infini pour toujours
toute chose à des limites
son debut est son dernier
un espace obligé à se refermer sur lui meme
Malgré le verbiage :Envoyé par mariposa
"Donc contrairement à ce que tu m'a opposé précédemment, à tord, la métrique est présente et en même temps absente puisqu'il s'agit de comparer des volumes par rapport à un volume de référence."
C'est vous qui avez tort. Et je fais l'impasse sur le reste de l'orthographe.
Oui.
Le principe est grossièrement le suivant : pour tenir compte des observations (homogénéité et isotropie apparentes), la cosmologie relativiste part de certaines hypothèses dont celle selon laquelle la variété 4d qui représente l'espace-temps cosmologique n'est pas quelconque. En particulier, on impose qu'elle vérifie le "principe cosmologique" qui dit qu'il existe un ensemble d'observateurs pour lesquels l'univers (= tranche du genre espace de la 4-variété associée aux observateurs) est homogène et isotrope.
En clair, on suppose que la 4-variété M peut s'écrire M=RxV où R est un intervalle possédant au moins une borne inférieure "incluse" (faudrait être plus précis pour dire des choses pas ambigües sur ça) et où V est une 3-variété homogène et isotrope du genre espace. Quand on parle de forme de l'univers, on ne parle que du point de vue de ces observateurs "privilégiés" (ils sont comobiles) et que de la forme de la 3-variété qu'ils observent, mais la covariance générale (4d) n'est pas perdue dans les équations... de même, quand on parle d'âge de l'univers (ou moins salement de "temps écoulé depuis la singularité"), on fait référence implicitement au point de vue de ces observateurs pour qui les tranches spatiales sont homogènes et isotropes et auxquels est associé un temps nommé "temps cosmologique"....
sinon tu as parfaitement raison : dès qu'on considère un autre ensemble d'observateurs potentiellement mobiles ou accélérés par rapport à ceux-ci, tout n'est pas aussi simple. Mais le point important est de supposer qu'un tel découpage est possible (= qu'un tel ensemble d'observateurs existe, ce qui généralise le principe de Copernic en ne nous rendant pas particuliers, juste "portés par l'expansion") ce qui n'est pas le cas avec une 4-variété quelconque.
Je le vois comme la notion de classe en informatique qui permet d'hériter des propriétés générales des classes parentes. Donc savoir de quelles propriétés nous héritons pour ne pas y revenir dessus et si le cas se présente on peut avoir besoin de les préciser (notion de surcharge)
Patrick
Très bien, l'avantage de l'espace dodécaédrique de Poincaré (comme exemple intéressant d'espace elliptique) est que l'on peut en gros visualiser de quoi il s'agit.
Dans ce cas d'exemple il faut rajouter que son volume est 120 fois plus petit que le volume de référence des espaces de courbure positive qui est la sphère S3.
Totalement excusé.Mes excuses pour ce manque de précision.
Et pourquoi aurais-je tord? Sauf erreur de ma part je ne lis pas dans ton intervention une moindre contre argumentation. Non?
Citation:
Envoyé par ù100fil
De séparer l'espace du temps cela devient subjectif à un référentiel.Question bête : et si l'on considère le temps comme une dimension spatiale ?
Je n'ai pas dis que tu avais tord, mais que tu avais tort .... ce qui étais le problème soulevé par Armen92, un simple problème d'orthographe.
Ok pour faire plus concis. La notion de variété différentielles s'appuie t'elle sur ZFC qui contient l'axiome de choix et qui peut conduire au paradoxe de Banach-Tarski (ou alors cela ne concerne pas l'étude topologique des variétés différentielles 3D ?)?
Patrick
à OK, je n'avais pas compris. 456 excuses.
Je pense que c'est cela. L'homéomorphisme local avec Rn et la "lissitude" demandé par "différentielle" doit virer les "cas pathologiques", j'imagine, au minimum pour ce qui intéresse la physique.
J'ai essayé de comprendre un peu plus "profondément" (i.e., "vers les axiomes") la notion de structure différentielle. J'ai eu quelques échanges enrichissant sur le sujet sur FS, tu dois pouvoir trouver aisément les fils... En gros, pour les petites dimensions, toutes les structures différentielles d'une variété donnée sont équivalentes, le premier cas "bizarre" (que je ne comprends pas) est à la dimension 7.
Un autre argument est que la physique n'étant qu'approximative, on peut "lisser" autant qu'on veut sans perte de prédictibilité aux précisions pratiques. Suffit de "convoluer" par une fonction Cinfini de support fini, et les variétés (sans bord) deviennent Cinfini, ce qui doit virer encore plus les "cas pathologiques"...
dans ce cas on n'a plus l'espace-temps mais un espace 4d et donc plus de cosmologie mais de la géométrie...
ou alors j'ai pas compris la question
Merci cela éclaircie pas mal ma lanterne
Patrick
C'est un point de vue est tout les points de vue sont intéressant à prendre en compteMais pour pouvoir faire de l'analyse dimensionnelle sans «c» bien sûr!
Merci pour ces précisions
Patrick
Comment peut on à volonté "entrer" ou "sortir" d'un cercle(indice extensible), sans le franchir, lorsqu'il est tracé sur cette planète
Patrick
Voici un exemple de travail de topologie cosmique:
http://fr.arxiv.org/PS_cache/arxiv/p...705.0217v2.pdf
Salut à tous,
ou encore ceci, plus digeste au commun des mortels:
http://www.luth.obspm.fr/pages/jpluminet.html
C'est parfait.
Selon les goûts cela donne 2 niveaux de lecture. Merci
Dernière modification par Philou67 ; 22/04/2010 à 21h50. Motif: Citation inutile
J'avais cherché à mettre un peu d'humour dans cet Univers topologique (ou cosmique uniquement d'après certainComment peut on à volonté "entrer" ou "sortir" d'un cercle(indice extensible), sans le franchir, lorsqu'il est tracé sur cette planète
Source http://www.savoir-sans-frontieres.co...EOMETRICON.pdf
Patrick
Du ménage par le vide a été fait... merci à tous de repartir sur de meilleures bases...
Pour la modération,
La question de ù100fil sur les axiomes, ainsi que l'idée de définir "espace fini" par "volume fini", m'a fait réfléchir à la question de la longueur des côtes d'une île.
Je me permets de faire part de ces réflexions ici, pour ceux (et uniquement pour ceux) que cela intéresse; je suppose, très immodestement, que ce n'est pas un ensemble vide.
Est-ce que la longueur de la côte de la Corse est finie ? ou infinie ?
Si on recherche sur le web (ou ce qui est enseigné avant le lycée, j'imagine), la réponse semble "évidente", elle est finie. Sa valeur est même couramment indiquée, comme sur ce site par exemple (1030 km).
Nul doute que la réponse satisfait à peu près tout le monde, et, armé de la notion d'intégration apprise au lycée, on ne "voit pas où est le problème".
Mais il y a des mathématiciens et des physiciens qui ont réalisé que la valeur dépend de l'échelle d'intégration. Si la ligne est fractale, la longueur dépend de l'échelle d'intégration et peut très bien diverger si on regarde la côte de plus en plus près.
En pratique pour la côte, c'est bien le cas : la longueur est totalement différente si on prend la distance parcourue par un éléphant ou par une fourmi qui suivraient consciencieusement ce qu'elles perçoivent comme la limite entre la terre ferme et l'eau.
Est-ce que la côte est une variété différentielle compacte ? Il me semble que oui, elle est homéomorphe au cercle, et on peut la munir d'une structure différentielle.
La munit-on d'un "volume" ? On peut se le demander !
L'opération "calculer la longueur totale" qui amène à une valeur de 1030 km est-elle l'intégration de "longueurs élémentaires" ? Non. Il y a une opération préalable, une "défractalisation", une suppression des détails inférieurs à une échelle donnée.
J'avais indiqué dans un message précédent que la physique étant approximative, on pouvait "convoluer" par une fonction Cinfini à support fini pour "virer" les cas ennuyeux.
C'est exactement ce qu'on fait pour la longueur de la côte : on "convolue" la ligne à une certaine unité (e.g., on prend des règles de 1 kilomètre et on les met bout à bout en suivant au mieux la côte). Et la longueur de la ligne transformée est finie (et publiable sur un site grand public, ou enseignable à l'école
Le mathématicien ou le physicien ayant dépassé le lycée n'est pas vraiment satisfait : clairement, en admettant que la longueur soit définie ainsi, elle est peut-être finie, mais elle est arbitraire. Il paraît plus rigoureux de dire qu'elle est infinie si on applique la longueur induite par la métrique euclidienne de l'espace R3 dans lequel le fractal est plongé.
Question à laquelle je ne sais pas répondre : peut-on munir une telle ligne fractale vue comme variété différentielle d'un "opérateur longueur" dont l'intégrale serait finie, et qui aurait d'autres "bonnes propriétés" (continuité? différentiabilité?) ?
Il me semble qu'elle est bien munie d'une métrique (la distance induite par la métrique euclidienne R3 est bien une distance), et la topologie induite me semble bien être compatible avec cette distance (et la longueur totale est infinie). Mais il y a peut-être bien un problème de différentiabilité pour la distance ?
Est-ce bien un contre-exemple à l'idée qu'une variété compacte sans bord et munie d'une métrique soit de "volume fini"? Il me semble que oui.
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Pour le "volume de l'Espace", sujet du fil, la difficulté est en fait connue, et contournée d'entrée : en "modélisant" l'Espace par une variété homogène, on fait exactement comme les sites qui publient la longueur des côtes de la Corse : on ne s'occupe pas "vraiment" de l'Espace, on n'y regarde pas de trop près ; on s'occupe d'une approximation prise avec de très gros sabots, bien plus gros qu'un amas de galaxies...
Une question intéressante est celle, supposant l'Espace fini au sens "compact", ainsi qu'une notion de volume ayant une application physique, de ce que devient le volume total d'approximations de plus en plus fines, à l'instar de ce qu'on pourrait faire pour la longueur d'une côte ?
Cordialement,
Dernière modification par invité576543 ; 23/04/2010 à 07h16.
Il me semble voir le théorème de établi par Henri Lebesgue : une courbe de longueur finie est presque partout différentiable. Inversement, si une courbe est non différentiable presque partout, elle est nécessairement de longueur infinie.
Et si on se ramène à des propriétés plus générales à savoir la notion de cardinal qui conceptualise et généralise la notion de "taille" ? Mais a quoi peut on appliquer cette notion de cardinal, à la topologie (sous-ensemble des parties de E) ?
Patrick
Question naïve : le fait que la distance mesurée soit différente en fonction de l'échelle utilisée (fourmi ou éléphant) implique-t-il nécessairement que la ligne est fractale (donc impliquant une homothétie), et que par conséquent, l'intégrale tendrait vers l'infini ?
:'( Plus j'apprends, et plus je mesure mon ignorance
Est-ce que c'est "différentiable" au même sens que dans l'expression "variété différentiable" ? N'est-ce pas plutôt "différentiable" en relation avec un plongement, l'existence d'une droite de Rn tangente en un point à une courbe 1D plongée dans Rn ?
(Par exemple, une variété ayant un atlas composé d'une seule carte est automatiquement différentiable... Si je prend une ligne fractale homéomorphe à R, c'est le cas...)
Cordialement,
Je dirais cela peut correspondre a l'abandon de l'hypothèse qu'une courbe de l'espace-temps est différentiable, en gardant celle de sa continuité.
si on considère une fonction continue et presque partout non différentiable, tracée entre deux points du plan. On peut l'approximer par des dissections successives qui en construisent des approximations de plus en plus précises.
on trace d'abord le segment de droite L1 qui relie les deux extrémités : il existe au moins un point de la courbe en dehors de ce segment, et on peut alors tracer deux segments qui aboutissent sur la courbe. De proche en proche, on double à chaque étape le nombre de segments. A chaque étape, la longueur augmente.
Patrickhttp://forums.futura-sciences.com/ma...tml#post304479
il y a autant de types de variétés différents qu'il y a de notions de régularité différentes. La version la plus élémentaire est celle de variété topologique qui est uniquement liée à la notion de continuité.
C'est à cause de gens comme toi que le vide est plein de choses en MQ ....
Cela reste pas clair, en particulier parce que tu ne différencie pas clairement entre ce qui est plongement et intrinsèque. (Ou plutôt tu ne parles que plongement, il me semble.)Je dirais cela peut correspondre a l'abandon de l'hypothèse qu'une courbe de l'espace-temps est différentiable, en gardant celle de sa continuité.
si on considère une fonction continue et presque partout non différentiable, tracée entre deux points du plan. On peut l'approximer par des dissections successives qui en construisent des approximations de plus en plus précises.
Une ligne fractale (homéomorphe à R) plongée dans R² est bien intrinsèquement une variété différentiable, sans être une courbe différentiable dans R².
Je pense que si problème il y a, c'est dans le statut de la métrique induite.
Parce qu'on se retrouve avec une métrique sur la ligne intéressante : elle est telle que la distance entre deux points est toujours définie (et donc finie), mais la longueur de la ligne entre les deux points est infinie (longueur de la ligne étant alors "l'assemblage de tout petit [segments] élémentaires , cad une intégration").
Sur une variété différentielle, impose-t-on des contraintes supplémentaires à la notion de distance, ou toute distance respectant les axiomes de base (définie, positive et inégalité triangulaire) est-elle acceptable?
Si la réponse est non, alors il y a des chances qu'on puisse munir une variété différentiable connexe, compacte, sans bord (i.e., celles auxquelles on accole usuellement l'adjectif "finies") d'une métrique telle que la distance entre deux points soit toujours finie, mais le "volume" (l'hypervolume) infini.
Du coup, la notion de "compact" (qui est non métrique) pour une variété différentielle est bien une notion différente de "volume fini" (qui demande une structure plus riche, le choix d'un opérateur "volume", par exemple via le choix d'une métrique), puisque le statut de fini ou infini dépend du choix, c'est à dire est une propriété non pas de la variété, mais de l'opérateur volume (ou de la métrique).
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La réflexion ensuite est de voir quelle peut être la propriété physique locale d'une notion de volume qui se traduirait en un volume global fini si compact.
Une propriété simple et intuitive semble être que pour tout point existe un ouvert le contenant et de volume fini. Ce qui est bien une propriété locale et qu'on attend intuitivement d'une notion de "volume physique". (Et l'implication entre compact et volume total fini est alors parfaitement claire sous cette hypothèse.)
Cordialement,
Je vois que je n'ai pas répondu à cela ; parce que la réponse a été donnée par ù100fil d'une certaine manière. Cela doit être "oui", mais avec un sens de "fractale" généralisé (le sens utilisé pour la côte de la Corse par exemple, qui n'est pas strictement auto-similaire, il n'y a pas d'homothétie transformant une partie de la côte en une autre partie de la côte.).
Cordialement,
Oui je n'avais pas fait la distinction. L'exemple est clair.
Patrick
La partie en gras n'est pas exacte, une courbe fractale n'a pas à être auto-homothétique, par contre c'est un moyen simple de définir des courbes fractales (ce qui ne veut pas dire non plus que auto-homothétique implique fractale (une droite est auto-homothétique)).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pour compléter, il y a implication mais pas équivalence. La compacité est une propriété plus forte. (Une sphère S2 moins un point, plongée dans R3 euclidien et muni de la notion induite de surface, est bien de surface finie, mais n'est pas compacte.)
On en arrive à l'idée que, pour une variété différentiable munie d'une notion de volume telle que tout point est à l'intérieur d'au moins un volume fini, "être compacte" est "plus fini" que "avoir un volume fini"
On peut alors imaginer que l'espace soit de volume fini sans être compact. Dire qu'il est "fini" dans ce cas me semble un choix de convention.
En particulier il existe dans de tels espaces des lignes non prolongeables (qui ne sont pas des sous-ensembles stricts d'une ligne "plus grande") mais qui "ne reviennent pas au point de départ" (ou plus généralement dans le voisinage d'un point de l'espace).
Or une telle ligne ne pourrait pas être parcourue par un observateur en un temps fini! (Car où serait-il à la fin?)
Est-ce que ce genre de considération ne peut pas amener à préférer la propriété "être compacte" pour une notion "intuitive" de finitude de l'espace?
Cordialement,
