Bonjour,
Pour ceux qui aiment une bonne formulation mathématique voici une présentation que j'espère être correcte (merci de me corriger si cela vous parait douteux.
Formulation.
soit EX la topologie recherchée de l'espace qui correspond à une section spatiale. Si les topologies étaient triviales on aurait:
EX = E3, S3, H3
qui correspondent aux espaces euclidiens, sphérique, hyperboliques tels que supposés dans les modèles de Friedmann-LeMaitre. Ces espaces sont les espaces de recouvrement universels.
Chacun de ces espaces possède un groupe G des isométries, cad une action de groupe qui conserve la distance entre les points. Soit:
D [r1, r2] = D [g(r1), g(r2)]
où g est n'importe élement du groupe G
Le principe va constituer à paver un espace de recouvrement universel par des polyédres réguliers et à identifier les faces opposées par des isométries de G qui vont donc former un sous-groupe H de G. Ce sous-groupe d'isométries s'appelle un groupe d'holonomie et l'identification définissent des classes d'équivalence. On pourra écrire:
EX= ER/H
Donc EX est l'espace recherché
ER est l'espace de recouvrement qui vaut selon le cas E3, S3,H3
H est un des groupes d'holonomie compatibles qui ont identifiées pour E3 et S3 mais incomplètes pour H3.
Un exemple simple:
Si on prend E3 comme espace de revètement alors:
G = R3*SO(3)
cad qu'une isométrie de G est representée par une matrice 3*3 de la forme:
V devient R.V + T
V est un vecteur colonne qui représente les coordonnées d'un point
R est une matrice de rotation
T est un vecteur colonne de translation
Il y a 18 groupes H d'holonomies possibles qui ont été identifiés. Le plus connu est celui qu'utilisent les physiciens du solide qui identifient les faces opposées d'un cristal parallélipédique pour obtenir un groupe d'invariance du cristal. Il s'agit du tore T3.
Résoudre des EDP sur EX
A partir de là se dégage les idées générales pour résoudre un problème dans une topologie EX.
En effet on a en général un système d'équations EDP à résoudre. Si ces équations sont linéaires les solutions se décomposent sur la base d'espaces vectoriels irréductibles du groupe G.
Ces mêmes solutions seront réductibles dans le sous-groupe H. on pourra ainsi représenter les solutions dans le sous-groupe de H). Normalement les représentations irréductibles apparaitront de nombreuses fois, cad qu'il y aura des éléments non diagonaux qui augmentera considérablement la taille des sous-espaces invariants. Avec un peu de chance les effets seront faibles (si on utilise un modèle à main-levée) sinon le calcul numérique se chargera de résoudre le problème sans peine.
Nota: les physiciens du solide pourront faire le parallèle avec le phénomène de repliement de bandes où l'espace de recouvrement est l'espace tout entier (celui de la propagation libre) et le polyédre le cristal lui-même.
Dans le contexte de la topologie cosmique on se trouve en 1 point de l'espace (notre Terre), seul Dieu a une vue sur l'ensemble. Auquel cas il faut développer les solutions précédentes en harmoniques sphériques (ceci est tabulé dans des livres).
Nota: Pour les physiciens du solide cela veut dire représenter les états de bande en harmoniques sphériques en se centrant sur un atome de la maille. C'est ce que l'on fait pour représenter les états d'impuretés substitutionnelles, par exemple.
Le dodécaèdre de Poincaré
Voir la publication citée prècedemment
Le groupe de revêtement est S3, le groupe d'holonomie est ce que l'on appelle le dodécaèdre de Poincaré. L'analyse porte sur le CMB et l'équation à résoudre est l'équation de Helmholtz.
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Envoyé par Michel (mmy) 
Si on prenait le mot "infini" du titre au sens du cardinal, la réponse serait immédiate (du moins si on parle bien d'un modèle par une variété 3D !!).
. Une gradation dans la notion de "finitude"...
