L'espace est-il vraiment infini ?

[Deedee81]

Au passage, histoire de s'amuser sur l'infini, il y a des droites de longueur infinie (1) sur le tore T2 muni de la métrique usuelle, alors que le tore est de surface finie

(1) Et donc pas des cercles, ce n'est pas difficile de l'apercevoir.

En effet. Et ça dépend de leur "pente" (vis à vis des axes de symétries) rationnelle ou pas.

Il y a des situations vraiment curieuse.

J'ai oublié comment on appelle ça. Les tesselations, non ?

Il ne faudrait quand même pas que cela devienne une discussion de topologie pure. N'oubliez pas la question de départ.

Oui, sorry, à force de faire appel à la topologie pour discuter de la question j'ai l'impression qu'on ne s'est plus fixé que sur ça.

Michel,

Tu as raison de vouloir préciser la question. Je me le suis demandé. Même pour une variété riemanienne bête et méchante ce n'est pas trivial. Parle-t-on d'une mesure à l'aide d'étalons ? Parle-t-on de géodésiques spatiales (et là, la remarque ci-dessus devient capitale) ? Parle-t-on de trajectoires physiques (et là, même l'expansion intervient) ?

Par contre, il y a une réponse triviale à la question. Car la question est peut-être complexe et (ici) mal posée. Mais la réponse est simple : c'est "on ne sait pas" (même en se limitant aux variétés solutions de Friedmann et en parlant de l'infini comme étant le paramètre "rayon de l'univers" dans ces solutions).

Mais bon, c'est vrai que ça fait un peu court.
Quand à refaire la topologie, hum.... là, ça fait un peu long

A moins d'abandonner ce fil, il faudrait peut-être ne fixer clairement le but. Je sais bien que c'est un forum de débat mais il ne faudrait pas non plus exagérer. Les débats ça peut s'éterniser sans jamais aboutir à quoi que ce soit
-----

[invité576543]

Je ne comprends pas la question.

La question sous-entend que "l'espace est fini" et "l'espace est infini" sont deux propositions a priori acceptable. En particulier, l'aspect fini ou infini ne découle pas immédiatement de la définition de "l'espace". Cela implique que "l'espace" est une instance d'une catégorie qui a des exemples finis et des exemples infinis.

Si je demande si la dixième décimale de pi est paire ou impaire, la question a un sens parce que cette décimale est un chiffre, et qu'un chiffre est a priori pair ou impair.

Si l'espace était dans la catégorie "nombre réel" (ce n'est pas le cas), la question "est-il fini" est claire parce qu'à la catégorie correspondante ("nombre réel") s'applique la notion de fini ou infini de manière relativement consensuelle.

Le "vide" entre les corps célestes?

Comment un "vide" peut-il être "fini" ou "infini" ?

Alors j'aurais dit "sans limites qu'on peut voir/mettre en évidence par un moyen quelconque"

Qu'est-ce qu'une limite du vide ?

Un être plat vivant sur une sphère n'y voit pas de limite.

Un continent a une limite qu'on voir, mettre en évidence. Mais pas la surface de la Terre. Cette surface doit-elle alors être considérée infinie?

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Il n'y a aucun moyen à ma connaissance de répondre à la question d'origine sans considérations assez poussées de topologie.

Je pense que c'est là une erreur (ne prend pas çà mal, ni comme une insulte, ni comme du dénigrement, ni comme une sanction, un jugement, c'est neutre).

Tout le monde peut comprendre ce qu'est la différence entre un tore et une fougasse (recollement de 2 tores). Qualitativement c'est la seule chose à comprendre pour la question de l'Univers fini ou infini. Techniquement c'est déjà plus compliqué.

Donc a 2 dimensions la question est de savoir si l'Univers est plat et va à l'infini ou si c'est une sphère ou un tore etc... et donc de volume fini. La question est ici visuelle, ce qui permet de mettre au point les techniques mathématiques pour exprimer ce qui est visuel et généraliser à n'importe quelle dimension et ici à 3D.

(1) Et mon intervention précédente à laquelle la proximité pourrait faire croire qu'est adressée la remarque de modération (et les menaces sous-jacentes qu'il est devenu naturel d'y associer) est pertinente pour éliminer comme critère l'idée que toutes les lignes droites sont finies...

Dans les limites de mon acuité intellectuelle je ne vois aucune menace dans les écrits du modérateur. Il dit simplement que la discussion ne doit pas se centrer sur la topologie pure. Et comme tu le sais je suis d'accord là-dessus.

L'idéal serait que chacun d'entre nous possède le livre de Luminet, ce qui te permettrait à toi, particulièrement, de faire des remarques, voire des objection de nature topologique.

Par contre partir de considérations topologiques a priori me semble une erreur et place la discussion très (trop) loin du centre.

bien entendu cela ne veut pas dire qu'il faut exclure toute discussion de nature topologique, puisque les problèmes sont ici de nature topologique.

C'est bien dans la nature de la physique de faire de l'a peut prêt mathématiques.

[invité576543]

Je sais bien que c'est un forum de débat mais il ne faudrait pas non plus exagérer.

Ce n'est pas un forum où conduire des débats. (Et là je suis orthodoxe.)

La question des modèles cosmologique est un débat scientifique (ou plutôt philosophique àmha, même si on peut en extraire une partie "physique"), et on peut interpréter la rubrique "débats scientifiques" comme un endroit où sont rapportés des éléments d'un débat conduit ailleurs.

Il se crée de "faux débats" dans un tel fil quand quelqu'un intervient pour rapporter de manière erronée de tels éléments, et que d'autres cherchent à corriger.

Les débats ça peut s'éterniser sans jamais aboutir à quoi que ce soit

Un fil qui rapporte des éléments d'un débat extérieur peut durer aussi longtemps que le débat extérieur. En quoi est-ce un problème ?

Un "faux débat" causé par des interventions qui foutent le bordel a une durée en fonction de l'ego des participants, modulé par le filtrage de la modération... Ca c'est un vrai problème !

[invité576543]

Je pense que c'est là une erreur (ne prend pas çà mal,).

Non, je ne le prend pas mal. J'ai relevé mon erreur de moi-même d'ailleurs.

J'ai une idée très claire de la manière dont tu considères qu'il faille répondre à une telle question. Elle est dans mon message correctif...

[invite7ce6aa19]

Il n'y a aucun moyen à ma connaissance de répondre à la question d'origine sans considérations assez poussées de topologie.

Je veux bien qu'on essaye de me convaincre du contraire, mais faut alors revenir aux bases mêmes de la question de départ :

1) Qu'appelle-t-on précisément "l'espace" ? En particulier, à quelle catégorie d'objets appartient-il ?

2) Que veut dire le mot "infini" pour la catégorie d'objets à laquelle appartient l'espace ? (1)

Apres avoir répondu formellement , je reprend un exemple ultra-simple:

Le cercle est une variété. Pratiquement tout est lisse.

Si je précises le rayon du cercle R et donc le rayon de courbure qui est de signe positif on définit une distance entre les points du cercle. Il est facile de voir que la courbe se referme sur elle-même parce qu'il y a une courbure positive. Ceci contraste avec la droite qui ne se referme pas.

On voit ainsi, qu'il y a un rapport entre la métrique (le rayon de courbure) et la topologie distinct des 2 courbes.

Maintenant la métrique peut s'éliminer car quelque soit le rayon R du cercle la longueur du cercle sera toujours fini, alors que la longueur de la droite est toujours infinie.

La question de l'Univers fini ou pas se pose en ses termes. La seule différence de taille est que les topologies 3D sont subtiles et inaccessibles à notre intuition.

Donc il n'y a pas à proprement parlé de problème approfondi de topologie si l'on fait bien sûr abstraction de la technicité.

[invité576543]

Par contre, il y a une réponse triviale à la question. Car la question est peut-être complexe et (ici) mal posée.

Bien d'accord.

Mais la réponse est simple : c'est "on ne sait pas" (...) Mais bon, c'est vrai que ça fait un peu court.

Oui, bien sûr. Et c'est pour cela que cela tombe dans la rubrique "débats scientifiques". Quand "on sait" (ou plutôt "on croit savoir", ou "la vulgarisation scientifique affirme que l'on sait", ou "c'est une question d'exercice posée dans le cadre scolaire", etc.), c'est dans un autre sous-forum, et la réponse est en général du type "autorité".

Comme je l'écris dans mon message précédent, il peut être intéressant dans un forum public d'échanger, à différents niveaux (les participants et lecteurs ne forment pas une communauté homogène de ce point de vue) des éléments portant sur des réponses possibles.

Il me semble donc possible, entre gens de bonne compagnie, d'avoir un fil long, intéressant, enrichissant, sur une question dont la réponse est "on ne sait pas.

Quand à refaire la topologie, hum.... là, ça fait un peu long

Pas la refaire. Mais en traiter proprement les aspects pertinents à la question, pourquoi pas?

Ceci dit, à bien regarder, les difficultés récentes dans ce fil ne sont pas vraiment liée à la topologie en elle-même (disons que je ne partage pas du tout cette analyse qui semble proposée par certains), mais au nombre de bourdes qu'on peut y lire, et qui se trouvent être concentrées plutôt dans le domaine de la topologie... Le même type d'échanges a eu lieu, et pas qu'une fois, sur des sujets autres que la topologie...

Cordialement,

[invité576543]

Le cercle est une variété.

A-peu-prêt.

Pratiquement tout est lisse.

Non. Pas au sens "lisse" que je connais dans le domaine.

Si je précises le rayon du cercle R

Une variété n'a pas de "rayon".

et donc le rayon de courbure qui est de signe positif

S1 (le cercle) est une variété de courbure NULLE.

on définit une distance entre les points du cercle.

On peut définir une infinité de "distance" sur la variété "cercle" (ou sur la droite), toutes différentes, et donnant des propriétés différentes.

Il est facile de voir que la courbe se referme sur elle-même parce qu'il y a une courbure positive.

N'importe quoi. Dans les deux sens. Le cercle moins un point est tout aussi (ou aussi peu) courbé que le cercle, et c'est la même variété que la droite. Le tore est de courbure nulle et "se referme sur lui-même". Le plan projectif, ou le tore à deux trous, sont de courbure négative et "se referment sur eux-mêmes".

Ceci contraste avec la droite qui ne se referme pas.

Même n'importe quoi. Confusion avec la compacité.

On voit ainsi, qu'il y a un rapport entre la métrique (le rayon de courbure) et la topologie distinct des 2 courbes.

Oui. UN rapport. Dans un cas très particulier, une vision étroite, trop étroite (des courbes plongées dans un espace euclidien), sans aucun espoir de généralisation, sans possibilité d'en tirer et comprendre les concepts sous-jacents.

Maintenant la métrique peut s'éliminer car quelque soit le rayon R du cercle la longueur du cercle sera toujours fini

N'importe quoi : la notion de longueur n'est plus définie si on "élimine la métrique".

, alors que la longueur de la droite est toujours infinie.

N'importe quoi : la variété "droite" est strictement la même que la variété ]0,1[, et la seconde est de longueur finie.

La question de l'Univers fini ou pas se pose en ses termes.

Pas très rassurant, et une excellente démonstration sur la difficulté de la question...

La seule différence de taille est que les topologies 3D sont subtiles et inaccessibles à notre intuition.

Manifestement, les subtilités et les problèmes d'intuition peuvent commencer dès la 1D.

Donc il n'y a pas à proprement parlé de problème approfondi de topologie si l'on fait bien sûr abstraction de la technicité.

Donc... exactement l'inverse...

-----

Je ne m'attends à rien d'autre qu'une réponse de défence d'ego à ce message-ci, et donc je n'interviendrai pas ensuite pour "défendre" mes écrits (qui se défendent très bien d'eux-mêmes, du moins devant un jury compétent).

Je n'ai écrit ce message (alors que je me suis bien gardé d'en faire avant, ce n'était pas les occasions qui ont manqué) que pour illustrer pourquoi je parlais de "bourdes" dans un message précédent.

A bon entendeur, salut...

[invite7ce6aa19]

Oui. UN rapport. Dans un cas très particulier, une vision étroite, trop étroite (des courbes plongées dans un espace euclidien), sans aucun espoir de généralisation, sans possibilité d'en tirer et comprendre les concepts sous-jacents.

C'est très largement suffisant pour comprendre la topologie cosmisque, mais certainement insuffisant d'un point de vue purement topologique, j'en convient volontiers.

N'importe quoi : la notion de longueur n'est plus définie si on "élimine la métrique".

Comme je l'ai écrit plusieurs fois c'est le fait que le cercle est de longueur finie quelque soit R que la métrique est "éliminée". Je met donc des guillemets pour éviter la confusion.

Pas très rassurant, et une excellente démonstration sur la difficulté de la question...

Rigueur physique ou rigueur mathématiques?

Un grand classique: A force de vouloir être mathématiquement rigoureux toute considération physique disparait. ce qui est bien le cas de ta démarche (ce n'est pas une insulte, c'est factuel comme tout le monde peut le constater).

Je ne m'attends à rien d'autre qu'une réponse de défense d'ego à ce message-ci, et donc je n'interviendrai pas ensuite pour "défendre" mes écrits (qui se défendent très bien d'eux-mêmes, du moins devant un jury compétent).

Je n'ai écrit ce message (alors que je me suis bien gardé d'en faire avant, ce n'était pas les occasions qui ont manqué) que pour illustrer pourquoi je parlais de "bourdes" dans un message précédent.

A bon entendeur, salut...

C'est bien le problème, tu te places d'un point de vue purement topologique et formel. Je devrai copier des passages entier de J-P Luminet et faire comme si c'est moi qui les auraient écris. Tes commentaires seraient passionnant et insultant pour J-P Luminet. Tu ne nous ferais la démonstration que J-P Luminet ne comprends rien à la topologie.

Il y a bel et bien une différence fondamentale entre une démarche mathématiques et une démarche de physicien, mais cela n'est pas nouveau. Après tout chacun son métier. D'ailleurs je m'étonnes que tu n'interviennes pas dans la rubrique mathématiques, il y a des champions de la topologie.

J'ai le profond regret de te contredire en affirmant haut et fort que la physique ce ne sont pas de la mathématique appliquée et que la physique fonctionne sur un mode inductif alors que les maths fonctionnent sur un mode déductif.

En physique l'a peu prêt est un Art . On peut écrire dans un certain contexte sans honte que 45 + 40 çà fait 100. Bien entendu pas en mathématiques.


Donc je rappelle le but de ce fil qui n'est pas de discuter de topologie pure mais de savoir si l'univers est fini ou infini.

Il y a encore les questions les plus passionnantes a aborder qui sont: Comment identifier la topologie de l' Univers à partir de l'observation?

[mh34]

La question sous-entend que "l'espace est fini" et "l'espace est infini" sont deux propositions a priori acceptable. En particulier, l'aspect fini ou infini ne découle pas immédiatement de la définition de "l'espace".

Ok, je comprends.
Merci de l'explication.

Cela implique que "l'espace" est une instance d'une catégorie qui a des exemples finis et des exemples infinis.

Hmm...je ne vois vraiment pas à quel genre de catégorie on peut le rattacher en-dehors du domaine mathématique.

Comment un "vide" peut-il être "fini" ou "infini" ?

Ok, alors disons que l'espace est tout ce qui est au-delà de la Terre.

Et pour le coup, un espace infini serait un lieu dans lequel on pourrait marcher indéfiniment en ligne droite sans avoir aucune chance de revenir jamais à son point de départ.

J'ai comme la sensation que je vais encore me faire démonter tout ça...
Mais surtout celle que vous trouvez la question d'origine mal posée...
Alors comment la poser mieux?

[invité576543]

Hmm...je ne vois vraiment pas à quel genre de catégorie on peut le rattacher en-dehors du domaine mathématique.

J'ai la même conclusion. Je ne connais pas d'application "claire" de l'opposition entre fini et infini en-dehors du domaine mathématique.

J'ai comme la sensation que je vais encore me faire démonter tout ça...

Ce n'est pas mon but. Au contraire, j'apprécie l'approche. Ca rafraîchit l'air...

Et pour le coup, un espace infini serait un lieu dans lequel on pourrait marcher indéfiniment en ligne droite sans avoir aucune chance de revenir jamais à son point de départ.

C'est une approche intéressante. Elle butte sur quelques difficultés...

1) La notion de ligne droite. Sur une sphère parfaite, la définition de ligne droite fait qu'effectivement on ne peut pas marcher indéfiniment en ligne droite sans revenir à son point de départ, et cela colle bien avec l'idée intuitive que sur une sphère on est dans un "monde fini".

Mais sur le tore parfait, qui paraît intuitivement tout aussi "fini", on peut marcher en ligne droite sans revenir exactement au point de départ.

Mais on peut corriger ce défaut comme suit (c'est proche de la notion de compacité en mathématique) : sur un tore on ne peut marcher indéfiniment en ligne droite sans revenir dans les parages de son point de départ (on évite la contrainte trop forte de "même point" en utilisant la notion (fondement de la topologie) de voisinage d'un point).

Pour éviter les cas de point de départ choisis de manière particulière, on va dire fini (au sens "compact") = "ne pas pouvoir marcher indéfiniment sans revenir dans les parages d'un même point" (pas nécessairement en ligne droite, d'ailleurs...).

A ce sens, le tore est bien "fini", comme le cercle, la sphère, ou l'espace dans le modèle de Luminet. Et la ligne, ou le plan euclidien, sont "infinis"...

2) L'idée de marcher implique quelque part le temps, et la limitation aux trajectoires "physiques" (en particulier ne pas dépasser la vitesse limite). Ce qui complique singulièrement la notion par rapport à juste étudier des lignes dans un espace mathématique...

2a : Exemple, on marche "en ligne droite" vers la singularité d'un trou noir. La physique dit qu'on ne reviendra jamais à son point de départ une fois traversé l'horizon. Comment prendre cela en compte ? On peut imaginer un Univers dans lequel si on évite les trous noirs on ne peut pas marcher indéfiniment sans passer indéfiniment dans les parages d'un même point, mais si on s'approche d'un trou noir, alors oui. Fini ou pas fini?

2b : Si l'espace s'expand plus vite qu'on ne marche, il peut être "compact" (fini) à tout instant, mais on peut marcher indéfiniment sans revenir dans les parages d'un même point. Fini ou pas fini?

2b' : Le problème se pose aussi dans l'autre sens : si on entre dans une phase de contraction de l'espace (l'opposé de l'expansion, le "big crunch"), alors l'espace peut être à tout instant infini (non compact, comme une ligne) et pourtant on est sûr de "retourner" à son point de départ (au big crunch ).

3 : Du point de vue epistémologique, le critère pose évidemment problème : s'il faut marcher indéfiniment pour répondre à la question, autant répondre tout de suite "on ne sait pas" ! La difficulté est de traduire l'idée en des conséquences observables ici et maintenant...

---

Ceci dit, l'idée semble bien être proche de l'intuition qu'on s'en fait.

a) On s'occupe du modèle mathématique de l'espace "maintenant", même si c'est contrafactuel (on ne peut pas observer l'espace "de maintenant", cause la vitesse limite; ni même vraiment en parler sans grandes précautions, cause la relativité de la simultanéité). Et on traite séparément les difficultés en relation avec l'expansion. (Et on met de côté le problème épineux de la simultanéité, ce qui correspond à la relation entre "espace" et "référentiel", plusieurs fois mentionnées.)

b) On réfléchit en terme de compacité, plutôt que distance ou temps, ainsi qu'en termes de trajectoires spatiales (donc non physiques, non observables, ....)

c) On ignore les trous noirs (on les "lisse", on fait comme s'ils n'étaient pas là).

d) On suppose l'espace homogène à toute distance (= on considère que les propriétés locales observables ici et maintenant s'appliquent partout (sans oublier qu'on a "viré" les trous noirs)). Hypothèse totalement philosophique, mais qui permet des modèles mathématiques simples

e) Et on regarde les modèles mathématiques qui font l'affaire.

Et là on trouve des modèles non compacts (= infinis), comparables à R³ (le modèle intuitif qu'on a de l'espace, mais comparable à l'idée que la Terre est plate qui vient à l'intuition avec l'expérience limitée à notre échelle naturelle). Et des modèles compacts (= finis), comme celui proposé par JP Luminet. Et on cherche (ce que font nombre de spécialistes) des conséquences observables différentes de ces modèles.

En bref, l'idée de "marcher tout droit indéfiniment" parle à l'intuition, mais il me semble clair qu'il y a du chemin à faire de là à comprendre comment le débat fini/infini est perçu par exemple dans le cadre des hypothèses de Luminet...

Mais surtout celle que vous trouvez la question d'origine mal posée...
Alors comment la poser mieux?

En l'explorant, comme tu le fais. En acceptant qu'elle soit "mal posée" et en essayant de cerner les difficultés, d'étudier les pistes pour les contourner, etc.

C'est l'approche que JE préconise, parce que je donne plus de valeur aux concepts, à la réflexion, à la compréhension, qu'aux réponses toutes faites. Mais c'est un chemin demandant des efforts...

Cordialement,

[invité576543]

Un complément post-5 minutes :

remplacer

A ce sens, le tore est bien "fini", comme le cercle, la sphère, ou l'espace dans le modèle de Luminet.

par

A ce sens, le tore est bien "fini", comme le cercle, la sphère, ou l'espace dans le modèle de Luminet. Et la ligne, ou le plan euclidien, sont "infinis"... Ainsi que ]0, 1[, paradoxe de Zénon : on "avance" indéfiniment de la moitié de la distance à 1 sans jamais revenir dans les parages d'un même point (on reste dans les parages de 1, certes, mais il n'est pas dans l'espace considéré.... Ce qui est identique au cas de l'infini pour la droite.)

[invite6754323456711]

J'ai la même conclusion. Je ne connais pas d'application "claire" de l'opposition entre fini et infini en-dehors du domaine mathématique.

Pourquoi ne pas tout simplement faire référence à l'ensemble sur lequel on défini une topologie ? La notion d'ensemble fini/infini est défini de manière non ambigüe. On ne pourra pas trouver plus primitif.

Patrick

[invite6754323456711]

Pourquoi ne pas tout simplement faire référence à l'ensemble sur lequel on défini une topologie ?

Ou alors plutôt la topologie qui porte sur E (ensemble de parties de E) ?

Patrick

[mh34]

A Michel (mmy).
Merci beaucoup de cette réponse détaillée.

J'ai un problème avec ça :

2b' : Le problème se pose aussi dans l'autre sens : si on entre dans une phase de contraction de l'espace (l'opposé de l'expansion, le "big crunch"), alors l'espace peut être à tout instant infini (non compact, comme une ligne) et pourtant on est sûr de "retourner" à son point de départ (au big crunch

Le fait de revenir sur lui-même ne serait-il pas une preuve que l'espace est fini?

[mh34]

A Mariposa.

Tout le monde peut comprendre ce qu'est la différence entre un tore et une fougasse (recollement de 2 tores)

C'est vraiment le terme "officiel"? C'est la première fois que je vois ce mot désigner autre chose que ce gâteau/pain de chez moi!

Qualitativement c'est la seule chose à comprendre pour la question de l'Univers fini ou infini.

Pourquoi?

[invite7ce6aa19]

Le fait de revenir sur lui-même ne serait-il pas une preuve que l'espace est fini?

Du point de vue spatial l'univers est fini (fini= volume fini) ou infini. Par contre du point de vue temporel si l'espace augmente il est ouvert et si l'est en expansion contraction il est dit fermé.

Les deux termes infini/fini et ouvert/fermé sont indépendants il y a donc 4 combinaisons possibles.

Par exemple a 1 dimension spatiale un cercle est un univers fini. Ce cercle peut-être en expansion croissante auquel on a un univers fini et ouvert. Si ce cercle est en expansion-contraction l'univers est fini et fermé.

Pour être plus réaliste dans les modèles classiques de Friedmann-Lemaitre l'univers est soit fini et fermé (géométrie sphérique) soit infini et ouvert (géométrie euclidienne et elliptique). Il n'y a donc que 2 combinaisons possibles parmi 4.

[invite7ce6aa19]

A Mariposa.


C'est vraiment le terme "officiel"? C'est la première fois que je vois ce mot désigner autre chose que ce gâteau/pain de chez moi!

Pourquoi?

Cela n'a rien d'officiel, mais c'est couramment utilisé dans la littérature en langue française.

[invite0fa82544]

Que penser de la trompette de Torricelli, dont la surface est infinie mais dont le volume est fini ???

[invitea29d1598]

salut,

Par contre du point de vue temporel si l'espace augmente il est ouvert et si l'est en expansion contraction il est dit fermé.

il est plus simple de dire que ouvert dans ce contexte est assez semblable au sens mathématique : bornes pas incluses. Un univers temporellement fermé a un début et une fin [temporelles], un univers pas ouvert n'a ou ni début, ou ni fin ou ni l'un ni l'autre [dans le cadre de la cosmologie la plupart des modèles ne nient pas le fait qu'il y a un "début" et on s'intéresse donc seulement à l'eventuelle fin temporelle] (reste qu'il faut être très prudent quand on utilise les mots début et fin pour la notion de temps dans le cadre relativiste)

Les deux termes infini/fini et ouvert/fermé sont indépendants il y a donc 4 combinaisons possibles.

si on admet que l'univers a un commencement temporel, auquel cas ouvert/fermé est équivslent à pas de fin temporelle/avec une fin temporelle

Pour être plus réaliste dans les modèles classiques de Friedmann-Lemaitre l'univers est soit fini et fermé (géométrie sphérique) soit infini et ouvert (géométrie euclidienne et elliptique). Il n'y a donc que 2 combinaisons possibles parmi 4.

hyperbolique pas elliptique... et il n'est pas inutile de préciser que c'est vrai pour des modèles mathématiques qui sont avant tout des solutions analytiques des équations d'Einstein plutôt que des modèles sérieusement envisagés

[invitea29d1598]

Que penser de la trompette de Torricelli, dont la surface est infinie mais dont le volume est fini ???

un univers trompettiste ça changerait des cordes

[invite0fa82544]

un univers trompettiste ça changerait des cordes

Certes, mais les harmoniques à la trompette c'est loin d'être évident.

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Soit un espace très simple la courbe. Je peux très bien convenir de la représenter par l'ouvert ]0,1[. j'ai donc un espace métrique. D'après la définition qui semble avoir cours de fini/infini relatif à une métrique la courbe représenté ainsi est un espace fini.

Je peux très bien aussi la représenter par n'importe quel d'intervalle ouvert de R. Dans R, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert.

la même droite devient un espace infini.

Donc, si je ne me trompe pas, cette notion telle que défini d'espace fini/infini ne serait que conventionnelle indépendante de l'espace.


Patrick
PS
Donc la notion de "compact" qui est une notion topologique intrinsèque (elle ne dépend que de l'espace lui-même : [0,1] peut se retrouver dans "n'importe quel espace" il est toujours compact ) semble effectivement mieux approprié pour caractériser l'espace.

[stefjm]

Que penser de la trompette de Torricelli, dont la surface est infinie mais dont le volume est fini ???

Je m'étais posé ici ce genre de question et Coincoin avait parler de la trompette.
http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post2316532

J'aurais bien voulu la peindre, mais j'hésite encore entre de la peinture 2D ou 3D...

[invite6754323456711]

Je m'étais posé ici ce genre de question et Coincoin avait parler de la trompette.
http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post2316532

Moi ce qui m'interpelle est que la plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.

Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance induisant sa topologie ; cette distance n'est jamais unique.

Donc convention ou propriété physique ?

Patrick

[stefjm]

Moi ce qui m'interpelle est que la plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.
Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance induisant sa topologie ; cette distance n'est jamais unique.
Donc convention ou propriété physique ?

Je livre ici un ressentis de taupin qui s'était poser la question quand il était taupin, à qui on n'a jamais répondu parce que c'était pas au concours...

En maths, on peut définir plein de normes (du genre euclidienne, max, infinie, qui plus est équivalentes, me demandez pas en quoi, j'ai oublié) qui permettent de définir des cercles carrés (ou rond) et dont on ne se sert pas trop en physique pour d'obscures raisons.

[invité576543]

C'est vraiment le terme "officiel"? C'est la première fois que je vois ce mot désigner autre chose que ce gâteau/pain de chez moi!

Comme termes "officiels" on trouve "tore à deux trous" (le mot "trou" posant problème d'ailleurs), ou double tore, ou sphère à 2 anses ; mais le terme familier coutumier dans la littérature sur le sujet est "bretzel"

http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/tn.shtml

Cordialement,

[invité576543]

PS : Sur le site cité, le terme "fougasse", peu usuel dans le domaine, est proposé pour les n-uples tores en général. Le "recollement de deux tores" (somme connexe de deux tores) en est alors un cas particulier.

[invité576543]

Moi ce qui m'interpelle est que la plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.

Oui, littéralement. Mais qu'entends-tu exactement par "topologie" dans ce cadre ?

Car une variété donnée n'a qu'une seule topologie, puisque c'est par définition un espace topologique.

[Et quand j'écris là "une seule topologie", ce n'est ni restreint au sens "local" (les voisinages) ni restreint au sens "global" (la "forme") mais les deux à la fois, parce que l'ensemble des voisinages implique la forme. J'ai l'impression que cette implication n'est pas toujours bien perçue

Peut-être la confusion est-elle avec la notion d'homéomorphisme local? La droite et le cercle sont "localement homéomorphes", au sens où l'environnement d'un point de la droite est "pareil" à l'environnement d'un point du cercle. Et il y a plusieurs topologies (ensemble des voisinages, pris sur tous les points de l'espace) non équivalentes même si on impose un homéomorphisme local (à un point de la droite réelle par exemple).

Les variétés sans bord sont classées d'abord par des considérations d'homéomorphisme local --c'est leur dimension--, puis par leur topologie. On peut comprendre la confusion puisque l'aspect le plus "visible" de la topologie une fois fixée la "vision locale" (l'homéomorphisme local avec Rⁿ) c'est la "forme d'ensemble". ]

Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance induisant sa topologie ; cette distance n'est jamais unique.

Oui, ce qui implique bien, comme tu l'as expliqué plus tôt qu'utiliser des considérations de finitude de distance ne donne pas nécessairement une information intrinsèque à la variété.

Donc convention ou propriété physique ?

Dans le cas de l'espace en physique, le tenseur métrique n'est pas qu'une convention, au même sens qu'on peut l'appliquer à "base de l'espace vectoriel local des vitesses" par exemple.

Le tenseur métrique semble bien être une "propriété physique", au sens où l'observation contraint le "choix" de ce tenseur.

Pour moi, cela implique juste qu'il y a deux "niveaux" de structure pour l'espace (ou plutôt l'espace-temps (1)) : l'un non métrique, la structure de variété différentielle (suffisante par exemple pour exprimer les lois de Maxwell), et l'autre "plus riche", où s'ajoutent des considérations en relation avec le tenseur métrique, cadre nécessaire à l'expression de la gravitation en relativité générale, et, plus généralement me semble-t-il, dès qu'on parle de masse, d'inertie, d'énergie, de quantité de mouvement, etc. [stef aura reconnu l'introduction de la dimension M ; on peut exprimer les équations de Maxwell dans le vide uniquement avec les dimensions L, T et I. L'obligation d'utiliser la dimension M n'apparaît qu'avec l'expression de la force de Lorentz...]

C'est l'un des points qui rendent, à mon sens, l'usage des mots fini/infini pas clairs dans le contexte. L'opposition entre R3 et S3, ou entre la droite et le cercle, n'est pas "métrique", elle se constate dans le "premier niveau".

Il me semble nécessaire, opinion personnelle, de faire soigneusement la part de ce qui est "métrique" à un sens généralisé (distance, volume, ...) et non métrique pour bien percevoir ce que les notions de fini/infini pour la "forme" de l'espace.

En particulier, l'opposition entre R³ (le modèle "intuitif" de l'espace, la prolongation "tout droit" à l'infini vers les six points cardinaux) et la sphère S3 (ou un repliement de S3, comme ce que propose Luminet) est du côté "non métrique".

[La "forme" d'une variété différentielle peut imposer des contraintes sur les métriques. Il me semble qu'on ne peut pas munir S3 d'une métrique homogène qui donne une courbure autre que partout positive (et constante, par hypothèse). C'est pour cela que la courbure de l'espace est importante dans le cas du modèle de Luminet : sous l'hypothèse d'homogénéité de l'espace, une courbure négative réfuterait immédiatement le modèle.]

Cordialement,

(1) Il y a quand même un petit défaut dans ce que j'essaye de présenter : on ne peut pas en RG parler d'espace en dehors de toute considération "métrique", on ne peut (dans la mesure où on peut) que parler alors de l'espace-temps. Quelque part, la "forme de l'espace" a donc nécessairement une relation avec le tenseur métrique, via la notion de référentiel.

[invite6754323456711]

Oui, littéralement. Mais qu'entends-tu exactement par "topologie" dans ce cadre ?

Le vrai sens http://fr.wikipedia.org/wiki/Ouvert_...e%29#Topologie

N'a t-on pas plusieurs choix pour convenir de quelles sont les parties ouvertes et ainsi pour un même ensemble avoir plusieurs espaces topologiques du grossier au fin

Maintenant en RG la 4-variété et la métrique ne sont déterminés à priori mais déduit des équations de champs.

Patrick