Transition secondaire supérieur

[invite57a1e779]

1) Démontrer que tout élément z non nul de C admet un inverse z' dans C pour la loi x. On donnera z' sous forme algébrique.

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Il faudrait dire quelque part que est non nul, du fait que est lui-même non nul.

2) L'ensemble des entiers naturel N est une partie de C. Quels sont les éléments de N qui sont inversibles dans N pour la loi x ? combien y en a-t-il ? Même question pour l'ensemble Z des entiers relatifs ?

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Les solutions sont des éléments de ou de , mais pas des couples.
La réponse est donc dans un cas, dans l'autre.

1) Soit F une partie de C, stable pour la loi +, la loi x et la conjugaison. On définit une fonction N de F dans R+ par :

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Attention si , alors , et non .

-----

[invite787dfb08]

Ok merci pour ces remarques, je rédigerai tout ça au propre quand j'aurai terminé ce thème.

[SPOILER]

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Attention si , alors , et non .

par contre ici je ne crois pas avoir écrit ce que tu dis, ou alors je n'ai pas retrouvé...

Une aide piste pour la question c) qui me fait bloquer peut être ?

[invite57a1e779]

par contre ici je ne crois pas avoir écrit ce que tu dis, ou alors je n'ai pas retrouvé...

Tu ne l'as peut-être pas écrit en tant que tel, mais c'est ce qui ressort de ta réponse à B1a)

Une aide piste pour la question c) qui me fait bloquer peut être ?

C'est une conjonction de A2 et B1b.

[invite787dfb08]

Donc pour la question c je propose :

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est inversible dans F si et seulement si

Or on sait
En réinjectant :
est inversible dans F

Mieux ?

[invite57a1e779]

Mieux ?

Oui, mais...

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Si est inversible dans , tu utilises son inverse pour prouver que , très bien.

Mais si , il te faut montrer que l'inverse appartient à ...

[invite787dfb08]

Je ne vois pas comment faire. J'utilise le fait que si N(z) = 1 alors N(1/z) = 1, mais ça ne m'aide pas à démontrer que 1/z est dans F...

Une piste ? Sinon je laisse tomber cette question pour le moment et j'avancerai sur le reste du thème. Me reste plus qu'une question, elle à l'air un peu tendue. Je la termine demain, et je poste. Ensuite je pourrai reprendre le thème complètement un peu plus au propre...

Merci God pour ton aide

+++

[invite787dfb08]

Donc pour la suite du thème 4

2) On considère l'ensemble G des nombres complexes de la forme a+ib, a et b étant des entiers relatifs et i le nombre tel que i²=-1. G est appelé l'ensemble des entiers de Gauss.

a) Démontrer que G est stable pour la loi +, la loi x et pour la conjugaison.

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Soit z=a+ib et z'=x+iy, (a,b) € Z² et (x,y)€Z².
z+z' = a+x+i(b+y), or + est une LCI dans Z, donc (a+x)€Z et (b+y)€Z
D'où : .
D'où G est stable pour +

Pour la loi x, on calcule aussi le produit zz', et remarquant que -,+ et x sont des LCI dans Z, on peut conclure :
.
D'où G est stable pour x

Pour le conjugué c'est encore plus simple : le conjugué de z vaut a-ib soit a+i(-b), a et b dans Z*Z
D'où : .
D'où G est stable pour le conjugué.

Désolé de la rédaction un peu rapide mais il est 2h du mat là

b) COnsidérons la fonction N de G. A quel ensemble de nombre appartient N(z) ? En déduire les éléments de G qui sont inversibles dans G. Combien y en a-t-il ?

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Soit N sur G

Or a et b sont dans Z²


Soit z € G
z est inversible dans G ssi N(z) = 1
ssi |z|² = 1
ssi a²+b² = 1
, car (a,b) € Z²
Il y a donc 4 éléments inversibles dans G : z1=1, z2=i, z3=-1, z4=-i.

La je ne suis pas tout à fait sur que mon coup...

3) On considère maintenant l'ensemble E des nombres complexes de la forme a+jb, avec a et b entiers relatifs et j le nombre complexe égal à . E est appelé l'ensemble des entiers d'Einstein.

a) Démontrer que j^3=1 et que 1+j+j²=0
Pas de problèmes
b) Démontrer que E est stable pour la loi +, la loi x et la conjugaison.
Pas de problèmes, même méthode que dans la question 2)a)

Me restent la c) et la d) que je poste dès que c'est prêt.
Pour le reste, pas de boulettes majeures ?

[invitebfd92313]

Bonjour,
Je ne vois pas de problème, par contre si je puis me permettre une remarque, tu utilises de facon un peu abusive le quatificateur universel, normalement on indique toujours l'ensemble auquel appartient l'objet quantifié. (c'est un détail évidemment)

[invite787dfb08]

Ok je ferai gaffe, merci . C'est en fait parcequ'on n'a pas vu en cours de TS le quantifieur universel, donc je l'utilise souvent de façon plus ou moins anarchique pour gagner du temps. Mais j'ai un cours que je lirai bientôt et qui m'éclairera sans doutes

Alors la question c ne pose pas de problèmes.
Par contre la d est tendue, je crois que c'est normal :

Résoudre dans Z l'équation a²-ab+b² = 1.

Mais laissez moi beugger dessus encore un peu, ça me permet de refaire un peu de spe maths

++++

[invitebfd92313]

Sinon pour ce qui précède (a propos de la partie B question c) pour montrer que si N(z) = 1 alors z est inversible dans F, je te propose la méthode suivante (si tu n'as toujorus pas trouvé) :
Tu sais que quand une lci est associative et possède un élément neutre, l'inverse est unique (ou alors si tu ne le savais pas tu peux le démontrer pour t'entrainer). Suppose alors l'existence de l'inverse z' de z, si tu en détermines une expression, tu sais qu'il n'y en aura pas d'autre possible. Il te suffit donc de vérifier que le nombre z' que tu as trouvé appartient à F et vérifie zz' = 1
(Cette méthode s'appelle analyse-synthèse)

[invite787dfb08]

Ba en fait je n'arrive pas à montrer que z' appartient à F, parce qu'on sait juste que F est une partie de C stable pour les lois +, x et pour la conjugaison. Mais je me repencherai dessus

+++

[invite57a1e779]

Ba en fait je n'arrive pas à montrer que z' appartient à F, parce qu'on sait juste que F est une partie de C stable pour les lois +, x et pour la conjugaison. Mais je me repencherai dessus

+++

M'enfin !!!

Si , ne peux-tu exprimer simplement en fonction de ?

[invite7ffe9b6a]

Thème 10 (Analyse) : Fonctions paires, fonctions impaires.
Décomposition.

1. Décomposition d'une fonction quelconque

a) Cette question ne devrait poser aucun problème

b)

 Cliquez pour afficher

Supposons qu'il existe une fonction paire g et une fonction impaire h, définies de dans ,
telles que f=g+h.

Alors, , on a



et

d'après les hypothèses sur g et h.

On obtient donc quelque soit x réél,



-On obtient en sommant (1) et (2) que

, , soit

et cet égalité etant vrai pour tout x réél, on obtient bien que


-On obtient en faisant (1)-(2) que

, , soit

Par le même argument que précedemment on a bien

c)

 Cliquez pour afficher

Soit une fonction de ,
Alors la question a) nous fournit l'EXISTENCE l'existence de du fonction paire est d'une fonction impaire telles que et la question b) nous fournit L'UNICITE d'un tel couple .
(On a en effet montrer que si il existait un couple (g,h) qui convient alors, on a NECESSAIREMENT , le couple est unique)

Toute fonction de R dans R se décompose donc bien de manière unique en une somme de fonction paire et impaire.

2. Étude de deux cas particuliers :

a)Fonction polynomiale.

 Cliquez pour afficher

D'apres la partie précedente , puisqu'une fonction polynomiale est une fonction continue de R dans R, on sait que la partie paire est donnée par



En utilisant le fait que
on obtient finalement (les calculs ne sont pas insurmontables)



On remarque alors que
-la partie paire d'une fonction polynôme est la fonction comportant uniquement les monomes de degré paire de la fonction polynomiale.

-la partie impaire d'une fonction polynôme est la fonction comportant uniquement les monomes de degré impaire de la fonction polynomiale

b) Fonction exponentielle.

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On pose donc ,

et


On vérifira alors facilement que

ch'=sh
sh'=ch

ii)

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ha bah faut calculer ...

iii)

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idem que précedement. On calculera séparement les formules à droite et à gauche du signe d'égalité et montrera que les résultats obtenus sont égaux...
Désolé la flemme....

3. Détermination d’une solution d’équation « fonctionnelle différentielle ».

a)

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L'idée est de calculer , et est d'utiliser E.

Soit x dans R,
Calculons

(regle de dérivation d'une somme de fonctions)

Or d'apres (E),



et

(remplacer x par -x)

donc finalement



finalement est solution de l'équation différentielle du second ordre:

-On montrera de même que est solution de l'équation différentielle

b)

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On cherche donc une fonction polynomiale dont la partie paire vérifie (P), la partie impaire (I)

Cela revient à chercher une fonction polynomial ne possèdant que des monomes de degré paires vérifiant (P) et une fonction polynomiale ne possèdant que des monomes de degré impaire vérifiant (I).

La somme des 2 vérifira donc l'equation E


Cherchons des solutions simples.
Regardons par exemple si une fonction de la forme f(x)=ax²+b peut satisfaire (P).

Supposons que f vérifie (P), alors


soit


soit



Par identification ,a=1, b=-2.

Vérifions alors que la fonction f definie sur R tels que est bien solution de (P).

De même , on montrera par exemple que la fonction h (ayant que des monomes de degres impaires )definit sur R tel que
est solution de (I).



Vérifions alors que la fonction g définit sur R tels que
est bien une solution particuliere de (E)

En effet

4. Décomposition et ramification d’une fonction polynôme.

Désolé, il est tard je suis crevé,, si quelqu'un veut bien finir cet exercice à ma place.

Veuillez excuser mon absence de rigueur à la fin, la fatigue me gagnait....

[invite7ffe9b6a]

Oups je viens de voir que dans la 3)a) il y a faute de frappe.

Si un modo veut bien corriger, je peux plus modifier le post moi-même

 Cliquez pour afficher

Au début, l'idée est de calculer et

J'ai oublié les

Merci d'avance

[invite787dfb08]

http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/c...cours_mpsi.pdf

Cours de maths de MPSI du lycée fermat, liens trouvé dans sur ce forum...

Est-ce que ceux qui sont en mpsi peuvent me dire si c'est un bon cours...
Si oui j'attaquerai tranquilement le chapitre 1, qui a été déjà largement débroussaillé en TS...

Merci

+++

[invite787dfb08]

Plop

Petite question au niveau des démonstrations :

Comment appelle-t-on les raisonnementsdans le genre de celui qui permet de retrouver la formule de la somme des n premiers naturels S=(n(n+1))/2 ?

On procède par
S = 1+2+...+n
S = n+n-1+...+n
2S=n(n+1)/2

Ensuite, l'établissement d'une formule par ce type de raisonement est-il suffisant, ou alors faut-il redémontrer le résultat par récurrence ?

Merci

+++

[invite787dfb08]

désolé pour la petite faute, c'est bien S = n(n+1)/2.
Merci Gaara ^^

+++

[invite787dfb08]

Hello

Si il y en a qui sont intéressés par cet exo sympa :

THEME 10

Exemples et contre exemples de fonctions sous contraintes :

Dans chacun des cas suivants, donner un exemple de fonction f vérifiant les conditions indiquées.

1) f est définie et continue sur R, strictement croissante et bornée.

2) f est une fonction définie et continue sur R, strictement positive et croissante.

3) f est continue et définie sur R, impaire et périodique de période 1.

4) f est continue sur R, mais discontinue en chaque valeure entière de la variable.

5) f est continue et définie sur R, mais pas dérivable en chaque valeur entière de la variable.

6) Voir document, cette question ne demande qu'une interprétation graphique.

7) f est continue et bornée sur [0,+l'inf [, mais n'a pas de limite en + l'inf

8) Voir document, cette question ne demande qu'une interprétation graphique.

9) f est continue et strictement croissante sur R, et sa limite en + l'inf vaut 2008.

10) f est continue et strictement positive sur R et vérifie : lim en + l'inf = lim en - l'inf = 0.


J'ai pas encore trouvée toutes les solutions, je posterai un corrigé plus tard

+++

[invitec317278e]

Si tu veux, je poste des exemples pour chaque^^

[invite787dfb08]

Plop

Tu peux oui, mais met bien les réponses entre spoiler

Merci

+++

[invitec317278e]

1)

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2)

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3)

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4)

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5)

 Cliquez pour afficher

7)

 Cliquez pour afficher

9)

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10)

 Cliquez pour afficher

Note sur ce genre de fonctions (ça peut toujours servir, et c'est amusant : f(x)=a*e^(-b(x-c)²)
On a alors a qui donne la hauteur de la bosse, b permet de la compresser horizontalement, et c permet de la localiser où on veut sur l'axe des abscisses. En additionnant plusieurs fonction de ce type , on peut faire des figures sympas

J'espère ne pas avoir faux ...XD

[invite24dc6ecc]

1)

 Cliquez pour afficher

f(x)=Arctanx

[invite787dfb08]

Ce genre d'exo est sympa parcequ'il fait travailler l'imagination, ce qui peut se révéler utile pour trouver certains contre exemples

+++

[invite787dfb08]

Plop

THEME 11

Equation fonctionelle, aspect analytique.

Partie 1.

Il s'agit de trouver toute les fonctions de R dans R qui vérifie pour tout x et y dans Q : f(x+y)=f(x)+f(y).
La résolution est guidée en 6 question

 Cliquez pour afficher

On montre en fait qu'il doit s'agir d'une fonction impair vérifiant f(a)=af(0) et bien sur f(0)=0. On conclut qu'il existe alpha dans R tel que f(x)=alpha x.
On en conclut que les solutions de cette équation fonctionelle sont toutes les fonctions f telles que f(x)=ax pour tout a dans R ????

Partie 2

g(xy)=g(x)g(y).

Je bloque à la première question, ce qui me bloque pour la suite...

Montrer qeu si il éxiste x0 dans R+* tel que g(x0)=0 alors pour tout x de R+* g(x)=0...

Voila si quelqu'un pouvait me débloquer...

Merci

+++

[invitec317278e]

Pour la partie 1, j'ai pas trop compris ce que tu demandais.


Pour la partie 2, voici ma solution.
Supposons l'existence d'un tel x0, alors, soit a dans R+*, on prend x=x0*sqrt(a) et y=sqrt(a)/x0

On a ainsi g(xy)=g(a) d'une part
Et d'autre part g(xy)=g(x)g(y)=g(x0*sqrt(a))g( y)=g(x0)g(sqrt(a))g(y)=0 puisque g(x0)0

Ainsi, g(a)=0


C'est jouissif de trouver !

[invite787dfb08]

Pour la 1 je demandai en fait simplement :

 Cliquez pour afficher

Si toutes les solutions de l'équation f(x+y)=f(x)+f(y) sont les fonctions linéaires

Pour la 2 merci pour ta réponse.
Mais on montre que g(x0)=0 implique que g(a)=0 avec a exprimé en fonction de x et de x0, on peut en conclure qu'alors g(x)=0 pour tout x de R+* directement ???

[invitec317278e]

Question de notations. si tu veux, au lieu de montrer que g(x)=0 pr tout x, j'ai montré que g(a)=0 pour tout a
Et c'est x que j'ai exprimé en fonction de a, qui, lui, est bel et bien quelconque.

[invitec317278e]

Pour la 1 je demandai en fait simplement :

 Cliquez pour afficher

Si toutes les solutions de l'équation f(x+y)=f(x)+f(y) sont les fonctions linéaires

Oui, c'est bien cela.
C'est la plus classique des équations fonctionnelles.

[invitea250c65c]

Pour montrer que les solutions de l'équation f(x+y)=f(x)+f(y) voici ce que je te propose, mais ca montre juste que f est une fonction linéaire sur Q.

 Cliquez pour afficher

f(x+y)=f(x)+f(y)
Soient x et y deux réels, p et q des entiers relatifs (q différent de 0) et n un entier naturel.
On montre que f(0)=0 en choisissant certaines valeurs de x et y.
Ensuite, f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x), ..., on voit bien que f(nx)=nf(x) (pour une démo rigoureuse : récurrence).
Donc f(n)=f(n*1)=nf(1)=an avec a=f(1).
Donc pour sur N, f est une fonction linéaire.
Si tu as montré qu'elle était impaire (f(x+(-x))= ... ), tu en déduis par symétrie que en fait pour tout p dans Z tu as f(p)=p*f(1) donc c'est également une fonction linéaire sur Z.
Reste les rationnels : f(p)=p*f(1) soit f(p)=p*f(1)=f(p*q/q)=p*q*f(1/q) soit p*f(1)=p*q*f(1/q) donc f(1/q)=f(1)/q. Donc f(p/q)=p*f(1/q)=p/q*f(1) donc c'est encore une fonction linéaire sur Q.
Après pour élargir sur R c'est compliqué, ce sont des histoires de densités (je ne m'y suis jamais penché donc je ne peux pas t'en dire plus, mais c'est bien au dessus de notre niveau).
On a montré f(x+y)=f(x)+f(y) => f(u)=a*u avec u un rationnel et a=f(1), ne pas oublier la réciproque (vérification de la solution, y'en a pour 2 secondes mais ca fait parti du raisonnement).

J'espère avoir pu t'aider (désolé, flemme de Latexer ).

[invite787dfb08]

Merci Thorin, c'est bon maintenant...

Electrofred : merci aussi, mais j'avais déjà tout fait, c'est le début de l'autre équation fonctionnel qui me posait problème mais maintenant ça devrait être bon...

+++