Transition secondaire supérieur

[GalaxieA440]

Plop

Alors voilà, à la demande de certains participants du forum, ouverture d'un topic dont le but est assez explicité dans le titre .

Donc, merci à tous ceux qui voudront participer et ajouter des "cours" qu'ils jugent utiles, ou des astuces, méthodes, trucs, etc., pour la transition du lycée vers le supérieur, notamment vers MPSI, PCSI, PTSI et les facs de maths... Il est conseillé toutefois évidemment de ne pas oublier que c'est les vacances, et d'en profiter très largement...

Pour commencer, rappel d'un lien qui ne cesse de s'agrandir vers le calcul intégral : http://forums.futura-sciences.com/thread221108.html

Ensuite, déjà un document qui autour duquel de l'aide pourra être demandée et apportée, puisque ce document (un cours de transition vers la fac) comporte des exercices non corrigés. Ce cours est très intéressant (je suis dessus), et les exos sont sympas.
Le lien : http://mathematiques.ac-dijon.fr/res...s/sommaire.htm

Voila voila

Bonne nuit à tous

+++
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[inviteec581d0f]

Salut Galaxie ^^

merci pour le post ! je vais m'y mettre sérieux là mais on fait comment ? On fait les exercices du site ou on en propose ?

En tout cas je suis partant pour les 2 cas de figure

[GalaxieA440]

les deux cas de figure vont très bien oui, juste bien préciser à chaque fois ce qu'on fait et mettre nos réponses en spoiler .

+++

[bashad]

Slt!
moi je vous propose d'aller voir par là et de trier !

http://forums.futura-sciences.com/thread134156.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[GalaxieA440]

Ah bien joué, merci bashad

Pour le cours de transition de l'université de Bourgogne (c'est ma région ), j'attaque :

THEME 1 : Quelques considérations algébriques élémentaires.

Première partie : un minimum de vocabulaire et de logique.

b) Exercice.

La division est elle une LCI dans Z et Q* ?

 Cliquez pour afficher

1) : Remarquons par exemple que -3/5 n'appartient pas à Z. Donc :


La division n'est pas une loi de composition interne (lci) dans Z...

Montrons que la division est une LCI dans Q^{*}.
Soit
Soit
avec
Ainsi en ademttant que x est une LCI dans Z^{*}, on montre que la division est une LCI dans Q^{*}

Soit * tq a*b=a+b+ab... * est elle une LCI dans R, Z, R\-1...

 Cliquez pour afficher

2) a*b = a+b+ab
On sait que + et x (multiplié) sont des LCI dans R. (démontrable pour le x, par contre pour + c'est beacoup plus tendu ^^)...Donc :



Conclusion :
D'où : * est une LCI dans R...

C'est bon ? Seul la démonstration du fait que + est une LCI dans R est problématique, mais on y reviendra plus tard....

Voyons si * est une LCI dans Z

Alors la pareil, je ne démontre rien, j'admet pour l'instant

Le produit de deux entiers est un entiers....
Conclusion :
D'où : * est une LCI dans Z...

Voyons maintenant dans R-{-1}
Il s'agit pour cela de résoudre l'équation a*b = -1 avec .
La résolution nous donne a=-1 ou b=-1 ce qui est contradictoire.
Donc :

Donc * est une LCI dans cet ensemble....

"o" est il une LCI pour les symétries axiales et les rotations du plan ?

 Cliquez pour afficher

3) Alors pour cette question, je ne recopie pas tout ce que j'ai fait (beacoup trop long...)...
Pour les symétries axiales : on prend l'écriture complexe de deux symétries axiales (formules générales), on compose, on montre d'une manière générale que la composée de deux symétrie axiale est une rotation, on en conclut que "o" n'est pas une LCI dans S, l'ensemble des symétries axiales du plan...
Pour les rotations, mêmes chose, on compose deux rotations f1 et f2 (formules complexes générales), on conclut que la composée de deux rotations est une rotation, est donc que "o" est une LCI pour S2, l'ensemble des rotations du plan.
Est-ce juste ???

La somme de deux fonction bornée sur I est elle bornée sur I

 Cliquez pour afficher

4) Cette question est simple (si j'ai juste...).
Soit B l'ensemble des fonctions bornées sur I
Soient f et g deux fonctions bornées sur I
Alors : tels que :
a<f(x)<b
c<g(x)<d
et donc a+c<f+g<b+d
Ce qui conclut, la somme de deux fonctions bornées sur I est bornée sur I...

La réciproque est vraie, on peut le montrer facilement en supposant que f+g est cornée sur I et que f ne l'est pas... On aurait :
-l'infini<f<+l'infini
a<g<b
et donc -l'infini<f+g<=l'infini, contradiction.....

Pour la suite des exos il se peut que mes posts soient beaucoup plus courts....

Merci à tous ceux qui se pencheront la dessus...

++++

[GalaxieA440]

Je remonte ce fil : http://forums.futura-sciences.com/sh...orielle&page=3

Qui propose aussi certaines solutions pour l'exo ci dessus et qui avance un peu pour le suivant.... Je terminerai de mettre en lligne l'exo c dans la journée...

[Flyingsquirrel]

Salut

La somme de deux fonction bornée sur I est elle bornée sur I

 Cliquez pour afficher

[..]
La réciproque est vraie, on peut le montrer facilement en supposant que f+g est cornée sur I et que f ne l'est pas... On aurait :
-l'infini<f<+l'infini
a<g<b
et donc -l'infini<f+g<=l'infini, contradiction.....

 Cliquez pour afficher

Perdu Une somme de deux fonctions non bornées peut être bornée. Par exemple avec et on a . (dans ta démonstration tu supposes que est bornée ce qui n'est pas toujours le cas.)

[GalaxieA440]

Ahhhh oui très bien vu

Merci Flyingsquirrel

[GalaxieA440]

Bon pour la suite, je vais faire plus rapide étant donné du fait que j'ai fait les thème 1, 2 et 3 il y a 4 mois environ....

Pour terminer avec le thème 1

Thème 1, première partie, exo c :
1) Très facile
2) La réponse est donné dans le lien post 6. Pas facil facil quand même ^^
3) La précédente loi * est elle commutative et associative ?

 Cliquez pour afficher

Je trouve qu'elle est associative et commutative dans C...

4) Bon pas il faut composer quoi....

 Cliquez pour afficher

Je trouve que "o" n'est pas commutatif dans I pour les symétries axiales, ni pour l'ensemble des isoméries du plan...

Désolé si rien n'est rédigé... N'hésitez pas à poster des solutions plus complètes...

Partie II), Quelques exercices de mise en oeuvre...
Exo 1) Facile
Exo 2) La même chose...
Exo 3) Allez je rédige ma solution...

On reprend la loi * définie dans R par a*b = a+b+ab
a) Etudier selon les valeurs de a l'éxistence de solution de l'équation a*x=b.

 Cliquez pour afficher

a*x= b ssi a+x+ax=b
ssi b = x(1+a) + a
On tombe donc sur une équation de droite... Donc si je comprend bien, pourvu que a soit différente de -1, a*x=b admet une infinité de solutions, sinon, il n'en éxiste qu'une seule....

b) Etudier l'existence de "racines carrées" pour cette loi, c'est à dire l'existence de solution à l'équation x*x=a ou a est un nombre réel...

 Cliquez pour afficher

x*x=a ssi x+x+x²=a
ssi x²=2x=a
trinôme, delta, racines etc....
Detla = 4(1+a)
Ainsi : x*x admet deux solutions pour tout x appartenant à ]-1; = l'inf [
1 seule solutions si x=-1
Aucune solution (travaillant dans R) si x<-1

Exercice 4 : Je n'ai pas rencontré de difficultés. Faut juste se familiariser avec les matrices carrées...

Si certains d'entre vous font ce thème, et ont besoin d'aide, je posterai mes solutions s'ils le demandent....

En attendant j'avance un peu...

[God's Breath]

On reprend la loi * définie dans R par a*b = a+b+ab
a) Etudier selon les valeurs de a l'éxistence de solution de l'équation a*x=b.

 Cliquez pour afficher

a*x= b ssi a+x+ax=b
ssi b = x(1+a) + a
On tombe donc sur une équation de droite... Donc si je comprend bien, pourvu que a soit différente de -1, a*x=b admet une infinité de solutions, sinon, il n'en éxiste qu'une seule....

 Cliquez pour afficher

Je ne comprends pas très bien ta disjonction des cas, ou alors nous ne parlons pas la même langue... De plus il peut se faire que l'équation n'admette aucune solution.

[GalaxieA440]

Toujours dans le doc de l'université de Bourgogne

Thème 2 : A propos de stabilité.

I) Introduction

Exercices : Ceux ci ne posent pas de problèmes...

II) Un minimum de formalisation

Exercices :
Exo 1), c'est bon
Exo 2) Je dois traduire les énnoncés suivants en termes de stabilité d'un ensemble pour une loi. Je propose :

* La somme de deux fonctions dérivables sur un interval I de R est dérivable sur I.

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I est stable pour la loi +

* La composée de deux fonctions dérivables sur R est dérivable sur R

 Cliquez pour afficher

R est stable pour la loi "o" de composition de fonctions...

* La somme de deux suites réelles convergentes est convergente.

 Cliquez pour afficher

Soient f et g deux suites réelles convergentes sur R. R est stable pour l'addition...

* La composée de deux fonctions continues sur R est continue sur R.

 Cliquez pour afficher

Soient deux fonctions f et g continues sur R. R est stable pour la loi de composition de fonctions "o"

* La composée de deux transformations du plan est une transformation du plan.

 Cliquez pour afficher

Le plan est stable pour la loi "o" de composition des transformations.

Est-ce que c'est bon ?

Exo 3) Il est sympa ....

Partie stabilité pour l'opposé

Exercice 1 : j'ai pas eu de problèmes
Exercice 2 : je ne l'ai pas fait, l'énnoncé laisse comprendre pourquoi...

Donc voila pour ce thème 2. Je post un peu à l'arrach parceque j'ai fait ça il y a 4 mois, je ne suis pas sur que ce que je n'ai pas posté est juste. Je montrerai ça pendant les vacances à un prof qui corrigera tout

Merci pour l'aide là ou j'en demande...

Je posterai ce soir quelques questions concernant le thème 3, qui ne comporte que des exos assez longs et pénibles à rédiger... Donc ce sera encore jsute quelques questions vite fait. Je commence le thème 4, je posterai surment plus en détails

Merci à tous pour l'aide

+++

[God's Breath]

Exo 2) Je dois traduire les énnoncés suivants en termes de stabilité d'un ensemble pour une loi. Je propose : ...
Est-ce que c'est bon ?

Je pense que tu as un problème avec la formalisation des énoncés. Toutes tes réponses sont fausses...

[GalaxieA440]

 Cliquez pour afficher

Je ne comprends pas très bien ta disjonction des cas, ou alors nous ne parlons pas la même langue... De plus il peut se faire que l'équation n'admette aucune solution.

Alors, j'ai :

 Cliquez pour afficher

b = x(1+a) + a est une équation de droite. Si le coeff directeur est nul, alors pout tout x b=a, donc une seule solution... Sinon, il n'y a toujours qu'une seule solution ??? En tout cas je ne vois pas comment il peut n'y avoir aucune solutions....

[GalaxieA440]

Je pense que tu as un problème avec la formalisation des énoncés. Toutes tes réponses sont fausses...

Aie aie aie, je vérifie ça....

[God's Breath]

Alors, j'ai :

 Cliquez pour afficher

b = x(1+a) + a est une équation de droite. Si le coeff directeur est nul, alors pout tout x b=a, donc une seule solution... Sinon, il n'y a toujours qu'une seule solution ??? En tout cas je ne vois pas comment il peut n'y avoir aucune solutions....

 Cliquez pour afficher

On n'a pas une équation de droite, qui serait de la forme , mais une bête équation du premier degré à une inconnue, avec et , dont la résolution n'est absolument pas ce que tu proposes.

[GalaxieA440]

Je ne comprend déjà pas pourquoi la traduction 1 est fausse...

La somme de deux fonctions dérivables sur un interval I de R est dérivable sur cet intervalle.

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Si pour toutes fonction f et g dans I, f+g est dans I, alors I est stable pour +, + étant une LCI dans I Non ????

[GalaxieA440]

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On n'a pas une équation de droite, qui serait de la forme , mais une bête équation du premier degré à une inconnue, avec et , dont la résolution n'est absolument pas ce que tu proposes.

Ah ouais... Je sais pas pourquoi j'ai vu une équation de droite la dedans, j'ai complètement tout mélangé....

Bon alors la résolution donne :

 Cliquez pour afficher

x(a+1) + a = b. Une fois la, si a = -1, b=a donc une seule solution.... Mais dans les autres cas on a une fonction affine, donc une cx+d=b, et la encore une seule solution ???? Ou alors je ne vois pas ce qu'il faut faire....

[God's Breath]

Je ne comprend déjà pas pourquoi la traduction 1 est fausse...

 Cliquez pour afficher

Si est un intervalle, les éléments de sont des réels, pas des fonctions. Tu ne peux pas dire "pour dans ".
La fonction (qui est un objet mathématique relativement compliqué) est définie sur , ce qui n'est pas la même chose ; pour tout élément de , donc en particulier réel, tu as le droit d'écrire l'expression qui désigne un réel, image de par , mais la fonction n'est en aucun cas un réel.
Il te faut d'abord définir l'ensemble des fonctions que tu veux additionner, puis interpréter ton théorème en terme de stabilité de cet ensemble.

Il en va de même pour les autres questions.

[GalaxieA440]

Donc d'après l'énnoncé :

 Cliquez pour afficher

f dérivable sur I et g dérviable sur I, donc et pour toutes fonctions f et g, f(x) + g(x) est dérivable sur I ??? C'est bon ? Par contre pour la suite, je ne vois pas trop. On ne peut pas conclure, en effet, que I est stable pour +, en fait I est stable pour "la loi d'addtion des fonctions dérivables sur I". Mais c'est complètement bancale....

[God's Breath]

Donc d'après l'énnoncé :

 Cliquez pour afficher

f dérivable sur I et g dérviable sur I, donc et pour toutes fonctions f et g, f(x) + g(x) est dérivable sur I ??? C'est bon ? Par contre pour la suite, je ne vois pas trop. On ne peut pas conclure, en effet, que I est stable pour +, en fait I est stable pour "la loi d'addtion des fonctions dérivables sur I". Mais c'est complètement bancale....

 Cliquez pour afficher

Tu confonds toujours la fonction et ses valeurs : est un nombre réel, dire qu'il est dérivable n'a aucun sens mathématique.
Parler de la stabilité de par addition (addition des réels) a un sens, mais cela n' aucun intérêt ici : le résultat est vrai aussi bien si , qui est stable par addition, que si , qui ne l'est pas.
Tu dois définir un ensemble tel que

ce qui signifiera bien que est stable par addition. Mais n'est ni , ni , qui sont des ensembles de nombres, mais un ensemble de fonctions, ce qui permet de donner un sens à l'écriture .

Dans chaque question tu dois trouver un ensemble et établir l'implication ci-dessus, qui est la formalisation de la stabilité par addition.

[GalaxieA440]

Okayyyy je crois que je vois mieu... désolé de toutes ces confusions. Je m'y remet ce soir

Merci God

+++

[GalaxieA440]

Et dans ce cas la E désigne un ensemble que je dois expliciter ou alors je laisse E ????....

Parce que pour l'affirmation 2, dans ce cas :

La composée de deux fonctions dérivables sur R est dérivable sur R

 Cliquez pour afficher

.
En faisant ça on définit un ensemble E qui contient toutes les fonctions f et g telles que la composée fog appartient à E. Donc E est alors stable pour "o". C'est terminé en faisant ainsi ?

[God's Breath]

Et dans ce cas la E désigne un ensemble que je dois expliciter ou alors je laisse E ????....

Parce que pour l'affirmation 2, dans ce cas :

La composée de deux fonctions dérivables sur R est dérivable sur R

 Cliquez pour afficher

Dans ce cas tu dois définir somme l'ensemble des fonctions définies de dans , et dérivables sur , tout simplement.

[GalaxieA440]

okay

Donc :

* La composée de 2 fonctions continues sur R est continue sur R.

 Cliquez pour afficher

Où E est l'ensemble des fonctions de R dans R et continues sur R.
E est alors stable pour "o"

Question : les fonctions de R dans R c'est les bijections de R dans R ?

Si c'est bon je tente les autres

[God's Breath]

 Cliquez pour afficher

Question : les fonctions de R dans R c'est les bijections de R dans R ?

 Cliquez pour afficher

Non, l'application est une fonction de dans , continue, dérivable autant de fois que de besoin, mais elle n'est pas bijective pour autant...

[GalaxieA440]

okip

* La composée de 2 transformations du plan P est une transformation du plan P.

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Donc, pour toute transformation T1 et pour toute transformation T2, T1 et T2 dans E² implique que T1oT2 est dans E, E est alors stable pour "o", et E est l'ensemble des transformations du plan dans lui même ?

* La somme de deux suites réelles convergentes est convergente...

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Où E est l'ensemble des suites réelles convergentes...
E est alors stable pour +.

Je ne suis pas sur du tout pour les deux... Ca me paraît un peu bancale

[God's Breath]

Si, si !!!

Cette fois, ce sont les bonnes réponses.
La formalisation des mathématiques n'est, au départ, que la mise en forme d'idées élémentaires. Il ne faut pas toujours chercher du poil sur les oeufs.

[GalaxieA440]

Oki, merci pour toute cette aide God , c'est super sympa.

Je vais laisser le thème 3, comme je l'ai dit ce ne sont que des exos assez lourds d'application.

Je vais juste faire une mini résummé de l'essentiel des thèmes 1, 2 et 3 avant de finir le 4 qui est un exo aussi....

++++

[GalaxieA440]

LOIS DE COMPOSITION INTERNE

Soit une loi * et un ensemble E

* est une LCI dans E
* n'est pas une LCI dans E

COMMUTATIVITE, ASSOCIATIVITE

* est commutative dans E
* n'est pas commutative dans E
* est associative dans E
* n'est pas associative dans E

STABILITE

Soit un ensemble E muni d'une loi de composition interne *. On dit qu'un sous ensemble A de E est stable pour * si :


Attention : Si E est stable pour * et si A est un sous ensemble de E, A n'est pas forcément stable pour *...

Question : Peut on dire que si * est une LCI dans E, alors E est stable pour * ????

Stabilité pour l'opposé :

Soit E muni d'une LCI additive. On dit qu'un sous ensemble A de E est stable pour l'opposé si et seulement si :



Je rajouterai plus tard la dernière partie : éléments inversibles dans un ensemble. Faut encore que je bosse un peu dessus. Je mettrai cette page à jour régulièrement...

Merci d'indiquer les fautes, beugs, manques, etc...

+++

[GalaxieA440]

THEME 4 : ELEMENTS INVERSIBLES DANS UN ENSEMBLE

Partie A

1) Démontrer que tout élément z non nul de C admet un inverse z' dans C pour la loi x. On donnera z' sous forme algébrique.

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admet un iverse pour la loi x si et seulement si :


on pose


D'où :

2) L'ensemble des entiers naturel N est une partie de C. Quels sont les éléments de N qui sont inversibles dans N pour la loi x ? combien y en a-t-il ? Même question pour l'ensemble Z des entiers relatifs ?

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Soient
ab=ba=1

Il n'y a qu'un seul élément inversible dans N
Soient
ab=ba=1

Il y a deux éléments inversibles dans Z

3) Citer deux sous ensembles de C dont tous les éléments sauf un sont inversibles dans l'ensemble pour la loi x.

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Je dirais Q et R, tous les éléments étant inversibles dans leur ensemble pour la loi x, sauf 0....

Partie B

1) Soit F une partie de C, stable pour la loi +, la loi x et la conjugaison. On définit une fonction N de F dans R+ par :

a) Démontrer que pour tous z et z' de F : N(zxz') = N(z)xN(z').

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donc :

b) Soit z un élément de F non nul ; z admet un inverse dans C noté . Quelle relation y a t il entre N(z) et N(z-1) ?

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d'où la relation :

c) On suppose dans cette question que pour tout élément z de F, N(z) est un entier naturel. Soit z un élément non nul de F. Démontrer que z est inversible dans F si et seulement si N(z)=1

Pour cette question, je bloque, et je ne poste donc pas la suite tout de suite puisqu'elle fait appel à ce résultat...

Merci à ceux qui m'éclaireront pour cette question et me feront remarqué des erreures dans ce début....

+++