L'espace est-il vraiment infini ?

[Médiat]

N'a t-on pas plusieurs choix pour convenir de quelles sont les parties ouvertes et ainsi pour un même ensemble avoir plusieurs espaces topologiques du grossier au fin

C'est "vrai" pour toutes les structures : toutes les topologies qui peuvent se définir sur un ensemble de cardinal donné, peuvent être définies sur tous les ensembles de ce même cardinal.
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[invite6754323456711]

Maintenant en RG la 4-variété et la métrique ne sont déterminés à priori mais déduit des équations de champs.

En fait quel sont les principes physiques qui permettent d'éliminer/filtrer les solutions mathématiques pour ne garder que celles qui font sens (en physique)?

hyperbolique pas elliptique... et il n'est pas inutile de préciser que c'est vrai pour des modèles mathématiques qui sont avant tout des solutions analytiques des équations d'Einstein plutôt que des modèles sérieusement envisagés

Patrick

[invite6754323456711]

Quelque part, la "forme de l'espace" a donc nécessairement une relation avec le tenseur métrique, via la notion de référentiel.

C'est un autre point qui m'interpelle. Pourquoi s'intéresse t'on de manière séparé à la forme spatiale et temporelle alors que l'invariant est espace-temps ensemble des évènements ?

Patrick

[invite6754323456711]

C'est "vrai" pour toutes les structures : toutes les topologies qui peuvent se définir sur un ensemble de cardinal donné, peuvent être définies sur tous les ensembles de ce même cardinal.

Cela ne revient-il pas à dire qu'il y a plusieurs façon de partitionner un ensemble. La contrainte la plus générale étant la stabilité pour union (nombre fini ou infini d'ouvert) et l'intersection (nombre fini d'ouvert) ? Cette propriété générale étant hérité pour tout les espaces topologiques.

Patrick

[invité576543]

Maintenant en RG la 4-variété et la métrique ne sont déterminés à priori mais déduit des équations de champs.

J'ai du mal à suivre le raisonnement dans ce sens-là.

En physique, on choisit un modèle mathématique en fonction de buts, qui sont, quelle que soit la manière plus fine de le dire, en relation avec des observations.

Ce sont les observations qui déterminent l'acceptabilité ou non de tel ou tel modèle mathématique appliqué à la physique.

D'une certaine manière, le tenseur métrique (par exemple) est bien "déterminé a priori" au sens où il est contraint par des observations qui sont elles clairement posées a priori à la tentative de modélisation qu'est la physique.

Les équations de champ de la RG, par exemple, ne sont qu'une manière de capturer des relations entre observations (entre les trajectoires inertielles et la distribution de l'énergie-quantité de mouvement, plus précisément).

Même parler de variété différentielle 4D n'est qu'une manière de capturer des observations, en particulier celle, intuitive, que les événements observés sont topologiquement localement organisables "comme dans R⁴" (selon les 8 points cardinaux, comme je le présente, pour les former/déformer à la partie intéressée de ma progéniture).

Je crois comprendre ce que tu cherches à dire comme une paraphrase de ce qu'a écrit Rincevent, et que je me permets de re-paraphraser comme "dans le modèle de la RG, le tenseur métrique de la 4-variété est contraint à être une solution des équations de champs". (Et la topologie en est contrainte à son tour, dans la mesure où la topologie doit être compatible avec le tenseur métrique.)

Cordialement,

[invité576543]

C'est un autre point qui m'interpelle. Pourquoi s'intéresse t'on de manière séparé à la forme spatiale et temporelle alors que l'invariant est espace-temps ensemble des évènements ?

Parce que le tenseur métrique est une part bien trop importante du modèle physique pour qu'on puisse l'ignorer.

Parce que la distinction passé/futur est essentielle à la physique, pour des raisons épistémologiques, et parce que ne nous percevons le monde qu'avec cette distinction.

Il y a tellement de réponses à ton pourquoi que je ne perçois pas où est le problème que tu poses.

Cordialement,

[invité576543]

Cela ne revient-il pas à dire qu'il y a plusieurs façons de partitionner un ensemble.

Non. Il n'y a qu'une seule manière de partitionner un singleton. (Et je ne sais pas combien pour l'ensemble vide, mais pas "plusieurs".)

[invite6754323456711]

Il y a tellement de réponses à ton pourquoi que je ne perçois pas où est le problème que tu poses.

De séparer l'espace du temps cela devient subjectif à un référentiel.

Patrick

[stefjm]

C'est un autre point qui m'interpelle. Pourquoi s'intéresse t'on de manière séparé à la forme spatiale et temporelle alors que l'invariant est espace-temps ensemble des évènements ?

Mais pour pouvoir faire de l'analyse dimensionnelle sans «c» bien sûr!
Par exemple avec et G. (ce qui introduit la masse et la dynamique naturellement, alors que la constante «c» se contente de la cinématique)

Il se passe aussi des «choses bizarres» pour la dimension 4.
Du genre :
La dimension de pression relient des grandeur très intéressante :

La série des telle que est particulière.

est une accélération de masse . (et circulation d'une pression)
est une force . (et flux de la pression)
est une énergie . (passage intensif de la pression à extensif de l'énergie par le volume)
exhibe la dimension , ie celle de qui apparait dans la force électrique ou dans la force gravitationnelle (G est de dimension ), toutes deux forces en inverse de surface .

Impossible de noter tout cela si tu poses dès le départ que . ()

Cordialement.

[invite6754323456711]

Non. Il n'y a qu'une seule manière de partitionner un singleton. (Et je ne sais pas combien pour l'ensemble vide, mais pas "plusieurs".)

Le singleton est ce qu'il y a de plus fin.

Entre les deux

* la topologie réduite à l'ensemble vide et à X est la topologie grossière.
* l'ensemble de toutes les parties constitue la topologie discrète.

Nous avons un bon nombre de possibilité non ?

Patrick

[invité576543]

De séparer l'espace du temps cela devient subjectif à un référentiel.

Je ne le vois pas comme cela.

Le tenseur métrique sépare les directions spatiales et les directions temporelles. Et cela indépendamment de tout référentiel.

Un référentiel est une manière de présenter le tenseur métrique, en respectant la séparation des directions. Tu utilises le mot "subjectif" pour l'aspect arbitraire du choix d'un référentiel, non? Mais à ce sens le tenseur métrique n'est pas arbitraire.

Pour revenir au problème de la "forme de l'espace" (ce qui est la question du fil, plus ou moins), le choix arbitraire du référentiel ne pose pas de problème si la "forme" se révèle indépendante de ce choix.

Je ne sais pas si c'est le cas. (Ou plutôt j'ai des doutes que ce soit le cas, il me semble que les différents référentiels utilisés dans l'étude des trous noirs correspondent à des "formes" différentes, mais je ne maîtrise pas assez cela pour m'en faire une idée plus ferme.)

Ceci dit, si on prend l'échelle cosmologique, le référentiel est implicitement le référentiel comobile, non? Et alors la question est la "forme" du référentiel comobile (une fois "lissés" les trous noirs...), non?

Cordialement,

[invite017726ab]

Un peu d'émologie associé à tous ces termes scientifiks et ces calculs à se jeter par la fenêtre du rdc..... finitude = limite? (admettons)limite =forme?(mouais?!!)forme=vision ????? (ok ok ....)vision???= signal code canal recepteur decodeur=Rétine??.....??...??= téléscope à microscope intégré, avec un ampli IRM, loupe , binocle, monocle, un tuning radioscope, ultra violent scope; rayon gamma scope, .....2010....toujours pas soluble....d'autant qu'j'ai entendu dire qu'yaurait un ou des murs qui se planquent dans l'espace...de quoi chercher un big bang.... allez..... hop y assez.

[invite6754323456711]

Tu utilises le mot "subjectif" pour l'aspect arbitraire du choix d'un référentiel, non?

Oui et comme la distance spatiale change en fonction du référentiel. D'où mon interrogation sur les propriétés intrinsèques de forme projetés sur un référentiel ne peut-elle pas créer des apparences.

Patrick

[invite7ce6aa19]

C'est un autre point qui m'interpelle. Pourquoi s'intéresse t'on de manière séparé à la forme spatiale et temporelle alors que l'invariant est espace-temps ensemble des évènements ?

Patrick

Bonjour,

La causalité, rien que la causalité.

Personne n'est prêt à renoncer à la causalité.

[invite6754323456711]

Pour revenir au problème de la "forme de l'espace" (ce qui est la question du fil, plus ou moins), le choix arbitraire du référentiel ne pose pas de problème si la "forme" se révèle indépendante de ce choix.

Je ne sais pas si c'est le cas. (Ou plutôt j'ai des doutes que ce soit le cas, il me semble que les différents référentiels utilisés dans l'étude des trous noirs correspondent à des "formes" différentes, mais je ne maîtrise pas assez cela pour m'en faire une idée plus ferme.)

Analogie à L'Effet Unruh par exemple

Patrick

[invite853321bf]

Question un peu bête et peut être déjà posée : si l'espace est fini, comment détecter cette fameuse limite? Déjà elle devrait se trouver si loin de nous qu'il faudrait attendre un peu pour la voir

[invite7ce6aa19]

En particulier, l'opposition entre R³ (le modèle "intuitif" de l'espace, la prolongation "tout droit" à l'infini vers les six points cardinaux) et la sphère S3 (ou un repliement de S3, comme ce que propose Luminet) est du côté "non métrique".

Ce n'est pas ce que propose Luminet, c'est même exactement le contraire.

[La "forme" d'une variété différentielle peut imposer des contraintes sur les métriques. Il me semble qu'on ne peut pas munir S3 d'une métrique homogène qui donne une courbure autre que partout positive (et constante, par hypothèse). C'est pour cela que la courbure de l'espace est importante dans le cas du modèle de Luminet : sous l'hypothèse d'homogénéité de l'espace, une courbure négative réfuterait immédiatement le modèle.

J'ai expliqué n fois 10 < n < 20 que Les travaux de Luminet portaient notamment sur les espaces homogènes et isotropes hyperboliques finis (cad de volume fini cad de courbure négative). Il semble priviléger les espaces hyperboliques car ce sont ceux qui ont le plus petit volume et qui sont le plus nombreux.

Les volumes sont exprimés en unité de courbure R. Par exemple le record actuel est l'espace de Weeks qui vaut: 0,94272.R3

J-P Luminet précise que la limite théorique a pu être calculée et vaut 0,166 R3, mais personne n'a pu décrire une topologie de volume inférieure à celle de Weeks (1985)

Dans le domaine des espaces elliptiques l'espace de Poincaré est 120 fois plus petit que l'hypersphère de référence S3.

Donc contrairement à ce que tu m'a opposé précédemment, à tord, la métrique est présente et en même temps absente puisqu'il s'agit de comparer des volumes par rapport à un volume de référence.

Changer la métrique du volume de référence ne change en rien le rapport des volumes des différentes topologies, ce qui fait disparaître de fait le rôle de la métrique.

[invite0fa82544]

.......
.......
Donc contrairement à ce que tu m'a opposé précédemment, à tord, .....

tort, pas tord, à moins qu'il ne s'agisse de tordre le cou (pas coup) à quelques affirmations prêtant à discussion.

[invite6754323456711]

si l'espace est fini,

Toute la difficulté est, me semble t-il, d'abord de convenir de définition formelle sinon on arrive plus à savoir de quoi on parle.

Patrick

[invite7ce6aa19]

Question un peu bête et peut être déjà posée : si l'espace est fini, comment détecter cette fameuse limite? Déjà elle devrait se trouver si loin de nous qu'il faudrait attendre un peu pour la voir

Bonjour,


C'est enfin une bonne question qui a un rapport directe avec le sujet et qui est au coeur des travaux de Luminet et toute la communauté des topologistes cosmiques.


Je reprend le cas le plus simple ou on a un univers à 1 dimension spatiale avec une univers fini qui est un cercle de rayon R(t). En effet selon les équations d'Einstein le rayon évolue.


Univers stationnaire 1D:Une galaxie

Supposons que la Terre est au point A sur le cercle et qu'il existe une galaxie au point B situé au quart du cercle (90°) par rapport à la Terre et qui émet des impulsions lumineuses. Supposons dans un premier temps que le rayon est fixe (l'univers est stationnaire) la lumière émise par la galaxie est dans les 2 sens. au bout d'un temps T (correspond au quart de tour) tu vas recevoir la lumière "directe" et au bout de 3T tu vas recevoir la lumière "inverse" (3/4 de tour). En plus si la lumière n'est pas absorbée tu auras des signaux à 5T, 8T etc..

Univers 1D en expansion: Une galaxie.

En résumé à partir d'une seule galaxie tu recevras des images multiples. Maintenant le problème se complique car le rayon R(t) peut augmenter indéfiniment (on dit que le système est ouvert temporellement mais reste fini spatialement). On recevra à nouveau des images multiples mais à des instants différents car si le rayon augmente, la vitesse de la lumière est constante. Il est facile de comprendre que si le rayon augmente à une certaine vitesse il arrivera un moment ou tu ne pourras plus recevoir de répliques car la galaxie s'éloigne de toi à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière.

A ce dernier élément il faut ajouter qu'une galaxie nait et meurt, ce qui ajoute une composante supplémentaire à la difficulté.

Univers 1D en expansion:Plusieurs galaxie.

Maintenant on suppose qu'il existe un nombre considérable de galaxies. Il est facile d'imaginer comment la complexité explose quand le nombre de galaxies réelles explosent.

Comment distinguer que 2 images appartiennent ou non à la même galaxie?


Univers 3D en expansion:Plusieurs galaxie.

Maintenant l'espace à la dimension 3D. que se passe-t-il?

En 1D il n'existe qu'un seul espace fini: le cercle. en 3D il existe une infinité d'espace finis. le résultat est que l'on passe à une échelle de complexité supérieure car non seulement il est impossible de visualiser mentalement les topologies mais en plus une seule galaxie peut apparaitre comme provenant de différentes directions et pas nécessairement des 3 directions orthogonales.

Une manière simple de sentir le problème est de se placer dans une pièce où se trouve des miroirs sur tous les murs ainsi qu'au sol et au plafond. Si la galaxie est une bougie tu verras un grand nombre de bougies alors qu'il n 'y en a qu'une seule. A 1D la lumière arrivait par devant et par l'arrière.

Donc pour augmenter les chances d'avoir des répliques il faut que pour un rayon de courbure R donné de l'espace que celui-ci occupe le plus petit volume possible, d'où l'intérêt d'étudier les espaces hyperboliques.

Il s'agit donc dans un ordinateur d'avoir le catalogue des galaxies observées ( nombre N d'images) comme entrées et prendre comme paramètres différentes topologies et d'en déduire le nombre N° <N des galaxies réelles.

La procédure peut s'adapter à l'analyse spectrale du CMB.

Voilà donc les principes d'identification (éventuelle) de la topologie finie de l'univers.

[invité576543]

Question un peu bête et peut être déjà posée : si l'espace est fini, comment détecter cette fameuse limite? Déjà elle devrait se trouver si loin de nous qu'il faudrait attendre un peu pour la voir

Encore une fois, dans le contexte de la question, la surface d'une sphère est considérée comme "finie", alors qu'elle n'a pas de "limite".

Si l'espace est "fini" au sens employé (en général) ici, cela se détecte un peu comme le visualise mh34 : des trajectoires qui "reviennent au point de départ".

Imaginons une planète grossièrement sphérique où l'atmosphère est si réfringente que les rayons suivent la courbure de la surface. Alors, on pourrait (si la transparence était suffisante) voir son propre dos au loin (et ce quelle que soit la direction dans laquelle on regarde!). Les rayons lumineux "reviennent à leur point de départ". Et cette observation "signerait" une surface "finie".

Pour l'espace c'est pareil. Si l'espace est "fini" (et suffisamment "petit"), alors on devrait voir "la même chose" dans des directions très différentes. Un candidat pour ce "même chose" est le CMB, le fond cosmique microonde, et de telles duplications sont recherchées.

On voit avec ces exemples qu'il ne faut pas associer systématiquement "limite", "bord", etc. à l'idée de "fini".

Cordialement,

PS : Le parallèle avec la surface de la Terre est assez riche. La distinction Terre plate/Terre sphérique ; la notion de "bord" de l'océan vs. l'idée qu'on peut voyager indéfiniment à la surface de la Terre sans trouver de bord ; le remplacement de l'idée de limite par celle de "revenir continuellement dans les parages d'un même point" (c'est le cas sur Terre : comment proposeriez vous de voyager indéfiniment, à vitesse constante, sans qu'il existe au moins un point près duquel vous revenez indéfiniment ?) ; la différence entre courbure intrinsèque (e.g., somme des angles d'un triangle) et courbure extrinsèque ; le rôle d'une métrique, la relation entre métrique et courbure intrinsèque; etc.; tout cela peut "se visualiser" pour la surface de la Terre, et correspond à des idées similaires pour l'espace, mais avec une "dimension" supplémentaire, et des "dimensions" (au sens mesure) bien plus grandes (et des ordres de grandeur au-dessus de ce qui nous est naturellement concevable).

PS : collision possible avec des réponses d'autre provenance. Je n'ai pas regardé, d'où des possibilités de divergence, au minimum de vocabulaire, au pire de fond.

[invite7ce6aa19]

tort, pas tord, à moins qu'il ne s'agisse de tordre le cou (pas coup) à quelques affirmations prêtant à discussion.

Bonjour,

L'usage de la déontologie en Science est d'attribuer des propos effectif de l'auteur et non dire l'exacte contraire. J'ai sous les yeux de livre de J-P Luminet et j'ai signalé plusieurs fois cette erreur.

On peut se tromper une fois, ce n'est pas grave, mais j'ai déjà attirer l'attention sur cette erreur.Il ne s'agit pas d'une erreur mineure (auquel cas je me serais abstenu) car toute la démarche des topologistes cosmiques consiste à s'intéresser aux topologies finies de plus faible volume (pour augmenter les chances d 'identifier correctement une topologie).

[invite7ce6aa19]

Toute la difficulté est, me semble t-il, d'abord de convenir de définition formelle sinon on arrive plus à savoir de quoi on parle.

Patrick

ESPACE FINI = VOLUME de L'ESPACE FINI

[invite6754323456711]

ESPACE FINI = VOLUME de L'ESPACE FINI

Reste à définir alors formellement ESPACE, FINI et VOLUME et en quoi ce définition conventionnelle fait sens en physique plutôt qu'une autre

Patrick

[invité576543]

Pour Luminet, j'ai le tort de ne pas plus préciser que je prend comme exemple sa proposition d'espace dodécaédrique. C'est par exemple ce dont il est question dans une nouvelle récente (et détaillée, à lire pour ceux intéressés par le sujet et ne l'ont pas encore fait, sans que je vois de contradiction significative entre le texte de Laurent et ce que j'essaye d'expliquer) :

http://www.futura-sciences.com/fr/ne...vations_22461/

et en bien d'autres endroits accessibles au "grand public".

Il est clair (ou devrait l'être) que cela n'épuise en rien les possibilités de modèles d'espace fini.

Mes excuses pour ce manque de précision.

(Et le modèle dodécaédrique est bien un repliement de S3, et correspond à un espace homogène, non isotrope, et de courbure positive. Encore une fois, il existe des espaces 3D homogènes compacts ("finis") indépendamment du signe de la courbure.)

[invité576543]

Reste à définir alors formellement ESPACE, FINI et VOLUME et en quoi ce définition conventionnelle fait sens en physique plutôt qu'une autre

Que penses-tu de la base suivante (pas totalement formelle, mais donnant quelques pistes vers une formalisation...) :


Espace : modèle mathématique, sous forme d'une variété différentielle orientable connexe munie d'un tenseur "volume", de la notion de "lieux dans l'Univers".

Volume fini : Cas où l'intégrale du tenseur volume sur toute la variété converge dans R.

En physique : la notion de lieu est capturée par la notion de référentiel de l'espace-temps. Un référentiel se modélise comme une variété différentielle 3D. Le tenseur "volume spatial" est celui dérivé du tenseur métrique induit sur le référentiel par le tenseur pseudo-métrique de l'espace-temps. Cette notion de volume correspond à l'idée intuitive de "volume d'une portion de l'espace", de "volume d'un objet" (i.e., volume de la portion de l'espace qu'il occupe).

Cordialement,

[invite6754323456711]

Espace : modèle mathématique, sous forme d'une variété différentielle orientable connexe munie d'un tenseur "volume", de la notion de "lieux dans l'Univers".

On peut déjà commencer par modèle mathématique qui pour moi fait référence à une axiomatique et une interprétation. L'axiomatique est je suppose la théorie des ensembles (ZFC ?) ? L'interprétation est lié à la notion de structure topologique ?

Patrick
PS
je pense que Médiat me corrigera si je dit de grosse ânerie

[invité576543]

Exemples de "volume" 1D :

Sur la variété ]-1,1[ (qui est bien connexe et orientable), le tenseur dx --> e.dx , avec e un vecteur de norme 1 selon la métrique induite de celle de R, donne un "volume" de 2 (ou -2), c'est un "volume" fini.

Un autre choix est le tenseur dx --> sec²(x.pi/2)(e.dx), qui donne un "volume" infini. (1)

Cordialement,

(1) Cela correspond en gros au changement de variable entre ]-1, 1[ et R obtenu à partir de la fonction tangente.

[invité576543]

On peut déjà commencer par modèle mathématique qui pour moi fait référence à une axiomatique et une interprétation. L'axiomatique est je suppose la théorie des ensembles (ZFC ?) ?

Tu vas trop loin. Les notions de variétés différentielles, connexité, tenseurs, etc. sont suffisamment bien définies par les mathématiciens pour qu'aller dans la direction que tu proposes soit clairement un hors sujet.

L'interprétation est lié à la notion de structure topologique ?

Je ne comprends pas. La notion de variété est une notion de structure topologique en elle-même.

[invite7ce6aa19]

Reste à définir alors formellement ESPACE, FINI et VOLUME et en quoi ce définition conventionnelle fait sens en physique plutôt qu'une autre

Patrick

Un peu de bon sens:

Le cercle est de "volume fini" parce que celui-ci vaut 2.Pi.R

La droite R est de volume infinie.

Où est le problème.

Quelle est le "volume" d'une sphére S2 ?

etc..

Pour des espace homogènes et isotropes 3D finis leurs volumes est une fonction du rayon de courbure R. Cela résulte de l'assemblage de tout petit volumes élémentaires (dans les cas les plus simples il s'agit de polyèdres réguliers), cad une intégration. Il n'y a aucune difficulté conceptuelle, puisque l'on apprend à calculer les "volumes" simples au collège (du moins à mon époque).

Je ne vois vraiment pas où est la difficulté!