et sans bord en réponse à une image avancée par Deedee81 elle-même en réponse à une intervention de Rik 2.

Pour ce qui est de la représentation mentale, tu peux par exemple imaginer l'espace de PacMan (le jeu). L'univers est non courbé mais fini et sans bord. Si tu vas tout droit, toujours tout droit, tu te retrouves.... à ton point de départ ! Comme l'univers du petit bonhomme dans PacMan. Il n'y a donc pas d'univers extérieur, du moins, à nouveau, pas d'extérieur obligatoire.

L'exercice, s'il y en a un, consiste simplement à visualiser mentalement un espace 3D qui "boucle" entre le centre et la périphérie, et non à la manière d'un tore.

J'imagine que quelque chose m'a échappé...

Je ne crois pas.
Bien peu de choses t'échappent .

Cordiales salutations.

[Deedee81]

Salut,

Et quelque chose dans le genre d'un point qui surgit au centre de l'écran puis qui s'agrandit en un cercle qui lui-même continue à s'agrandir jusqu'à quitter l'écran pour résurgir aussitôt au centre de l'écran, ça serait pas intéressant comme représentation mentale ?

Tiens, amusant, je n'avais pas pensé à ça

Un peu hypnotique, peut-être...

Surtout cela ne correspond pas à un univers homogène et, en outre, le centre est une singularité ainsi que la périphérie puisque qu'elle est "collée" au centre. Ca donne un univers particulièrement déformé. Ca me fait penser à une variété du style Calabi-Yau. Après-tout, on rencontre bien ce genre de bizarrerie en théorie des cordes.

Mais qu'est-ce que ça pourrait bien donner en 3D ?

Ben, une boule qui grossit puis redevient un point.

[invité576543]

L'exercice, s'il y en a un, consiste simplement à visualiser mentalement un espace 3D qui "boucle" entre le centre et la périphérie, et non à la manière d'un tore.

Il me semble que ce que tu as décrit est un espace non connexe . Dans ce cas il est "facile" de boucler entre le centre et la périphérie.

Mais je ne vois pas cela comme une vision intéressante de l'Univers (qu'on entende par là l'espace ("un" espace) ou l'espace-temps, personne n'a encore bien clarifier ce dont vous parlez exactement ).

La non connexité (dans ce domaine) implique àmha l'inconnaissabilité par un observateur d'autre chose que la partie connexe à laquelle il appartient. Si cela est accepté, il s'ensuit que la seule "forme" qui nous intéresse est celle de la partie connexe à laquelle nous appartenons tous (i.e., ceux qui participent à cette discussion, "participer à une même discussion" impliquant appartenir à la même partie connexe de l'espace-temps et/ou de l'espace ).

Ben, une boule qui grossit puis redevient un point.

Je ne l'ai pas compris (ni traduit) comme cela. Il n'est pas question de "compression de l'espace" dans la description de LTB.

Par ailleurs, le modèle d'espace-temps que tu décris là n'est pas celui d'une variété : le point en question n'a pas un voisinage homéomorphe à R4. Ce genre d'hypothèse est, une fois de plus, "intéressante" épistémologiquement. Est-ce que cela n'implique pas que les lois physiques n'y sont pas celles qu'on utilisent? Sur quelle base peut-on alors en parler?

C'est pour moi une question essentielle à toute singularité de l'espace-temps. Parler de loi physique implique une certaine dose d'homogénéité. Étendre ces lois à des singularités, qui par définition ne respectent pas l'homogénéité, pose une difficulté épistémologique incontournable. Comment est-elle résolue?

C'est la même chose que ce que j'essayais d'expliquer avec la notion de bord (en appliquant ce terme correctement) : le bord d'une variété n'ayant pas les mêmes propriétés topologiques que l'intérieur, quelles lois physiques y appliquer est une question essentielle qui n'a pas de réponse évidente.

Et peut-on citer des lois physiques portant sur autre chose que des événements situés à l'intérieur (au sens des variétés, i.e., pas sur un bord) de la variété?

On peut prendre cela comme suit : les théories physiques dont on parle sans trop de précaution ne s'appliquent QUE à un point intérieur de l'espace-temps. Si on définit un modèle d'Univers comme le cadre de ces théories physiques, alors il est sans bord, par inférence épistémologique.

Si on veut "étendre" le modèle, cela se fait alors nécessairement par l'adjonction de points "non intérieurs" (ce qui, comme j'avais essayé d'expliquer, n'est pas nécessairement l'adjonction d'un bord) auxquels s'appliquent d'autres lois physiques que celles que nous appliquons. Si cela est accepté, alors toute tentative de discussion sérieuse sur ces points ajoutés demande 1) de proposer ces lois, 2) de les justifier, et 3) --le plus important-- de justifier la méthode de justification, i.e., de procéder à la réflexion épistémologique sur ce type de théorie, parce que l'épistémologie "courante" n'apparaît pas suffisante.

Perso, j'adopte la position "sceptique" (dans ce domaine comme dans d'autres) qui consiste (je précise parce que ce mot bien utile est récemment mis à mal --i.e., utilisé n'importe comment--) à ne pas trancher une question tant que la réponse n'importe pas, en particulier tant que la réponse n'intervient pas dans une prise de décision. Cela implique, il me semble, dans le cas de la discussion présente de se contenter d'essayer de comprendre la physique "à l'intérieur" d'un espace-temps modélisé comme une variété sans bord (ce qui, pour ne répéter, n'exclut pas les "trous" : un cylindre est une variété sans bord...). Et de rejeter les "extensions" dans la spéculation "à vide", avec le risque que cela présente, surtout si elle est se présente comme des mots et pas des maths, ou par des maths sans rapport avec une quelconque observation...

En particulier, pour moi une théorie "big-bang big-crunch", combiné à un refus de bord, semble ne pas pouvoir se satisfaire d'une topologie compacte de l'espace-temps, cause les deux trous. Comme je comprends la notion de "infini" dans la question originelle comme "non compact", l'espace-temps est "infini" à ce sens. Il reste deux possibilités : que les référentiels soient compacts ou non compacts... (Les référentiels peuvent être compacts sans contradiction avec l'espace-temps non compact : ce sont les fibres qui sont non compactes, elles "commencent et finissent" aux deux trous...)

Cordialement,

Caveat lector : Comprendre mon texte requiert accepter les mots aux acceptions que j'ai indiquées dans des messages précédents, acceptions qui me semblent être celles "normales" dans le cadre des variétés topologiques ; et non de les prendre à la manière dont ils sont utilisés par d'autres participants, manière que je me refuse, j'espère qu'on comprendra pourquoi, de suivre.

[Deedee81]

Je ne l'ai pas compris (ni traduit) comme cela. Il n'est pas question de "compression de l'espace" dans la description de LTB.

Ah, non, moi non plus.

Je dirais plutôt "une boule de lumière" qui grossit dans l'espace puis se retrouve sous forme d'un point.

Ou alors j'ai très mal compris ce que TB voulait dire.

Par ailleurs, le modèle d'espace-temps que tu décris là n'est pas celui d'une variété : le point en question n'a pas un voisinage homéomorphe à R4.

En effet, même celui avec la boule de lumière. Il est terriblement singulier.

Pour le reste je suis 100 % d'accord avec toi. Essayons d'abord de décrire qui correspond à ce que nous observons (même si ce n'est qu'une partie). Un univers globalement homogène et isotrope. Avant de nous attaquer à des trucs hypothétiques, bizarre, où qui s'étendraient à un univers qu'on ne peut même pas observer.

[invite6754323456711]

(ce qui, pour ne répéter, n'exclut pas les "trous" : un cylindre est une variété sans bord...).

un cylindre infini non ? http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3...A9_.C3.A0_bord

Patrick

[Les Terres Bleues]

(...)

Pfiou !

J'étais loin d'imaginer que ma petite proposition d'une représentation originale pour un univers 3D (purement spatial) en expansion conduise à une telle clarification épistémologique.
Chapeau Michel pour la qualité de ton intervention, même s'il ne m'est pas véritablement agréable de me retrouver isolé et démuni face à un tel contrefeu argumentaire.

Je comprends également que ma participation au débat aussi ponctuelle soit-elle n'est pas la bienvenue.
Quoi qu'il en soit, je confirme que ton interprétation de l'image que j'ai avancée correspondait bien à ce que je voulais exprimer.

sans rancune.

Cordiales salutations.

[invité576543]

un cylindre infini non ? http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3...A9_.C3.A0_bord

Un cylindre "fini" S1 x ]0,1[ est sans bord. (Mais il a une frontière non vide --deux cercles-- dans S1 x R, contrairement à S1 x R lui-même.)

La notion de "fini" ou "infini" ne me semble pas définie clairement quand on parle "topologie pure" : R et ]0,1[ sont homéomorphes, alors que beaucoup voient le premier "infini" et le second "fini".

[Par ailleurs, le lien que tu indiques définit la notion de "variété à bord" comme je le fais... Par contre, je ne les suivrai pas pour l'usage du mot "fini" et "infini". [0, 1] est compact; ]0,1[, [0, 1[, R+ et R ne sont pas compacts, et vous faites ce que vous voulez pour le mot "fini"...]

[invité576543]

Je comprends également que ma participation au débat aussi ponctuelle soit-elle n'est pas la bienvenue.

Je n'ai certainement pas cherché à donner cette impression.

Mon léger énervement est dirigé ailleurs.

[invite6754323456711]

Un cylindre "fini" S1 x ]0,1[ est sans bord. R et ]0,1[ sont homéomorphes, alors que beaucoup voient le premier "infini" et le second "fini".

Effectivement je ne me le représentais pas comme cela. L'habitude de lire on colle les bords pour construire un tore est plutôt perturbateur.

[0, 1] est compact; ]0,1[, [0, 1[, R+ et R ne sont pas compacts

Le cercle S1 est compact. Pourquoi un cylindre ne peut il pas se définir ainsi S1 x [0,1] ?

Patrick

[invité576543]

Effectivement je ne me le représentais pas comme cela. L'habitude de lire on colle les bords pour construire un tore est plutôt perturbateur.

Quand on dit "on colle les bords" alors qu'on parle de variétés sans bord, on omet une étape : l'ajout d'une ou plusieurs parties connexes de bord.

La nécessité de l'étape est assez claire si on compare :

- on colle deux plans par le bord ;
- on colle deux disques ouverts par le bord ;
- on colle deux "sphères moins un point" par le bord.

Topologiquement, les trois phrases décrivent strictement la même chose... Ajouter un bord à une sphère moins un point, c'est y ajouter un cercle

(Et "coller" doit être compris comme "identifier telle partie connexe du bord de l'un avec telle partie connexe du bord de l'autre". Du cylindre au tore : 1) on ajoute le bord, qui est composé de deux parties connexes toutes deux homéomorphes à S1, 2) on identifie les deux parties connexes du bord en respectant l'orientation. -- Si on ne respecte pas l'orientation, on obtient la bouteille de Klein...)

Le cercle S1 est compact. Pourquoi un cylindre ne peut il pas se définir ainsi S1 x [0,1] ?

Juste une question de vocabulaire, non? Il y a trois variétés qu'on peut appeler cylindre, dont celle que tu indiques.

Aucune idée quelle est la norme, mais j'utilise "cylindre" pour la variété sans bord, et je précise pour les deux variétés avec bord (un seul cercle ou deux cercles). "Cylindre demi-ouvert" et "cylindre fermé" peut venir à l'esprit, à l'instar des segments, mais je n'aime pas parce que cela implique un plongement.

[invite6754323456711]

à l'instar des segments, mais je n'aime pas parce que cela implique un plongement.

On peux tout de même définir une géométrie avec la notion de bord.

Boule de Poincaré : Les géodésiques sont des arcs de cercle orthogonaux au bord.

Pourquoi ne pourrait-elle pas faire sens en physique ?

Patrick

[invite6754323456711]

Juste une question de vocabulaire, non? Il y a trois variétés qu'on peut appeler cylindre, dont celle que tu indiques.

N'est-ce pas une question de convention comme le souligne Poincaré ? Pour décrire la nature on utilise celle qui nous est la plus commode.

Quoi qu'il en soit cela restera un discours mathématique portant sur un comportement de la nature non ?

Patrick

[invite5e279b10]

Pour décrire la nature on utilise celle qui nous est la plus commode.

justement! pour l'univers j'aimerais bien savoir qu'elle est la description la plus "commode", un univers fini ou infini?

[invite7ce6aa19]

justement! pour l'univers j'aimerais bien savoir qu'elle est la description la plus "commode", un univers fini ou infini?

Bonjour,

S'agissant de l'univers il n'est pas de question de commodité au sens de Poincaré. La question de savoir si l'espace est fini ou infini demande une réponse exclusive. Par exemple en 1D la droite est infinie alors que le cercle est fini.

La question se pose pour la géométrie 3D de notre univers et la question n'est pas simple car les mathématiciens n'ont, à ce jour, même pas répertoriés tous les espaces finis hyperboliques (en fait ils sont en nombre infinis). Selon les travaux de J.P Luminet il penche en faveur d'un univers hyperbolique qui s'appelle le dodécaèdre de Poincaré.

[invite6754323456711]

justement! pour l'univers j'aimerais bien savoir qu'elle est la description la plus "commode", un univers fini ou infini?

Il faudrait étudier en profondeur les travaux de Poincaré, qui est considéré comme l'inventeur de la topologie algébrique et différentielle, pour décrypter sa pensée.

Patrick

[invite6754323456711]

Par exemple en 1D la droite est infinie alors que le cercle est fini.

Il me semble que ce n'est pas aussi simple que cela. Je peux définir un segment de droite suivant différents points de vue :

[1, 0] ou ]0, 1[ ou [0,1[

Exemple pour le cylindre

Un cylindre "fini" S1 x ]0,1[ est sans bord. (Mais il a une frontière non vide --deux cercles-- dans S1 x R, contrairement à S1 x R lui-même.)

La notion de "fini" ou "infini" ne me semble pas définie clairement quand on parle "topologie pure" : R et ]0,1[ sont homéomorphes, alors que beaucoup voient le premier "infini" et le second "fini".

[0, 1] est compact; ]0,1[, [0, 1[, R+ et R ne sont pas compacts, et vous faites ce que vous voulez pour le mot "fini"...

Juste une question de vocabulaire. Il y a trois variétés qu'on peut appeler cylindre, dont celle que tu indiques (S1 x [0,1])

Le groupe quotient R/Z est homéomorphe au cercle S¹.

Patrick

[invite7ce6aa19]

Il me semble que ce n'est pas aussi simple que cela. Je peux définir un segment de droite suivant différents points de vue :

[1, 0] ou ]0, 1[ ou [0,1[

Exemple pour le cylindre


Le groupe quotient R/Z est homéomorphe au cercle S¹.

Patrick

Bonjour,

Ca sont des considérations purement mathématiques.


Il s'agit ici de physique ou plus précisément de topologie cosmique (c'est le nom officiel).

L'Univers est soit infini soit fini cad sans bords. Tous les cosmologistes ont étudiés et continuent de poser la question ainsi.

S'il y avait un bord alors ce serait un point particulier ce qui ne respecte pas le principe cosmologique fondamental qui veut qu'aucun point particulier existe.

Il semble qu'actuellement les recherches se passionnent pour les univers 3D de géométrie hyperbolique fini (sans bords).

[invite6754323456711]

Bonjour,

Ca sont des considérations purement mathématiques.


Il s'agit ici de physique ou plus précisément de topologie cosmique (c'est le nom officiel).

C'est un cadre de pensée utile à la physique qui a le mérite de mettre le doigt sur l'ambiguë d'utilisation des termes fini et infini. Les contraintes empiriques sont par exemple le domaine de définition.

Pour Poincaré : « convention qui nous est suggérée par l’expérience, mais que nous adoptons librement ». Débat entre les tenants du conventionalisme géométrique et ceux qui soutiennent l’idée d’un fondement physique de la géométrie. Selon Poincaré, « Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut seulement être plus commode »

Par exemple le groupe de Galilée(1) qui a permis de définir une géométrie de l’espace et du temps (géométrie galiléen) nous a été très commode pour formaliser le principe de relativité galiléenne.


Une interrogation sur le sens physique est celle de Michel : implique un plongement.


Patrick

[invite7ce6aa19]

C'est un cadre de pensée utile à la physique qui a le mérite de mettre le doigt sur l'ambiguë d'utilisation des termes fini et infini. Les contraintes empiriques sont par exemple le domaine de définition.

Quelle ambiguité?

Fini = volume fini
Infini = volume infini

Pourquoi faire compliqué, quand on peut faire simple.

Pour Poincaré : « convention qui nous est suggérée par l’expérience, mais que nous adoptons librement ». Débat entre les tenants du conventionalisme géométrique et ceux qui soutiennent l’idée d’un fondement physique de la géométrie. Selon Poincaré, « Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut seulement être plus commode »

Cela demanderait des exemples précis.

Je ne crois pas que la géométrie du cercle soit une commodité. Sinon par quelle géométrie remplacer le cercle?

Par exemple le groupe de Galilée(1) qui a permis de définir une géométrie de l’espace et du temps (géométrie galiléen) nous a été très commode pour formaliser le principe de relativité galiléenne.

Même remarque que précedemment. Par quoi remplacer le groupe des transformations galiléennes. Personnellement, je ne vois pas.

Une interrogation sur le sens physique est celle de Michel : implique un plongement.

Il est bien connue, depuis Gauss, que les propriétés d'une géométrie sont indépendantes d'un espace de plongement. Il en est ainsi de notre univers. De plus tous les espaces ne peuvent pas être plongés dans Rn.

[invite5e279b10]

l'espace est-il infini dans le cadre de la relativité galiléenne?
si oui pourquoi ne le serait-il pas dans le cadre de la relativité einsteinienne?

[invite6754323456711]

Quelle ambiguité?

Fini = volume fini
Infini = volume infini

Pourquoi faire compliqué, quand on peut faire simple.

Parce qu'il faut se méfier des apparences. Le choix d'une définition formelle pour le cylindre en est un bon exemple

S1 x [0,1] ?
S1 x ]0,1[ ?
S1 x [0,1[ ?

R et ]0,1[ sont homéomorphes.

Patrick

[invite6754323456711]

Même remarque que précedemment. Par quoi remplacer le groupe des transformations galiléennes. Personnellement, je ne vois pas.

La « Mécanique analytique » de Lagrange pour le formulation des lois du mouvement qui semble faire l’économie de la géométrie.

Patrick

[Deedee81]

Salut,

Parce qu'il faut se méfier des apparences.

Il est certain que certaines variétés peuvent avoir un volumer difficile à définir mais il n'y a qu'en théorie des cordes qu'on voit des espaces pareils (du style Calabi-Yau et autre).

Pour les espaces discutés ici, la définition de Mariposa est plutôt standard en cosmologie.

R et ]0,1[ sont homéomorphes.

Mais pas de même "volume" (longueur) pour la mesure naturelle.

Un intervalle est fini.

Il ne faut pas oublier qu'on parle de l'espace "réel" et donc de physique. Et en physique, peu importe qu'un intervalle soit fermé ou ouvert. Le dernier point, tu ne saurais pas le mesurer vu que toute précision est finie (et je ne parle même pas de MQ là).

Il est donc avec bord pour le physicien : mais pas nécessairement pour le mathématicien.

On peut faire une différence conceptuelle, mais, bon c'est chercher à jouer du violon avec des gants de boxe (merci Coluche).

Je ne connais pas un seul exemple expérimental ou il y aurait une différence entre un intervalle ouvert ou fermé (n'hésite pas à me détromper si tu connais un exemple )

[invite6754323456711]

Pour les espaces discutés ici, la définition de Mariposa est plutôt standard en cosmologie.

Si elle ne s'appuie pas sur le formalisme de la topologie mathématique sur quel formalisme s'appuie elle alors ?

Mais pas de même "volume" (longueur) pour la mesure naturelle.

Un intervalle est fini.

C'est de la géométrie un cas particulier de la Topologie. La topologie ne s’embarrasse pas de mesures.

Patrick

[invite6754323456711]

Je ne connais pas un seul exemple expérimental ou il y aurait une différence entre un intervalle ouvert ou fermé (n'hésite pas à me détromper si tu connais un exemple )

C'est la question de topologie de l'univers non ?

Par exemple si on considérons une fonction f définie sur qui est strictement croissante sur cet intervalle. Du fait de la stricte croissance, les limites aux bornes ne sont pas atteintes, me semble t-il, donc : . Une grande différence avec l'intervalle [0,1] non ?

Patrick

[invite7ce6aa19]

Parce qu'il faut se méfier des apparences. Le choix d'une définition formelle pour le cylindre en est un bon exemple

S1 x [0,1] ?
S1 x ]0,1[ ?
S1 x [0,1[ ?

R et ]0,1[ sont homéomorphes.

Patrick

Oui, mais cela démontre quoi?

[invite7ce6aa19]

l'espace est-il infini dans le cadre de la relativité galiléenne?
si oui pourquoi ne le serait-il pas dans le cadre de la relativité einsteinienne?

Parce que la relativité galiléenne repose sur la géométrie euclidienne de l'espace R3 à savoir les transformations qui conservent l'isométrie pythagoricienne. A contrario la RG relève de la géométrie pseudo-Riemannienne (les espaces courbes) qui ouvre un éventail très large de topologies dont certaines sont de volume finis.

[invite6754323456711]

Oui, mais cela démontre quoi?

Si on s'intéresse qu'a l'aspect purement topologique de l'univers les notions de fini et infini ne suffisent pas car trop ambigüe

Patrick